高考数学一轮复习 课时规范练68　离散型随机变量及其分布列、数字特征（湘教版）

课时规范练68离散型随机变量及其分布列、数字特征(分值:111分)(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)基础巩固练1.已知离散型随机变量X的分布列如表所示,则常数c为()X01P9c2-c3-8cA.13 B.23 C.34或2.已知随机变量X的分布列如下表所示,则P(|2X-3|<3)=()X1234P0.1m0.30.2A.710 B.35 C.12 3.一台机器生产某种产品,如果生产出一件甲等品可获利50元,生产出一件乙等品可获利30元,生产一件次品,要赔20元,已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1,则这台机器每生产一件产品,平均预期可获利的钱数为()A.36 B.37 C.38 D.394.随机变量X的分布列如下表所示,若E(X)为X的数学期望,则E(X-E(X))=.

X12345P0.1a0.20.30.15.随机变量X的取值范围为{0,1,2},若P(X=0)=14,E(X)=1,则D(X)=.

6.(15分)(2024·九省适应性测试,16)盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个,随机一次取出3个小球.(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率;(2)记取出的3个小球上的最小数字为X,求X的分布列及数学期望E(X).综合提升练7.(2025·河北邯郸期中)一袋子里有大小、形状完全相同的3个红球,2个白球,1个黄球,现从袋子里这6个球中随机摸球,每次摸一球,不放回,摸到红球就结束摸球,X表示摸球次数,则X的数学期望E(X)=()A.74 B.83 C.94 8.(多选题)某嘉宾参加猜歌名节目,猜对每首歌曲的歌名相互独立,猜对三首歌曲M,N,O歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金分别是:猜对歌曲M的概率为0.8,可获公益基金1千元;猜对歌曲N的概率为0.5,可获公益基金2千元;猜对歌曲O的概率为0.5,可获公益基金3千元.规则如下:按照M,N,O的顺序猜,只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首,记嘉宾获得的公益基金总额为X千元,则()A.P(X=3)=0.4 B.E(2X+1)=5.4C.D(2X+1)=18.24 D.获得公益基金总额的期望值与猜歌顺序无关9.据统计,一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险,交保险费100元,若一年内万元以上财产被窃,保险公司赔偿a元(a>1000),为确保保险公司获益,则a的取值范围是.

10.已知x,y,z∈N+,且x+y+z=6,记随机变量X为x,y,z中的最小值,则E(X)=.

11.(2025·全国1,14)有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取3次,每次取1个球,记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数,则X的数学期望E(X)=.

12.(15分)(2025·北京,18)有一道选择题考查了一个知识点.甲、乙两校各随机抽取100人,甲校有80人答对,乙校有75人答对,用频率估计概率.(1)从甲校随机抽取1人,求这个人做对该题目的概率;(2)从甲、乙两校各随机抽取1人,设X为做对的人数,求恰有1人做对的概率以及X的数学期望;(3)若甲校同学掌握这个知识点,则有100%的概率做对该题目,乙校同学掌握这个知识点,则有85%的概率做对该题目,未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个,设甲校学生掌握该知识点的概率为p1,乙校学生掌握该知识点的概率为p2,试比较p1与p2的大小(结论不要求证明).13.(15分)某校举行知识竞赛,最后一个名额要在A,B两名同学中产生,测试方案如下:A,B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答,在这4个问题中,已知A能正确作答其中的3个,B正确作答每个问题的概率都是34,A,B两名同学作答问题相互独立(1)求A,B两名同学恰好共答对2个问题的概率;(2)若让你投票决定参赛选手,你会选择哪名学生?简要说明理由.14.(15分)(2025·山东威海模拟)某考试中的多选题,每题有4个选项,其中有2个或3个正确选项,全部选出正确选项得6分.若正确选项是2个,只选对1个得3分,有选错的得0分;若正确选项是3个,只选对1个得2分,只选对2个得4分,有选错的得0分.若多选题正确选项是2个的概率为p(0<p<1),正确选项是3个的概率为1-p.某学生完全不会做其中的一道题,对于这道题,他随机地进行填涂.(1)若他只随机选择1个选项,求他的得分X的分布列与数学期望;(2)若他随机选择2个选项,求他的得分Y的分布列与数学期望;(3)若p=23,该同学随机选择1个选项还是随机选择2个选项,能使得分更好?

参考答案课时规范练68离散型随机变量及其分布列、数字特征1.A解析由题意,得9解得c=13.故选A2.C解析由题得0.1+m+0.3+0.2=1,则m=0.4,故P(|2X-3|<3)=P(0<X<3)=P(X=1)+P(X=2)=0.5.故选C.3.B解析设这台机器每生产一件产品可获利X,则X的可能取值为50,30,-20,所以X的分布列为P(X=50)=0.6,P(X=30)=0.3,P(X=-20)=0.1,所以这台机器每生产一件产品平均预期可获利的钱数为50×0.6+30×0.3-20×0.1=37.4.0解析由题可得,0.1+a+0.2+0.3+0.1=1,解得a=0.3,所以E(X)=1×0.1+2×0.3+3×0.2+4×0.3+5×0.1=3,所以E(X-E(X))=E(X-3)=E(X)-3=0.5.12解析设P(X=1)=p,P(X=2)=q,由题意得,E(X)=0×14+p+2q=1,且14+p+q=1,解得p=12所以D(X)=14×(0-1)2+12×(1-1)2+14×(2-1)26.解(1)记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M,先确定3个不同数字的小球,有C43种情况,然后每种小球各取1个,有C所以P(M)=C4(2)由题意可知,X的可能取值为1,2,3,当X=1时,有两种情况:只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球,所以P(X=1)=C2当X=2时,有两种情况:只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球,所以P(X=2)=C2当X=3时,有两种情况:只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球,所以P(X=3)=C2所以X的分布列为X123P921所以E(X)=1×914+2×27+3×7.A解析由题可得,X=1,2,3,4,则P(X=1)=36P(X=2)=36P(X=3)=36P(X=4)=36×25所以E(X)=1×12+2×310+3×320+故选A.8.BC解析由题意,可分别用A,B,C表示猜对三首歌曲M,N,O歌名的事件,则A,B,C相互独立,按照M,N,O的顺序猜,则X的可能取值为0,1,3,6,则P(X=0)=P(A)=0.2,P(X=1)=P(AB)=0.8×0.5=0.4,P(X=3)=P(ABC)=0.8×0.5×0.5=0.2,P(X=6)=P(ABC)=0.8×0.5×0.5=0.2,则E(X)=0×0.2+1×0.4+3×0.2+6×0.2=2.2,D(X)=(0-2.2)2×0.2+(1-2.2)2×0.4+(3-2.2)2×0.2+(6-2.2)2×0.2=4.56,故E(2X+1)=2×2.2+1=5.4,D(2X+1)=4×4.56=18.24,故A错误,B,C正确;假设按照M,O,N的顺序猜,设Y表示此时获得的公益基金总额,可能的取值为0,1,4,6,则P(Y=0)=P(A)=0.2,P(Y=1)=P(AC)=0.8×0.5=0.4,P(Y=4)=P(ACB)=0.8×0.5×0.5=0.2,P(Y=6)=P(ABC)=0.8×0.5×0.5=0.2,则E(Y)=0×0.2+1×0.4+4×0.2+6×0.2=2.4.与按照M,N,O的顺序猜歌名获得公益基金总额的期望值不同,故D错误.故选BC.9.(1000,20000)解析设保险公司的收益为X,则X的可能取值为100,100-a(a>1000),由已知P(X=100)=0.995,P(X=100-a)=0.005,所以随机变量X的分布列为X100100-aP0.9950.005所以E(X)=100×0.995+(100-a)·0.005=100-0.005a.令100-0.005a>0,解得a<20000,故1000<a<20000,所以为确保保险公司有可能获益,a的取值范围是(1000,20000).10.1110解析x,y,z∈N+,且x+y+z=6,则所有情况有(1,1,4),(1,2,3),(1,4,1),(4,1,1),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(1,3,2),(2,2,2),共10种,故X的可能取值为1,2,其中X=2时,只有(2,2,2)一种情况,故P(X=2)=110,则P(X=1)=910,所以E(X)=1×91011.6125解析由题意X=1,2,3,P(X=1)=CP(X=2)=C52×C21×CP(X=3)=C53×A33×(故E(X)=125×1+1225×2+1225×312.解(1)从甲校随机抽取100人,其中有80人答对,用频率估计概率,设从甲校随机抽取1人,这个人做对该题目为事件A,则P(A)=80100(2)设乙校中随机抽取1人,这个人做对该题目为事件B,则P(B)=75100=34,由(1)知P(A∴从甲、乙两校各随机抽取1人,恰有1人做对的概率为P(X=1)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=45X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=(1-45)×(1-34)=120,P(X=1)=720,P(X=∴X的分布列为X012P173∴E(X)=0×120+1×720+2×(3)由题意可知,p1×100%+(1-p1)×14=45,解得p1=1115,p2×85%+(1-p2)×14=34,解得p213.解(1)设A同学答对的题数为X,则随机变量X的所有可能取值为2,3,则P(X=2)=C3P(X=3)=C3设B同学答对的题数为Y,则随机变量Y的所有可能取值为0,1,2,3,则P(Y=0)=(14)3=1P(Y=1)=C31×34×(1P(Y=2)=C32×(34)2P(Y=3)=(34)3=27所以A,B两名同学恰好共答对2个问题的概率为P(X=2)P(Y=0)=34(2)由(1)知,E(X)=2×34+3×1E(Y)=0×164+1×964+2×2764+D(X)=(2-94)2×34+(3-94)2D(Y)=(0-94)2×164+(1-94)2×964+(2-94)2×2764+(3-因为E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),所以应该选择学生A.14.解(1)X=0,