全等三角形旋转法-初中数学模型与解题方法专练（解析版）

专题23全等三角形旋转法

一、单选题

1.如图所示，且=“8C为直角三角形，Z4CB=90°,已知友?=2,AC=5,则四边

形人8C。的面积为（）

A.—B.15C.—D.20

22

【答案】C

【详解】解：过/H乍AE_LAC,过〃作力EJ.AE,垂足为£,如图，

・•・DE//AC,

•・"_1_仞且八6=>4。，

/BAD=ZCAE=90。,即ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD=90°,

・•・〃3AC=/DAE,

•・•乙48=90°,

・•・ZACB=ZE=9O0,

:.4BAC络AAS),

:・DE=BC=2,AE=AC=5,SAliC=SADE,

•二四边形A6CD的面积为S八八BC十S^NDC~SMDE+^/\ADC~S掷形ACDE

(2+5)x535

=1—•

22

故选:C.

2.如图，点P是等边三角形A8c内一点，且24=6,PB=8,PC=10,若将△转“绕着点〃逆时针旋转

后得到△CQ8,则/APB的度数.（）

B

O

c

A.90°B.120°C.150°D.165°

【答案】C

【详解］解•：连接PQ，由题意可知工A8P四C8Q,

则Q8=P8=8,PA=QC=6,ZABP=ZCBQ,

•・•ABC是等边三角形，

:.ZABC=ZABP+ZPBC=60°,

・•・"BQ=NCBQ+/PBC=60°,

・・・VBPQ为等边三角形，

・•.PQ=PB=BQ=8,

又・.・PQ=8,PC=10,QC=6f

・•・PQ2+QC2=PC2,

・•・"QC=90。,

・.・VBPQ为等边三角形，

・•.ZBQP=60°,

:.£BQC=ABQP+4PQC=150°

：.^APB=ZBQC=\50°,

故选C.

3.如图，在四边形4%力中，NADC=NABC=90°,AB=BC=5,BD=7,则RtZ\49T的周长为（）

B

A.572B.772C.972D.12后

【答案】【）

【详解】解：延长"'到幺使偌=力〃，连接/次

■:NA【）C=NABC=90°,

:ZDAm4DCB=36G-90°-90°=180°,

♦：/BCEQDCB=18Q0,

"BCE=ZBAD,

在△/］如和△侬中，

AB=CB

NBAD=NBCE

AD=CE

:ND哙ACEB（5/15）,

AZ1=Z2,DB=BE=7,

VZ1+Z3=9O°,

，/2+/3=/颂=90°,

・•・△〃应'为等腰直角三角形，

・•・DEVDBMBE?=7点'

,:AB=BC=5,480=90°,

：•AC=>jAB2+BC2=5>/2

Pt^ADC的周长=A6DC+AC,

=C*C决AC=DRAC=12V2,

故选D.

4.如图，。是正“3C内一点，。4=3,08=4,OC=5.将线段80以点B为旋转中心逆时针旋转60八

得到线段40"下列结论错误的是（）

A

ofr/\

O

BC

A.点0与。的距离为4B.NAQB=150。

C.Si^a/fiAOBO=64-4\/3D.S^AOB+S^AOC=3+4\/3

【答案】D

【详解】解：如图1，连接”/,

由题意可知，Zl+Z2=Z3+Z2=60°,

AZ1=Z3,

又myB,AB=BQ

.,一BOAW-BOaSAS),

又・・・/0物=60°,

AAW是等边三角形，

A00'=OB=4.

故A正确；

■:、B0'/出丛BOC,

AO,4=5.

在中，三边长为3,4,5,这是一组勾股数，

・•・△/仍是直角三角形，ZAOO'=90°,

AZAOB=ZAOO,+ZBOO'=900+60°=150°,

故B正确；

2

S网边彤AOBO=SAAOO+S„OBOX3X4+—X4=6+475,故C正确;

如图2

将AOC绕A点顺时针旋转60°到二ABO,位置,

同理可得S&A0c+S.AO8=6+,

故D错误；

故选D.

5.如图，正方形力/如9中，点公/'分别在线段40、曲上运动，且满足//:"'=45°,做肝分别与/力相

交于点风也下列说法中：①BE+DF=EF；②点/I到线段）的距离一定等于正方形的边长；③BE=2,DF

=3,则S"f"、=15；④若力《=6及，BM=3,则秘-5.其中结论正确的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【详解】解：如图，把△力力'绕点/!顺时针旋转90°得到△〃，〃.

由旋转的性质得，BH=DF,AH=AF,4BAH=4DAF,

••,"445。,

:/EAH=/BA出/BAE=/DA>NBAE=9G・N口尸=45°,

：・/EA!I=4EAF=45°,

在△力£7•'和^川阳中，

AH=AF

♦ZEAH=ZEAF=45°,

AE=AE

•••△/I次也△力即(MIS),

:.EH=EF,

：.£AEB=/AEF,

:,B*BH=BE)F=EF,故①正确；

过,4作AG工EF于G,

:・NAGE=NABE=90°,

在AABE与AAGE中,

NABE=NAGE

ZAEB=ZAEG,

AE=AE

:AIBE且AAGE(AAS),

：.AB=AG,

，点力到线段）的距离一定等于正方形的边长；故②正确;

♦：BE=2,炉=3,

:,EF=B!^DF=5,

设,BC=CD=n,

*.CE=n-2,CF=n-3,

:・EP=Clf+C〃,

・・・25=（/7-2）2+（/7-3）2,

.*./?=6（负值舍去），

・・・/=6,

•••必4尸X6X5=15.故③正确；

BEC

如图，把△/1〃¥绕点川顿时针旋转90°得到△力回，连接QJ/,

由旋转的性质得，BQ=DN,4。=41；乙BAQ=乙DAN,4ADN=/ABQ=45°,

•••/夕/=45°,

:・/MAQ=/BA//BAE=/DAN^NBAE=900-N切尸=45°,

••・乙的。=乙痴）』45",

在△/?,监和△/!榔中，

AQ=AN

«/MA。=/MAN,

AM=AM

•••△加3△4於（SIS）,

・・・加=例

■:/QBM=NAB5NABM=90°,

:.R/MF=MQ',

:,雨+耐=毗,

♦:杷=6日

・•・"=J5/俗=12,

设珈三筋肥ND=BD-BM7於=9-x,

/.32+(9-x)2=/,

解得：x=5,

:,欢=5,故④正确，

故选A.

6.如图，在△力欧中，点M,N分别是/匕欧上一点，AM=BN,ZC=60°,若/应=9,BM=7,则J介的长

度可以是()

【答案】B

【详解】解：如图，作等边▲ABQ和等边一M鳍，连接QKQJ/,

CNR

在等边一AAQ和等边加尸中，NQBA=NPBM=6()。,

.♦・4QBP+4QBM=NQ3M+AABM=60°,

々QBP=/ABM,

又,：QB=AB=9,PB=MB=L

：.QBP^ABM(SAS),

:.Z.BQP=ZBAM,PQ=AM,

,:AM=BN,

.・.PQ=BN

在/8C中，ZACB+ZCAB+ZCI3A=180°,ZACT=60°,

・•・ZMBC=180°-60°-ZMAB-ZABM=120°-ZMAB-ZABM,

在△QBP中，^QPB+^BQP+ZQBP=180°,ZMPB=60°,

I./MPQ=180°-60。-NBQP-NQBP=120°-/MAB-NABM,

/MBN=/MPQ,

在△QMP和八NMB中,

PR=MB

-NMBN=NMPQ,

PQ=BN

:…QMP=NMB(SAS)

：.MQ=MN,

在中，QB-MB<QM<QB+MB,

：.AB-MB<MNvAB+MB,

：.?<MNC6,

・•・选项H朗V=7符合题意，

故选B.

7.如图，在边长为4的正方形/依力中，对角线芯，劭交于点。，E在.即上,连接纲作跖L四交加于

点"，交〃'于点G,连接6交班于点〃，延长应交力〃于点机连接阴，则下列结论：①点£到力区BC

的距离相等；②/FCE=45°：③/DMC=/FMC；④若//=2,则//二正确的有()个.

4

AMD

叵BC

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】解：如图1,过E点作〃E_LAB、NE工BC,

AMD

sBNC

图1

/EHF=/ENC=90。,

•・•在正方形/仍⑺中，^ABC=9if,/ABD=NCBD=45。,

:・HE=NE,即点£到力区8c的距离相等，故①正确；

N”E7V=9O°；

・•・/HEF+/EFN=90。,

由•・•££_!_小，

・•・/CEN+/EFNW,

・•・4CEN=4FEH,

.•…CEN*FEH(AAS)

EF=EC,

...ZFC£=l80O-90°=45%故②正确；

如图2,延长场至只使DP=BF,连接PC,

AMDP

wBC

图2

易证jBFCmDPC(SAS)

AZFCB=ZPCD,FC=PC,

•・•/FCE=45。,

:./DCP+/MCD=NECB+/MCD=90。-45。=45。,

:.4FCM=/PCM,

又：MC=MC,

:.[FCM—PCM,

:…FCM=4PCM,

：.£DMC二乙FMC,MF=MP,故③正确,

在边长为4的正方形力伙力中，4B=8C=CO=AO=4,

若DM=2,则AM=A£>-仞£)=2，

设BF=DP=X,则A/=A8-8/=4-X,MF=MP=DP+MD=x+2,

在RL.AM/7中，MF2=AF2+AM2

A(2+X)2=(4-X)2+22,解得：.r=g,故B/=g：④错误，

综上所述，正确的①②③，故选C.

二、填空题

8.如图，已知点P是正方形A8CD内的一点，连接外、PB、PC.若E4=4,PB=2,ZAPB=\35°,则

【答案】2底

【详解】解：四边形44co为正方形，

;.BA=BC,ZABC=90。，

把△8AP绕点8顺时针旋转90。得到△CBE,连接在;，如图，

:.BP=BE=2,CE=AP=4t/PBE=9(1°,/BEC=ZAPB=135。,

.APBE为等腰直角三角形,

:,PE=42P8=2j2»ZPEB=45°,

二/PEC=135°-45°=90°,

在R【PEC中，•.PE=2&，CE=4,

:.PC=&+(2扬2=2限.

故答案为：2瓜.

9.如图，等边4ABe中，N4O8=115。,N8OC=125。，则以线段。A。江。。为边构成的三角形的各角的度

数分别为.

【答案】55。，60°,65°.

【详解】解—：将.498逆时针旋转60。，得到△CD4,

•・•AO^CDB,ABC是等边三角形，且旋转角相等，则08=08,NO8ZA60。

・•・J6OD是等边三角形.则OB=DB=OD

又・：&AOB^-CDB；・ZAOB=NCDB=115。OA=DC

故以线段OAO氏OC三边构成的三角形为

所以ZODC=ZCDI3-ZODI3=115°-60°=55°

ZCOD=/BOC-/BOD=125°-60°=65°

Z0CD=180°-ZODC-COD=180°-65°-55°=60°

故答案为:55°,60°,65°.

10.如图，在直角坐标系中，〃(3,3)、C(4,0)、D(0,2),他与CD交于点P,若/力心45°,则小点

坐标为.

【详解】解：如图，将ZT绕点〃逆时针旋转90。得到制,

,?C(4,0)>ZX0,2),

则02,6).

设直线。的解析式为y=

将C(4,0),Q(2,6)代入得

0=4k+b,[k=-3

,人，解得《八»

6=2k+b(0=12

:.直线CQ的解析式为y=-3x+12.

VZAPC=45°,由旋转的性质得到

4PC=NOCQ=45°,

AABCQ.

V3(0,3),

・•・直线AB的解析式为)，=-3x+3,

-3x+3=O,

：.x-\,

J点AGO).

故答案为：(1,0).

11.如图，尸为等边三角形ABC内一点，且点这到三个顶点尔B、C的距离分别为6、8、1(),则“8C的

面积为_______________.

【答案】36+2573

【详解】A8C为等边三角形，

BA=BC,

可将△"PC绕点B逆时针旋转60°得△“£区,在EP,且延长彼，作人尸J_/A于点尸.如图,

:・BE=BP=8,AE=PC=\O,NPB£=60。，

:.&BPE为等边三角形,

PE=PB=8,N8PE=60。，

在ZXAEP中，AE=10,Aq=6,PE=8,

AAE2=PE2+PA1

•••△AEP为直角三角形，且ZAPE=90。,

NAM=900+60°=150°

・•・NAPE=30。，

J在直角aAW中，AF=1AP=3,PF=6AF=3G,

在直角ZsAB"中，BF=BP+PF=8+36,

:.AB2=BF2+AF2=（8+373）2+32=100+4873,

・•・MAC的面积=与公=且

x（100+48@=36+256

44

故答案为：36+25石.

12.如图，点。为线段/W的中点，夕为直线A4上方的一点，且满足。E=CB,连接AE,以AE为腰，A

为直角顶点作等腰用△AOE,连接CQ,当C。最大，且最大值为夜+1时，则.

【答案】2

【详解】解：如图1中，将线段"绕点月逆时针旋转90°得到线段力"连接。/,DC.

B

图1

D

♦：2DAE=4HAC=9N,

JAI)AH=/EAC,

■:DA=EA,HA=CA,

:ZA但MAC(SAS),

:,DH=CE,

VCD^DHICM,

・•・当〃，C,〃共线时，a'最大值=0+1，如图2中，

设.4ex,则旌华游x,C4旧,

・'・近上+广&+1，解得：产1，

：.AB=2AC=2.

故答案是：2.

三、解答题

13.已知，如图1,四边形48CQ是正方形，E,尸分别在边8C、C。上，且NE4尸=45。，我们把这种模

型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法.

(1)在图1中，连接石厂，为了证明结论“即=”，小亮将4叱绕点A顺时针旋转90。后解答了这

个问题，请按小亮的思路写出证明过程；

(2)如图2,当2£4/绕点A旋转到图2位置时，试探究砰与。尸、跖之间有怎样的数量关系？

【答案】(1)见解析：⑵EF=DF—RE.

【详解】(1)证明：如图1,

图I

由旋转可得G8=OF,AF=AG,/RAG=/OAF

四边形48co为正方形

/BAD=ZADF=ZABC=90。

ZABC+ZASG=180°

.・G、B、C三点在一条直线上

ZEA?'=45°

二.ZBAE+ZDAF=45°

••ZLBAG+Z1BAE=45°=Z1EAF

在丛GE和AA在：中

AG=AF

<^GAE=Z：EAF

AE=AE

MGE^^AFE(SAS)

二.GE=EF

JGE=GB+BE=BE+DF

EF=BE+DF

理由：如图2,把AABE绕点A逆时针旋转90。，使AB与A。重合，点E与点G对应，同(1)可证

得二A4G/(S4S)

...EF=GF，且DG=BE

EF=DF-DG=DF-BE

14.如图，菱形力/，切中，E、尸分别是边/1〃，面上的两个动点（不与菱形的顶点重合），且满足C片〃七Z

於60°.

（1）写出图中一对全等三角形：.

（2）求证：△庞尸是等边三角形；

（3）若菱形力及力的边长为2,设△叱的周长为例则勿的取值范围为_（直接写出答案）;

（4）连接〃分别与边应；BF交于点、时、N,且/CBF=15°,试说明：MN?+CM=AM?

【答案】（1）△月监△颂（2）见解析（3）2+gWm<A（4）证明见解析.

【详解】解•：（1）△/仍陛△〃应'（或△成侬△版）；

（2）•・•力四为菱形，

：,AB=AD=D（=BC

•••/力=/廿60°

・••△/I劭与△呐为等边三角形，

:・/ABD=NDBe/C?0°,BD=BC,

'：DE=FC

:.'ED哙MFCB

:.EB-FB,4EB2/FBC

:./班片NDBC=60°

・•・△斯是等边三角形

（3）如图1,由（2）知，△颇是等边三角形，奥\E片B片BF.

则u「DE、DREF-AD'BE.

当.%_L/1〃时•，/加最短，此时△〃出'的周长最短

•・•在此△力应'中，

,?ZAEB=90°,ZABE=3O°,

AE=—AB=1,

2

：•BE=\IAB2-AE?=6,

.,・9~2十石.

当点少与点力趋于重合时，△〃/沪的周长最长，此时〃尸2+2=4.

综上所述，勿的取值范围是：2+6WZ4；

故答案是：2+"W〃/V4；

图1

(4)把△矶。绕点8逆时针旋转120,使⑦与月8重合，*对应点为A',连接拗'

:.NAEe/.MBA

:"NBA+/EBA=600=/EBF

♦：BN^BN,B拒BM

:、BgANBM〈SAS)

:.峨=MN,Z.l/V庐/Ml庐45°

又tNAN比NBNC=180°-(15°+30°)=135°

AZAV.IA1350—45°=90°

:,Mf=AN+M击麻+NC

15.如图1,在四边形ABCD中，AB=AD,NB+/ADC=180°,点E,F分别在四边形ABCD的边BC,CD±,Z

试猜想EF,BE,DF之间的数审关系.

(I)思路梳理

将4ABE绕点A逆时针旋转至△ADG,使AB与AD重合,由NB+NADC=180°,得NFDG=180°,即点F,I）,

G三点共线，易证△AFGgZ\AFE,故EF,BE,DF之间的数量关系为_；

（2）类比引申

如图2,在图1的条件下，若点E,F由原来的位置分别变到四边形ABQ）的边CB,DC延长线上，ZEAF=^Z

BAE,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系，并给出证明.

（3）联想拓展

如图3,在AABC中，ZBAC=90n,AB=AC,点D,E均在边BC上，且/DAE=45C，若BD=1,EC=2,直接写

出DE的长为.

【答案】（1）EF=BE+DF；（2）EF=DF-BE；证明见解析；（3）

【详解】解：（1）将AABE绕点A逆时针旋转至△ADG,使AB与AD重合，

VZB+ZADC=180°,

AZFDG=180o,即点F,D,G三点共线，

VZBAE=ZDAG,ZEAF=yZBAD,

.,.ZEAF=ZGAF,

AE=AG

在4AFG和aAFE中，＜,

AF=AF

AAAFG^AAFE,

JEF=FG=DG+DF=BE+DF；

(2)EF=DF-BE：

证明：将AABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到aADE',则△ABEgADE',

・•・NDAE'=ZBAE,AE'=AE,DE'=BE,ZADE*=ZABE,

VZABC+ZADC=180°,ZABC4-ZABE=180°,

AZADE*=ZADC,即E',D,F三点共线，

VZEAF=；/BAD,

・・・NE'AF=NBAD-(NBAF+NDAE')=ZBAD-(ZBAF+ZBAE)=ZBAD-ZEAF=ZBAD,

AZEAF=ZE,AF,

AE=AEf

在aAEF和△AE'F中，•NEAF=NE，AF,

AF=AF

.*.AAFE^AAFE,(SAS),

・・・FE=FE',

又・；FE'=DF4)E，,

・・・EF=DF-BE；

(3)将△ABD绕点A逆时针旋转至AACD',使AB与AC重合，连接ED',

同(1)可证AAED0AED',

・・・DE=D'E.

VZACB=ZB=NACD'=45°,

・・・NECD'=90°,

在RtZ\ECD'中，EDJ=VEC2+D'C2=\IEC2+BD2=45»BPDE=5/5,

故答案为：逐.

16.如图所示，已知./AC为等腰直角三角形，NBAC=90。,E,〃是比•边上的点，且NE4F=45。.求证:

BE2+CF2=EF2.

【答案】见解析

【详解】方法1如图8—8所示，将AAb绕点力按顺时针方向旋转90。.

图8・8

•・•53C为等腰直角三角形，ZBAC=90°,

:.AB=AC.

・•・旋转后然边与月8边重合，记旋转后的三角形为△A8O.

AAD=AF,NBAD=NCAF,NA4D=NC=45。，BD=CF.

VZE4F=45°,ZBAC=90°,

・•・ABAE+ZCAF=ABAE+ABAD=ZDAE=45°=ZFAE.

在AA。石与A4所中，

AD=AF

-NDAE=NFAE,

AE=AE

JAADE^AAEF.

:.EF=DE.

•・•ADBE=ZABD+ZABC=9()。，

/.EF2=DE2=BD2+BE2=BE2+CF2.

方法2如图8—9所示，将一4注沿直线力£翻折得AAGE,连接&；,则AB=AG=AC,/BAE=NGAE,

ZB=ZAGE=45°.

由BAE+ZCAF=ZEAG+ZFAG=ZEAF=45°,

可得NGA^nNCA厂.

在MGF和AACF中，

AG=AC

、ZGAF=ZCAF,

AF=AF

:.MGF^AACF,

:.CF=GF,NC=ZAG”=45。.

AZ£GF=90°.

:.EF2=EG2+FG2=BE2+CF2.

17.问题解决：如图1,。是等边“8c内一点，且P4=3,PB=4,PC=5,若将△R4C绕点A逆时针旋

转后，得到则点尸与P'之间的距离为______,NAPB=度.

B

类比探究：如图2,点P是正方形48co内一点，PA=\,PB=2,PC=3.你能求出/AP5的度数吗？

迁移运用：如图3,若点P是正方形48co外一点，24=5,PB=2,N4m=45。，则PC=.（直接

写出答案）

【答案】问题解决：4、150；类比探究：ZAPB=135°；迁移运用：y/33

【详解】解：问题解决：如图1,连接PP',

/.ZBAC=60°,

PAB为aPAC绕点A逆时针旋转所得,

•••△BAP&aCAP,

：.BPy=CP=5

又旋转后4c与/W重合，PA与P人重合,

・••NPAP=N84C=60。，

.,•二APP是等边三角形，

二尸产=B4=3,NA尸产=60。，

由旋转性质得：PB=PC=5,

•••32+42=52,

Bp2+Pp2=PB"

・•・，8尸。是直角三角形，NBPP=90。,

ZAP8=ZA叩+NPPB=600+90°=150°.

故答案为:4；150：

图2

将，R4B绕点8顺时针旋转90。，使A8与BC重合，连接PPL

则〃8户=90°,PB=PB=2,P,C=PA=\,

二尸即是等腰直角三角形.

由勾股定理得：

PP2=P'B2+依2=2?+2?=8,

•.­P'C2=I2="2=32=9,

P'P2+PC2=PC2

「.△PPC是直角三角形，NPPC=90。，

△D4夕是等腰直角三角形，

.•.NPPB=45。,

NBPC=NPPB+NPPC=450+90°=135°,

ZAPB=/BPC=135。；

迁移运用：如图3,

A

D

图3

将-E4A绕点B顺时针旋转90。，使AB与BC重合，连接PP,

贝IJ/P89=90°,PB=PB=2,PC=PA=5,/BPC=ZAPB=45。,

二产是等腰直角三角形，

；"BPP=/PPB=45。,

PP'2=PB?+PB2=22+22=S,

:.ZAPB=/PPB,

在线段AP上，

，PPC=NPPBINBPC-45。I45°-90°,

.•.△PPC是直角三角形，

:.PC2=PP?+P'C2=8+52=33,

:.PC=底.

故答案为：屈.

18.已知：ZXABC中，CA=CB,ZACB=90°,D为△ABC外一点,且满足NADB=90。

(1)如图所示，求证:DA+DB=V2DC

⑵如图所示，猜想DA.DB.DC之间有何数量关系？并证明你的结论.

A

(3)如图所示，过C作CH1BD于H,BD=6,AD=3,则CH二一

3

【答案】(1)详见解析：⑵DA-DB;&DC；(3)y

【详解】证明：(1)如图，过C点作S_L必交加的延长线于。点

VZJ6»=90o,CQLCD,/月般90°

:ZACm/DCF9G,/DCB+/8斤90°,/ADC+/C除90°,/C晚“90°

:./AC2/QCB,/ADO/Q,且力俏

：，i\ACD^^BCQ(力力S)

:・CD=CQ,AI工BQ

...叱败的妙力〃

■:CDICQ,NDCQ=9Q0

:,晔正CD

：.I)^AD=42CD

(2)DA-DB-CD

理由如下：如图，过点。作。。1卬交力〃于点0,

,:C作CB,/力叱90°,

・•・/力除N。庐45°

•・・乙优?=90°,QCA.CD

・•・/〃庐N/法90°,

，点4点/，，点〃，点。四点共圆，

，N/1叱N力於45。

'：QCLCD

：.4CQI±4CDQ=45°

ACO-CD,且/仇》90°

・•・QD==4iCD

•・・N〃^N〃C39(T,

:・/ACQ=4DCB,且CQ=CD

:•区ACgXBCD(SAS)

:.QD=V2CD=DA-AQ=DA-BD,

即：DA-DB^rjlDC

(3)如图，过点。作。_LC9交助于点。,

•・•乙如月90°,QCVCD

：・/AC分/加3=90°,

，点力，点区点C,点〃四点共圆，

・・・/6的/。庐45°

,：QCICD

"CQD=/CDQ=43°

:.C①CD,且/祀990°

•••△加。是等腰直角三角形，

■:/ACF/DCg90°,

:"AO)=/QCB,且AC=BC,CQ=Ci)

：.\KDQXBCQ(SAS)

:・AABQ,

：.lgDBT3Q=DB~AIA3

•・•△〃口是等腰直角三角形，“03,CHVDB

:.除旌叱：除工.

22

故答案为;.

19.(1)问题背景：如图1,正方形力应〃中，尸在直线C〃上，£'在直线a'上.若/切/-45°,求证：BE

+FD=EF；

(2)迁移应用：如图2,将正方形4加9的一部分沿翻折，使力点的对应点£在旗上，且力〃的对应边

交Q)于F点.若用,=3,EC=2,求"的长；

(3)联系拓展：如图3,正方形仍⑦中，E、0在⑦上，尸在3c上,若EF=EA,4FQA=4FEA.若/CFQ

=34°,则°.

17

【答案】(1)见解析；(2)—；(3)34°

4

【详解】(1)证明：如图1,将二月断绕点力顺时针旋转90°,使月6与月〃重合，得到了旋转后的

：ZBAE=4DAG,AE=AG,4B=/ADG=90°,BE=I)G,

：,ZADF+ZADG=180°,

:,F,D,G三点共线,

•・•/叱=45°,

：・/BAE+/FAD=A5°,

A/DA&r/FAD=\^,

4EAF=/FAG,

在，EAF与，劭/7中，

AE=AG

«ZE4F=ZE4G,

AF=AF

:…EAF^'GAF(SAS),

:.EF=FG,

'：M*FD=FG,

:.BE+FD=ER

(2)解：•・•四边形力颇为正方形，

:・AB=BC,//A/C=/A=/g90°,

♦：BE=3,EC=2,

:,RB=BC=5,

•・•翻折，

・•・设力6=必=%则阴=5一心

•・•在Rt..8G£中，BG2+BE2=GE2,

(5-x)2+32=x2,

解得：x=3.4,

；・BG=5-x=1.6,

•・•翻折,

GEF=/A=9M,

工,GEB+4FEC=/GEB+/BGE=9G,

:"FEC=/BGE,

又,：4B=4C,

・•・小BGEsfEF,

.BGGE

，'~CE=~EF，

1.6_3.4

即prJ：7一方，

解得：EF==,

4

17

・••跖的长为一；

4

(3)解：如图，连接力代设/FQA=/FEA=m,

'：EF=EA,

:.ZEAF=N：(180。一，〃)=90。一，

22

•:/FQA=/FEA,4F0Q=4A0E,

：.△产,

,FOQO

**~AO~~Ed'

.FO=AO

''~OO~"Ed'

又V/FOA-/QOE,

...^FO^^QOE,

J£AQE=ZAFE=90°—；/〃,

VZ67^=34°,Z6^90°,

・・・NW=90°-Z67^=56°,

*/ZOF+Z^+ZAQE=180°,

A56°+〃#9O°-2机=180°,

2

解得：加=68°,

VZ/?=90o,

：,^QAD=^°-AAQE

=900―（90。一:，〃）

I

=—m

2

=34°，

20.(1)问题引入：如图1,点尸是正方形力时边便上一点，连接"，将"环绕点/!顺时针旋转90°与

④力8G重合(〃与8重合，尸与G重合，此时点G,B,。在一条直线上)，NG/伊的平分线交宽于点色连接

EF,判断线段)与您之间有怎样的数量关系，并说明理由.

(2)知识迁移：如图2,在四边形力比初中，N力必N6=180°,AB=AD,E,少分别是边比：切延长线上

的点，连接力必AF,&/BAD=2/EAF,试写出线段/犯EF,卯之间的数量关系，并说明理由.

(3)实践创新：如图3,在四边形/俗。9中，ZABC=^0°,/IC平分/应区点E在/18上，连接CE,且

N.DAB=/DCE=60°,若DE=a,AD=b,AE=c,求跖的长.(用含a,b,c的式子表示)

【答案】⑴EF=GE,理由见详解；⑵BEHEF,理由见详帐(3)跖=*’理由见详解

【详解】解：(1)EF=GE,理由如下：

•・•绕点力顺时针旋转90°与△力仍重合,

：,AG=AF,

•・N£平分

：2GAE=/FAE,

在△的£和△必E中，

AG=AF

、ZGAE=ZFAE,

AE=AE

:.\GA的XFAEkSAS)、

:・GE=EF；

(2)BE-DF=EF,理由如下：

如图2,在BE」二取BG=DF,连接/1G,

VZ/fZr+Zi9=180°,N/lZF+N力ZT=180°,

在△/1%和△/IZF中，

BG=DF

ZB=ZADF,

AB=AD

:、△ABG^XADF〈SAS),

:ZBAG=/FAD,AG=AF,

・：/BAD=2/EAF,

:"GAF=2/EAR

:./GAE=/EAF,

在和△处£'中

AG=AF

^GAE=^FAEt

AE=AE

:、HGA的MAE(SAS'),

，GE=EF,

:.BE-DF=EF；

(3)如图，作阻力〃交力〃的延长线于凡取FG=BE,连接缁,

■:AC平^分乙BAD,CFLAF,CBL18,

:、CF=CB,4EBC=4GFC,

,:BE=GF,

:.\CB%2CFG(SAS),

：・/BCE=/FCG,CG=CE,

VZ/Z4i?=60o,

・•・/阳？=120°,

,・•/腔=60°,

"DCF+NBCE=6Q。,

，/优8=60°,

又・：CG=CE,

：.i\ECD^/\GCD(SAS'),

：.Q)=DE,

■:RtAAC%RdKB(应)，

:"F=AB,

:,b+aTE=c+BE,

21.如图，月以》为矩形，AB=40AD=\,所'为力兜9内两点.求(AF+DF+FE+CE+BE)的最小值.

【答案】86

【详解】解：如图所示，将△ADF绕点力逆时针旋转60°于△ADTL将.AEC绕点〃顺时钎旋转60°于

△B£C',连接"'，EE',作DG_LA8交劭的延长线于点G,作C”_LA8交/仍的延长线于点〃，

AADP且AAPF，ABEgABE'C',

:・》F=DF,CE=CE,AF'=AF,BE=BE,

又二•旋转角等于60°,

・•・//4尸=60。，/EBE'=60。,

・•・和-8EE'都是等边三角形，

AAF=F'F,BE=EE,

：,AF+DF+FE+CE+BE=DF'+FT+FE+EE+EC>DfC,

・•・"'+%'+用+g■班'的最小值为DC的长度.

VZD/Vy=60°,NCBC=60。，

・・・S4G=3O。，ZCBH=30°,

又・.,DG_LA8,CH上AB,

/.D'G--AD,--AD-2CH--CB--CB-2,

222r2

:.iyG=CH,

又•・,DG〃CH,

・•・西边形DGHC是平行四边形，

又：UG上AB,

・•・四边形O'GHC是矩形，

:.UC=GH,

二=依-22=26，BH=>]BC2-HC2=V42-22=275»

/.G〃=GA+AB+8〃=26+46+26=8x/5.

・•・DC=GH=86.

・・・QAF+DF+FE+CE+BE)的最小值为8G.

22.七MB。中，/力⑦=90°，AC=BC,点E为AA比外一点,且/㈤=45°.求证：AEA.BE,

【答案】见解析

【详解】证明：过。点作b_LCE交"的延长线于厂,

ZC£4=45°,

...ZF=ZCE4=45°,

:.CF=CE,

ZFCA+ZACE=ZACE+ZECS=9(尸，

:.NFCA=NECB,

在AFCA和AEC4中，

CF=CE

,Z.FCA=NECB,

AC=BC

ACF=BCE(SAS),

.-.zfiEC=ZF=45°,

ZAEB=ZAEC+ZBEC=9(r,

^AEIBE.

23.如图，在△4%中，AB=AC=26ZBAC=[2Q°，点〃£都在边8。上，N〃4E=60°,若BD=2CE,

求力的长.

【详解】解：将△A3。绕点4逆时针旋转120°得到△ACF,取CF的中点G,连接所、EG,如图所示:

过点A作AN_L8C于点N,如图，

VAB=AC=2^,ZZ?AC=I20°,

:,BN=CN,ZB=ZACB=3O°,

在及以8/W中，/8=30。，AB=2&,

AN=-AB=y/3,

2

，BN=ylAB2-AN2=3，

:、BC=6,

・•・ZACB=ZB=ZACF=3O°,

・•・ZECG=60°.

•・•CF=BD=2CE,

・•・CG=CE,

・・..CEG为等边三角形，

EG=CG=FG,

：./EFG=NFEG=LNCGE=3O。.

2

・•・△CEF为直角三角形,

VZBAC=120°tZDAE=60°,

・•・ZBAD+ZCAE=6O°f

・•・^FAE=ZFAC+ZCAE=ZBAD+ZCAE=W).

在V/V)石和△AFE中，

AD=AF

,/DAE=/FAE,

AE=AE

：.ADE^.AFE(SAS),

:.DE=FE.

设EC=x,则8rHe尸=2x,DE=FE=6-3X,

在Rf,CEF中,ZC£F=90°,CF=2x,EC=xt

EF=y]cF2-EC2=6x,

6-3x=，

：.x=3-&

:.D£=V3x=3x/3-3,

答：OE的长为36-3.

24.(1)如图1,在四边形/WCO中，AI3=ADtZ«=ZD=90°,E、/分别是边ACC加上的点，且

Z£4F=1z^D.求证：EF=BE+FDx

(2)如图2,在四边形A8C。中，A8=AD/8+/。=180。，E、产分别是边8C、C。上的点，且

EF=BE+FD；求证：NEAF=g/BAD,

(3)如图3,在四边形A8CQ中，AB=AD,ZB+ZADC=180\E、/分别是边BC、CD延长线上的点,

且/E4尸=40。，ZBAD=80°,写出所、BE、/。之间的数最关系，并证明你的结论.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）EF=BE-FD；理由见解析

【详解】（1）证明：如图1中，延长E8到G,使BG=DF,连接AG.

ZABG=AABC=ZD=90°,AB=ADf

•・A8G-APRSAS),

\AG=AF,Z1=Z2,

\Z1+Z3=Z2+Z3=ZE4F=-ZEW,

2

\NGAE=NEAF,

.*AE=AEt

・._AEG-AEF(SAS),

•・EG=EF,

：EG=BE+BG,

•・EF=BE+FD；

(2)证明：如图2,延长CB至M使连接AM.

Z/=ZD,

在与△AOF中，

AB=AD

•Z1=ZD,

BM=DF

：・ABMg.ADF(SAS),

/.AF=AM,Z2=Z3,

,:EF=BE+DF=BE+BM=EM,

在△AME与内石中，

AE=AE

,EM=EF,

AM=AF

・•・AME^.AFECSSS),

:.AMAE=^EAF,

・•.Z3+Z4=ZE4F=-Z^F,

2

NMAF=N3+N4+NEAF,Z2=Z3,

:.尸=/2+/4+/£4尸=/刚£>,

ZE4F=-Z^D；

2

(3)解：EF=BE-FD.

证明：如图3,在跖上截取8G,使BG=DF,连接AG.

VZB+Z4DC=180°,ZADF4-Z4ZX?=180°,

ZSB=ZA£)F.

在一48G与△AO/中，

AB=AD

NABG=NADF，:「ABG四二ADFXSAS).

BG=DF

：./BAG=ZDAF,AG=AF.

/./BAD=NBAG+ZG4D=NDAF+ZG4D=ZG4F=80°,

・•・/GAE=/GAF-zLEAF=80°-40°=40°,

4JAE=/EAF.

•・•AE=AEt

・•..AEGg.AEf(SAS).

:.EG=EF,

,:EG=BE-BG,

EF=BE-FD.

25.如图，菱形力吸》与菱形破犷的顶点8重合，顶点尸在射线力。上运动，且N8CD=N8G9=120。，对

角线力心切相交于点。

(1)如图L当点尸与点。重合时，直接写出生的值为_____；

FD

(2)当顶点厂运动到如图2的位置时，连接CGCGA.BG,且CG=5C,试探究口与分'的数量关系，

说明理由，并直接写出直线CG与加所夹锐角的度数；

(3)如图3,取点。为力。的中点，若8、E、夕三点共线，且当b=2时，请直接写出利的长.

【答案】(1)―i(2)FD=y/3CG,30°；(3)3W

3

【详解】解：(1)设菱形力45边长人8=2〃，

•・•在菱形/发力中，NBCD=NBGF=120°,

：.AC1BD,ZABC=6O°,N8AO=12()。，

工ZAB。=30。，NBAO=60°,BF=FD=BAB=®,

2

•・•在四边形EBG/是菱形，ZBGF=120°,BE=EF,

1.NEBH=NEFH=30。,

.\ZAre=60°,

:.ZA庄=NE4O=60°,

・•・AE=EF,

:.AE=EF=BE=-AB=a

2t

AEay/3

----7——--.

FD43

(2)FD=CCG，直线CG与〃尸所夹锐角的度数为30。.

理由如下，如图，连接班；延长GC交&?于此

设菱形ABCD的边长为2”,

〈CGJL4G,且CG=3G,

:.乙GBC=NGCB=45。，CG=—BC=41a

2

•・•ZG^E=60°,

•・•四边形EBGF是菱形，4BGF=120°,

Z.GBF=/BFG='/GBE=30°,

2

:.乙CBK=NGBC-NG3"=15。，

:.Z.OBF=NOBC+Z.CBF=300+15°=45°,

VAC1BD,BO=DO,

：.ZBFO=ZOBF=45°,BF=DF,

由(2)可知：BO=y/3a,

/.BF=DF=疯，

:.DF=6CG,

由5、〃是关于〃'的轴对称可知，NCDF=NCBF=150,

又3ZDCN=180°-ZB