专项复习提优（四）因式分解-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专项复习提优四因式分解

用时：120分钟总分:12（）分得分:

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.对于①x-3xy=x（1-3y）,②（x+3）（x-1）=x?+2x-3从左到右的变形，下列表述正确的是（）.

A.都是因式分解B.都是乘法运算

C.①是因式分解,②是乘法运算D.①是乘法运算,②是因式分解

2.若2/十如-6-（2L3）Q+2）,则a的值是（).

A.1B.-1C.6D.-6

3.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式x-l的是（）.

A.x2-1B.x2-x

C./一2什1D.(X+2)2-2(.V+2)+1

4.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）,再沿虚线剪开，如图（1）,然后拼成一个梯形，如

图⑵.根据这两个图形的面积关系，下列式子成立的是（）.

b

aaa

（1）（2）

（第4题）

A.a2-b2=（a+b）（a-b）B.（^a+b）2=a2+2ab+b2

C.（ab）~~a22ab162D.a2Z>）2

5.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）.

A.-a2+/>2B.-crC.a2+h^D.

6.马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式：/-=（。2+4）（。+2）口（小上）中的两个

数字盖住了，那么式子中的■,▲处对应的两个数字分别是（）.

A.64,8B.243C.16,2D.8,1

7.（2025・山西长治期末）我们定义L个整式能表示成力是整式）的形式则称这个整式为“完全式”例如：

因为M=*+2u+2产=&+4+/（x,y是整式）所以M为“完全式”.若S=f+4产8工+12>砧，y是整式K为常数）为“完

全式”，则k的值为（）.

A.23B.24C.25D.26

8.已知a,b,c分别是△ABC的三边长，若ac~bc=-a2+2ab~b2,510△ABC是（）.

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.不能确定

9.当m为自然数时,（4〃?+5）2-9一定能被下列数整除的是（）.

A.5B.6C.7D.8

10若如上交工的结果为整数，则整数n的值不可能是（）.

n

A.44B.55C.66D.77

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11.（2025•枣庄山亭区一模）在整式的学习中我们常常使用拼图的方法得出相应的等式，利用如图所示的拼图分解

12若三项式4/-2a+l加上一个凿项式后能用完全平方公式因式分解，请写出一个这样的单项式：

13计算：（-2）2O25-（-2）2O26=_.

14如图，长方形的长、宽分别为a,b,且a比b大3,面积为7,则/方一的值为.

15.（2024.淄博中考）若多项式-如产9产能用完全平方公式因式分解，则m的值是________.

16.（2025・四川成都期中）若关于x的多项式产旭.什2能够被多项式x-1整除,则常数a的值为.

17.（2025•江苏连云港海州区板浦实验中学月考）已知代数式/+/5的值是6,则代数式,必+"+7的值是_____

18设n是小于10（）的正整数且使5/+3/L5是15的倍数，则符合条件的所有正整数n的和是________

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19.（8分）把下列各式因式分解：

（1）2〃?（/〃一〃）2-8〃?2（〃一〃7）;（2）—8（nz—w）2/>+12（w-/z）2/）2—4（zzz-

(3)25(〃?+3)2-16;(4)(2〃计1)3-6(2〃?+1)2+9(2,W+1).

20（6分）利用因式分解简便计算：

（l）5652xll-4352xll；(2)20242+20252-4048X2025.

21（6分）（2025•山东潍坊高新区期末）分解因式及其应用.

（I潟整式产（4-。）+2），3-4）+。-/进行因式分解.

（2）如图，在半径为R的圆形钢板上，冲去四个半径为r的小圆当R=7.8cm,r=l.lcm时，利用因式分解的知识,

计算剩余部分的面积.（冗取3.14）

（第21题）

22（8分）已知甲、乙两家的菜地都是正方形，甲家菜地的周长比乙家菜地的周长长96m,且他们两家的菜地面

积相差960病,求甲、乙两家菜地的边长.

23.（8分）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式.

（1）求整式M,P;

（2痣整式P因式分解.

（第23题）

24（8分）（2025•福建漳州期末）“整体思想,，在数学中应用极为广泛.

例如：已知。2-2=-3“求2〃2+667的值.

解：0«2-2=-3/?,

匚。2+36=2.

L2a2+667=2（a2T38）-7=2x27=7.

请尝试应用''整体思想''解决以下问题：

⑴已知『-2厂3=0,求3『-6尹1的值；

（2）已知（2025-1>+（2025-2）2=65,求（2025k+1）（2025k-2）的值：

⑶若5"』3"（m,n都是整数）能被6整除，试说明：5""+3〃也能被6整除

25（1。分）（2025.扬州梅岭中学二模）［代数推理］代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、

等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论.

［发现问题1小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m,n,它们的乘积q(q=mn)与较大数的和一定为较

大数的平方.

(1泽例验证：当m=4,n=5厕小=4x5+5=25=52.

(2推理证明：小明同学做了如下的证明：

设m<n,m,n是连续的正整数，□〃=〃?+1.

匚9=〃〃?,口g+/?=〃?”+〃=/?(，〃+1)=”.

口十〃一定是正整数n的平方.

［类比猜想］小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方.

请你举例验证及推理证明；

［深入思考］若p=-/q+2n+v/q-2m(m,n为两个连续奇数，0Vm<n,q=mn),求证：p一定是偶数.

26(12分)(2025•福建漳州期中)在学习乘法公式Q士〃)2=标±2"+/的运用时，我们常利用完全平方公式求最大

值或最小值.例如：求代数式f+4x+5的最小值.总结出如下解答方法：

解：/+4x+5=x2+4x+4+1=(X+2)2+I,

匚(3+2)2却,匚当x=-2时,(x+2)2的值最小，最小值是0,D(J+2)2+1>1,C当x=-2时，(x+2)2+l的值最小，

最小值是I,口入2+4.计5的最小值是I.

根据阅读材料利用完全平方公式解决下列问题：

(1求代数式F+2X+2最小值；

(2)求代数式-F+6L4的最大值；

(3)当a,b为何值时，多项式/-2"+2川-2〃-46+27有最小值?并求出这个最小值.

1.c

2.A［解析］根据题意可知2r2+«r-6=(2r-3)(x4-2)=2r2+r-6,ri/z=1.

3.D［解析|・・・/-1=("1)(厂1),x2-x=x(x-1)y-2v+1=(x-1)2,(X+2)2-2(X+2)+1=(x+2-1)2=(x+1)2

・•・结果中不含有因式x.l的是选项D.故选D.

4.A［解析|题图(1)的阴影部分的面积为标一/,题图⑵的面积为Qb+2a)(a-b户2=(a+b)(a-b),所以(a2-b2=

(a+/»(aT».故选A.

5.A

6.C

7.C［解析1S=f+4炉-以+12广田=『-8.什16+4/+12^9+jt-25=(x-4)2+(2y4-3)2+)t-25.VS为“完全式，k-25=0,

解得k=25.故选C.

8.A［解析「.,。6?-机一〃2+24力-力2,

Ca2-2ab+b2=c(b-a'),

(“一方)2=一<?(4一〃)，口(«-/J)24-C(«-A)=0,

(a-b)(a-b+c)=O.

Va,b,c分别是△ABC的三边长:a+c-b>0,・・.a-b=03［la=b,・・・4ABC是等腰三角形.故选A.

9.D［解析I：(4/w+5)2-9=(4w+5+3)(4m+5-3)=(4m+8)(4m+2)=8(m+2)(2m+1),A(4m+5)2-9一定能被8整除.故

选D.

33

10口［解析］原式_11'(652352)_1"(65+35)x(65-35)IlxlOQx3O_I|x2x3x5

nnnn

A.当仁44时，44=2%11,可使结果为整数，故选项A不符合题意:B.当n=55肘.55=11x5,可使结果为整数,故选项

B不符合题意;C.当n=66时,66=2x3x11.可使结果为整数,故选项CK符合题意；D.当n=77时，77=7x11,不可使结

果为整数，故选项D符合题意.故选D.

11(a+2b)(a+b)［解析］.・•大长方形的长为a+2b.宽为a+b,面积为a2+3ab+2h2,

二a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b).

12.-3品答案不唯一)

13.-3x22025［解析］(_2)2025-(-2)2。26

=_22025_2X22025

=(-1-2)X22025

=-3x22025.

1421［^ff］fi®MRT®,a-b=3,ab=7,a2b-ab2=ab(a-b)=7x3=21.

15±12［解析厂••多项式4》2-〃?孙-9y2能用完全平方公式因式分解.，川3二±2x2x・3y,则-m=±2x2x3=±12,解得m=

±12.

16-3[解析]设》2+4.计2=。-1)。+。),则(。-1)&+。)=、2珈-~=/+3-1).1)所以「芝不解得｛仁?故常数a

-O—N,D=-2.

的值为-3.

17,8[解析「-x2+x+5=6,nx2+x=l,

,X3+X2=A:(.V2+.V)=X,

：X3+2X2+1=X+X2+7=\+1=S.

18.635[解析]・・・5n2+3n-5=(5n-2)S-5)+30n-6且30巾15=15(2G1)是15的倍数3n-2不可能是15的倍数，，要使

5〃2+3〃-5是15的倍数，只能使n-5是15的倍数，或使5n-2为3的倍数且同时n-5为5的倍数.

Vn是小于100的正整数.，n可取的值为5,20,35,50,65,80,95或10,25,40,55,70,85,・•.符合条件的所有正整数n

的和是!5+20+35+50+65+80+95)+(10+25+40+55+70+85)=635.

19(1)原式=2〃?(m-〃)2+8加2(小-〃)

=2m(m-n)[(m-n)+4m]

=2m(m-n)(5m-n).

(2)原式=-4仪〃?-〃)2(2-36+/)

=-4/?(w-w)2(b-1)(b-2)

(3源式=[5(〃?+3)]2-下

=[5(m+3)+4][5(m+3)-4]

=(5m+15+4)(5m+15-4)

=(5m+19)(5m+ll).

(4)原式=(2/〃+l)[(2/w+l)2-6(2m+1)+9]

=(2m+l)[(2m+l)-3]2

=(2m+l)(2m-2)2

=4(2/〃+1)(〃L1)2.

20.(1)原式=(565?-4352)x11

=(565+435)x(565-435)x11

=1300x130x11=1430000.

(2)原式=20242+20252-2x2024x2025

=(2024—2025)2=(-1)2=1.

1⑴炉(4-力)+2)，(6-4)+4-/)

=(。-/))。2-2叶1)

=(a-b)(y-l)2.

⑵兀犬2-4小

一伞2-4户)

=jt(R+2r)(R-2r).

*：R=7.8cm,r=1.1cm,

，原式=3.14x(7.8+2xl.l)x(7.8-1.1x2)

=3.14x10x5.6=175.84(cm2).

故剩余部分的面积是175.84cm4

22设甲家菜地的边长为xm,乙家菜地的边长为ym,且x>y.

41一4尸96,

由18意,得

127V2=960,

由①，得x-y=24.

由②狷.x2-炉=(x+y)(x-y)=960,则x+y=40.

解方程组耳;墨得｛蓝'

故甲家菜地的边长为32m,乙家菜地的边长为8m.

23⑴根据题意得M=(3.r2-4x-2Cl7-3A,(x-3)

=3『-4尸20-3r+9尸5尸20

P=3x2-4x-20+(x+2j1

=3A-2-4X-20+X2+4A+4=4X2-16.

(2)P=4X2-16=4(X2-4)=4(X+2)(X-2)

24.(1)Vx2-2y-3=0,2x2-2y=3,

匚3『-6.1=3(F-2y)+1=3x3+1=10.

⑵设2025k+l=a,则2025k-2=a-3.

由题意i得a2+(a-3)2^65,D2«2-6a~56,

672-3«=|(2«2-6«)=；><56=28,

:.a(a-3)=28,即(2025k+l)(2025k-2i=28.

(3)5"'+2+3"=25x5刑+3”=24><5旭+(5"'+3").

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