北师大版八年级数学下册《三角形的证明》单元测试1

同学们，经过一段时间对“三角形的证明”这一单元的学习，相信大家对几何推理已有了更深入的理解和掌握。这份测试卷旨在帮助同学们回顾和梳理本单元的重点知识，检验逻辑推理能力与规范表达能力。请大家认真审题，仔细作答，充分发挥自己的水平。一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列命题中，属于基本事实（公理）的是（）A.等腰三角形的两个底角相等B.平行于同一条直线的两条直线平行C.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等D.全等三角形的面积相等2.用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，应先假设（）A.三角形中有一个内角小于60°B.三角形中有一个内角大于60°C.三角形中每个内角都大于60°D.三角形中没有内角小于60°3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，若BD=2，则BC的长为（）(此处应有图形：一个等腰三角形ABC，AB=AC，AD为顶角平分线，交底边BC于D)A.1B.2C.3D.44.到△ABC三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A.三条中线的交点B.三条角平分线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点5.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A.两条直角边分别相等B.斜边和一个锐角分别相等C.一条直角边和斜边分别相等D.两个锐角分别相等6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，则AB的长为（）(此处应有图形：一个直角三角形ABC，直角顶点为C，∠A为30°，对边为BC=2)A.2B.3C.4D.无法确定7.线段垂直平分线上的点具有的性质是（）A.到线段两个端点的距离相等B.到线段所在直线的距离相等C.是线段的中点D.与线段两端点的连线互相垂直8.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，则下列结论中错误的是（）(此处应有图形：射线OA、OB组成∠AOB，OP为其角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB)A.PC=PDB.OC=ODC.∠CPO=∠DPOD.OC=PC9.若一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为（）A.13B.17C.13或17D.以上都不对10.下列命题：①全等三角形的对应边相等；②如果两个角是对顶角，那么它们相等；③若a²=b²，则a=b。其中，逆命题为真命题的是（）A.①B.②C.③D.①②二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题是。12.如图，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是（只需写出一个即可）。(此处应有图形：两个三角形ABC和DEF，其中AB与DE对应，BC与EF对应)13.在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠B的度数为。14.直角三角形斜边上的中线长为5，则斜边长为。15.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为cm。(此处应有图形：三角形ABC，边AC的垂直平分线DE交AC于E，交AB于D，连接CD)16.用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设。三、解答题(本大题共5小题，共52分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分7分)已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求证：△ADF≌△CBE。(此处应有图形：AD平行于BC，A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，连接DF、BE)18.(本小题满分8分)已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD=CE。求证：BE=CD。(此处应有图形：等腰三角形ABC，AB=AC，D在AB上，E在AC上，BD=CE，连接BE、CD)19.(本小题满分10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E。求证：CE=BE。(此处应有图形：直角三角形ABC，∠C=90°，∠B=60°，DE是AB的垂直平分线，交AB于D，交BC于E，连接AE)20.(本小题满分12分)已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E。（1）求证：CD=DE；（2）若AB=6，求△DEB的周长。(此处应有图形：等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E)21.(本小题满分15分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E。（1）求∠BAD的度数；（2）若AE=2，求AD的长；（3）连接CD，判断△ADC的形状，并说明理由。(此处应有图形：等腰三角形ABC，∠BAC=120°，AB=AC，D是BC中点，DE⊥AB于E)---参考答案与评分标准（仅供阅卷参考）一、选择题(每小题3分，共30分)1.C2.C3.D4.D5.D6.C7.A8.D9.B10.B二、填空题(每小题3分，共18分)11.三个内角都相等的三角形是等边三角形。12.∠B=∠E(或AC=DF)(答案不唯一，符合SAS或SSS即可)13.70°14.1015.1916.一个三角形中有两个角是直角。三、解答题(共52分)17.(7分)证明：∵AD∥BC(已知)∴∠A=∠C(两直线平行，内错角相等)2分∵AE=CF(已知)∴AE+EF=CF+EF(等式的性质)即AF=CE4分在△ADF和△CBE中AD=CB(已知)∠A=∠C(已证)AF=CE(已证)∴△ADF≌△CBE(SAS)7分18.(8分)证明：∵AB=AC(已知)∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)2分∵BD=CE(已知)又∵AB=AC∴AB-BD=AC-CE(等式的性质)即AD=AE4分在△ABE和△ACD中AB=AC(已知)∠A=∠A(公共角)AE=AD(已证)∴△ABE≌△ACD(SAS)6分∴BE=CD(全等三角形的对应边相等)8分19.(10分)证明：连接AE1分∵DE是AB的垂直平分线(已知)∴AE=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)3分∴∠BAE=∠B(等边对等角)4分∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°(已知)∴∠BAC=180°-∠C-∠B=30°(三角形内角和定理)6分∴∠BAE=∠B=60°(已证)∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=60°-30°=30°8分∴∠CAE=∠BAC=30°∴AE是∠BAC的平分线又∵∠C=90°，即EC⊥AC，ED⊥AB(已知)∴CE=DE(角平分线上的点到角两边的距离相等)10分(注：也可通过计算角度，证明△AEC是30°角的直角三角形，AE=2CE，而AE=BE，从而得证BE=2CE，即CE=BE。)20.(12分)（1）证明：∵AD平分∠CAB(已知)，∠C=90°(已知)，DE⊥AB(已知)∴CD=DE(角平分线上的点到角的两边的距离相等)4分（2）解：∵∠C=90°，AC=BC(已知)∴∠B=45°5分∵DE⊥AB(已知)∴∠DEB=90°∴∠EDB=∠B=45°(三角形内角和定理)∴DE=BE(等角对等边)7分由（1）知CD=DE∴CD=BE8分在Rt△ACD和Rt△AED中AD=AD(公共边)CD=DE(已证)∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)10分∴AC=AE(全等三角形的对应边相等)∴△DEB的周长=DE+DB+BE=CD+DB+BE(∵DE=CD)=BC+BE(∵CD+DB=BC)=AC+BE(∵AC=BC)=AE+BE(∵AC=AE)=AB11分∵AB=6∴△DEB的周长为612分21.(15分)（1）解：∵AB=AC，∠BAC=120°(已知)∴△ABC是等腰三角形∵点D是BC的中点(已知)∴AD平分∠BAC(等腰三角形三线合一)2分∴∠BAD=∠BAC=×120°=60°3分（2）解：∵DE⊥AB(已知)∴∠AED=90°4分在Rt△AED中，∠BAD=60°(已证)∴∠ADE=180°-90°-60°=30°(三角形内角和定理)5分∴AE=AD(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)7分∵AE=2(已知)∴AD=2AE=48分（3）解：△ADC是等边三角形。9分理由如下：∵AB=AC，∠BAC=120°(已知)∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)=(180°-120°)=30°(三角形内角和定理，等边对等角)11分∵点D是BC的中点(已知)∴AD⊥BC(等腰三角形三线合一)∴∠ADC=90°12分在Rt△ADC中，∠C=30°(已证)∴AD=AC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)13分又∵∠DAC=∠BAD=60°(由（1）知AD平分∠BAC)14分∴∠ADC=180°-∠DAC-∠C=180°-60°-30°=90°，但AD=AC的一半，所以AC=2AD。（修正：此处前面已证AD=4，AE=2，∠ADE=30°，AD=2AE=4。在Rt△ADC中，∠C=30°，∠ADC=90°，所以AD=AC，即AC=2AD。但要证△ADC是等边三角形，需证AD=DC=AC。前面步骤有误，应调整。）（正确思路接（1）：）∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∠ADC=90°，∠CAD=60°（同∠BAD）。在Rt△ADC中，∠CAD=60°，∠ADC=90°，∴∠ACD=30°。设AD=x，则AC=2AD=2x(30°角所对直角边是斜边一半)。由勾股定理，DC===x。由（2）知AD=4，∴DC=x=4，AC=2x=8。∴AD=DC=4。∴AD=DC，且∠ADC=90°？不，这与前面矛盾。前面证明△ADC是等边三角形的假设不成立。（重新审视题目（3）：“连接CD”，D本身就是BC中点，CD是△ABC的边，题目是否应为“连接AE”？或者题目无误，D是BC中点，则AD=DC吗？）（题目（3）应为：判断△ABD的形状？或者原题正确，那么在AB=AC，∠BAC=120°，D为BC中点的条件下，AD=BD=CD。因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°。AD⊥BC，∴△ABD是Rt△，∠BAD=60°，∠ABD=30°，∴AD=AB，BD=AD。若AB=2AD，则BD=AD×√3。除非AB=2AD，则BD=AD×√3，AD≠BD。因此，题目（3）可能存在笔误，若原题是“判断△ABD的形状”，则∠BAD=60°，AB=