人教版高中数学必修2考点训练 专项强化09：统计大题精讲与精练（解析版）

专题强化09：统计大题精讲与精练

【题型归纳】

＞题型01：随机抽样

＞题型02：百分位数

＞题型03：中位数、众数、平均数、方差的计数

＞题型04：样本估计总体

【题型过关】

题型01:随机抽样

1.（2023•广东珠海•模拟预测）某大学平面设计专业的报考人数连创新高，今年报名已经结束.考生的考号按0001,

0002,……的顺序从小到大依次排列.某位考生随机地了解了50个考生的考号，具体如下：

04000904074700900636C7140017043204030276

09860804069704190735C2780358043409460123

0647034901050186007904340960054304950974

02190380039702830504C1400518096605590910

05580442069400650757C7020498015602250327

⑴据了解，这50名考生中有30名男生，20名女生.在某次模拟测式中，30名男生平均分数是7c分，样本方差是

10,20名女生平均分数是80分，样本方差是15,请求出此50人该次模拟考试成绩的平均分和方差；（考生个人具

体分数不知晓）

⑵请根据这50个随机抽取的考号，帮助这位考生估计考生总数N,并说明理由.

【答案】⑴平均分是74,方差是36

⑵答案见解析

【分析】（1）根据公式计算即可；

（2）根据条件叙述清楚理由即可.

【详解】（1）记30名男生得分记为不士,…，心,20名女生得分记%…，为，

男生得分平均分〒:上当「』=70女生得分平均分》="+工；0-+%=80,

所以总平均分所=*（王+七+-,+右+），|+y2+---+y20）=-^（30x704-20x80）=74,

?=-^[30X10+30X（70-74）2+20X15+20X（80-74）2）]=36,

所以此50人该次模拟考试成绩的平均分是74,方差是36.

（2）答案一：986,理由是用给出数据的最大值986（与0986对应）估计考生总数：

答案二：1003,理由是用数据的最大值与最小值的和（986+17=1003）估计考生总数；

N

答案三：987,这50个数的算术平均值是24671+50=493.42,它应该与耳接近.

因此，估计今年报考这所大学美术系平面设计专业的考生总数为Nt493.42x2比987（人）:

答案四：1006,理由：把这50个数据从小到大排列，这50个数把区间[0,N]分成51个小区间.

山于N未知，除了最右边的区间外，其他区间都是已知的.可以利用这些区间长度来估计N.

由于这50个数是随机取的，一般情况下可以认为最右边区间的长度近似等于I。，N]长的《，

并且可以用前50个区间的平均长度近似代替这个区间的长度.

因为这50个区间长度的和，恰好是这50个数中的最大值986,因应得到N。鬻X51T006.

2.(22-23高一上•河南安阳•期末)某英语老师负责甲、乙两个班的英语课，其中甲班有60名学生,乙班有48名学

生：为分析他们的英语成绩，该老师计划用分层随机抽样的方法抽取18名学生，统计他们英语考试的分数.

⑴该老师首先在甲班采用随机数法抽取所需要的学生，为此将甲班学生随机编号为01〜60,按照以下随机数表，

以第2行第21列的数字4为起点，从左到右依次读取数据，每次读取两位随机数，重复的跳过，一行读完之后接

下一行左端.求抽出的学生编号的中位数.

78165572080263140702435997280198

32049243493582003623486969387481

29763413284142412424193593132322

83039822588824101158272964432943

(2)已知甲班的样本平均数为工=72,方差为1二92,两班总的样本平均数为天=76,方差为f=96.

(i)求乙班的样本平均数用和方差年；

(ii)判断两班学生的英语成绩是否有明显差异.(如果瓜-引22后手，则认为两班学生的英语成绩有明显差异,

否则不认为有明显差异)

【答案】⑴31.5：

(2)(i)81；56；(ii)有明显差异.

【分析】(1)利用分层抽样求出甲班抽取的学生数，再读取编号并求出中位数.

(2)(i)利用分层随机抽样的平均数和方差的公式计算即得；(ii)计算并比较得解.

【详解】根据分层随机抽样的规则，需要在甲班抽取的样本数为18乂萼々=10,

60+48

在随机数表中依次读取的编号为，48,38,29,34,13,28,41,42,24,19,

编号从小到大依次为,13,19,24,28,29,34,38,41,42,48,

所以抽出的学生编号的中位数为%^=31.5.

(2)(i)依题意，样本中甲班学生有10人，乙班学生有8人，由分层随机抽样的平均数和方差的公式，

-

ZM5一,4一,-9x-5xi9x76-5x72

<X=-X|+~X2,因止匕X2=----------=------------------=81,

9944

5__4--54

2

/=§[f+(汨-x)2]+§局+(x2-x)],即96=§(92+4?)+§(S；+5?),解得只=56,

所以M=81,^2=56.

(ii)因为&一对=|72-81|=9,2俨(*除2

因此口-为上2^与且，所以两班学生的英语成绩有明显差异.

3.（23-24高一下•贵州安顺•期末）树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后

勤部门需了解学生对“美食〃工作的认可程度，若学生认可系数（认可系数=认可程f」分］不低于0.85、“美食〃工

作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对“美食〃

工作认可程度给出的评分，分成150,60）,［60,70）,［70,80）,［80,90）,［90.100］五组，得到如图所示的频率分布直方图.

⑴求频率分布直方图中1的值和第70百分位数（结果保留两位小数）；

⑵为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于80分的学生中，按照调查评分的分组，分

为3层，通过分层随机抽样抽取30人进行座谈，求应选取评分在［60,70）的学生人数；

⑶根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由.

【答案】（1）0.01,88.33；

（2）10人；

⑶"美食"工作需要进一步整改，理由见解析.

【分析】（1）根据频率分布图，求得戈=0.01,然后推得第70百分位数位于区间［80,90）内，即可根据第〃百分位数

的求法，得出答案.

（2）根据分层抽样，即可求得评分在［60,70）的学生人数.

（3）根据频率分布直方图，即可求得平均数，进而得出答案.

【详解】（1）由图可知：10x（x+0.015+0.02+0.03+0.025）=l,所以x=0.01；

评分在［50,80）内的频率为0.1+0.15+0.2=0.45<0.7,［50,90）内的频率为0.1+0.15+0.2+0.3=0,75>0.7,

则第70百分位数位，〃曰80,90）,=80+±（）7—-045（9（）—80）*88.33,

^）.3

所以第70百分位数为88.33.

（2）低于80分的学生中三组学生的人数比例为0.1:0.15:0.2=2:3:4,

则应选取评分在［60,70)的学生人数为：30、2+；+4=左(人).

(3)由图可知，认可程度平均分为：

x=55x0.1+65x0.15+75x0.2+85x0.3+95x0.25=79.5<0.85xl00=85,

显然认可系数低于0.85,所以“美食”工作需要进一步整改.

题型02：百分位数

4.(23-24高一下•浙江杭州•期末)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随

机分成A8两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，8组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积

相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离了•的百分比.根据试验数据分别得到

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5〃，根据直方图得到P(C)的估计值为0.30.

⑴求乙离子残留百分比直方图中4b的值；

⑵求甲离子残留百分比的第75百分位数；

(3)估计乙离子残留百分比的均值.(同一组数据用该组区间的中点值为代表)

【答案】⑴4=0.35,Z?=0.10

(2)5.0

⑶6.00

【分析】(1)由题意可求出〃，利用频率之和为1可求出

(2)根据频率分布直方图中的第75百分位数计算方法即可求解；

(3)根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解..

【详解】(1)由已知得0.30=6+0.05+035,解得像=0.10,

所以a=1-0.20-0.15-0.30=0.35.

(2)根据直方图，易知甲离子残留百分比的第75百分位数在区间［455.5),设为文，

则0.154-0.20+0.30+(x-4.5)x0.20=0.75,解得x=5.0,

所以甲离子残留百分比的第75百分位数为5.0.

(3)乙离子残留百分比的平均值的估计值为3x0.05+4x0.10+5x0.15+6x0.35+7x0.20+8x0.15=6.00.

5.(23-24高一下•广东佛山•期末)某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市“知识竞赛，从所

有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：

［40,50),［5(),60),...,［90,1(刈，得到如图所示的频率分布直方图.

个频率/组距

⑵求样本成绩的马;

⑶已知落在［50,60)的平均成绩是54,方差是7,落在［60,70)的平均成绩为66,方差是4,求两组成绩的总平均数

三和总方差

【答案】⑴。=0.030；

(2)84；

⑶总平均数是62,总方差是37.

【分析】(1)根据频率之和为1列式即可得解.

(2)根据频率分布直方图先明确样本成绩的4所在的范围，再结合已知数据即可求解.

(3)先分别求出成绩落在［50,60)和［60,70)内的人数，再根据平均数定义和分层随机抽样的方差公式

.V2=—^―xs；+(x-z)2s：+(y_z)［即可求解.

【详解】(1)由频率之和为1得(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)?101,

解得a=0.030.

(2)因为成绩落在［40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020++0.030)xl()=0.65<0.75

落在［40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+-K).030+0.025)x10=0.9>0.75

所以样本成绩的/落在［80,90)范围内，

设之为m，则065+(/〃—80)x0.025=0.75,解得〃?=84,

故片为84.

(3)由图可知，成绩在［50,60)内的市民人数为100x0.1=10,

成绩在［60,70)内的市民人数为1(X)x().2=20,

10x54+20x66

故)==62.

10+20

/=10X［-7+（54-62）21+20xr44-（66-62）2~|=-x71+-x20=37,

10+20L'，」10+20L,7J33

所以两组市民成绩的总平均数是62,总方差是37.

6.（23-24高一下•青海西宁•期末）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学

生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图.

⑴用分层抽样的方法在［20,25）和［25,30］中共抽取6人成立学习小组，再从该小组派3人接受检测，求检测的3人

来自同一区间的概率；

（2）估计这40名同学周末学习时间的25%分位数.

【答案】⑴！；

（2）8.75小时.

【分析】（1）借助分层抽样的性质得出在［20,25）和［25,30］中分别抽取的人数后，借助列举法得出所有的基本事件

及符合要求的基本事件后即可得解；

（2）借助百分位数定义计算即可得.

【详解】（1）由图可知，40名学生中周末的学习时间在［20,25）的人数为0.03x5x40=6人，

周末的学习时间在［25,30］的人数为0.015x5x40=3人，

从中用分层抽样抽取6人，则周末的学习时间在［20,25）的有4人，记为A,京C,。；

周末的学习时间在［25,30］的有2人，记为〃/；

则再从中选派3人接受检测的基本事件有48c

ADa,ADb,Aab,BCD.BCa,BCb,BDa,BDh,Bab,CDa,CDb,Cab,Dab,共有20个，

其中检测的3人来自同一区间的基本事件有A8CABRACR8C。，共有4个，

所以检测的3人来自同一区间的概率P=4=g；

（2）学习时间在5小时以下的频率为0.02x5=0.1<0.25,

学习时旬在10小时以下的频率为0.1-0.04x5=0.3>0.25,

所以25%分位数在区间［5/0）内，

0.25-0.1

则5+5x=8.75,

0.3-0.1

所以这40名同学周末学习时间的25%分位数为8.75小时.

题型03:中位数、众数、平均数、方差的计数

7.（24-25高二上•湖北•期中）某校艺术团共有150人，男生与女生的比例是2:1.为了解艺术团全体学生的身高，按

性别比例进行分层随机抽样，抽取样本量为30的样本，并观测样本身高数据（单位：cm）.已知男生样本的身高平

均数为169,标准差为回.下表是抽取的女生样本的数据:

抽取次序12345678910

身高155158156157160161159162169163

记抽取的第i个女生的身高为％（i=l,2,3,…/（）），样本平均数元=160,标准差$=厉.

⑴用女生样本的身高频率分布情况估计艺术团女生总体的身高频率分布情况，试估计艺术团女生总体身高在

［160,165］范围内的人数;

⑵用总样本的平均数和方差估计艺术团总体身高的平均数〃和方差b"求〃的值：

⑶若女生样本数据在（天-2s,元+2s）之外的数据称为偏离值，剔除偏离值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方

差.（其中，样本平均数元=160,标准差5=而.）【参考数据：加之3.9,159?=25281,1692=28561.】

【答案】（1）20

（2）;7=166,4=49

⑶平均数为159,方差为三20

【分析】（1）根据女生样本中身高在［160,165］的频率可直接估计总体中对应的人数；

（2）根据分层抽样平均数和方差的计算公式直接求解即可；

10

（3）剔除偏离值后，根据平均数的公式可得新的平均数，根据原数据方差可得进而利用方差公式求得新的

r-l

方差.

【详解】（1）•.•在女生样本中，身高在［160,165］的频率2二£

I9

••・艺术团女生总体身高在［160,165］范围内的人数估计为150乂（：=20人.

（2）由题意知：男生样本的身高平均数为169,方差为39,

女生样本的身高平均数为160,方差15,

EUjiA/十出珏、i20x169+10x160

则总样本的平均数为--------------=166,

方差为*39+（166-169『］+；X［15-（160-166）〔=32+17=49,

一.〃=166,(y2=49.

（3）由题意知：（工一2s,f+2s）=（160—2后,160+2而）p（152.2167.8）,

由样本数据可知：169史（160-2而,160+2后），.769为偏离值，

剔除169后，女生样本的身高平均数为亍=gx（160xl0-169）=159,

由/=尬¥-呵=1停”256000）=15得:=256150,

I(ioA17()

则剔除169后，女生样本的身高的方差为^x；-1692-9r2=-(256150-28561-9x25281)=^.

V/=!)，J

8.（24-25高二上•四川成都•阶段练习）2024年10月13口，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是

马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面

试成绩,并分成五组:第一组［45,55）,第二组［55,65）,第三组［65,75）,第四组［75,85）,第五组［85,95］,绘制成如图

所示的频率分布直方图.

（2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和笫80百分位数；

⑶现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩

的平均数和方差分别为62和4（）,第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50,请据此估计这次第二组

和第四组所有面试者的面试成绩的方差.

（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：机工,「；〃,兀,s；,记两组数据总体的样本平均数为口

则总体样本方差*MU0汴舟小口力

【答案】（1）0.025

⑵69.5,77.5

⑶等

【分析】（1）根据频率分布直方图的概率乘以组距等于1,可求得。

（2）根据频率分布直方图中平均数和百分位数的计算方法即可求解；

（3）先计算出第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，由题意，再根据分层抽样的方差公式求解即可.

【详解】(1)由图得(0.005+4+0.045+0.02+0.005)x10=1,

解之可得。=0.025；

(2)根据题意知］=0.05x50+0.25x60+0.45x70+0.2x80+0.05x90=69.5，

0.05+0.25+0.45=0.75<0.8,0.75+0.2=0.95>0.8,

设第80百分位数为",所以x«75,8S),

0.75+0.02x(x-75)=0.8,解之可得了=77.5,

故这103名候选者面试成绩的平均数为69.5,第80百分位数为77.5.

(3)设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为吊=62，E=80,s；=40吠=50,

且两组的频率之比为鬻二［,

U・4■

_Sx6?+4xRO

则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为卬二.9=O,

第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为『=翡+(三—可］+十伍―硝

=-［40+(62-70)^］+-［50+(80-70)^

=-52-0+-6-00=-1-12-0

999f

则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为等.

9.(24-25高一上•辽宁抚顺•期末)2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣

传周的主题为"践行新时尚分类志愿行”.某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛"，为了了解本次竞赛成绩情

况，从中抽取了部分学生的成绩x(单位：分，得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计，将成绩进行整

理后，分为五组(50«x<60,60Wx<70,70Wx<80,80Wxv90,90<X<I(X)),其中第二组的频数是第一组频数

的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：

⑴求小。的值，并估计这次竞赛成绩的中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

⑵如果用分层抽样的方法从样本成绩为［8(),90)和［90,100］的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人分数恰

好来自同一组的概率；

⑶某老师在此次竞赛成绩中抽取了1。名学生的分数：与£，七，…，/，已知这10个分数的平均数1=80,标准差

s=后，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差.

【答案】⑴。=0.032,6=0.004,中位数约为70.5

⑵工

15

⑶平均数为80,方差为37.5

【分析】（1）根据频率的性质以及频率之和为1即可求解。，〃，即可根据中位数的计算公式求解，

（2）根据分层抽样比，结合列举法列举所有基本事件，即可根据古典概型的概率公式求解.，

（3）根据平均数以及方差的计算公式即可求解.

【详解】（1）由第二组的频数是第一组的2倍，可得第二组的频率为第一组的2倍，所以10a=0.016xl0x2,

解得4=0.032

又（0.008+0.016+0.032+0.04+〃）xl0=l,解得〃=0.004

成绩落在［50,70）内的频率为：0.16+0.32=0.48,

落在［50,80）内的频率为：0.16+0.32+0.40=0.88,

因此中位数落在区间［70.80）内，

设中位数为〃？，则O.48+（〃L7（））XO.O4=（）.5,解得〃?=705

故估计这次竞赛成绩的中位数约为70.5.

（2）第四组［80,90）的抽取人数为4,设所抽取的人为

第五组［90,100］的抽取人数为2,设所抽取的人为人

则从中随机抽取两名学生有，ac,ad,be,bd,cd,aA,aB,bA,bB,cA,cB»（IA,dB,AB共15

种情况，

记事件A="抽取的两名学生在同一组”，所以事件A包含的基本事件为oc,ad,be,bd,cd,A8共7种情

况.

.、7

所以尸（人六百

（3）由；=80，得：玉+再+&+…+Xo=l°x8O=8OO.

所以：（X-x）+（/-x）+（巧-x）x）=350.

剔除其中的75和85两个分数，设剩余8个数为%,占，巧，…，&，人

平均数与标准差分别为京，“，

wt人人八皿k-X+E+-G+•,,+4800—75—85八八一

则剩余8个分数的平均数：.%=」-y------L=-----------=8O=X；

OO

所以(X［一工)2+(w-X)2+(.q―元)2+…+(玉-X)2+(75-80)2+(85-80)2=350

222222

即：(x,-x)+(x2-x)+(x,-x)+•••+(/-x)=35O-5-5=3OO.

/、311

方差：$=:•+(4一》=-x300=37.5

o」8

故剩余8个分数的平均数为80,方差为37.5.

题型04:样本估计总体

10.（24-25高二上•四川成都•期中）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文

明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市〃

知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）

分成六段：［40,50）,［50,60）,L,［90,100］得到如图所示的频率分布直方图.

⑴求频率分布直方图中”的值及样本成绩的第75百分位数;

（2）求样本成绩的众数，中位数和平均数；

⑶已知落在［50.60）的平均成绩是54,方差是7,落在［60,70）的平均成绩为66,方差是4,求两组成绩合并后的平

均数三和方差一.

【答案】⑴。=0.030,第75百分位数为84：

⑵众数为75,中位数为75,平均数为74：

⑶平均数为62,方差为37.

【分析】（1）根据频率和为1求得。=0.030,结合百分数定义求第75百分位数;

（2）根据直方图，及众数、中位数、平均数求法求值；

（3）根据已知求样本总均值，再由总方差公式求样本总方差.

【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1,得0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.l=l,解得〃=0.030,

成绩在［40,80）内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3=0.65,在［妆90）内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3+0.25=0.9,

显然第75百分位数〃"(80,90),由0.65+(阳-80)x0.025=0.75,解得〃z=84,

所以第75百分位数为84.

（2）由爸2=75,得样本成绩的众数为75,

成绩落在［40,70)内的频率为0.05+0.1-0.2=0.35,

成绩落在[40,80)内的频率为0.05+0.14-0.2+0.3=0.65，

故中位数在[70,80)内，由70+修然xl0=75,得样本成绩的中位数为75,

0.65—035

由45x0.05+55x0.1+65x0.2+75x0.3+85x0.25+95x0.1=74.

得样本成绩的平均数为74.

（3）由频率分布直方图知，成绩在［50,60）的市民人数为100x0.1=10,成绩在［60,70）的市民人数为100x0.2=20,

54x10+66x20

所以石=62

30

总方差为一一盛｛队□十（5"62-］+20x[4+(66-62)2]|-37.

11.（24-25高二上•湖北•阶段练习）某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防

溺水"网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如卜.图所示的频率

分布直方图所示的频率分布直方图.

⑴根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；

（2）成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人〃的成绩至少为多少分；

（3）已知落在［60,70）内的平均成绩为67,方差是9,落在［60,80）内的平均成绩是73,方差是29,求落在［70,80）内

的平均成绩和方差.

（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：〃同,・记两组数据总体的样本平均数为记，

则总体样本方差Z=----5,2+（X|—W'jId-------S：+（X,—记））

m+/zL、7Jm+nl_v7_

【答案】⑴平均数为71,众数为75.

（2）88.

⑶平均数为76,方差为12.

【分析】（1）在频率分布直方图中，平均数等于每组的组中值乘以每组的频率之和；众数是最高矩形横坐标的中点，

据此求解.

（2）依题意可知题目所求是第90%分位数，先判断第90%分位数落在哪个区间再求解即可；

（3）先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可.

【详解】（1）一至六组的频率分别为0.10,0.15,0.15,0.30,0.25,0.05,

平均数=45x0.10+55x0.15+65x0.15+75x0.30+85x0.25+95x0.05=71.

由图可知，众数为75.

以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分.

（2）前4组的频率之和为0.10+0.15+0.15+0.30=0.70<0.90,

前5组的频率之和为0.70+0.25=0.95>0.90,

第90%分位数落在第5组，设为x,则0.70+（x-80）x0.025=0.90,解得x=88.

“防溺水达人”的成绩至少为88分.

（3）［60.70）的频率为0.15,［70,80）的频率为0.30,

所以［60,70）的频率与［60,80）的频率之比为1

［70,80）的频率与［60,80）的频率之比为胱=|

U・1J"•U・JUJ

设［70,80）内的平均成绩和方差分别为

1?——

依题意有73=QX67+、XX2,解得占=76,

JJ

22

29=-x［9+（67-73）］+-xr^+（76-73）L解得s；=12,

33

所以［70,80）内的平均成绩为76,方差为12.

12.（23・24高一下•安徽黄山•期末）为进一步推动防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网络诈骗案件的发生，

某市开展防骗知识大宣传活动.举办了“网络防骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩

（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：［40,50）,［50,60）,…，［90,100］得到如图所示的频率分

布直方图.

频率

⑴求图中。的值，根据频率分布直方图计算样本成绩的平均数和下四分位数；

（2）已知若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：机，x,5,2；

〃，5,5）记总的样本平均数为了，样本方差为

证明:/］〃?［$：+（工一近1］+

m+n

（3）已知落在［50,60）的平均成绩是59,方差是7,落在［60,70）的平均成绩为65,方差是4,求两组样本成绩的总平

均数N和总方差

【答案】（1）。=0.030：平均数为74；下四分位数为65；

（2）证明见解析

（3）7=63,$2=13

【分析】（1）根据频率和为1，求〃，再代入平均数公式，求平均数，并代入百分位数公式，即可求解;

（2）利用总体方差公式，以及总体方差公式，进行推导，即可证明；

（3）代入总体平均数和总体方差公式，即可求解.

【详解】（1）由题意可知，（0.005+0.010+0.。20+。+0.025+0.010）?101,

解得：«=0.030；

平均数为（45x0.005+55x0.01+65x0.02+75x0.03+85x0.025+95x0.01）x10=74,

前2组的频率和为（0.005+0.010）x10=0.15,

前3组的频率和为0.15+0.02x10=0.35,

所以下四分位数在第3组，设为x,

则0.15+（x-60）x0.02=0.25,得x=65

所以下四分位数为65；

/_、_nix+fivm_n_

（2）a）=----------=--------x+--------y,

m+nrn+nm+n

1min

$;=一£（为一天『，$=一£（）’「刃'

,1

总体方差./=——£（七-方了+乞（片-石）2，

in+nJ=li=l-

又£（%一切）'=£[（七一可+（H—而）]，

=-可2+2（工一值）（%—可+（M—5）2],

mm/w

=£（%一元『+2（£一5）£（%—五）+£（£一5）2,

因为E（K-可=欣-〃沅=°，

r=1r=1i=l

mmm"t

七（8-而）=£&-可\+2（天-5）力&-可+£W-同,

i=l/=1

="75；+"7（工一⑹2_"7S：+（工一⑹一,

同理之（M-砌2=〃[$；+（＞近）],

/=1

—।之tn（七一5）2+n£（凹一了『，

故•♦=

m+n

1卜？S；+（元一5）2]+〃$+（》_51]｝；

m+n

(3)[50,60)的频率是0.010x10=0.1,频数是0.1x100=10,[60,70]的频率是0.020x10=0.2,频数是0.2x100=20

所以总体平均数彳=^^x59+^^x65=63,

总体方差八高110卜+(59-63)1+20〔4+(65-63)1}=13.

【专题强化】

1.（24.25高一上•陕西•期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市"知识竞赛，从所有答

卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：［40,50）,

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.

⑴求频率分布直方图中〃的值与样本成绩的第80百分位数:

⑵在样本答卷成绩为［70,80）,［80,90）,［90,100］的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩

在［70,80）中的市民应抽取多少个？

⑶若落在［50.60）的平均成绩是57,方差是2,落在［60,70）的平均成绩为69,方差是5,求这两组成绩的总平均数

之和总方差

【答案】（1）0.03：第80百分位数为86.

⑵6人

（3）65；36

【分析】⑴根据每组小矩形的面积之和为1求出〃=0.（）3,判断出第80百分位数〃回80,90）,进而可得答案；

（2）先求出抽样比，再利用分层抽样的性质即可求解；

（3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解.

【详解】（1）­.-10x（0.0054-0.01+0.02+4/4-0.025+0.01）=1,

/.a-0.03.

成绩落在［40,80）内的频率为0.05+0.1+0.2+（）.3=0.65,

落在［40,90）内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3+0.25=0.9,

显然第80百分位数加480.90）,

0.65-（/77-80）x0.025=0.8,解得m=86,

・•・第80百分位数为86.

（2）由频率分布直方图知，样本成绩为［70,80）,［80,90）,［90,100］的三组答卷的市民有

100x10x（0.03+0.025+0.01）=65个样本，

成绩在［70,80）的市民人数为100x10x0.03=30,

•.・用分层抽样的方法应在答卷成绩为［70,80）的市民中，抽取三xl3=6人.

（3）由频率分布直方图知，成绩在［50,60）的市民人数为100x0.1=10,

成绩在［60,70）的市民人数为1（X）x0,2=20,

••总平均数”1。+2。=65,

・•.总方差为/=而券〔2+（57-65）［+历为［5+（69-65『=36・

2.（24-25高一上•辽宁大连•期末）某公司生产A、B两种型号电动汽车电机，为了了解电机的某项指标，从这两种

电机中各抽取100台进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：

假设数据在组内均匀分布，以样本估计，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

⑴估计6型电机该项指标的平均值（同一组数据用该组区间中点值为代表）；

⑵从A型电机指标在170.90）内采用分层抽样方式抽取2件,8型电机指标在［50.70）内采用分层抽样方式抽取4件，

再从这6件中任意抽取2件，求指标在［50,60）和［70,80）内各抽取1件的概率；

⑶根据检测结果确定该项指标的一个临界值〃?，且机引50.60］,某汽车厂准备用A、8两种型号电机生产C牌和。

牌汽车各1万辆，有以F两种方案可供选择：

方案一：将A型电机用于生产。牌汽车，其中该指标小于等于临界值机的电机会导致每台汽车损失7000元；将8

型电机用于•生产。牌汽车，其中该指标大于等于临界值机的电机会导致每台汽车损失3000元；

方案二：重新检测所用的电机，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需1010万元.请从汽车厂节约成本的角度

考虑，选择合理的方案，并说明理由.

【答案】⑴47

吗

⑶答案见解析

【分析】（1）根据频率分布直方图结合平均数的定义求解；

（2）根据分层抽样的定义分别求出来自A型电机指标在［70,80）和［80,90）及来自B型电机指标在卜0,60）和［60,70）

的台数，然后利用列举法结合占典概型的概率公式求解：

（3）设格两种型号电机应用。牌、Q牌汽车时，该汽车厂损失3，（万元），然后根据题意表示出丫，分〃?e［50.56）,

m=56，me（56,60］三种情况讨论即可.

【详解】（1）由频率分布直方图得8型电机该项指标的平均值为：

x=25x0.002x10+35x0.026x10+45x0.032x10+55x0.030x10+65x0.010x10

=47.

（2）根据分层抽样得，来自4型电机指标在［70,80）和［80,90）的各1台，分别记为工,户来自8型电机指标在［50.60）

和［60,70）分别为3台和1台，分别记为4，z2,Z3和p.

从中任意抽取两件，样本空间可记为

C=｛（乂）'），（X，Z）（X,Z2）,（X,Z3）,（X,〃）,（），,Z）（y,Z2）,。g）,（），，P）,（Z］,Z2）,（Z］,Z3）,（Z］，P）,（Z2,Z）（Z2，P）,（Z3,〃）｝共15

个样本点，

记事件M：指标在［50,60）和［70,80）内各抽取1件，

则"=｛（X,Z1）,（X,Z2）,（X,Z3）｝共含3个样本点，

3|

所以?例）=正二不

（3）设将A、8两种型号电机应用。牌、。牌汽车时，该汽车厂损失），（万元），

）,=7000x［0.002xl0+0.005x（m-50）］+3000x［0.010x10+0.030x（60-〃）］

=4090-55/〃，we［50,60］,

所以当50<"?v56时，y>1010,当m=56时，y=1010,

当56</"W60时，y<1010.

综上所述，当临界值me［50,56）时，选择方案二；

当临界值〃7=56时，选择方案一或二都行；

当临界值〃z«56,60］时，选择方案一.

3.（24-25高一上•辽宁朝阳•期末）对于居民生活用水，某市实行阶梯水价.具体来说，季度用水量在40m3及以下

的部分，收费标准为3元季度用水量超过40m，但不超过80m：的部分，收费标准为4元/m,季度用水量超过

80m3的部分,收费标准为6元/i/.

⑴求某户居民用水费用(单位：元)关于季度用水量x(单位：的函数关系式；

⑵为了了解居民的用水情况，通过抽样获得了2024年第三季度本市1000户居民每户的季度用水量，统计分析后得

到如图所示的频率分布直方图.若这1000户居民中，季度用水费用超过200元的有400户，求直方图中的值以

及季度用水量的第75百分位数.

3x,0<x<40

【答案】(1)>,=<4x-40.40<x<80；

6A-200,x>80

(2)a=0.0075,。=0.0100,季度用水量的第75百分位数为75m,

【分析】(1)根据题设依次写出04xK40、40<x<80>x>80对应解析式，进而写出分段函数形式;

(2)根据频率直方图求参数，由百分位数的定义求季度用水量的第75百分位数.

【详解】(1)当0W40时，y=3x；

当40<人工80时，y=3x40+4(x-40)=4x—40；

当工>80时，=3x40+4x40+6(r-RO)=6r—200:

3A\0<X<40

所以丁与工之间的函数关系式为丁=松-40.40<XK80.

6x-200.x>80

(2)rtl(1)知，当y=200时，X=63,即季度用水量超过60m'的占40%,

0.005x20+20/7+0.015x20=0.6

结合频率分布直方图知解得a=0.0075,〃=0.0100.

20。+206+0.0025x20=0.4

设第75%分位数为

因为季度用水量低于60m、的所占比例为60%，低于80m3的占0.6+2()x0.01=80%,

所以第75%分位数I在［60,80)内，故0.6+(-60)x0.01=0.75,解得/=75,

即季度用水量的第75%分位数为75m，

4.(2425高一上•江西南昌•期末)随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速的发展.某外卖平台为了解某地区用

户对其提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分，系统自动将评分按从大到小顺序排列

如下：

用户编用户编用户编用户编

评分评分评分评分

号

号号号

0197118621813176

0296128622813276

0395138523813376

0493148524803475

0592158425793574

0691168426793674

0789178327783773

0889188328783872

0988198229783966

1088208230774063

⑴请你估计该地区所有用户评分的21%,95%分位数；

⑵若从这40个用户中抽取一个容量为10的样本，有一个数据不小心丢失了，抽到的其他9个用户的评分分别为

92,84,86,78,89,74,78,77,89,且这10个数据的平均数亍=83,记这10个数据的方差为？,若用户的满意度评分在

（1-内，则满意度等级为“A级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个数据，估计该地区满意度等

级为“A级〃的用户所占的百分比.

⑶平台为拓展客流，开发了一个新的评价系统.把（2）中样本的平均数和方差作为老评价系统的数据，且老系统的

总数据占两个系统所有数据总和的；，新系统得出的评分平均数为89分，方差为12.据此计算新老系统所有评分的方

差.

附：52=；^；卜?卜+何一,）21+〃卜+伍一可〔卜参考数据：V30»5.