小学四年级数学（上册）《除数是两位数的除法》核心知识清单：除数接近整十数的除法（五入法试商）

小学四年级数学（上册）《除数是两位数的除法》核心知识清单：除数接近整十数的除法（五入法试商）一、核心概念与基本原理（基础★）（一）除数是两位数的除法计算核心法则当进行除数是两位数的除法计算时，核心思想是将未知转化为已知。由于直接计算一个两位数除以另一个两位数往往较为困难，我们需要将其转化为我们更为熟悉的、除数是整十数的除法。这便是“转化思想”在数学计算中的具体应用。本课的核心，就是学习当除数的个位数字较大（通常为5、6、7、8、9）时，如何运用“五入”法，将这个除数看作一个整十数来进行试商，从而简化计算过程14。（二）“五入法”试商的数学原理“五入法”源自于四年级上册第一单元学习的“求近似数”中的“四舍五入”法。其具体原理是：观察除数的个位数字，如果个位上的数是5或者比5大（如27、38、46、59），我们就需要向除数的十位进一，同时把个位和个位以后的数舍去，从而得到一个整十数的近似数。例如，除数28，个位是8≥5，用五入法，将28看作30。这个过程，本质上是利用除数近似数对商进行估算，这个估算出来的商，我们称之为“初商”13。（三）“调商”的必要性（难点★★★）用“五入”法求出的初商，并不一定是原题目的准确商。因为我们将除数看大了（例如将28看成30），除数变大了，被除数不变，那么初商就很容易偏小。因此，我们必须将初商代入原式（用初商与原除数相乘）进行验证。如果发现余数大于或等于除数，就说明初商确实小了，需要将商调大，这个过程就是“调商”。调商是除法计算中至关重要的一个环节，也是检验计算是否正确的重要步骤129。二、核心方法与计算步骤（算法建构★★★）（一）标准计算流程（“五入法”试商六步走）【重要】1.列竖式：确保数位对齐，被除数在里，除数在外。2.看除数，定近似：观察除数的个位，运用“五入”法，将除数看作与其接近的整十数。例如：计算197÷28，除数28的个位是8，用“五入”法看作3012。3.估一估，求初商：用被除数除以这个整十近似数，在心里想乘法口诀。197里面最多有几个30？30×6=180，30×7=210（210＞197，太大了），所以初商应为6。将6写在被除数的个位上1。4.乘一乘，验初商：用初商6乘以原除数28，6×28=168。将168写在被除数197的下面1。5.减一减，比大小：=29。求出余数后，最关键的一步是比较余数和除数的大小：29（余数）>28（除数）【非常重要】1。6.判对错，定调商：因为余数29比除数28大，说明初商6太小了（商小了），剩下的座位还可以再坐一排。所以需要调商，将6改为7。用7×28=196，=1。此时余数1小于除数28，说明商7正确。最终的商是7，余数是114。（二）“五入法”调商的口诀记忆【高频考点】为了帮助学生快速反应，可以总结如下口诀：“五入试商商易小，细心调商是关键。余数定要比除小，如若不小把商加。加一之后乘再看，直到余小商才定。”（三）验算方法与规范（习惯养成★★）有余数除法的验算是检验计算结果的唯一标准，也是培养严谨数学态度的重要环节。1.验算公式：除数×商+余数=被除数12。2.实操：对于197÷28=7……1，验算时先算28×7=196，再算196+1=197。如果结果与被除数一致，则计算正确。三、典型例题精析与变式训练（高频考点）（一）基础例题（一次调商成功）题目：计算198÷39=?【解析】1.试商：除数39的个位是9，用“五入”法看作40。想：198里面有几个40？40×4=160，40×5=200（200＞198），所以初商4。2.检验：4×39=156，=42。3.比较：余数42>除数39，说明商4小了。4.调商：改商5。5×39=195，=3。余数3<39。5.结果：商5，余3。【结论】初商偏小，需要将商调大1。这是“五入”法最常见的题型38。（二）进阶例题（需要灵活试商）题目：计算608÷78=?【解析】1.试商：除数78，个位是8，用“五入”法看作80。想：608里面有几个80？80×7=560，80×8=640（640＞608），初商7。2.检验：7×78=546，=62。3.比较：62<78？余数62小于除数78，且没有负数，说明商7正合适，不需要调商！6【特别注意】【难点突破】这是一个极易被忽视的考点！虽然我们用“五入”法把除数看大了，但在某些情况下，初商恰好就是准确的商，无需调商。这打破了学生“用五入法一定要调商”的思维定势。因此，必须强调：无论用何种方法试商，都必须以“余数必须比除数小”作为判断商是否正确的唯一标准。（三）变式训练（考查算理与估算）题目：在算式△÷36=7……□中，如果除数是36，我们用“五入”法试商时，通常把36看作（）来试商。当余数最大时，被除数△是（）。【解析】第一空：考查基础算理，36个位是6，用“五入”法看作40。第二空：考查余数性质与除法综合。在有余数除法中，余数必须比除数小，除数是36，所以余数最大是35。那么被除数=除数×商+余数=36×7+35=252+35=287。【考点】融合了“试商方法”与“余数性质”，是期末考试常见的填空题5。四、易错点辨析与避坑指南（警示标志▲）（一）易错点1：余数忘记与除数比较（思维定势陷阱）【典型错例】计算253÷36。学生将36看作40，试商6，6×36=216，=37。直接写结果6……37。【错误分析】学生只完成了试商和减法的步骤，忽略了最后、也是最关键的一步：比较余数37和除数36的大小。37＞36，说明商6太小，余数里还能再分出一个36。【正确解法】余数37＞36，说明需要调商。改商7，7×36=252，=1。结果应为7……1。（二）易错点2：商的位置写错（数位不清）【典型错例】计算384÷48。将48看作50，试商7。但在书写竖式时，把商7写在十位上。【错误分析】对算理不理解。除数是两位数，就要看被除数的前两位。38个十除以48不够除，所以要看前三位384，商应该是个位数，必须写在个位上。【正确解法】商是一位数，只能写在被除数个位4的上面。（三）易错点3：混淆“四舍”与“五入”的调商方向【概念混淆】学习了“四舍”法（商易大需调小）和“五入”法（商易小需调大）后，学生容易记反调商方向。【记忆技巧】“四舍”法：把除数尾巴舍去，除数变小了，商容易偏大，所以要往小调（减）。“五入”法：把除数变大，商容易偏小，所以要往大调（加）。简单记为：“舍小大，入大小”（四舍法除数变小商易大；五入法除数变大商易小）。五、思维拓展与素养提升（高阶思维）（一）同头无除商89在除数是两位数的除法中，有一种特殊且快速试商的技巧。当被除数和除数的最高位相同（同头），且被除数的前两位比除数小（无除）时，商通常不是8就是9。例如：212÷24。被除数前两位21，除数24。21＜24，且最高位都是2。那么我们可以直接尝试商9或8。计算：24×9=216（超过212），所以试商8。24×8=192，=20。这样可以大大减少试商的次数。【说明】此方法作为学有余力学生的拓展，可提升计算速度。（二）折半商五当被除数的前两位接近除数的一半时，可以试商5。例如：168÷32。被除数前两位16，约是除数32的一半，因此可以直接试商5。32×5=160，=8。商5正确。【说明】这同样是提升试商效率的技巧，鼓励学生在大量练习中自行感悟和总结。六、知识图谱与衔接（跨学科视野）（一）本课知识在学科体系中的位置本课是人教版四年级上册第六单元《除数是两位数的除法》的核心内容。在此之前，学生已经学习了除数是整十数的除法以及“四舍法”试商。本课之后，还将学习除数不接近整十数的灵活试商。因此，本课起到了承上启下的关键作用：它进一步完善了“四舍五入”试商体系的另一半，并为后续更复杂的试商（如除数个位是4、5、6时需要灵活处理）打下了坚实的基础。（二）与现实生活的联系（跨学科应用）除法运算不仅仅存在于数学课本中，更是解决现实问题的工具。1.统筹规划（与综合实践活动结合）：学校组织秋游，共有378人，每辆车限坐52人，需要租几辆车？这就需要用“五入”法将52看作50进行估算，并处理余数（即使余下几个人，也需要再加一辆车，即“进一法”取整）。2.经济生活（与德育渗透结合）：小明有200元压岁钱，他想买单价是39元的文具盒捐给灾区小朋友，最多能买几个？这需要精确计算200÷39，并根据实际意义，采用“去尾法”取整。七、考点预测与题型分析（应考指南）（一）必考题型1.计算题：直接给出竖式计算，如625÷79，重点考查学生是否掌握了“五入”试商和调商的竖式书写格式及计算过程。2.填空题：如：计算256÷32，把32看作（）试商，商是（）。如：÷38，当商是一位数时，最大填（）。3.判断题：如：在除法计算中，用“五入”法试商，商一定偏小。（×）（二）高频考点1.调商的判断：给出一个不完整的竖式，如余数写着“46”，除数是“48”，让学生判断接下来应该怎么办？（应该将商调大）。2.估算与精算的结合：先估算商是几位数，再精确计算。（三）综合实践考点解决问题：通常以“购物”、“租车”、“装袋”等生活情境出现。重点考查：计算结果是否需要根据实际情况处理。例如：“每本相册28页，194张照片可以插满几本？”（计算余数后，只取商的整数部分，即“去尾法”）。“有194人需