广东省广州市某中学2024-2025学年高一年级下册期中考试数学试卷（含答案）

广东省广州市育才中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

一、单选题：（每题5分，共40分）

1.复数z=（1+0（1-20-3i在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4,高为1,则此三棱台的体积是（）

A.7V3B.华C.5V3D.苧

3.已知向量五=（6,刈，石=（0,1）,若立在3上的投影向量为了，则入的值为（）

A.1B.-1C.2D.—2

4.如图，△NOB的斜二测画法的直观图是腰长为4企的等腰直角三角形，y'轴经过/口’的中点，则|4引=

（）

B.4V6C.12D.8A/6

5.在c4BC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4,则cosC=()

A.B.-1C.1

43

6.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c口.8=$a=2叵,h=2VS,则4c边上的高h=

)

A3&B强C.5/3D

,~2~~6~■丁

7.如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近4点的三等分点，P为线段8N上一点，若丽=（m+白）而+

点前,则m=（）

8.在△ABC中，设。=64=5,。4二。月=18，则下列说法错误的是（）

第1页

A.b=5B.4c边上的高是普

c.△4BC外接圆的周长是孕兀D.△4BC内切圆的面积是?兀

二、多选题（每题6分，共18分）

9.已知平面向量五=（2,-3）,b=（2,1），则正确的是（）

A.（a-2b）1b

B.五与石可作为一组基底向量

C.五与石夹角的余弦值为磐

65

D.由好方向上的投影向量的坐标为（|3）

10.若复数z在复平面内对应的点为Z,则下列说法正确的是（）

A.若Z（i—l）=i202S-l,则Z在第二象限

B.若Z为纯虚数，则Z在虚轴上

C.若|z|W3,则点Z的集合所构成的图形的面积为67r

D.若|z|=l,则z+2为实数

11.如图，正方体的棱长为2,E,尸分别是4D,的中点，点P是底面RBCD内一动点,

则下列结论正确的为（）

A.存在点P,使得尸P〃平面48C15

B.过8,E,"三点的平面截止方体所得截面图形是平行四边形

C.三棱锥Ci-Ai/P的体积为足值

D.三棱锥F-ACO的外接球表面积为97r

三、填空题（每题5分，共15分）

12.如图，在矩形48co中，4B=28C=4,点E为边48上的任意一点（包含端点），。为线段力C的中点，则

0E•瓦的取值范围是.

13.已知止方体的外接球的表面积是36兀，则该止方体的内切球的体枳为.

14.圆台上底面半径为2cm,下底面半径为4cm,母线48=8cm,A在上底面上，B在下底面上，从48中

第2页

点M拉一条绳子，绕圆台侧面一周到B点，则绳子最短距离为cm

四、解答题：(15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分)

15.如图，在直三棱柱ABC-4a6中，AB1AC,AAj=AB=AC=2tM,N,P分别为48,BC,

的中点

(1)求证：BP〃平面QMN；

(2)求证：P、M、C、Ci四点共面；

16.己知△4BC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sinB-s勿C)2=si/%-sEBsinC

(1)求A；

⑵若b+c=4,△他•的面积为坐，求Q的值.

17.某海域的东西方向上分别有4,8两个观测点(如图)，它们相距10(3+75)海里.现有一艘轮船在0点发出

求救信号，经探测得知。点位于力点北偏东45。，8点北偏西60。，这时，位于8点南偏西60。且与B点相距4075

海里的C点有一救援船，其航行速速为30海里/小时.

C

(1)求8点到。点的距离80：

(2)若命令C处的救援船立即前往。点营救，求该救援船到达。点需要的时间.

18.已知圆锥的顶点为P,母线P4户8所成角的余弦值为轴截面等腰三角形P4c的顶角为90°,若的

面积为2m.

第3页

p

(1)求该圆锥的侧面积;

(2)求圆锥的内切球的表面积;

(3)求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值.

19.在△A8C中，角A,B,C所对边分别为a,b,c.

己知sin4二$二嚓，c=3,。+匕=3鱼，若4/CB的平分线交48于点D,求线段C。的长;

(1)

sinzl—sine

(2)若△4BC是锐角三角形，=pH为△4BC的垂心，且07=3,求至，1的取，直范围;

Jon

sinB

(3)若Z?=V5Q，令”,试求£的最大值.

3cos力+QCOSB

第4页

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：z=(l+i)(l-2i)-3i=3-4i,在复平面内对应的点为(3,-4),位于第四象限.

故答案为：D.

【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数z,再根据复数在复平面内的表示判断即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：易知正三棱台81cl的.上底面积S[=*X22=6，

下底面积S2=枭42=4V5，

则三楂台的体积U=1(S]+店互+S2)=|(V3+2>/3+4V3)=~

ODO

故答案为：B.

【分析】根据棱台体积公式计算即可.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：a=(V3,A),%=(0,1)，

五・b——♦

若五在不上的投影向量为B，则方在加上的投影向量为高2.》二劝二勿即a=1.

\b\

故答案为：A.

【分析】由题意，根据投影向量的定义求解即可.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：易知△04B的原图，如图所示:

其中D为AB的中点，

因为。'为力’8‘的中点，[。1]=4或，所以|。力]=4,且|。川=4鱼，\OD\=2\O'D>\=8,

则伊叫=J|O4|2+|。川2=46\AB\=2\AD\=876.

故答案为：D.

【分析】根据斜二测四法可得△OAB的原图，根据斜二测回法求原图的长度即可.

5.【答案】B

第5页

【解析】【解答】解：由正弦定理可知，a:b:c=2:3:4,

设a—2k,b—3k,c—4k,

则“安==心段=1

4'

故答案为：B

【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.先利用正弦定理进行边化角可得：

a:b:c=2:3:4,设a=2k,b=3k,c=4k,利用余弦定理可求出cost,据此可求出答案.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：在^ABC中，B=$a=2>/2»b=2V5,

22

由余弦定理得cos8=”2+c2b2,即々_(2&)+。2_(2码，解得c=6,

2ac22x2&xc

因为B=*,所以sinB=§，

由三角形的面积公式可得义b/i=^acsinB,即九="答=誓.

乙乙b5

故答案为：誓.

【分析】在△ABC中，利用余弦定理求得边c,再根据三角形面积公式求解即可.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：在△4BC中，N为线段4c上靠近A点的三等分点，则丽=右宿

点P为线段上一点，设丽=4而(a€/?),即而一而=/1(而一丽)，

整理得标=(1一；!)而+2丽=(1—乃而+24正

=(1-;I)荏+取而+硝=(1-|/1)而+累玩，

因为而=(m+存)四+存而，而、玩不共线，

21/3

-A=,A=

3}

所

以+Tn<

1=1,0_=T70

-A1m

3IT0

10

故答案为：D.

【分析】由题意可得而尼，因为P为线段8N上一点，所以设前=2丽QWR),由平面向量的线性运

算可得出而关于｛而，前｝的表达式，结合平面向帚的基本定理可得出关于实数入m的方程组，求解即可.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：对于A,因为Q=6,c=5,”•而=QbcosC=ab――3=如

2ab2

解得b=5,故A正确，

对于B,因为△4BC是等腰三角形，底边上的高是4,

第6页

由等面积法可知4c边上的高是等=甘，故B正确;

对于C,由选项B知，sinB=g,

b5

-25

所以△4BC外接圆的周长是江以/?=TT.茄布7T4不兀，故C正确;

5-

9

对于由等积法知，兀/-

D,4(a+b+c)r=Snr==2=47T故D不正确.

故答案为：D.

【分析】根据数量积定义、余弦定理、三角形面积公式、正弦定理以及三角形内切圆的周长公式和面积公

式，再结合已知条件，从而逐项判断找出说法错误的选项.

9.【答案】B,C,D

【解析】【解答】解：A、由五=(2,—3),」=(2,1),可得五一2加二(一2,—5)，

则-2b)-b=-2x2+(-5)x1=-9H0,故A错误：

B、因为2x1装2x(-3),所以五与石为不共线的向量，则万与了兀作为一组基底向量，故B正确；

lab2x2+(-3)x11屈

C、8"=丽=J]=质=行故C正确；

D、因为Gi=2x2+(-3)xl=l，\b\=V22+l2=V5,

77./nh1h1—♦/?1\

所以哂方向上的投影向量的坐标为首•向=点X竟=强=(泥)，故D正确.

故答案为：BCD.

【分析】根据向量数量积的坐标表示，结合向量垂直数量积为零即可判断A；先判断五与另为不共线的向量，

再根据基底的定义即可判断B；根据向量的夹用公式求解即可判断C；根据投影向量的定义求解即可判断D.

10.【答案】B,D

【解析】【解答】解：A、z(i-l)=i2025-l=i-l,贝lJz=N=l，Z点在实轴上，故A错误；

B、若z为纯虚数，贝IJZ在虚轴上，故B正确；

C、|z|<3,则点Z的集合所构成的图形是半径为3的圆，

则点Z的集合所构成的图形的面积为9亢，故C错误；

D、设2=。+抗，则Q2+/J2=],

则z+；=Q+b"(a+嬴柒蛇=a+/+(b—4)i=a+Q=2。,故D正确.

故答案为：BD.

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简求得复数z,再根据复数在复平面的表示即可判断A；根据纯虚

数所对应的点的坐标即可判断B；根据复数模的运算，结合友数的几何意义求解即可判断C；设2=。+抗，

则层+产=1，根据复数代数形式的乘除运算化简z+；即可判断D.

第7页

11.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：A、当P为00中点时,，因为产足。心的中点，所以“

FPU平面ABGDi，BZ)iU平面4BG5，所以FP〃平面力故A正确；

B、因为E,尸分别是4D,BDi的中点,所以EF〃/Wi，在正方体中,易证4DJ/BQ,所以“〃BC]，过

8,瓦尸三点的平面截正方体所得截面图形是梯形E8GF,故B错误；

AB

C、因为VCIT[&P=VpT[B[Ci=/x；x2x2x2=g,所以三棱锥G—40P的体积为定值，故C正确；

D、三棱锥尸-AC。的外接球可以补形为长方体(长为2,宽为2,高为1)的外接球，

所以外接球的半径R=如养11=?所以外接球的表面积5=4兀产=9万，故D正确.

故答案为：ACD.

【分析】当P为80中点时，由厂是ODi的中点，利用线面平行的判定定理证明尸P〃平面48C/1，即可判断

A；根据平行关系作出截面图即可判断B；利用锥体的体积公式计算即可判断C；将三棱锥”-AC0补形为长

方体(长为2,宽为2,高为1),易知三棱锥的外接球即为长方体的外接球，问题转化为求长方体的外接球表

面积，即可判断D.

12.【答案】[1,10]

【解析】【解答】解：以“为坐标原点，AB,4。所在的直线分别为，y轴，建立平面直角坐标系，如图所

则0(2,1),C(4,2),设£(m,0)(0$7n$4),

0E=(rn—2,—1)»CE=(m—4,-2),

则赤•CF=(m-2)(m—4)+2=m2—6m+10=(m-3)2+1,

因为0WmW4,所以曲•既w[1,10],则亦•通的取值范围是[1,10].

故答案为：[1,10].

【分析】以4为坐标原点，AB,40所在的直线分别为％,y轴，建立平面直角坐标系，求得相应点的坐标,

利用向量数量积的坐标运算结合二次函数的性质求解即可.

13.【答案】4757r

第8页

【解析】【解答】解：设正方体的棱长为a(a>0),则外接球的半径R=入a2+出+02=劣,

由题意可得：S=4"/?2=4兀x(曰Q)=36TT»解得a=2A/5，

易知正方体内切球的半径r=ia=x/3,

则该正方体的内切球的体积V=细！=47rx(⑹=4757r.

33

故答案为：4V57r.

【分析】设正方体的棱长为a(a>0),根据正方体的体对角线等于外接球的直径，求得外接球的半径R=

，a，再根据外接球的表面积求得a，易知内切球的半径r=/a，根据球的体积公式求正方体的内切球的体

积即可.

14.【答案】20

【解析】【解答】解：圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为。，如图所示：

由图可知：MB'是最短距离，

设。力=/?,圆心角是a,由题意知，4TT=aR®,8TT=a(8+/?)@,

联立①②解得a=%,R=8,

则OM=12,08'=16,MB，=V122+162=20cm.

故绳子最短距离为20cm.

故答案为：20.

【分析】作出圆台的侧面展开图，并将其还原成圆锥展开的扇形，设扇形的圆心为。，由图可知MB'是最短

距离，设O/1=R,圆心角是a,由题意列式求得扇形的圆心角以及半径长，再求最短的距离即可.

15.【答案】(1)证明：连接力iM,如图所示：

因为M,N分别为的中点，所以MN〃力C,

第9页

在三棱柱A8C-A181G中，AC“A\Ci，所以MN〃&G，M,N,。&四点共面，

因为AB〃&。i，/W=43i，M,P分别为的中点，所以3M〃/1$,BM=A1P,

所以四边形BM&P为平行四边形，所以BP〃MA1,

又因为BP仁平面CiMMM/liu平面CiMN,所以BP〃平面C]MN；

(2)证明：连接CiP,PM,MC,如图所示：

因为为直三棱柱，且P,M分别为44,48的中点，所以PM〃柩I，

又因为44J/CG，所以PM〃CG，所以P、M、C、Q四点共面.

【解析】【分析】(1)连接4M,根据中位线性质结合三棱柱的性质，证明MN,/,占四点共面，再证明

最后根据线面平行的判定定理证明即可；

(2)连接GP,PM,MC,根据直三棱柱的性质结合P,M分别为4Bi，48的中点，证明PM〃A41，再根据

AAJ/CC^证PM〃C〔C,从而证明P、M、C、Ci四点共面.

(1)如图：

连接4M,因为M,M分别为4B,BC的中点,所以MN〃4C

在三棱柱ABC—4B1G中，4c〃&C】.所以MN〃&Ci，M,N,Ci，4四点共面.

因为=4%M,P分别为AB,4%的中点,所以8M〃&P,BM=A1P.

所以四边形BM&P为平行四边形.

所以8P〃例因为8PC平面gMMMAiu平面gMN,

所以BP〃平面GMM

(2)如图：

第10页

连接CiP,PM,MC,因为A8C—A1B1G为直三棱柱，且P,M分别为4%,48的中点,

所以PM〃/I4,又A41//CG，所以PM〃CCi，所以P、M、C、的四点共面.

16.【答案】（1）原式化简可得：sin2B-2sinBsinC+sin2C=sin2/1-sinBsinC,

整理得：sin2B+sin2C—sin2A=sinBsinC,

由正弦定理可得：b2+c2—=be，

b2+c2—a2_1

2bc-2

因此三角形的内角A=?；

(2)vS^ABC=^besinA=-

•••be=2,

。2=人2+。2_2bccosA=（b+c）2_3bc=16—6=10,

:.a=xflO.

【解析】【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得必十H—QZrbc，进而结合余弦定理运算求解;

（2）利用面积公式可得be=2,在结合余弦定理运算求解.

17.【答案】（1）解：由题意知48=10（3+V5）海里，

/-DBA=90°-60°=30°,4DAB=90°-45°=45°,则=180°-（45°+30）°=105°，

在中，由正弦定理前总而AB

sinZADB

可得。8=端给=弋急吟，=一警土步芈_=20百(海里)；

s】n(60+45)sin45cos60+cos45sin60

(2)解：在仆DBC中,乙DBC=Z-DBA+乙ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=4073(海里)，

由余弦定理得CO?=BD2+BC2-2BD•BC♦cos408c=1200-4800-2x2073x406x1=3600,

即CO=60（海里），则需要的时间t=3=2（小时）.

【解析】【分析】（1）由题意可得乙4OB=105°,在△fMB中，利用正弦定理求BD即可;

（2）在ADCB中，利用余弦定理求得CD,再根据速度求该救援后到达0点需要的时间即可.

第11页

(1)由题意知48=10(3+V5)海里,

乙DBA-90°-60°-30°,乙O/W-90°-45°-45°,

4ADB=180°-(45°+30)°=103°，

_DB__AB_

在AOAB中，由正弦定理得=

s\nz.DAB-sinZ-ADB'

10(3+、③©11450

nnABs\n/.DAB

ADB=­:-,me

s\nz.ADBsin(60+45)

10(3+万)-sin450

o=20V3(海里)

sin45cos60+cos45sin60

(2)在^DBC中，乙DBC=4DBA+乙ABC=30°+(90°-60°)=60°,

BC=40V5（海里），由余弦定理得

CD2=BD2+BC2-2BD-BC-cos乙DBC

=1200+4800-2x20V3x40百x1=3600,

CD=60（海里），则需要的时间£=需=2（小时）.

答：救援船到达。点需要2小时.

18•【答案】（1）解：设圆锥母线长、底面半径分别为（>0）、r（r>0）,

由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为90°,可得，？+-=（2丁）2,解得/=&丁,

又cos乙APB=不所以sin乙4PB=Vl-cos2/.APB=

又因为△尸力8的面积为2危,

所以=424.PB.sin乙APB=1/2x^5=2危’解得，=4,

又因为/=&r,所以r=2&\

则圆锥的侧面积S=x2/rrx/=7Tx2&x4=8或zr;

（2）解：作出轴截面如图所示：

根据圆锥的性质可知内切球球心在P。匕设球心为G,切PA于点D,

设内切球半径为R，即GO=GD=R,则△P04〜△PDG,即需二笥，

由（1）可知，圆锥的高PO=40=2或，PA=4,

则黑二夸巴解得R=4-2或，

故圆锥的内切球的表面积S=4nR2=47r（4-2或产=967r-64、泛兀；

第12页

（3）解：由（1）知圆锥的高九=「=事=2企，

令正四棱柱的底面边长为Q,高为H，

则，G=&a,POi=h-H,

由徐=等，可得噪'=涔，解得以=在（2在一”），

VULTZvZ4VZ

2

则正四棱柱的侧面积S恻=4aH=4^/2（272-H）H<472e""）+"=8位,

当且仅当2企一"=",即"=鱼时等号成立，

故该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值为8位.

【解析】【分析】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为（>0）、r（r>0）,由圆锥的轴截面为等腰三角形口顶

角为90°,可得『+『=（2厂）2,化简可得，=/丁，再利用同角三角函数基本关系求得sin〃1PB,根据△PAB

的面积求出，，即可得到r,再求圆锥的侧面积即可；

（2）作出轴截面，设内切球半径为R,利用△P04〜△PDG,结合（1）中圆锥的高以及PA长，求出内切球的

半径R,再根据球的面积公式求解即可；

（3）由（1）知圆锥的高人=厂=乎/=2&，令正四棱柱的底面边长为。，高为H，根据三角形相似求得Q=

a（2/-H）,再利用正四棱柱的侧面积公式，结合基本不等式求侧面积的最大值即可.

（1）设圆锥母线长、底面半径分别为，a>0）、«r：>0）,

由圆锥的轴截面为等腰三角形口顶角为90°,则，2+产=（2厂）2,解得/=&>

又cos乙APB=/，所以si九乙4PB=Vl-cos2/.APB=Jl-gj=祟，

又因为△尸48的面积为2回，

•••^PA3=^PA-PB-sin^APB=h2x=2715*解得/=4（负值舍去），

乂，=、泛厂，所以r=2企，

.,•圆锥的侧面枳S=}x2nrxI=nx2\[2x4=8V2TT.

（2）作出轴截面如图所示:

P

根据圆锥的性质可知内切球球心在P。上，设球心为G,切PA于点D,

第13页

设内切球半径为R，即GO=GO=R,则△POA〜△PDG,

所Hi：i以、jG而。=西PG'

由（1）可知，圆锥的高P。=4。=2或，PA=4,

则有务=区干'，解得R=4—2夜，

所以圆锥的内切球的表面积S=4TTR2=47r（4-2>/2）2=967r-64&zr;

（3）由（1）知圆锥的高九=厂=事=2或，

令正四棱柱的底面边长为a,高为从

则HG=V2a,P01=h-H,

由P01HG坦2&-”_42a

1W=2F^~272~~破'

a=72(272-W),

所以正四棱柱的侧面积5侧=4aH=4鱼(2鱼-H)H

W4碎2写巧=8鱼，当且仅当—H=即H=&时等号成立,

所以该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值为8&.

19.【答案】(1)解：由sinA=8s2?-cosjC,可得sin4(sin/l-sinB)=siM/l-sin/lsinB=cos2B-cos?。,

sin4—sinfi

因为COS2B=1—sin25,cos2C=1—sin2C>所以sidA-sinAsinB=sin2C—sin2F»

由正弦定理可得出—帅=c2-即=Q2+庐—访

a2+b2-c2_1.

由余弦定理得cosC=

2ab~2

因为CW（0,7T）,所以C=W

又因为c=3,a+b=3V2>所以c2=a2+b2-2abx/=(a+b)2—3ab,

即32二（3企T一3ab，解得ab=3,

设/IB边上的角平分线CD长为x,

则S-BC=；absinC=；axsin亨+；bxsin亨=；（Q+b）xsin苧,

即由国碟=（a+b）xsin^,

即苧二孥%,解得无=苧，

第14页

故AB边上的角平分线CD长为挈

(2)解:延长4H交8c于E,延长8H交AC于F,如图所示:

设N8C”=a66(0,勺，则4407=畀。,

在RSCEH中，EH=CHsinO=3sin。,

在△“8中，(FCB=』，乙BFC=鼻,所以々FBC=I，

oZO

EH

在RtZkBEH中，B"=砒=6sin。，

同理可得在同A4FH中,AH=2FH=6sin管一。)，

则&CH-AH3^-65111(^-0)43-2(s\n^cosB-cos^sin3)

丽—6sin0-2sin0

73-V3cos0+sin。_73(1—cos0)

2sin0-2sin0

2e

2百•

sn-。

•1211

+-n+-

D-2ta-22

4sn•4

n2

因为。£(0,分所以先(0,知所以tan*(0,苧)，所以字tan^+1)，

则包需我的取俏范围为C，1)：

⑶解：由余弦定理.8必=^=登’则3一心石—嗡京，

9

则£=sinB_sinA_sinA

3cosA+>/3cosB>/3cosA+cosB\[3sinAcosA+sinAcosB

77

________sinA________sinA_a.

-sinBcosA+sinAcosB-sinC-cSin'

产=丝(1一324)=咚.上当4Q?r号+由=卜眄_丁即当且仅当b=V5c=

c八，。212a2c243[\cJ4]

岛,

即4=州=手C=1时,tmax=去

【解析】【分析】(1)原式化为sin/(sinA-sin8)=siMA-sinAsinB=cos28-cos?。，利用同角三角函数

基本关系，结合正弦定理以及余弦定理求得。=不再根据余弦定理求得时=3,设4B边上的角平分线CD长

为X,最后利用三角形面积公式求解即可;

(2)延长4H交BC于E,延长交AC于尸，设ZBCH=d6W(0号),则乙4cH=专一出将表示

第15页

为角的三角函数，再利用余弦的二倍角公式，转化为关于tanS的函数，结合。的范围求吗#的范围即

/un

可;

2

（3）利用余弦定理，结合同角三角函数基本关系求得$皿24=1_至也_，再利用正弦定理以及两角和正

12a2c2

弦公式化简得£=^sin4将其平方转化为关于怖的函数，再配凑求最值即可.

Cv

(1)因为COS28=1—sin25,cos2C=1—sin2C,

所以sin2A-sinAsi