圆与三角函数及答案

专题十一圆与三角函数

模型一把角转化到直角三角形

1.如图，在四边形力8。。中，BD=CD,zC=zBAD.以为直径的00经过点。，且与边。。交于点

E,连接力E,BE.（1）求证：为。。的切线；⑵若4sinzAED=^-t求BE的长.

10

2.如图，。。是“8。的外接圆：43为直径，点。是A48C的内心，连接力。并延长交OO于点£,过点

E作GO的切线交力片的延长线于点E（1）求证：RC\EF\

⑵连接CE,若00的半径为2,sinZAEC^,求阴影部分的面积（结果用含n的式子表示）.

2

模型二利用直径构造直角三角形

3.如图，18是半圆O的直径，点C是半圆。上的一点，过点。作半圆。的切线交48延长线于点P,过

点力作4DLPC于点D,交半圆。于点£

⑴求证：4C平分』以8；（2）若pc」^,sinP=—，求。E的长.

513

第1页（共16页）

模型三作垂直构造直角三角形

4.如图，在“8C中，AC=BC,//。8=90°,。0经过/、C两点,交4B于点D,CO的延长线交48于

点凡DEWCF交BC于点E.(1)求证：。七为0O的切线;

(2)gJC=4,tanzCFD=2f求。O的半径.

模型四利用切线与半径的关系构造直角三角形

5.如图，点。在以43为直径的。。上，点。在山的延长线上，zDCA=^CBA.

(1)求证：。。是。。的切线；

⑵点G是半径08上的点，过点G作08的垂线与BC交于点£与。。的延长线交于点E,若

sinD=-i,DA=FG=2,求CE的长.

5

练习

1.某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺，在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为

I的圆，把刻度尺。的。刻度固定在半圆的圆心。处，刻度尺可以绕点o旋转.从图中所示的图尺可

读出COSN/OA的值是()

A.3B.工

58

3.如图，AB,CO为。0的直径，点E在BD上，连接力耳。旦点G在8。的延长线上，AB=AG,

,£4。+/£04=45°.(1)求证：4G与。0相切;（2）若BG=4后，sinZDAE=-,求的长.

3

4如图，点力，伉C,。在。。上,△。是直径，z8£=45。，过点。作84。交力〃的延长线于点£（1）

求证：C£1是0。的切线.

（2）若BD=4,tanzABD=2,

求图中阴影部分的面积是

5.如图，/仍是90的直径，力。与。。相切于点儿连接OC,过点4作6。OC交OO于点连接C。

并延长交的延长线于点£.

⑴求证：CE是。。的切线；（2）若力。=2,tarF=工，求。0的半径的长.

2

第3页（共16页）

6.如图，力〃是OO的直径，半径OUL/艮垂足为。，OC=2,尸是切延长线上一点，连接CP,交。。

于点。，连接力。，/0C尸=60。.过点尸作O。的切线，切点为£交CO的延长线于点E

⑴求CD的长；⑵求乙。4?的度数；⑶求cos/O/T）的值.

7.如图，过点P作。O的两条切线，切点分别为4,B,连接ON,OB,OP,取”的中点C,连接力。并

延长，交0O于点D,连接8D（1）求证：^ADB=^AOP\

（2）延长OP交。8的延长线于点E.若月产=10,taiu/IO尸=1,求。E的长.

2

8.如图，已知OO是ZU8C的外接圆，AB=AC.点D,E分别是8C,4c的中点，连接。E并延长至点居

使DE=EF,连接力反⑴求证：四边形力〃力/是平行四边形；

⑵求证："‘与。。相切；（3）若tan/助C=g,8c=12,求。。的半径.

4

第4页（共16页）

专题十一圆与三角函数

参考答案与试题解析2026年05月

I.如图，在四边形彳8c。中，BD=CD,zC=zBAD.以力8为直径的0。经过点。，且与边。。交于点

E,连接力E,BE.

（1）求证：8C为。O的切线；

（2）若48=折，sinzJE£）=xl2,,求8E的长.

10

【答案】⑴证明见解答；

（2）8E的长是司叵.

5

【解答】⑴证明：•.Y8是。。的直径，

/力。8=90。，

BD=CD,

/.zC=zDBC,

•••ZC=ZBAD,

/.ZDBC〜BAD,

/.zOBC〜ABD+^DBC〜ABD^z.BAD=90°,

OB是G>O的半径，且BCLOB,

・•.BC为OO的切线.

（2）解：作。凡LAC于点尸，则/BFD=〃CFD=4J5C=90°,BF=CF,

：.DHABy

ZABD~AEDt/lfi=V10,

:.^2.=sinz48O=sin/AED«^-,

AB10

力。=①如"2/1葭VI5=i,

1010

22

^=7AB-AD=yl（Vic）2-12=3，

zBDF=zABD,

^L=sinzBDF=s\n^ABD=^^y

BD10

...BF士叵-BD=®^-x3=曼逗,

101010

zBEC=4BAD=\W-^BED,zC-zBAD,

第5页（共16页）

/./BEC=AC,

8E=8C=2^=2x时页=时更，

105

・•.BE的长是31叵.

5

2.如图，。。是“4。的外接圆，为直径，点。是ZU6。的内心，连接并延长交。。于点区

过点E作。。的切线交AB的延长线于点F.

（1）求证：BClEF\

⑵连接CE,若0。的半径为2,sin/AEC」，求阴影部分的面积（结果用含n的式子表示）.

2

【答案】

【解答】⑴证明：连接OE,交BC于点G,

OA=OE,

：.zOAE=乙OEAy

又；D为A4BC的内心，

/.zOAE—C4E,

：.ZOEA=ZCAE,

：.OE\\ACt

又•.•月8为OO的直径，

乙ACB=90°,

二n8Go=90°,

又；EF为。0的切线且OE为。0的半径，

・•・Z收0=90。，

zBGO〜FEO,

/.BClEF；

⑵解:vsin/AEC。

:.ZJEC=30°,

zABC~JEC=30°,

n8OE=60°,nEFO=3V,

EF=OE・tan析=2圾,

•••S阴影部分=S^EFO-S扇形BOE

="2X2后吟彳二

ZoOU

第6页（共16页）

=2V3-亨•

3.如图，是半圆0的直径，点C是半圆。上的一点，过点。作半圆。的切线交力8延长线于点P,过

点4作4DLPC于点D,交半圆。于点£

（1）求证：力。平分4DAB；

156色，求。石的长.

⑵若PC，sinP=

【答案】（1）见解析;

⑵8.

【解答】⑴证明：•••PO是OO的切线,

・•.OC±PD,

AD±PD、

：.AD\lOC,

ZC4/)=ZACOt

vOA=OC,

zOAC=^ACO,

：.z.CAD=CAPy

・•.平分/DAB\

⑵解：在RtZkOCP中，

sin尸

OP13

.•.设0C=5尤OP=T3k,

.•.PC=10p2-pc2=l"=喈，

5

OC=OB=OA=\3y

/.43=26,

连接必交。。于凡

AB是00的直径，

/.z力EB=90,

BEllPD,

：.£.ABE=z.P,

第7页（共16页）

/.sinz44E=sinP=^_=5

AB13

.•"=10,

・••OH\\AD,AO=OB,

/.BH=EH,

•••°”瑟庇=5,

乙

:.DE=CH=8.

4.如图，在A^BC中，AC=BC,zACB=90°,OO经过4、C两点,交48于点。，CO的延长线交48于

点尸,DEWCF交BC于点、E.

(1)求证：DE为。。的切线；

(2)g/lC=4,tanzCFD=2i求。。的半径.

【答案】(1)证明：看解析⑵劣叵.

3

【解答】(1)证明：连接OD,

•.•/C=8C,,4C8=90。，.,.ZUC8为等腰直角三角形,

/.zC4Z?=45°,zCOD=2^C48=90°,

•/DEWCF,

/.ZCOD+乙EDO=180°,

.•./EDO=90°

/.DE为0。的切线；

⑵解：过点C作CH；B于点H,

•••4ACB为等腰直角三角形，AC=4,

二。"=/〃=!超=2底，

2

Vtanz。尸。=生=2,

FH

・••FH二七

在RtZXCF”中，由勾股定理得C产=C〃2+尸TP,

/-CF=V10,

tanzCFD=^=QD=_QD—=2,

OFCF-OCV10-0D

...(9£)=2ViO

3

故o。的半径为亚£.

3

第8页(共16页)

5.如图，点。在以为直径的。。上，点。在胡的延长线上，N/。胡.

（1）求证：。。是00的切线;

⑵点G是半径08上的点，过点G作08的垂线与8C交于点居与。C的延长线交于点旦若sinZ）

=-i,DA=FG=2,求Cf的长.

5

【答案】⑴见解析；

（2）CE=14.

【解答】解：⑴证明：连接。C

0B=0C

Z0BC〜0CB,

VZDCA=&0BC,

：.ZDCA~OCB,

而48是。。的直径,

Z/。8=90°,

・•・NDCJ+zOCA=AOCA+^OCB=90°,

OCD=90°,

/.DC是OO的切线,

(2)设OC=CM=r,

OC_A

•-sinD=市一5’

r_1

7^2~5

:.OC—OA=8,

在RlAOCD中，CD^0D2-0C2J(8+2)2-82=6,

■:ZDCA+^ECF=4BFG+4C历1=90。,

/.zECF〜BFG,

又•・•/BFG〜EFC,

：.z.ECF=zEFC,

EC=EF,设EC=EF=x,

=

'：zDzD}zQCO=NDGE,

：.ADOCs4DEG,

第9页（共16页）

...DO.=£!£_,贝IJ

DEEGx+6x+2

解得：x=14,

经检验x=14是所列方程的解:

CE=14.

练习:

1.某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺，在半径为1的半圆形量角器中，画一个直

径为1的圆，把刻度尺C4的0刻度固定在半圆的圆心0处，刻度所示的

图尺可读出COSZAOB的值是（）

A.gB.工C.J-I

5810

【答案】A

【解答】解：如图，连接4D

V0/)=1,0/4=08,

AD^/OD2-OA2=V12-O.82=0.6'

••・ZAOB+z400=90°,ZAOLh-z400=90°,

/.zAOB〜ADO,

•'­COSZA0B=COSZAD0=^-=-^-^=7

UD1b

故选：4

2.如图，力A是半圆0的直径，点C,。在半圆上，CD=DB,连接OC,CAtOD,过点B作EBL4B,交

S49

OD的延长线于点E.设△Q4C的面积为S,AOBE的面积为S?,若」•则tan,ACO的值为（)

,23

A.V2B.c.工D.3

352

【答案】A

【解答】解：如图，过C作C,也L4O于，，

•・CD=BD,zCOD〜BOE=〃CAO,

^OA-CH

£i2,即^-------

S23为B・BE-14

zJ=zBOE,tanz4=tan/BOE,

第10页供16页）

.CH=BE.gpCH=AH=2.

,AH-OB，而-OB-3'

设力，=2w,则4O=3〃?=/O=C。，

OH=3〃？-2/77=m,

•••OT=79m2-m2=2V2••tan4/=端=^^:加，

AH2m

0A=0C,：.zJ=zACO,：.tanzAC0=y[2；

故选4

3.如图，4B,CO为。0的直径，点后在前上，连接/瓦。反点G在4。的延长线上，AB=AGtzEAEh-

ZEDB=45°.

(1)求证：47与OO相切；

(2)右BG=4V^,sin/DAE;工，求。E的长.

3

【答案】(1)略

⑵DE=DCsinZDAE=2x/lC乂j二空出.

【解答】⑴证明：・••ZEDB,4£力8所对的弧是同弧，

/.zEDB=4EAB,/[/\

ZE4D+KEDB=45°,；.ZE4D^EAB=45°,

BPzBAD=45°,

•・•力〃为直径，.•./ADB=90°,:.A4=45。，

,；AB=AG,zB=4G=45°,；.zGAB=90°,

vAB为。。的直径，..AG与。O相切；

（2）解:如图，连接C旦

zDAE,zOCE所对的弧是同弧，zDAE~DCE,

•・•。。为直径，:「OEC=90。，

在Rt△/%C中，sinzDCE=sm/DAE二工二空，

3DC

VBG=4V5,48=45。，ZBAG=90°y

••AB多BG=2VI5=DC，

・•.DE=DCsinZDAE=2710

oo

4.如图，点小B,C,。在。。上，8。是直径，zBAC=45°f过点C作CEl80交48延长线于点£

（1）求证：C。是。。的切线.

第11页供16页）

（2）若BD=4,tanzJ5Z）=2,求图中阴影部分的面积.

【答案】⑴证明见解答；

（2）阴影部分的面积为5-II.

【解答】⑴证明：连接OC,

■/zBAC=45°fz80c=2/84c=90。，

■/CElBD,zOCE=\W-^Z?OC=90°,

OC是。O的半径，且CELoc,

CE是。。的切线.

⑵解：作BELCE于点尸，则/8/芭=/8/C=90°,

zBFC〜OCF〜800=90°,:.四边形80c尸是矩形,

BD是的直彳至，且BD=4,OC=OB=^AB=2,

2

/.四边形BOCF是正方形，BF=OB=2,

zE=zABD,tanzABD=2.：.—=tan£=tanzABD=2,

EF

/.EF=^-BF=1,：.S阴影=S^BEF+S正方形BOCF-S扇形80c=2~X1x2+：

22

・•・阴影部分的面积为5-n.

5.如图，48是。。的直径，4C与。。相切于点力，连接OC,过点J

并延长交18的延长线于点£

（1）求证：CE是。。的切线；

⑵^AC=2ftanE=l,求30的半径的长.

2

【答案】⑴证明见解答；

（2）OO的半径的长为泥-1.

【解答】⑴证明：连接OQ,则。。=04,

/.ZODB~OBD,

vBDWOCt

ZODB〜DOC,Z()BD=LAOC,

nDOC〜AOC,

OD=OAfzDOC=〃AOCfOC=OCf

AD0C=AJOC倒S),

••­/3是OO的直径，4c与O0相切干点4

第12页供16页）

AC±AR,二/ODCjA=90°,

OD是。O的半径，且CELOD,

CE是OO的切线.

（2）解：：&=tanE=L,AC=2f

AE2

/.AE=2AC=4,...CF=7AC2+AE2=722+42=W^，

­/DC=AC=2,DE=CE-DC=2^5-2,

ZOD£=90。，四=tan"L

DE2

...OQ=4E=L<（2>/5-2）=V5-1,

22

.•・。。的半径的长为唬-1.

6.如图，18是。0的直径，半径OUL力反垂足为O,OC=2,尸是84延长线上一点，连接CR交00

于点D,连接AD,z6?CP=60°.过点P作。。的切线，切点为E.交CO的延长线于点F.

（1）求而的长；

（2）求/D48的度数;

（3）求coszOFP的值.

【答案】⑴In；⑵75。；（3）返.

33

【解答】解：⑴连接8,

OC=OD,zOCZ）=60°,

△OCQ是等边三角形，:「COD=60°,

0C=2,

...而的长=迎卫=20；

1803

（2）OC1AB,/.zAOC=90°i

ZAOD=4AOC-LCO£）=30°,

1F

vOD=OA,4DAB~ADO=±x（180。-30°）=75°；

2

⑶连接OE,

•••PE切圆与E,半径OE1PE,

zPOE+AOPE〜OFP+乙OPE,zPOE=£OFP,

■：tanC=tan60°=—=-5£-=V3,:.PO=2百，

0C2

第13页供16页）

：.COSXPOE--==^-.

OE=OC=2,

P02V33

coszO"=COSNPOE=-=-^~.

3

7.如图，过点尸作。。的两条切线，切点分别为4B,连接。4,OB,OP,取OP的中点C,连接力。并

延长，交OO于点。，连接8D(1)求证：zADB=^AOP'>

⑵延长OP交。8的延长线于点£.若/P=10,tan,/OP=1,求。E的长.

2

【答案】⑴见解析；⑵44.

【解答】（1）证明:vAP,8P分别切0。于4点，B点,

/.OP平分/AOB,•••ZA0P=yZA0B>

又；AB=AB,「•ZADB=yZAOB>

ZADB=AAOP\

（2）解：延长49交GO于点兄连接/）凡则z4）尸=90°,

:AP,8尸分别切。。于4点，B点,：.PALOA,

:c为OP的中点，PC=OC,：.AC=0C=-0P»

2

()

又•••/〃=10,tan/AOP:千

I)

,■A°=tanZAQP=2Q，0P^A02+Ap2=^202+102=10V.B

AC=OC=^OP=5V5,力/=2J0=40,

vAC=OC,ZCJO=4AOC,

又；ZPAO=^ADF=90°,：.AJOP-ADA