三角形的中位线（基础达标4大题型+能力提升+拓展培优）-冀教版八年级数学下册【含答案】

21.4三角形的中位线

题型一三角形中位线相关的线段计算

相关的线段计算

（25-26八年级下•河北唐山•期中）

1.如图，在口/8。中，AD=6f七为力。上一动点，M,N分别为BE,Cf的中

点，则MV的长为（）

（2026•河北石家庄•一模）

2.如图，在平行四边形中，对角线4C,8。交于点。，AC上/1B,点、E,F

分别为4C,CQ的中点,，连接花，OF,若花=6,则。〃=（）

（2023•河北石家庄•三模）

3.现有一四边形48CQ,借助此四边形作平行四边形EFG”,两位同学提供了如

下方案，对于方案I、H,下列说法正确的是（）

试卷第1页，共12页

方案II：

AB,BC,CD,月。的垂直平分线4,

I四边形力灰?。各顶点分别作/G3。的

bb3分别交BC,CD,力。于

平行线ERGII,f〃，〜，这四条平行

点、E,F,G,H,顺次连接这四点围成线围成的四边形月用汨即为所求.

的四边形铲G〃即为所求.

A.I可行、II不可行B.I不可行、n可行

C.I、II都可行D.I、II都不可行

题型二三角形中位线相关的面积和周长计算

（20-21八年级上•重庆渝中•开学考试）

4.如图，在ZU4C中，D,£分别是边BC,48的中点.若ZUBC的面积等于8,

则△8OE的面积等于（）

A.2B.3C.4D.5

（24-25八年级下•河北石家庄•期末）

5.若三角形三边的长分别为5,9,10,则连接各边中点所构成的三角形的周长

为（）

A.6B.11C.12D.24

（24-25八年级下•河北邯郸•期末）

6.如图，△44G的周长为1,点4,当，a分别是边qc1,即7力百的中点;

点4，员，G分别是边82c2，4c2，4员的中点;...；依此类推,则“202$820202025

试卷第2页，共12页

的周长是（）

11

C.22025D.22026

题型三利用三角形中位线定理的相关证明

（2024•河北邯郸•模拟预测）

7.如图，是△480（8。aAC）的中位线,作力。的垂直平分线与力。交于点八

连接上夕，则四边形（力射的形状一定是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

（24-25八年级下•河北保定•期中）

8.如图，在△力中，D,E分别是力4,4C的中点，甲、乙两名同学分别作了

一种辅助线，其中辅助线作法能证明三角形的中位线定理的是（）

甲乙

如图，延长。石到点八使石尸=。石,如图，过点七作GEIM8,过点力作

连接CQ,AF,CF.AF〃BC,GE与4F交于点、F.

立

BC

A.甲、乙的辅助线作法都可以B.甲、乙的辅助线作法都不可以

试卷第3页，共12页

C.甲的辅助线作法可以，乙的不可以D.乙的辅助线作法可以，甲的不可以

（2025•河北石家庄•二模）

9.八年级下学期数学课本有这样一道题“如图，48CQ的对角线人。，相交

于点O,且E,F,G,〃分别是/O,BO,CO,。。的中点.求证：四边形MG”

是平行四边形以下是嘉嘉和淇淇两人不同的做法，下列判断正确的是（）

证明：•.•四边形在。。是平行四边形，

:.0A—0C,OB=0D,

嘉•・•£,F,G,〃分别是力。，BO,CO,。。的中点，

嘉:.OE=-OA,OG=-OC,OF=-OBOH=-OD

222r2f

:.0E=0G,0F=0H,

••・四边形EFG，是平行四边形.

证明：•.•四边形初CO是平行四边形，

AB//CDtAB=CD,

淇・：E,F,G,〃分别是4。，BO,CO,。。的中点，

:.EF//AB,EF=^AB,GH//CDGH=*D，

淇t

EF//GH,EF=GH,

••・四边形EFG"是平行四边形.

A.都正确B.都不正确C.只有嘉嘉的正确D.只有淇淇的正确

题型四三角形中位线定理的应用

（25-26八年级下•河北保定•期中）

10.如图，小乐为测量自家池塘边上43两点间的距离，在池塘的一侧选取一

点。，记0408的中点分别为点。，E,测得OE=17米，则4,8间的距离是

（）

试卷第4页，共12页

B

A.18米B.24米C.34米D.36米

11.如图是人字梯及其侧面示意图，曲，力。为支撑架，DE为拉杆,D,E分

别是相，力。的中点，若。E=40cm,则3,C两点的距离为（）

12.图1是三角形空地，计划用栅栏分成两部分种植不同的植物如图2,则栅栏

AB的长度是（）

13.如图，43两地被池塘隔开，小明先在48外选一点C,然后测出力C,BC

的中点/，N,若"V的长为10米，则4,B间的距离是（）

试卷第5页，共12页

（2025八年级下•全国•专题练习）

15.如图所示，在四边形力8c。中，AD=BC,E,F,G分别是48、CD、4C的中

点，若ND4C=20。，N.4C8=66。，则/五/7的度数为（）

16.如图，施工队打算测量力，3两地之间的距离，但力，5两地之间有一个池

塘，于是施工队在。处取点，连接AC,BC,测量AC,8c的中点E,尸之间的

距离是50m,则两地之间距离为（）

A.50mB.80mC.100mD.120m

17.顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（）

A.矩形B.菱形C.平行四边形D.正方形

试卷第6页，共12页

18.如图，点。是“8C内一点，且8D1CD,连接4）.若点E、F、G、，分别

为线段相、4C、C。、8D的中点，且力。=13,CQ=6,BD=8,则图中阴影部分

的周长为（）

（23-24八年级下•河北廊坊•期中）

19.如图，四边形形CO中，4=90。，AB=\2f/0=5,点区N分别为线段

BC、初上的点（含端点，但点M不与点3重合），点七、E分别为DM、MN的

中点，则所长度的可能为（）

（2024•河北石家庄•二模）

20.如图，将△/出C放置在一条数轴上，ACt4C的中点。，£均落在数轴上,

且点。，E在数轴上的位置如图所示，则44的长为（）

21.如图，E/是△相（；的中位线，按以下步骤作图：①以点8为圆心，小于“

的长为半径画弧，分别交历1，4c于点M,N；②分别以点M,N为圆心，大于沙口丫

的长为半径画弧，两弧相交于点P;③作射线助交反于点D若

试卷第7页，共12页

AE=2.DF=\t则4C的长为（）

22.如图，在平行四边形力8CQ中，点尸是3。边上的动点，连接力尸，DP,E是AD

的中点，尸是尸。的中点，点尸从〃点向C点的运动的过程中，EE的长度（）

A.保持不变B.逐渐增加

C.先增加再减小D.先减小再增加

23.如图，。月是以8。的中位线，若桃=4,则BC的长为

（22・23八年级下•河北廊力月考）

24.如图，在四边形46c。中，点。是对角线彳C的中点，点E,厂分别是48,CD

的中点.AD=BCfNFPE=128°,则NPEE的度数是_________.

25.如图，在中，E分别为48,4C的中点，点/在线段。七上，且

AFLBF.若｛8=4,BC=7f则E/的长为.

试卷第8页，共12页

A

⑵-24八年级下•河北雄安•期末)

26.如图，在四边形48CQ中，分别是力丛QC4C的中点.

(1)若BC=6cm,则FG=cm.

(2)若//C4=64。,/。/C=22。，则NEFG的度数为.

27.如图，在矩形初C。中，力8=4,力。=8,点£为边/8的中点，将线段"绕点

8旋转一定角度后得到线段"，连接W,点G为线段。b的中点，连接QG,则

线段QG长度的最大值为.

28.如图，在△力夕。中，。是中点.

(1)求作：力。的垂直平分线/(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹);

(2)若I交4c于点E,连接。£并延长至点R使跖=2。£,连接瓯CF.补全图

形，并证明四边形BCFE是平行四边形.

29.阅读与思考

问题情境：

试卷第9页，共12页

如图1,某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端4,8两点间

的距离.

可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪.

方法分析：

“圆周率''小组的操作过程如下：如图2,取能直接到达/和B的点C,量出4。

的长和N4C8的度数；作/C8M=4C8；在射线上找一点力，使8Q=ZC；

测出C。的长度，就可得到48两点间的距离.

“智慧”小组的操作过程如下：如图3,取能直接到达4和8的点C,连接4C,

BC；分别取力C,8c的中点。，£，测出QE的长度，乘以2就可得到4,B两

点间的距离.

说明：以上各点都在同一水平面内.

（1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量。的长度得到4〃两点间的距离，

依据是“智慧”小组通过测量。月的长度乘以2,就可得到48两点间的距离,

依据是

迁移应用：

（2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求：

①在图1中画出可操作的方案图；

②简要说明你的操作步骤；

③测量方案中，得到儿B两点间的距离的主要依据是

30.如图，在RtZ\48C中，Z5JC=90°,。是边4。上一点，连接8。，E,尸分别

为BC,8。的中点，连接"，EF,DE.有下列条件：

①/C=3/。，②ZAFD=NEDF.

试卷第10页，共12页

（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是平行四边形；

⑵在（1）的结论下，若CD=DE,48=15,求EF的长.

31.我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿着边的中点翻折，

还会发现新的结论.

【实践探究】

（1）在口48CO中，点七为AC的中点，△川必沿着力后向上折叠，点月落在b处,

连接C厂并延长交力。于点G.判断四边形北CG的形状，并说明理由；

【拓展应用】

（2）连接"，兴趣小组发现/广若NZ）=60。，8C=4,求CG的长.

32.如图，口4BCD中,AB=2tZC=2ZD.E,"分别是HC,C。上的动点（不

含端点），G〃分别是力尸，E尸的中点.则G”的最小值为（）

A.*B.且C.1D.V2

33.如图，在四边形/必CQ中，/C和8。相交于点O,AO=COtABCA=ACAD,

E、F、G分别是80、C。、力。的中点，连接£八GE、GF,BD=2AB,

试卷第11页，共12页

BC=T5,JC=16,则"PG的周长为（）

C.28D.30

试卷第12页，共12页

1.B

【分析】先根据平行四边形的性质可得BC=4O=6,再证明MN是ABCE的中位线，可得

MN.BC即可得出结果.

【详解】解：在平行四边形。"CO中，BC=AD=6,

•••M，N分别为BE,CE的中点，

MN是&BCE的中位线，

:.MN=LBC=3.

2

2.C

【分析】根据斜边上的中线以及三角形的中位线定理，进行求解即可.

【详解】解：••Yd8,点E为6C的中点，

：.AE=-BC,

2

•••在平行四边形川?CO中，对角线力C8。交于点。，

OB=0D,

•.•点尸为CQ的中点，

：.OF=，BC,

2

OF=AE=6.

3.C

【分析】本题考查平行四边形的判定，三角形的中位线定理.熟练掌握平行四边形的判定方

法是解题的关键.

方案【，利用三角形的中位线定理，即可得出结论；

方案H,利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可得出结论.

【详解】解：方案I：连接力C，BD,

BC,CD的垂直平分线4,L，分别交

AB,BC,CD,AD于点、E,F,G,〃，

:.E,尸，（J,H分别为/IB,BC,CD,力。的中点,

答案第1页，共20页

/.EH||BD,FG||BD,EF\\AC,HG^AC,

EH||FG,EF||HG,

••・四边形是平行四边形；

方案比由题意，得：EH\\BD\\FG,EF\\AC\\HG,

••・四边形EEG”是平行四边形；

「•方案I、H都可行，

故选C.

4.A

【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的面积计算，正确的识别图形是解题的关键.

根据三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】解：由题意可得：S“皿=gs“8c=4,

•••E是43的中点,

「•S’BDE=gS“g=gx4=2,

故选：A.

5.C

【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三

边的一半是解题的关键.根据三角形中位线定理分别求出连接各边中点所围成的三角形的三

边，然后求和即可.

【详解】解：•••三角形三边的长分别为5,9,10,

.•・根据三角形的中位线定理，得连接各边中点所围成的三角形的三边分别是y=5,

乙乙J

・•.它的周长5河9+5=12.

故选：C.

6.A

【分析】本题考查了三角形中位线定理、图形类规律探索，由三角形中位线定理得出△44G

的周长是击，即可得出答案.

【详解】解：•••△44G的周长是1，

,4G++81G=1

答案第2页，共20页

•.•点次，与，g,分别是边4C，44的中点，

/.B2C2=g81G、4G=g4G、4B]=；A[B],

•••△FC的周长=38£+；4G+；44=；,

同理可得：△4&G的周长为:

•・・,

以此类推，可知△%,纥C,的周氏是击，

••△4025B2025C202s的周长是22025-1=22024，

故选：A.

7.A

【分析】本题考杳了二角影中位线定理，平行四功形的判定：

根据三角形中位线定理可得。E〃/C,DE=\AC,由已知可得/C=2/C,然后根据平

22

行四边形的判定定理得出结论.

【详解】解：••・OK是△48C（8C工4。）的中位线，

:.DE//AC,DE=-AC,

2

•:AC的垂直平分线与4C交于点F,

:.FC=-AC,

2

:.DE=FC,

.••四边形。跖是平行四边形，

故选：A.

8.A

【分析】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和

性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键.根据平行四边形的判定定理，用两种方法

都可以证明三角形中位线定理，得到答案.

【详解】解：甲的作法：；/£=£C,Q£=£7"

.•・四边形4XT为平行四边形，

：.AD=CF,AD//CF.

答案第3页，共20页

•:AD=DB,

:.DB=CF,

••・四边形Q8C下为平行四边形，

:.BC=DF,BC//DF

•：DE=-DF,

2

：.DE=gBC,DE//BC,能够用来证明三角形中位线定理；

乙的作法：「GE”48,力尸〃8C,

•••四边形48G/为平行四边形，

:.AB=FG,AF=BG,

•••。，E分别是力。的中点，

：.AD=DB=-AB,AE=CE=-AC,

22

•••AF〃BC,

."AFE=NCGE,

在△力E尸和ACEG中，

ZAFE=ZCGE

-4AEF=NCEG,

AE=CE

.­.△JZTF^AC£G(AAS),

:.所=①，GE=EF=-FG,

乙o

:.BG=GC,BD=GE,

四边形DBGE为平行四边形，

:.DE=BG,DE〃BG,

:.DE=；BC,能够用来记明三角形中位线定理，

故选：A.

9.A

【分析】嘉嘉：根据平行四边形的性质得。4=OC,OB=OD,根据中点的定义得

OE=-OA,OG=-OC,OF=-OB,OH=-OD,继而得到OE=OG,OF=OH,即

2222

可得证；

答案第4页，共20页

淇洪：根据平行四边形的性质得力4〃C。，AB=CD,根据三角形中位线定理得"〃月8,

EF=^AB,GH//CD,GH=；CD,继而得到E/〃G〃，EF=GH,即可得证；

【详解】解：嘉嘉和淇淇的做法都是正确的.

故选：A.

【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，中点的定义，三角形中位线定理等知识点，掌

握平行四边形的判定和性质是解题的关键.

1().C

【分析】根据三角形的中位线定理作答即可.

【详解】解：如图，连接48,

•・•。4。8的中点分别为点D,£,

DE是4OAB的中位线，

•:DE=\1米,

.•.,48=2。石=34米.

11.D

【分析】本题主要考查了三角形中位线的实际应用，等式的性质2等知识点，熟练掌握三角

形的中位线定理是解题的关键.

利用三角形的中位线定理即可直接得出答案.

【详解】解：•")，E分别是力4,4C的中点，

:.DE=-BC

2t

BC=2DE=2x40cm=80cm,

故选：D.

12.A

【分析】如图，由图可知由C8=3=!cE,可知8是。上的中点，AB是ACDE

答案第5页，共20页

的中位线，根据=计算求解即可.

【详解】解:如图，

由图可知48〃DE

-CB=3=-CE

2

是Cf的中点

・••44是ACQE的中位线

AB=—DE=2m

2

故选A.

【点睛】本题考查了中位线的性质.解题的关键在于熟练掌握中位线的性质.

13.B

【分析】本题考杳了三角形中位线定理的应用；由中位线定理得/8=2MN=20,即求解.

【详解】解：•••/G〃。的中点分别为M，N,且A/N的长为10米，

.•.MN是△45C的中位线，

.,./4=2MN=20米；

故选：B.

14.B

【分析】已知。石是△/IBC的中位线，BC=8,根据中位线定理即可求得OE的长.

【详解】解：•••/)£是△力8C的中位线，BC=8,

?.D£'=-5C=-x8=4.

22

故选：B.

【点睛】本题考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一

半.掌握三角形中位线定理是解题的关键.

15.B

【分析】本题考查的是二角形中位线定埋、等腰二角形的性质以及二角形内角和定埋.根据

答案第6页，共20页

三角形中位线定理得到“〃力。，FG=；AD,EG//BC,EG=；BC,根据等腰三角形的

性质、三角形内角和定理计算即可.

【详解】解：vE,F,G分别是力8CD,力C的中点，

.•.G/是△力的中位线，GE是的中位线，

:.FG〃AD,FG《AD,EG〃BC,EG=；BC,

又•••AD=BC,

:・GF=GE,ZFGC=ZZ)/1C=20o,NAGE=NACB=66。,

:"FGE=/FGC+NEGC=20°+(l80°-66°)=134°,

:"FEG=1(180°-AFGE)=23°,

故选：B.

16.C

【分析】根据三角形中位线定理解答即可.

【详解】解：点£/分别为4C,8c的中点，

.•.所是的中位线，

AB=2EF=100m.

故选：C.

【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的•半是解题的关

键.

17.C

【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定.如图，根据三角形的中位线得

出E尸〃,EF=HG,进而得证平行四边形.

【详解】解：如图，四边形力4。。中，E、F、G、〃分别是48、BC、CD、。力的中点，

答案第7页，共20页

同理“G〃4C,HG=-AC,

2

EF//HG,EF=HG,

.•・四边形48co是平行四力形，

故选：C.

18.A

【分析】本题考查的是三角形中位线定理，勾股定理，熟记三角形中位线等于第三边的•半

是解题的关键.根据勾股定理求出"C,再根据三角形中位线定理解答即可.

【详解】解：V5D1CD,

/.Z5Z)C=90°,

由勾股定理得：5C=VCD!+5D:=782+62=10,

•.•点分别为线段力以的中点，

EF,FG、GH,EH分另i］为dABC^ADCqBDCqABD的中位线，

.•.EF=-BC=5,FG=-AD=—,GH=-BC=5,EH=-AD=—t

222222

••・阴影部分的周长为：£F4-FG+G//+E//=5+y+5+y=23,

故选：A.

19.B

【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，根据三角形的中位线定理得出

EF*DN,从而可知QN最大时，EF最大,因为N与〃重合时。N最大，N与力重合时,

ON最小，从而求得E”的最大值为6.5,最小值是2.5,从而可解答.

【详解】解：连接ON,

答案第8页，共20页

c

•・•点£、/分别为QM、MV的中点，

:.EF=、DN,

2

••・。、最大时，EF最大,ON最小时，EF最小,

•.W与8重合时ON最大，

此时DN=DB=yjAD2+AB2=A/F+TF=13，

・•.£/的最大值为6.5.

vZJ=90°,AD=5,

:.DNN5,

.-.EF>2.5,

・•・£/长度的可能为5.6；

故选：B.

20.D

【分析】本题考查三角形的中位线定理，数轴.上两点间的距离，先根据数轴上两点间的距离

得到。E长，然后利用中位线定理解题即可.

【详解】解：由题可知。/=2-(-3)=5,

XvJC,8C的中点。，E均落在数轴上，

石是△48c的中位线，

.-.JJ9=2DE=2X5=10,

故选D.

21.A

【分析】本题考查三角形中位线的性质，角平分线的作法，三角形中等角对等边，由作图步

骤可知8。平分/48C,由中位线的性质可得防〃8C,EF=；BC,AE=BE=2,进而

可得N4BD=/EDB,由等角对等边可得=£8=2,进而计算出以"即可求解.

【详解】解：由作图步骤可知平分N/IHC,

答案第9页，共2()页

/.ZABD=NCBD,

./E/7是△4的中位线，AE=2,

EF//BC,EF=-BCtAE=BE=2,

2

NEDB=NCBD,

/ABD=NEDB,

ED=EB=2,

EF=ED+DF=2+\=3,

BC=2EF=6,

故选A.

22.D

【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质，解题关键是掌握中位线定

理.先根据中位线定理得出七少二（力尸，再由此判断.

【详解】解：••・£是力。的中点，尸是g＞的中点，

:.EF=-AP,

2

•••在平行四边形力AC。中，AD\\BC,

・•・点P从B点向C点的运动的过程中，AP的值先减小再增加，

・•.E"的值先减小再增加.

故选：D.

23.8

【分析】本题考查了三角形中位线定理，掌握定理内容是解题的关键.

根据三角形中位线定理得到4C=2QE,计算即可.

【详解】解：是"8C的中位线，DE=4,

••.6C=2OE=2x4=8.

故答案为：8.

24.26。##26度

【分析】根据中位线定理得尸产=34。，PE=^BC,结合已知证明△/产b是等腰三角形，从

而可得答案.

【详解】解：•.・在四边形18C。中，点P是对角线4C的中点，点尸分别是48,8的

答案第10页，共20页

中点，

:.PF,尸£分别是△力。与△力4c的中位线，

PF=-ADPE=-BC,

2t2

•••AD=BCf

:.PF=PE,

故△石尸尸是等腰三角形，

•;NFPE=128°,

"PFE=4PEF=1(180°-128°)=26°.

故答案为：26°.

【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第

三边，并且等于笫三边的一半是解题的关键.

25-1

【分析】本题考查了中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识.熟练掌握中位

线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键.

17

由。，E分别为力8,4C的中点，可得。£=580=5,由力b_1.4/，。为44的中点，可

得=,48=2,根据£尸=。£—。求解作答即可.

2

【详解】解：E分别为力以力。的中点，

17

:.DE=-BC=—,

22

•••AF1.BF,D为川9的中点，

:.DF=—AB=2,

2

3

:.EF=DE-DF=~,

2

3

故答案为：

26.321。##21度

【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三比形的性质：

(1)根据三角形的中位线定理，即可求解；

(2)根据三角形的中位线定理可得FG〃40,EG〃8C,FG=；AD,EG=；BC,从而得

答案第11页，共2()页

到N〃GE=N『GC+NCG£=138。，再由bG=EG,即可求解.

【详解】解：(1)「EG分别是C24C的中点，

:.FG=-AD,

2

,:AD=BC=6cm,

:.FG=3cm；

故答案为：3

(2)•.•瓦尸,6分别是力用。。，4C的中点，

:.FG〃AD、EG〃BC,FG=-AD,EG=-BC

22f

:.ZACB+NCGE=180°,ZDAC=ZFGC=22°,

•••ZACB=64°,

.­.ZCGF=116°,

：.4FGE=NFGC+Z.CGE=138。，

•:FG=、AD,EG=>BC,AD=BC,

22

FG=EG,

故答案为：21°

27.40+1

【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，掌握相关性质是解题

的关键.

取8c的中点〃，连接GH,根据中点可得8E=2,之后根据旋转得到，

BF=BE=2,由于G、〃分别为6、4c的中点得到尸=1,于是在直角△OCH中

根据勾股定理得到。〃=4、6，即可得到答案.

【详解】解：取8C的中点〃，连接GH,如图

答案第12页，共20页

:,BE=2,

•••将线段RE绕点B旋转一定角度后得到线段BF,

BF=BE=2.

•••G、H分别为CF、8。的中点，

:.GH=-BF=\

2i

在直角AQC〃中，DC=4,CH=3BC=4,

DH=地，

又DG<DH+HG,

当点。、H、G三点共线时，DG取得最大值，最大值为4亚+1.

故答案为：472+1.

28.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定.

(1)利用尺规作图作出线段力。的垂直平分线/即可：

(2)由。，E分别为48,4c的中点，根据中位线的性质，得到DE〃BC,DE=；BC,

结合EF=2DE,得到E尸=8C,即可证明结论成立.

【详解】(1)解：直线/如图所示，

,---------

证明：补全图形，如图

由(1)作图知，E为AC的中点,

•:D,E分别为48,ZC的中点,

答案第13页，共2()页

DE//BCDE=、BC,

t2

vEF=2DE,即：DE=-EF

4ct

：.EF=BC,

•:EF"BC,

••・四边形BCFE是平行四边形.

29.(1)平行四边形对边相等：三角形的中位线等于第三边的一半；(2)①作图见解析：②

步骤见解析：③全等三角形对应边相等

【分析】(1)根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可；

(2)构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可.

【详解】解：(1)“圆周率”小组:.：ZCBM=4ACB,

：.AC//BDt

♦:AC=BD,

••・四边形/为平行四边形，

AB=CD,

•••“圆周率”小组通过测量CQ的长度得到44两点间的距离，依据是平行四边形对边相等；

“智慧”小组：•:D,E分别为4C,8c的中点，

二。七为△IB。的中位线，

：.DE=-AB,

2

•••“智慧''小组通过测量OE的长度乘以2,就可得到儿B两点间的距离，依据是三角形的中

位线等于第三边的一半；

②先在平地上取一个可直接到达48的点C,再连接力C,并分别延长彳C至点DBC

至点E,使。C=4C,EC=BC,最后量出OE的距离就是力8的距离；

③在XDCE和4ACB中，

答案第14页，共2()页

DC=AC

ZDCE=NACB,

EC=BC

.•.△OCE丝“。8（SAS）,

:.DE=AB>

二得到A,B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全

等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质.

30.⑴见解析

（2）715

【分析1（1）选择①，首先得到E尸是△BCO的中位线，得到叮IICO,CD=2EF,然后

求出。。二24。，得到力。=石/，进而证明即可；

选择②，首先得到EF是ABCD的中位线，得到EF||CD,然后由NAFD=/EDF得DE//AF

到，进而证明即可；

（2）首先得到BD=2AF，由（1）知，四边形ADEF是平行四边形，CD=2AD,得至ljDE=AF,

AD=EF,然后得到4。=24尸=2。£=2。。=4力。，然后利用勾股定理求解即可.

【详解】（1）解：选择①，

证明：♦:E,产分别为BC,AQ的中点，

•••E”是△BCO的中位线，

•••SIC。，CD=2EF.

-AC=3AD,

.，.CD=2AD,

•••AD=EF»

AD//EF,

••・四边形/DE尸是平行四边形.

［一题多解］选择②，

证明：•:E,厂分别为8C,8。的中点，

.••EF是△8CO的中位线，

.-.EfWCD.

答案第15页，共20页

V£AFD=AEDF,

•••DE//AF,

••・四边形七尸是平行四边形；

（2）解：•./是加的中点，ZBAC=90°,

:.BD=2AF.

由（1）知，四边形4QE广是平行四边形，CD=24D,

DE=AF,AD=EF.

vCD=DE,

:.BD=2AF=2DE=2CD=4AD.

在Rt△45。中，AD2+A8?=BD2，WJD2+152=16JD2,

解得力。=而，

AEF=AD=>/\5.

【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质，勾股定理，直角三角

形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点.

31.（1）平行四边形，理由见解析；（2）76

【分析】（1）四边形48CD是平行四边形得到由翻折可证明0E是48/C的中

位线，则OE〃CG,即可证明；

（2）过点、E作EHLAB于点H,则4BC=NQ=60°,/EAB=g/FAB=45。,BE=2,

由N//EB=30。得至l]BH=gBE=1,则由勾股定理得£77=6,可得△£4〃为等腰直角三角

形，WJAE=y]EH1+AH2=>/6»继而CG=/E=J^.

【详解】解：（1）四边形4ECG是平行四边形，

理由如下：

•••四边形48C。是平行四边形，

二AD//BC,

•••点E为BC中点,

BE=CE,

由翻折得：BO=OF,

:・（JE是4BFC的中位线，

答案第16页，共20页

.'.OE//CG,U\iAE//CG,

•••四边形4ECG是平行四边形：

（2）过点E作£1〃_I_48于点〃,

•••四边形48CQ是平行四边形，

.-.ZJ5C=ZZ）=60o,

由翻折得：NH4E=NB4E,

•••AF±AB,

:.NE