人教版高中数学必修2考点训练 专项强化04：立体几何直观图、表面积和体积（解析版）

专题强化04：立体几何直观图、表面积和体积精讲精练

【题型归纳】

>题型01：斜二测法画平面图、立体图的直观图

>题型02：由直观图还原几何图

>题型03：斜二测法的有关计算

>题型04：柱、锥、台的表面积

>题型05：柱、锥、台的体积

>题型06：球体的表面积与体积

>题型07：组合体的表面积和体积

>题型08：空间几何体的综合问题

【题型探究】

题型01：斜二测法画平面图、立体图的直观图

1.（23-24高一下•安徽蚌埠•期末）如图，△0月3的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形了

轴经过斜边4夕的中点，则△0/4中。4边上的高为（）

B'z%

O'©X，

A.2友B.4VIC.2D.4

【答案】B

【分析】根据斜二测画法的规则，即可得△38的原图，根据长度关系即可求解.

【详解】根据题意可得△0X8的原图如图所示，其中。为48的中点，

由于8为的中点,0万=&,

且OD=20D=2后，则dOAB中OA边上的高为20。=4及.

2.（24-25高・下•仝国•课堂例题）画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.

DC

【分析】运用斜二测画法画图即可.

【详解】画法：（1）如图所示，取力8所在直线为x轴，48的中点。为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x'C/,

（2）以。'为中点在x'轴上取力月=48,在V轴上取OZ'=goE,以&为中点画CO7*轴，并使C'D'=C。.

（3）述按8'。'，DA，所得的四边形就是水平放置的等腰梯形/8CD的直观图.

3.（2024高一下•全国•专题练习）用斜二测画法画出正六棱锥P-48CQM（底面是正六边形，点?与底

面正六边形的中心。的连线垂直于底面）的直观图（尺寸自定）.

【答案】答案见解析.

【分析】根据给定条件，利用斜二测画法规则，按画底面再确定顶点的步骤作出正六棱锥的直观图.

【详解】（1）画底面：

①在正六边形月5C0E尸中，f尸的中点为M,8c的中点为N,

以4。所在直线为x轴，MN所在直线为歹轴，两轴相交于点O（如图①所示），

画相应的f轴、V轴和z'轴，三轴交于点O',使Nx'OT=45。，NA"Z'=90。（如图②所示）,

图①

②在图②中，以。'为中点，在X,轴上取=在V轴上取M'N'=gMN,

以V为中点画8'C'平行于f轴，并且等于8C；再以AT为中点画万户，平行于f轴，并且等于EF,

③连接,得到底面正六边形44CZ）M的直观图/R'C'D'E'F'，

（2）画顶点：在，轴的正半轴上任意选取一点（不含点0，）为P,,

(3)成图：连接p/,PE,PC,PD,尸PF,并擦去＜y',z’轴,

加以整理（将被遮挡的线改为虚线），便得到正六棱锥尸-48。力右尸的直观图P'-44'C'Q£户’（如图③所示）.

4.（2025高三・全国•专题练习）如图，矩形OW8C'是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面匹边形W8C的直

观图，其中OW=3,0'C'=1.求平面四边形049C的面积.

【分析】根据直观图和原图形之间的关系结合图象求解即可.

【详解】在直观图中设4'0交。产于点川，

则c'Q'=o'c'=i,o7r=x/FTF=e，

ciy/y，Br

/O'

平面四边形O48C如图所示，

所以S四边形O4BC=2应x3=6®.

5.（24-25高二上•山东济南•阶段练习）如图，用斜二测画法画一个H平放置的平面图形的直观图为一个正方形，求

原来图形的面积.

y

/ofix，

【答案】2&

【分析】利用斜二测画法性质还原出原图形即可得出原图形而枳.

【详解】根据斜二测画法可知正方形的对角线K为五，

画出原图形如下图所示：

原图为两直角边分别为OB=1,04=272的直角三角形组成的平行四边形，

所以原来图形的面积为S=2xgxlx2及=2及.

6.（23.24高一下•河南郑州•期中）如图所示，O'HB'C为四边形ORBC的斜二测直观图，其中。才=3,O'C'=1,

B'C'=2.

（1）求平面四边形048c的面积及周长：

（2）若四边形0/8。以。4为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.

【答案】（1）面积为5,周长为7+石；

（2）体枳为半，表面积为（12+2石）兀.

【分析】（1）把直观图还原为原平面图形，得四边形O/出。是直角梯形，由此求出平面四边形6M8C的面积和周长;

（2）四边形以。1为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，计算它的体积和表面积

即可.

【详解】（1）把直观图还原为原平面图形，则四边形048c是直角梯形，

其中CU-OW-3,OC^2O,C,=2,BC--2,如图所示：

;二

所以平面四边形OABC的面积=；X（2+3）X2=5,

又AB=V（3-2）2+22=旧,

所以四边形018。的周长£=O%+/4+8C+CO=3-K/5+2+2=74>/5:

（2）四边形049C以04为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，

其中圆柱的底面半径为2,高为2,圆锥的底面半径为2,高为1,母线长为行，

则旋转体的体积为/=入柱+%锥=兀乂22、2+；兀*22x1=等，

表面积为S旋转体=TTX2?+2兀x2x2+兀x2x石=12K+2石兀《1242石）江.

题型03：斜二测法的有关计算

7.（2324高一下•云南昭通•阶段练习）△482的直观图△45'C'如图所示,其中HB"/£轴,HC'///轴，且

49=4C'=2,则△力8c的面积为（）

【分析】将直观图还原为原图，如图所示，进而求解.

【详解】将直观图还原为原图，如图所示，则AXBC是直角三角形，其中4C=4,48=2,

故5BC的面积为S」BC=1x4x2=4,

故诜：B.

8.（高一下•福建•阶段练习）如图，△0/4'是水平放置的40月8的直观图，则△048的周长为（）

/O14B1x1

A.10+2而B.35/2C.10+49D.12

【答案】A

【分析】根据斜二测画法得到三角形048为直角三角形，408=90。，边长。8=4,OA=2O,A,=6,然后即可求

二角形的周长.

根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，乙408=90。，

底边长08=4,高OA=2O/=6,

所以=yl（）B2+OA2=">+62=29，

・・・直角三角形的周长为10+2而.

故选：A.

9.（24-25高二上•湖南岳阳•期中）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如

图所示）./力4。=45,,AB=AD=\,DC上BC，则这块菜地的面积为（）.

【答案】C

【分析】利用直观图中的信息，求出8C的长度，结合斜二测法的定义得到原平面图形中的上底，下底及高的长度,

利用梯形的面积公式求解即可.

【详解】在直观图中，过A作彳EJ_4C于E,

AB=AD=\,DC1BC,

BC=1+——>

2

故原平面图形为梯形'其上底为I,下底为1十孝,而为正力6=2,

所以这块菜地的面积为S」X（1+1+E）X2=2+旦,

22~T'

故选：C.

题型04：柱、锥、台的表面积

10.（23-24高一下•江苏无锡•期中）已如圆锥底面半径及，底面圆周上两点A、“满足|4用二2,圆锥顶点到直线48

的距离为右，则该圆锥的侧面枳为（）

A.2nB.2缶c.4671D.3VLi

【答案】B

【分析】根据圆锥的几何特征计算出圆锥的高和母线长，结合圆锥的侧面积公式可求得结果.

【详解】设圆锥的顶点为P,底面圆圆心为点O,取线段4B的中点E,连接OE、PE、04、08,

因为|R4|=|P8|,|。山=|。却，则OE148,PEA.AB,

因为圆锥顶点到直线AB的距离为G,所以归目=石,

因为圆锥底面半径0,故|04=|。8卜又|力邳=2,

所以A/IOB为等腰直角三角形，为斜边,

因为石为线段N8的中点，故OE=1,

因为尸。_1_平面048,OE,CMu平面048,:.PO1OE,POLOA,

在Rt/oc中，।仕a=j时一困=收,

在Rtzxp。4中，

所以，圆锥。。的底面圆半径为拉，母线长为2,

因此，该圆锥的侧面枳为;rx夜x2=2&;r.

故答案为：2母兀.

II.（2023・江苏•三模）已知底面半径为「的圆锥S。，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为:,

则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（）

A.2B.近C.2D.迈

9939

【答案】D

【分析】由和ASOB相似，可得oq=2so=2叵〃，分别表示出圆柱的侧面积和圆锥侧面积，即可得出答

133

案.

【详解】圆锥的高为人,如图，

由xSO'M和^SOB相似,可*=箸=教所以s«=；so,

所以oq=-SO=—r.

133

则圆柱侧面积E=2兀X』〃X名叵〃二地兀户，

।339

圆锥侧面积52=1X2"x2r=2Tn」,所以兴=竽、；=手.

故选：D.

12.（23-24高一下・浙江绍兴•期中）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音,

折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如

图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若AD=DB,480=120。，且圆台的表面积为42乃，则

该圆台的高为（）

图1图2

A.2>/2B.273C.3D.25/6

【答案】D

【分析1设力。=。〃=>圆台高为力，上下底面半径分别为：不公

12

弧长公式求得，，i=；「百=|■广，再川圆台的表面积公式解得「，进而再得圆台的高为八

【详解】设圆台高为3上下底面半径分别为：斗弓，

则2几耳=rxg,2力=2rx解得外=；广百=：厂，

’.14■14、

所以圆台的表面积为：S=兀厂化+G）+町2+兀片=itr2+7tx-r24-nx—r2=—nr2=42兀，

解得/•=3百，故圆台的高为：h="-（5-（）2=2几•

故选：D.

题型05：柱、锥、台的体积

13.（24-25高一上•江苏无锡•期末）已知正三棱台45C-481G的上底面边长为4=2,下底面边长.48=6,侧棱

与底面/8C所成角的正切值为3,则咳三棱台的体积为（）

A.5275B.52C.鸟D.叵

33

【答案】B

【分析】将正三棱台43。-48£补成正三棱锥尸-MC,得到NPRO即为棱44与底面川?C所成的角，再由棱台

的体积公式求解即可.

【详解】如图，将正三棱台力8C-44G补成正三棱锥尸-力友:,

则AXA可平面ABC所成角即为尸4与平面ABC所成角,

设点P在平面4BC上的射影为O,在平面4片G上的射影为0},

则。为△的中心,«为△48£的中心,

则4Ao即为棱A.A与底面48。所成的角,而tanZPJO=3,

设△481G的高为人由等面枳公式得Lx2x/?=』x立x2x2,

222

解得〃=百，由等边三角形的性质得。/=2〃=2,

1133

POPO

同理可得。4=2石，故12。/尸/0=米=）=3,

4。1AO

故尸。I=34。1=2瓜PO=3AO=G0

所以棱台的高=4百，因为正三棱台力8C-48c的上底面边长44=2,

下底面边长48=6,所以S,.4■=kNx2x2=Ji，

△4g弱z。22

同理可得S=-x-^-x6x6=9\/3,

22

则上，卜底面的面枳分别为石和9石，

则棱台的体积V=；（百+的6乂如+9处=52,故B正确.

故选：B

14.（24-25高一上•湖南衡阳•期末）在如图五面体中，棱力D,BE,CF互相平行，且两两之间距离为1.若力。=1,

BE=2,CF=3,AB=BC=CA=\则该五面体的体积为（)

「3G1

D.2

422

【答案】D

【分析】将九面体补成止三棱柱，求出三棱柱的体枳即可得到结果.

【详解】

G.

H,

加图，延长至点G,延长A乃至点G,延长C9至点/,使得=a=

•・•棱40,BE,C尸互相平行，・・・XG〃4〃//a,故五面体48C-G"/为三棱柱，且体积为原五面体体积的2倍,

•：AD,BE,CT两两之间距离为1,AB=BC=CA=',

・••三棱柱力AC-G4/为正三棱柱，底面是边长为1的等边三角形，高为4,

・•・三棱柱48C-G”/的体积为巫x12*4=8,

4

・•・该五面体的体积为立

2

故选：D.

15.（23-24高一下•江苏无锡•期末）已知四棱锥叱_8c%=16,6=3,BC=4,CE平分N8CQ,点尸在力C上且满

足力。=3力尸，则三棱锥力-OEP的体积为（）

7n16

D・T

【答案】B

【分析】根据题意,设点A到平面8CQE的距离为d,尸到平面/QE的距离为力，则有

VA.8CDE=\dx右边形3=卜x（S"+%比）=16,利用三角形面积公式可得心皿•，又由点。在力。上且满足AC=3AP,

可得P到平面AED的距离，结合三棱锥体积公式计算可得答案.

【详解】根据题意，设点A到平面4C0E的距离为d,。到平面力。后的距离为力,

则有匕-ECQE=XSpq边形8cX(S.BCE+SaCQE)=16,

Ku=-jx5CXCEXsinZBCE,S^CDECDxCExsinADCE,

4

又由CQ=3,BC=4,CE平分N8CD,则

则叱-ca­皿,=yx（/xS四边形sc.卜］匕-跳射=

故@血=匕-CDE=W，而=—AxSu0£,

\4X

则有§力xSj0£=—

又由点P在力。上且满足/C=3/P,故尸到平面AED的距离为

则有/“麻=；七—=与

故叽.DE产VP-.ADE=।VC-ADE=3

故选:B.

题型06：球体的表面积与体积

16.（23-24高一下•陕西宝鸡•期末）已知三棱锥。一48C,P4J_/18,21_L8C,NB4C=30O,8C=2,P4=2G，则三棱

锥P-MC的外接球的表面积为（）

28

A.287rB.InC.14兀D.—it

3

【答案】A

【分析】先证明4_L平面力3。，再将三棱锥补形成直三棱柱，再利用勾股定理求出外接球的半径，再根据求得表

面积公式即可得解.

【详解】因为"，力氏""L48cAe=民力58Cu平面ABC,

所以P/_L平面A8C,

如图经补形可■知球心在直三棱柱高的中点处。,。'为18C外接圆的圆心,

BC

贝1」2。'4==4

s\x\/.BACsin30°

所以。'4=2,。。'=百,

则外接球的半径R=OA=JOO'?+O'A'2=J7，

所以三棱锥尸-ABC的外接球的表面枳S=47t配=28兀.

17.（23-24高一下•江苏南京•期末）设P,44,C是球O表面上的四个点，尸力平面,48C,448c=90。，PA-5,

48=3,BC=4,则球O的表面积为（）

A.一兀B.50nC.757rD.200兀

3

【答案】B

【分析】根据题意，画出几何体的图形，利用直棱柱和球的截面的性质，求得外接球的半径，结合球的表面积公式,

即可求解.

【详解】解：由题意，画出几何体的图形，如图所示，

把P,48,。扩展为三棱柱，

上下底面三角形外接圆圆心连线的中点。与A的距离为球的半径R,

由产力=5,AB=3,BC=4,ZABC=90°,

则JA#+BC?=J32+42=5，

设三角形力AC外接圆半径为「，球。的半径为R,

M2r=JC=5,且H=/O=

所以外接球的表面积为S=4兀叱=4兀x==50几.

18.（23・24高一下•黑龙江哈尔滨•期末）已知四棱锥力的底面48CO为正方形，平面平面力BCQ,

凫PD=PA=3五，/8=6,则四棱桂尸的外接球的体积为（）

A.728兀B.27瓜itC.~~nD..

22

【答案】A

【分析【设力。的中点为E，设力C8。交于点O,结合面面垂直的性质求出PO的长，说明。为四棱锥P-48C。的

外接球的球心,确定半径,即可求得答案.

【详解】设力。的中点为区设彳C8。交于点O,连接PE,EO,PO,

由于PD=PA=36,/iD=AB=6,则

而平面产力。_L平面/AC。，平面尸/0c平面4=，PEu平面P4D,

故产石_L平面月BCO,EOu平面月6CO,故PEJ.EO

[8=6,底面48。为正方形，贝IJEO=3,

又PE=yjPLT-DE1=《3用一3:=3,故P()=yjPE2+EO2=6+3?=3拉，

而04=OB=OC=OD=3N/2，即O为四棱锥P-ABCD的外接球的球心，

则外接球的半径为3vL故四棱锥尸-48CO的外接球的体积为9仆(3&)'=72&71.

故选：A

题型07：组合体的表面积和体积

19.(23・24高一下•福建三明•期中)如图，在直三棱柱—中，AB=AC=AAi=\,/。8=90。.

(1)求该直三棱柱的表面积s与体积匕

(2)若把两个这样的直三棱柱拼成•个大棱柱

(i)这样的大棱柱有几种拼法？在原图基础上画出其中两种拼后的简图(不需要用斜二测画);

(ii)这几种拼法中大棱柱表面积最大时，求此大棱柱的外接球的体积.

【答案】(l)S&=3+&：

⑵⑴3种(或4种)，作图见解析；(ii)迎式

【分析】(1)由棱柱的表面枳公式以及体积公式即可代入数值求解,

(2)(1)根据棱柱的几何性质即可列举求解，(ii)根据直楂柱的性质求解球半径，即可由体积公式求解.

【详解】(1)S依=2xgxlxl+lx(l+l+6)=3+6：

11

Sc/8c=]X,lx,[=5，

V=S£A22-A=-xl2x1=—.

(2)(i)3种(或4种)(说明：后两种可以视为一种),

画其中两种即可.

（ii）由题得：S-8c=gxlxl=；,在所有的拼法中组合1重合的面的面积最小,

则组合1大柱体的表面积最大，

2

此时外接球直径2r=BC2=Vl+1+2=\/6,

则尸=渔，故昨扃.

23

20.（23-24高一下•辽宁・期末）如图，这是某种型号的奖杯，它是用一个正四棱台、一个正四棱柱和一个球焊接而

成的球的半径为尺.正四棱柱的底面边长为2H,高为7R.正四棱台的上、下底面边长分别为47?和6A,斜高（即侧

面梯形的高）为3火.

（1）求这种型号的奖杯的表面枳（用A表示，焊接处对面枳的影响忽略不计）：

（2）已知R=3cm,若为奖杯表面镀金所用的材料每l.6g可以涂im"且该种型号的奖杯底面（图中正四棱台的下底

面作为该种型号的奖杯的底面，一般底面采用其他村质）不需要镀金，则为100个这种型号的奖杯镀金约需要多少

材料？（兀取3.14,精确到0.01g）

【答案】⑴（168史+4兀/）皿2

（2）20.82g

【分析】S）分别求得棱台、棱柱、球的表面积后相加即可得出该奖杯的表面积；

（2）求出奖杯需要镀金的表面积，再根据镀金材料的每平方米的重量可求得为100个这种型号的奖杯镀金所需要

的材料.

【详解】（1）球的表面积为4M2cm2.

正四棱柱的表面积为(2R)2X2+2RX7RX4=64/e2cm2.

正四棱台的表面积为(6R)2+(4R)2+4x+6R)x3R=112R2cm2.

故这种型号的奖杯的表面积为112H2+64R2+47tR2-2x(2H)2=(l68R2+47tR2)cm2.

(2)因为1个这种型号的奖杯需要镀金的面积为1682+4成、(6出)2=132*+4球2

=132x32+4x3.14x32=1301.04cm\

所以100个这种型号的奖杯需要镀金的面积为1301.04x100=130104cm2=13.0104m2.

因为为奖杯表面镀金所用的材料每L6g可以涂inf,

所以为100个这种型号的奖杯镀金约需要材料13.()l()4x].6=20.81664g*20.82g.

21.(23-24高一下•广东广州•期中)陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一.图I是一种木陀螺，可近似地看作是一

个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中8,C分别是上、下底面圆的圆心，且4c=3月4=34Q=9cm,

现有一箱这种的陀螺共重6300g(不包含箱子的质量)，陀螺的密度为?g/cn?(兀取3)

(1)试问该箱中有多少个这样的陀螺？

(2)如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，试问共需涂多少cm?的颜料?

【答案】(1)40个；

(2)5400+1080氐m?.

【分析】(1)求出一个陀螺的体积，再求出其质量，然后可解：

(2)利用圆锥和圆柱的表面积公式求出一个陀螺的表面积，然后可得.

【详解】(1)因为力C=348=38。=9cm,所以力5=8Q=3cm,5C=6cm,

圆锥部分的体积为gx32x兀x3=27cm1圆柱部分的体积为3?X7rx6=162cm，,

5315

所以一个陀螺的体积为27+162=189cn?,质量为189x^=不一8，

62

所以该箱中共有陀螺6300个31手5=40个.

(2)易知=3Jicm,

则圆锥为侧面积为3x3x3也=27岳m?,圆柱侧面积为2x3x3x6=108cm?,

底面面积为3x3?=2701?,

所以一个陀螺的表面积为27五+108+27=135+27瓜m2，

所以40（135+27后卜5400+10806cm2,

所以，给这箱陀螺的每个表面涂上颜料共需涂多少54OO+IO8O&cm2的颜料.

题型0&空间几何体的综合问题

22.（23-24高一下•福建泉州•期中）如图，三棱柱4G的侧棱垂直于底面，其高为2cm,底面三角形的边

长分别为3cm»4cm,5cm.

（1）以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V；

（2）求该三棱柱的外接球的表面积.

【答案】⑴（12-2兀）即3

（2）29ncm2

【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到△力8。的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案;

（2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积.

【详解】（1）因为底面三角形的边长分别为3cm,4cm,5cm,

所以底面三角形为直角三角形，两直用边分别为3cm,4cm,

又因为三棱柱力8。-44G的侧棱垂直于底面，其高为2cm,

设圆柱底面圆的半径为〃,

2-x-1x3.x4

则厂二环女二——=1

AB+BC+AC3+4+5

,

圆柱体积匕M=7ixfx2=27C(cm).

所以剩下的几何体的体积K=（12-22cm-.

(2)由(1)直三棱柱/AC-4由G可补形为棱长分别为3cm,4cm,2cm的长方体,

它的外接球的球半径R满足2R=>/32+42+22=a，即R=与cm.

所以，该直三棱柱的外接球的表面积为S=4兀x=297rcm2.

C

23.(23-24高一下•湖北武汉•期末)《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖脯.如图，£41平

®ABCD,FCHEA,四边形力88中，AB//CD,ABLAD,AB=AD=AE=2,CD=CF=4.

(1)证明：四面体为鳖嚅；

(2)求点C到平面BDF的距离；

(3)请从下列问题中选一个作答，若选择多个，按(i)计分.

(i)求几何体力8CZ)斯的表面积；

(ii)求几何体力8。后尸的体积.

【答案】(1)证明见详解

⑵”

3

(3)(i)18+4拒+4百+2旧

(ii)12

【分析】(1)因为四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖牖，所以结合线面垂直的性质和勾股定理证明垂直;

(2)根据等积法求点。到平面8。尸的距离；

+

(3)(i)因为几何体ABCDEF的表面枳=+^H,FCD+S^FED+SJQE+S&FEB+$梯形业根据二角形和梯形面积

公式即可求出表面积.

(ii)将几何体拆解成两个四棱锥，再用等面积法求两个几何体的高即可求出体积.

【详解】(1)

取CO的中点G,连接8G,

,/EA_1_平面ABCD,FCHEA,尸。_1平面ABCD,

又♦:CD、C8e平面48c。，：.FC1HC.FC1CD,，△/C。、△尸C8为直角三角形.

•••四边形48。。中，AB//CD,ABLADtAB=AD=AE=2,CD=CF=4,

：.ABIiDG、AB=DG,.•.四边形/8GD为平行四边形，NO=BG=2,

BD=y]AB2+AD2=x/F+F=141»FD=JFC2+CD2=742+42=472»

FBTFC;BC，=,4?+(2夜『=2而,BC=」BG2+CG?=2及'

.•.在△BC。中，BD-+BC1=(2x^)2+(2^2)2=16,CZ)2=42=16,BD?+BC?=CD’，：.BDA.BC,:.4BCD为直角

三角形，

,在△B/7)中，BD2+BF2=(2V2)2+(2>/6)2=32,FD2=(472)'=32,BD2+BF2=FD2»:.BD1BF,:ABFD为

直角三角形，

.•・四面为8CFO为鳖嚅.

(2)设点C到平面8。尸的距离为d,

*DF=-F-BCD，即1乂1*2及*2"><</=1乂1*2及乂2及乂4,解得

32323

(3)(i)取"。的中点“，连接/C,E〃，

根据题意可知，四边形4cHE为平行四边形，BE=2&ED=24i、EH=AC=2M，

EF=\IEH2+FH2=J(2石y+=2",

SQBE=-X2X2=2、S、FCB=—X2夜X4=4\/2,SA=-x4x4=8,

222FCD

^F£D=1x2x/2x2x/6=4x/3,Sa/1D£=yx2x2=2,S悌形2=：x(2+4)x2=6,

又因为AFEB的BE边上的高为V22，•二S.FEB=gx2近x后=2VH,

几何体ABCDEF的表面积=ABE十S-FCB+++S*ADE++S梯形彳夕或

=2+4拉+8+475+2+2771+6=18+4/2+4/34-2^71.

(ii)匕BCDEF=/-ACFE+^D-ACFE

•••四边形"CTE为梯形，ASW^CF£=1X(J£+FC)XJC=1X(2+4)X2X/5=6>/5,

又•.•E4_L平面/AC。，.■.平面力CFEl.平面力BC。，

又•:平面/CEEc平面ABCD=AC,

••・过点。作力C的垂线即为四棱锥。-力。庄的高，设为％,

过点8,乍力。的垂线即为四棱锥8-4CFEE的高，设为生，

；.S.ACD=；4DCD=；Ac%,即;x2x4=；x2逐x%,解得％=卓，

又..cos人任上空二”2?+(2厨-(2后匚叵

'2ABBC2x2x2夜2

又•.•4«0,兀)，.•.sin8=也，

・.・S“叱=188Csin8=Lc",即，x2x2&x立」炎叮/.解得九二述，

22-222~5

；DTCFE=；X6&W=WfiVCFE=$654,

^ABCDEF=8+4=12.

24.(23-24高一下•吉林长春•期中)已知正四棱柱48。。—48cA中，”=2,44,=4,点瓦尸分别是棱月

的中点，过。,民尸三点的截面为

⑴作出截面。(保招作图痕迹)：

(2)设截面。与平面交于直线/,且截面。把该正四棱柱分割成两部分，记体积分别为匕匕化<匕).

(i)求证：*/〃；

(ii)求?的值.

V1

【答案】(1)作图见解析:

(2)(i)证明见解析；(ii)二.

【分析】（1）连接Q尸并延长交勺延长线于点0,连接EO交方用于G,连接P即可得截面a.

（2）（i）利用面面平行的性质推理即得；（ii）利用割补法及三棱锥的体积公式求出匕，进而求出匕的值即可.

【详解】（1）在正四棱柱力中，连接。尸并延长交44的延长线于点O,连接E。交历51于G,连接

FG,

则四边形D'EGF是过n，E,F三点的平面截正四棱柱ABCD-440。的截面a,如图:

(2)(1)在正四棱柱448—44CA中，平面平面8CC£，

平面REG/D平面力。44=〃£,平面AEG尸PI平面8CC£=/,

所以AE/〃.

(ii)由(1)及已知，平面/QQ/,。4_1_平面BCGA，

由尸是4cl中点，B、C\“AR,得用是04的中点，又B、Gi/A、E,则O]=2。4=4,4£=；4E=1,

匕=^O-^E~^O-^FG=-x—x2X2X4——X—X1X1X2=—,

741

K2=V..4JiCCL/!-.ziA|O|BC|CZJD|-KI=2x2x4一一3=—3',

所以产不

【专题强化】

一、单选题

1.（23-24高一下•山东烟台•期中）在高为6的三棱柱48C-44G中，"'8'。'是底面。的水平放置的直观图,

如图，OW=O'8'=2,O'C=6则三棱柱如火;一44G的体积为（）

A.6石B.8芯C.12N/3D.24出

【答案】D

【分析】利用斜二测画法规则求出底面三角形面积，再利用柱体体积公式计算即得.

【详解】直观图对应的原图形为如图所示的△X8C,其中。4=OW=2,08=0，*=2,

0C1AB.0C=20'C'=26，因此△/历。的面积S：=；AB0C二，A

所以三棱柱ABC-A^C,的体积为V=S&ABCX6=24万.

故选：D

2.（23-24高一下•贵州六盘水•期中）用斜二测画法画水平放置的AWBC,其直观图△/"。'如图所示，其中

B'O'=CO'=2,40=6，则原/U8C的周长为（）

【答案】D

【分析】由直观图△48'。'画出原图的图像△4?。，分析求解边长，最后求解原的周长即可.

【详解】由直观图△/'B'C'画出原图的图像A/BC,如图所示：

所以=AC=yjAO2+OC2=J12+4=4，

所以原的周长为：4+4+4=12.

故选：D

3.（23・24高一下•山东聊城•期中）一个三角形的水平直观图在平面斜坐标系EOT中是边长为3的正三角形（如图

所示），则原平面图形的面积是（）

B'

/（Tx'

A.3瓜B.676C.—D.976

2

【答案】C

【分析】由三角形面积公式求出直观图的面积，结合原图面枳与直观图面积的关系即可求解..

【详解】解：根据题意，直观图为边长为3的正二角形.

其面积S，=Lx3x3x立=*3,

224

则原图的面积S=2&S=炖.

2

故选：C.

4.（23-24高一下•内蒙古•期末）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，力4=2,AB=AC=丘,8c=2,

则三棱柱46C-44G外接球的表面积为（）.

A.4TIB.6TIC.8兀D.12兀

【答案】C

【分析】直三棱柱的外接球球心为上下底面三角形外接圆圆心连线的中点，求出半径，再算面积即可.

【详解】因为48=力。=JLBC=2,则为直角三角形，

△44G和△相C的外心分别为斜边4G,8。的中点,

连接。a，取QQ的中点。，

则。为三棱柱48c-4MG外接球的球心，

其外接圆半径为g8C=l,

则半径灭2+=1+1=2,

则外接球的表面枳为4兀笈=8兀.

5.（24-25高一下•全国•期末）一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心。到这个圆面的距离为4,则这个球的体

积为（）

4100兀D20871-500兀「416百兀

3333

【答案】C

【分析】利用勾股定理结合给定条件得到球的半径，再求解体积即可.

【详解】

n

如图，设截面圆的圆心为。'，由题意可知，圆面的直径为6,则。'/=3,

又所以球的半径&=。4=5,

所以球的体积兀川=芈，

故选：C.

6.（2024•陕西西安•模拟预测）已知圆锥的轴截面为△4片。为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为12乃，若

N"8=60〃，则该圆锥的体积为（）

A.9x/LrB.12石乃C.18石乃D.276兀

【答案】A

【分析】研究圆锥与内切球的轴截面，由题可得内切球半径〃=G，在轴截面中解直角三角形分别求出圆锥的高与

底面半径即可.

【详解】如图所示，设内切球O与24相切于点£,因为4尸8=60%,所以/。0力=30'，

由内切球的表面积为12乃，可得球的半径尸=石，

在直角AO/TT中得O尸=2行，则圆锥的高为3百，

在直角△/V"中得/〃=3,即圆锥的底面半径为3,

所以该圆锥的体积P=；"x9x3\/J=9&.

故选：A.

7.（24-25高一上•全国•期中）水平放置的正四棱柱（底面边长为。）形容器内放入两个大小不等的铁球，其中较大

的铁球与容器的底部和两个恻面相切，较小的铁球与该球外切，并且与容器的另外两个侧面相切，现往容器里注水,

水面没过较大铁球后，继续注水，当水面恰好与较小铁球相切时，测得水面的高度为“，则两个铁球的半径之和为

（容器壁厚度忽略不计）（）

An2—423-G5—V5

A.aB.-----aCr.-----anL）.-----a

222

【答案】C

【分析】由题意可得两个球外切且又分别与边长为。的正方体的三个面相切，作出正方体的体对角面.，易知球心a

和2在力。上，根据两圆的关系以及与对角面关系，即可求解.

【详解】由题意可得两个球外切且又分别与边长为。的正方体的三个面相切，如图（1）,

如图（2）,作出正方体的体对角面，易知球心a和a在/C上，

过点a，a分别作力。，8c的垂线，垂足分别为氏F,

设球a的半径为小球Q的半径为七

由AB=a,BC=6a,AC=Ka,

得遥^^NR

a&

••r+R+JJr+x/5R=5/367»R+r=—7=—a=-a

,3+12

即两个铁球的半径之和为匕8

2

【点睛】关键点点睛：根据题意得出两个球外切且又分别与边长为。的正方体的三个面相切，是解决本题的关键.

8.（24.25高三上•江西南昌•阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇''与"善”谐

音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如

图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧。丛力。所在圆台的底面半径分别是。和6，且

r2=2/\,AD=\0,圆台的侧面积为15。兀，则该圆台的体积为（）

人•苧B.竽C.苧D.875扃

【答案】C

【分析】先求出圆台的底面半径和高，再利用台体的体积公式求体积.

【详解】如图:

AD=\O.

根据圆台的侧面积公式：S==>15On=7t（3/1）xlO=>/]=5

所以圆台的高：fj=\]\02-52=51

夕二与任+r2+他)=字(25+100+50)=

所以圆台的体积为:

故选：C

二、多选题

9.（23-24高一下•河北•期中）如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的△NBC,04=2,S△.=逐，则在直观

图中，以下说法正确的是（）

2

D.OW边上的高为当

C.6M边上的高为指

【答案】ABC

【分析】根据斜二测画法的规则，利用数形结合，即可求解.

【详解】在/轴上取。卬=。力=2,即C4=C'/，所以A正确;

在图①中，过4作8力〃y轴，交x轴于。，在/轴上取077=0。.

过点0C作力E〃V轴，并使=如图②所示:

80_L4C于点。，则8。为原图形中/1C边上的高，且

80=28'。'，S^BC=；ACXBD=R，BD=2B'D'=瓜,所以C正确;

在直观图中作B'E'tAC于点E\B'D'=五BE=—，

2

BE=2,所以D错