人教版九年级数学上册教案-圆的有关性质

24.1il的有关性质

24.1.1圆

课时目标

1.理解圆的有关概念，发展学生抽象思维能力的核心素养.

2.理解弧、弦的概念，了解等圆、等弧的概念，培养学生观察、操作、归纳、

猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养.

3.灵活运用圆的概念解决一些实际问题,培养学生会用数学知识解决简单几

何问题的能力.

学习重点

圆的两种定义、相关概念以及弧的表示方法.

学习难点

对弧及优弧、劣弧的概念的感知与理解.

课时活动设计

教学活动1

情境引入

观察下列图形，从小找出共同特点并想一下生活中还有哪些物品有这种特点

彘）H卷

►设计意图:由大量的现实图片引出，给学生产生视觉上的强烈冲击,产生强

烈的求知欲，为下面探究新知识打下基砒让学生感悟数学来源于生活并应用叮生

活的辨证思想，初步感受圆的概念.

教学活动2

探究新知

圆的概念

学生讨论:在一个平面内，一条线段。力绕它固定的一个端点O旋转一周，另一

个端点”形成的图形就是圆.

教师总结:圆:在一个平面内，线段0/绕它固定的一个端点。旋转一周，另一

个端点力所形成的图形叫做圆；

圆心:固定的端点。叫做圆心；

半径:线段04叫做半径.

圆的表示方法:以点O为圆心的圆屋记作。O,读作“圆

同时从圆的定义中归纳：

(1)圆上各点到定点(圆心0)的距离都等于定长(半径r);

(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.

于是得到圆的第二定义:所有到定点。的距离等于定长r的点的集合叫做圆.

►设计意图:引导学生从几何角度出发观察圆的形成过程，从做圆的过程自然

过渡到圆的定义，把生活中的情景抽象为平面图形，让学生表述，明确圆的定义.

教学适初©

典例精讲

例1矩形ABCD的对角线4C,BD相交丁点O.求证:其民。,。四个点在以点。

为圆心的同一个圆上.

证明:••・四边形川?CO是矩形，

二。力=OC《ACQB=OD《BD/C=BD.

：.OA=OC=OB=OD.

，A,B,C,D四个点在以点O圆心,04为半径的圆上.

►设计意图:圆的定义的应用.在此过程中培养学生的表达能力和总结能力,

学会用数学语言表达现实世界.

教学酒刨

探究新知

弦、直径、弧的概念

讨论圆中相关元素的定义如下图,你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗？

学生小组讨论，讨论结束后派一名代表发言进行交流，在交流中逐步完善自己

的结果.

教师归纳：

弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.

直径:经过圆心的弦叫做直径.

弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.

弧的表示方法:以4,3为端点的弧记作余，读作“圆弧或“弧的.

半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

优弧:大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示,如图中的法.

劣弧:小于半圆的瓠叫做劣弧，如图中的标.

等圆:能够重合的两个圆叫等圆.半径相等的两个圆是等叫反过来，同圆或等

圆的半径相等.

等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.

►设计意图:弦、直径、弧、半圆这些定义有的在小学接触过,有的从字面可

以猜出一二，结合图形可以锻炼学生的语言表达能力，进一步培养严密的数学表达

能力.

教学活动5

巩固训练

1.下列语句中，正确的是(B)

A.大于劣弧的弧叫做优弧B.小于半圆的弧叫做劣弧

C.圆上两点间的部分叫做弦D.过圆心的线段叫做圆的直径

2.若一个圆中最长的弦长为8cm,则这个圆的半径是

3.下列说法中正确的是①⑶.

①矩形的四个顶点在同一个圆上;②菱形的四个顶点在同一个圆上;③直角

三角形的三个顶点在同一个圆上;④平行四边形的四个顶点在同一个圆上.

4.下列说法正确的是②⑷.

①圆中的线段是弦;②直径是圆中最长的弦;③优弧一定大于劣弧;④半径相

等的两个圆是等圆;⑤长度相等的两条弧是等弧.

►设计意图:学生通过例题进一步熟悉圆的相关性质，并学会解决问题.日知

识和新知识的结合体现了不同单元内容之间的延续性和关联性，在此过程中也培

养了学生思维的多样性，促进了学生对教学内容的整体理解和把握,培养学生的核

心素养.

教空时6

课堂小结

(1)通过今天的学习，你有哪些收获？

(2)你是否明确圆的两种定义、弦、弧等概念？

►设计意图:进一步回忆、巩固本节所学.

随堂练习_

课堂8分钟.

课后的

1.教材第81页练习第3题.

板书设计

24.1.1圆

1.圆的概念.

2.与圆有关的概念.

弦、直径、弧（优弧和劣弧）、半圆、等圆、等弧.

3.例题讲解.

I

教学反思

24.1.2垂直于弦的直径

课时目标

1.研究圆的对称性,掌握垂径定理，发展学生抽象思维能力的核心素养.

2.培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步

发展空间观念的核心素养.

3.学会运用垂径定理及解决一些有关证明、计算，培养学生会用数学知识解决

简单几何问题的能力.

学习重点

利用圆的轴对称性研究垂径定理及其应用.

学习难点

垂径定理的证明，以及应用时如何添加辅助线.

课时活动设计

教学活动1

观察思考

赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民

勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m,拱高

（弧的中点到弦的距离）为7.23m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

。设计意图:从学生熟悉的历史事物中提出问题、设置悬疑、激发学生的学

习兴趣，让学生体会生活中数学随处可见，体会数学如何被用来解决生活中的实际

问题.教师PPT展示赵州桥的图片，并提出问题，引导学生思考.注意:这里只提出问

题,学生暂时还不能解答

教学活动2

探究新知

合作探究

剪一个圆形纸片,沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？

教师提出问题，并让学生拿出事先准备好的圆形纸片，动手操作，观察，学生充

分交流后,教师汇总补充，最后PPT动态展示.

在此基础上追问:由此你能得到什么结论?你能证明你的结论吗？

教师总结学生得出的结论:圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆

的对称轴.

教师引导学生发现，要证明圆是轴对称图形，只需要证明圆上任意一点关于直

径所在的直线（对称轴）的对称点也在圆上.如图，设CO是。。的任意一条直径”为

OO上点C,D以外的任意一点证明点力关于直线CD的对称点仍在。。上.

T）

证明:过点A作交O。于点4,垂足为M连接OAfiA\

在△044'中,•••04=。/',

.•.△O4T是等腰三角形.

••.4W=MH.即CD是4r的垂直平分线.

教师可在圆上任取若干个点进行说明，进一步验证前面得到的结论.

圆的对称性:①圆是轴对称图形;②任何一条直径所在的直线都是圆的,对称

轴.

。设计意图:通过证明引导学生思考，使学生充分经历操作、观察、猜想、验

证等合情推理的过程，初步培养学生分析问题、解决问题的能力.

教学活的

合作探究

在刚刚的证明过程中，你能发现图中有哪些相等的线段、弧吗？

教师再次动态展示折纸的过程，让学生观察，并在此基础上得出结论.并尝试

让学生用语言描述所得到的结论，教师引导并补充完善.

垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

教师带领学生分析垂径定理的题设，结论.并试着结合图形把文字语言转化为

数学语言.

下列图形是否具冬垂径定理的条件?

教师提出问题，学生抢答.对于不具备垂径定理条件的图形，引导学生说出原

因，并追问：

怎样修改图（2）、（4）能够满足垂径定理的条件？

教师带领学生观察修改后的图片，引导学生总结:垂直于弦的直径平分弦，并

且平分弦所对的两条弧.其中，直径并不是必要条件，只要满足过圆心即可.

当直径CD平分一条弦48（不是直径）时，能否得出CDLAB?

◎

D：

教师提出问题，引导学生仿照前面的证明方法证明，并用文字语言描述所得结

论，得出垂径定理的推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

教师追问:为什么强调“不是直径”呢？

►设计意图:再次观察折叠圆的过程，让学生在理解圆的对称性的基础上进一

步发现相等的线段、弧，尝试总结出垂径定理.

教堂酒动4

想一想

判断下列说法是否正确：

1.垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧.（X）

2.平分弦的直径垂直于弦.(x)

3.平分一条直径的弦必垂直于这条直径.(x)

►设计意图:巩固所学知识,加深对知识的理解.

教学满还

延伸

垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条

弧.

教师带领学生归纳出垂径定理及推论中，蕴含的五个条件：

①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣

弧.

并引导学生发现，垂径定埋是①②一③④⑤;垂径定埋的推论是

①③T②④⑤.

追问:还有别的结论吗？

条件结论

①②③④⑤垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧

①③②④⑤平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②

①

③

④

⑤平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对

②的另一条弧

①

③

⑤

④

②③①⑤④弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧

.........

设计意图:在已有知识的基础上适当延伸拓展，使学生能够理解这5个条件

可以知二推三，锻炼学生的思维能力及灵活运用所学知识的能力.

教矍时6

典例精讲

通过这节课的学习，现在你能解决课程一开始的问题了吗？

例赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代

人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m,

拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m,求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后

一位）.

R\：

0

解:如图，用第表示主桥拱，设前所在的圆的圆心为O,半径为R.经过圆心。作

弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与藤相交于点C,连接OA.

根据垂径定理,。是AB的中点,C是懑的中点,8就是拱高.

由题设可知48=37,8=7.23,

所以4Z>78=TX37=18.5,0Z>0C-O>A-7.23.

在RIAOAD中，由勾股定理，得

OA2=AD2+OD\即R2=18.52+（/?-7.23）2.

解得—7.3.

因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.

►设计意图:通过例题讲解，巩固本节课所学知识,培养学生解决问题的能力,

发展应用意识，锻炼实践能力.教师提出问题，学生先独立思考，解答，然后再小组交

流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

教学活动7

巩固训练

1.如图，在。。中，若CDM8于点为直径，则下列结论不正确的是（C）

A.G俞B.於丽C.AM=OMD.CM=DM

2.已知O。的直径力8=10,弦CDLAB于点",0M=3,则CD=8.

3.在OO中，弦CDLAB于点M,AB为直径，若则。。的半径为

13.

4.00的半径为13cm/B,CD是。。的两条弦,力训CO,43=24cm,8=10cm,

求力内和C。之间的距离.

解:如图，过点。向AB,CD作垂线，垂足分别为忆N,连接OB,OD.

由垂径定理，可得BM=^AB=\2cmyDN=^CD=5cm.

又•••08=00=13cm,

在RtAOBMRtAODN中，

由勾股定理，得Ogl32-122=5cm,ON7132-52=]2cm.

:・AB和CD之间的距离MN=ON-OM=7cm或MN=OM+ON=\1cm.

►设计意图:进一步巩固本节课的内容，了解学习效果,让学生经历运用知识

解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.

教学活动8

课堂小结

垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦

所对的两条弧

垂直于弦垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并

的直径且平分弦所对的两条弧

简单计算通常添加半径做辅助线，构造直角三

角形，结合勾股定理进行计算或证明

设计意图:通过提问让学生回顾、总结、梳理本节课所学内容，使零散的知

识系统化，同时培养学生的语言表达能力.

随堂练习

课堂8分钟.

课后作业

1.教材第83页练习第2题.

板书设计

24.1.2垂直于弦的直径

T内容-「垂直至弦的直径电分弦，并且辛豆弦所好的两条弧；

'•_-**••....................................................................................................................../

福/：f平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对；

垂迎呼［的两条弧

径

定

:辅助线:两条辅助线:连半径,作弦心距

理

)、・---------------r-----------/

;构造直角三角形利用勾股定理计算或建立方程：

基本图形及.......................................一/

［变式图形J

教学反思

24.1.3弧、弦、圆心角

课时目标

1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角,发展学生空间想象能

力的核心素养.

2.通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力，培

养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空

间观念的核心素养.

3.掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能运用此关

系进行相关的证明和计算，培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力.

学习重点

掌握弦、弧、圆心角之间的关系,并能运用此关系进行相关的证明和计算.

学习难点

理解圆的旋转不变性和对定理推论的应用.

课时活动设计

教学酒动工

知识回顾

前面我们已经学习了圆的对称性,你能用自己的语言描述它吗？

教师提出问题，带领学生回顾已学知识，在此基础上追问：

圆是中心对称图形吗？

►设计意图:先回顾己学知识，在此基础上提出问题,引导学生思考新知识，建

立起新旧知识之间的联系.

教学适动工

探究新知

教师提问:剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180。,所得的图形与原图形重合

吗？由此你能得到什么结论?并让学生拿出事先准备好的圆形纸片，动手操作、观

察，最后教师PPT动态展示.

追问1:把圆绕圆心旋转任意一个角度呢?

教师在上一问题的基础上追问，仍然让学生先动手操作，观察，然后教师任选

几个角度（如30。,60。,120。,210。等）进行PPT动态展示.

追问2:通过上面的观察，你能得到什么结论呢？

老师引导学生得出结论:圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.不仅如

此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合.

►设计意图:让学生通过动手实践来感受圆的中心对称性，引导学生来归纳出

圆是中心对称图形，培养学生的观察能力与语言组织能力.

教狰动也

探究新知

观察下面几个角的顶点，有什么共同特征？

教师总结圆心角的概念:我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.

思考

在。O中，当圆心角乙403=乙4。夕时，它们所对的弧靠和矛1,弦AB和4"相

等吗?为什么？

教师提出问题，并展示PPT,让学生观察和4T。夕重合的过程，进一步让

学生观察这两个角所对的弦、弧是否重合,最终得出结论，并引导学生用自己的语

言总结.教师汇总并补充:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦

也相等.

追问:在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它所对的圆心角,所对的弦是否

也相等呢？

教师在上述基础上追问,先让学生仿照前面的思路自主探究，最终教师展示相

关过程及结论.

AB=A^

J

AB=A'B'

乙4OB=WOB'

在同圆或等圆中，如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相

等.

教师引导学生用语言总结结论：

AB=AB

0

乙4OB=LTOB，

AB=A^

在同圆或等圆中，如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧

和劣弧分别相等.

追问1:“在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等「可否

把“在同圆或等圆中”去掉？

经过思考发现:去掉同圆或等圆，那就会想到半径不同的圆，在不同半径的圆

中,以同心圆为例，容易看出结论.

追问2:同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则

它们所对应的其余各组量有什么关系？

经过思考发现:其余各组量都相等.

►设计意图:通过观察，使学生对圆的旋转不变性的认识从感性上升到理性.

理解弧、弦、圆心角之间的关系培养学生的观察发现能力及对概念的理解能力.

教学酒钢

典例精讲

例1已知AB是。O的直径，命=曲=5?/。。。=35。,求々OE的度数

D

解:•・•安=而=//COQ=35。

♦乙BOC=^COD=cDOE=350.

••.4OE=1800-3x350=75。.

例2如图，在O。中，薪=薪，乙4c8=60。求证:乙4。8=48。。=乙40C.

证明:•.・标=寂,是等腰三角形.

又UCB=6G0,.・&BC是等边三角形/B=BC=C4.

山OB=BOC=，40c.

►设计意图:通过例题讲解，巩固本节课所学知识,培养学生解决问题的能力,

发展应用意识，锻炼实践能力.

教学适运

巩固训练

1.下列各角中，是圆心角的是（D）

2.如图，在。。中：

(1)若400NBOC,8c=5,则AC=5;

(2)若CC=3C/3OC=70。.则乙40。=70。.

第2题图

第3题图

3.如图，在OO中,0=标/。=75。,求々I的度数.

解:•••0=标，

：.AB=AC4ABC是等腰三角形.

又・・・乙。=75。,・・・乙8=匕。=75。.

・・4=180。9+4。=30。.

4.如图，在。。中，弦AC,BD相交于点P,且48=。。,求证XC=8D

解:••检

又•.•蔡=第+露前命+获，

:&益.：,AC=BD.

►设计意图:进一步巩固本节课的内容，了解学习效果,让学生经历运用知识

解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.

教学活动6

课堂小结

圆的旋转对称性

圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心

►设计意图:通过提问让学生回顾、总结、梳理本节课所学内容，使零散的知

识系统化，同时培养学生的语言表达能力.

随堂练习_

课堂8分钟.

课后隹町

1.教材第85页练习第2题.

板书设计

24.1.3弧、弦、圆心角

1.圆的旋转对称性:圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.

2.圆心角:顶点在圆心的角.

3.在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所

对应的其余各组量也都分别相等.

在O。中,若①乙以圆心角相等）；

②薪=画弧相等）；*B，

③力8=4弦相等）.f\/\

嚼鎏（知推二）

教学反思

24.1.4圆周角

第1课时圆周角定理及其推论

课时目标

1.了解圆周角的概念，发展学生抽象思维能力的核心素养.

2.通过猜想验证理解圆周角的定理，培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力

以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养.

3.理解圆周角定理的推论,并灵活运用圆周角定理及其推论解决一些实际问

题，培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力.

学习重点

圆周角的概念、圆周角的定理及推论、圆周角的定理的推导及运用它们解题.

学习难点

运用数学分类思想证明圆周珀的定理.

课时活动设计

教学活动1

情境引入

足球赛前训练，训练场上的球门前划了一个圆圈如图，两名球员分别在CQ两

处,他们争论不休，都说自己的射门位置好.如果你是主教练，仅从射门角度考虑，射

门角度越大越好.那么他们谁的射门位置好？

►设计意图:足球运动与学生的日常经验紧密相连，有效地唤起了他们对知识

的好奇和探索的欲望.为接下来的学习活动奠定了良好的基础.此外，清晰地同学

生阐述本节课的学习目标,有助于他们有目的地参与课堂活动，从而提高学习效率

和成效.

教学活动2

新知讲解

1.通过两个基本图形的对比，类比圆心角的定义，共同归纳出圆周角的概念.

如图中的乙4C8,它的顶点在圆上，并且两边都与圆相交,我们把这样的角叫做

圆周角.

2.概念教学设置了辨析巩固.

如下图，图中哪个角是圆周角.

(1)(2)(3)(4)

3.得出口诀：

顶点圆上，两边交圆.

►设计意图:对比学习的目的在于加强知识之间的联系,对比学习使得概念理

解更加容易，为圆周角定理的学习奠定基础.

教学适初©

新知探究

类比圆心角,探知圆周角.

利用手中圆形纸板,使得圆周角484C的顶点力在优弧历1C上运动，你会发现

圆周角N8/C与圆心。有几种位置关系？

①请你分别在。。中画出一个圆周角.

要求:体现圆周角和圆心的三种位置关系.

②请你在。。中分别画出同弧所对的圆心角.

思考:你发现同弧所对的圆周角与圆心角有怎样的大小关系吗？

1.教师引导学生，采用小组合作的学习方式，前后四人一组，分组操作.教师巡

视与指导学生活动.

2.学生把发现的结论画在任务书」:，体现出圆周角与圆心的三种位置关系.

3.学生进行小组活动的展示，派选3名代表,2名学生展示操作过程』名学生板

演画图过程，让全体学生有一个直观的认识.

4.学生在原有图形基础上，分别画出同弧所对的圆心角.

5.教师引导学生利用度量工具动手实践，进行度量，发现结论.

6.学生按照要求进行画图，测量角度，总结发现的规律.

7.教师再利用几何画板从动态的角度进行演示,拖动一个点来改变弧的大小

即改变圆心角的大小，来验证学生发现的结论.让学生观察同弧所对的圆周角与圆

心角之间的大小关系.

►设计意图:通过实践活动,使学生主动参与到课堂探究的过程.小组合作之

后进行活动展示吊的让学生对圆周角与圆心的位置有一个直观的认识，为下面探

索圆周角与圆心角的关系埋下伏笔，从而为有效的突破教学难点奠定基础.

教学活动4

验证猜想

已知:在O。中，弧BC所对的圆周角是乙BAC,所对的圆心角是乙BOC

求证乙80c

第一种情况:圆心在圆周角一边上；

第二种情况:圆心在圆周角内部;

D

图2

第三种情况:圆心在圆周向外部

证明:第一种情况:当圆心在圆周角一边上时，如图1.

•：OA=OC,,••乙A=4C.又^••乙BOC=乙4+乙C,••,乙AT乙BOC.

第二种情况:当圆心在圆周角内部时，如图2.

•；OA=OB=OC,：•乙BAO=&BO,乙OAC=^OCA.

:,乙BOC=£BOD+乙C0D=2乙BAD+2乙0AC=2乙BAC.

，乙BAC=^乙BOC.

第三种情况:当圆心在圆周角外部时，如图3.

•：OA=OC、OA=OBQLOAC=£OCA,LOBA=LOAB.

・♦•乙BOC=cDOC-2D0B=2乙0AC-2乙0AB=2乙BAC.

“BA片乙BOC

教师引导学生总结出圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角

的一半.

►设计意图:通过师生合作和生生合作，让学生学会运用分类讨论的数学思想、

转化的数学思想来研究问题.伴随着高涨的学习氛围,由小组代表进行展示反馈，

说明思路与想法.引导学生学会发现问题、提出问题、分析问题,并能解决问题.让

学生对所发现的结论进行证明,培养学生严谨的治学态度.

教学酒动刍

巩固训练

1.如图，点A,B,C在。。上.若484。=24。.则48。.

第1题图

B

c.

第2题图

2.如图,。。中，弦AB,CD相交于点R若一^=30。,4^^。=70。,则N8=U.

>设计意图:进一步巩固圆周角定理.

教学网6

为了做到理解定理，知识整合，我们进行了深入的思考：

思考1：在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等，它们所对的弧相等吗?反之，同

弧或等弧所对的圆周角相等吗？

思考2:把“在同圆或等圆中”去掉，如果两个圆周角相等，它们所对的弧还相等

吗？

思考3:如图，己知AB是O。的宜径，那么48c4为多少度？

思考4:90。的圆周角所对的弦是什么？

►设计意图:通过以上几个问题的层层深入，考查学生对定理的理解和应用,

并将本节课的知识和所学过的内容紧密结合起来，使学生能够很好地进行知识的

迁移，加深对本节知识的理解，最终得出圆周角定理的两个推理:(1)同弧或等弧所

对的圆周角相等;(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90。的圆周角所对的弦是直

径.

教空酒动工

巩固训练

1.如图，点力/。在O。上，若乙4=60。,则的度数为120。.

A

第2题图

2.如图4sp是半径为2的OO上的三点，乙4P8=45。,则弦如？的长为

2/_.

3AABC内接于。O,/C是OO的直径,乙化8=50。,点D是34c上一点，则

Z.D=40°.

第4题图

4.如图，在。。中,zJC8=50。,点D是O。上一点如"408=50。或130。.

►设计意图:在教学活动中,通过设计一系列句题，我们能够有效地指导学生

逐步深入理解和应用数学定理.首先，前三个问题侧重于定理的直接和间接应用,

帮助学生巩固和运用新学的概念.其次，第四个问题则旨在加深学生对定理的理解,

促使他们不仅仅停留在表面的应用层面，而是能够深入探究其背后的原理.此外,

练习题的设计遵循了学生的认知发展规律，从简单到复杂，循序渐进，确保学生能

够及时获得反馈,了解自己对知识的掌握情况，从而促进知识的消化吸收.通过这

样的教学策略，学生能够更好地理解和运用数学定理，提高解决问题的能力.

教学飒8

1.小结:通过本节课的学习你有哪些收获？

2.课后延伸：

通过本节课的学习我们都知道:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相

等.

将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论还成立吗？

。设计意图：1.引导学生从知识、方法、数学思想等方面进行总结，优化认知

结构,完善知识体系，使得知识方法结构化,充分发挥学生的主体作用.

2.最后作为课后的一个延伸，设计了一个学生容易犯错的问题，即将“同弧或等

弧''改为同弦或等弦''所对的圆周角还相等吗?为了做到对定理的真正理解，加强思

维的变式训练，提高分析解决问题的能力，做到触类旁通.

随堂练工

课堂8分钟.

课后作业

1.教材第88页练习第3题.

板书设计

第1课时圆周角定理及其推论

1.概念:顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

2.定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

3.圆周角定理的两个重要推论：

同弧或等弧所充的圆周角相等.

半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90。的圆周角所对的弦是直径.

教学反思

第2课时圆内接四边形

课时目标

1.了解圆内接多边形及多边形的外接圆的定义,发展学生抽象思维能力的核

心素养.

2.掌握圆内接多边形的性质的证明方法及应用，培养学生观察、操作、归纳、

猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养.

3.通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，激发学生的学习兴趣.在师生之

间、生生之间的合作交流中进一步树立合作意识,培养合作能力，体验学习的快乐.

学习重点

理解圆内接四边形的性质并能熟练运用圆周角定理及推论进行有关的计算

和证明.

学习难点

快速识别出一个四边形是否是圆内接四边形并正确应用.

课时活动设计

教学清动工

回顾引入

师:上节课我们学了圆周角相关知识，你们还记得圆周角相关知识吗？

►设计意图:教师通过回顾圆周角相关知识，从而引出本节课所学内容.

教学活动2

探究新知

师:如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形,

这个圆叫做多边形的外接圆.

师:圆内接四边形的四个角之间有什么关系?我们分两个情况加以证明.

情况一情况二

圆心在内接四边形对角线上圆心不在内接四边形对角线上

生:情况一

证明:•••班）是。。的直径,

•••乙。=90。,乙4=90°.

.•.2》与NC互补.

•••四边形内角和为360。，

.••乙①。与乙4QC互补.

生:情况二

证明:连接OB和OD.

山所对的弧为励