2027金版教程一轮复习数学基础版第7章第3节 等比数列

第七章数列第三节

等比数列课标解读考向预测1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义．2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．4.体会等比数列与指数函数的关系.预计2027年高考会从以下两个角度来考查：(1)等比数列及其前n项和的基本运算与性质，可能与等差数列综合出题，难度较小；(2)等比数列的综合应用，可能与函数、方程、不等式结合考查，难度中档.必备知识强基础考点探究提素养课时作业目录必备知识强基础1．等比数列的有关概念(1)等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于_______常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)．数学语言表达式：＝____(n≥2，q为非零常数)．同一个q(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时G2＝_____．提醒：(1)“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．(2)只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数．(3)等比数列的奇数项符号相同，偶数项符号相同．aba1qn－13．等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和．(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有akal＝______．(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为______．(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为______．amanqmqn×题组一走出误区——判一判(1)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(

)(2)如果数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(

)(3)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(

)(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．(

)×××题组二回归教材——练一练(1)(人教A选择性必修第二册4.3.2练习T3改编)等比数列{an}中，a1＋a4＝0，a2＝－2，记Sn为{an}的前n项和，则S4＝(

)A．－8 B．－5C．－4 D．0解析：设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a4＝a1＋a1q3＝0，因为a1≠0，则q＝－1，又a2＝－2，故a1＝2，a3＝2，a4＝－2，则S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝0.故选D.(3)(人教A选择性必修第二册4.3.1练习T2改编)在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝(

)A．5 B．±5C．4 D．±4(4)(人教A选择性必修第二册4.3.2练习T4改编)已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为__________________．1，3，9或9，3，1考点探究提素养等比数列基本量运算的思想方法方程思想等比数列的基本量为首项a1和公比q，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等比数列中包含a1，q，n，an，Sn五个量，可“知三求二”整体思想当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，q表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解分类讨论思想若题目中公比q未知，则运用等比数列前n项和公式时，要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论3．等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝t·2n－1－1(t为常数)，则t＝________．2利用等比数列项的性质的解题策略4.公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝8，若a2am＝4，则m的值为(

)A．8 B．9C．10 D．11解析：∵公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝8，∴a5a6＝a4a7＝4，又a2am＝4，∴2＋m＝5＋6＝11，解得m＝9.故选B.5．(2026·北京海淀模拟)若{an}是无穷数列，则“{an}为等比数列”是“anan＋3＝an＋1an＋2(n∈N*)”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：若{an}为等比数列，则anan＋3＝an＋1·an＋2(n∈N*)；若anan＋3＝an＋1an＋2(n∈N*)，则{an}可以是全部为0的常数列，此时{an}不是等比数列．故“{an}为等比数列”是“anan＋3＝an＋1an＋2(n∈N*)”的充分不必要条件．故选A.考向2等比数列前n项和的性质(1)(2026·湖北武汉调考)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S8＝8，S12＝26，则S4＝(

)A．1B．2 C．3 D．4(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．2利用等比数列前n项和的性质的解题策略策略一利用等比数列连续n项的片段和性质解决与前n项和有关的问题策略二利用项的个数的“奇偶”性质解决与公比有关的问题7．(2026·四川成都七中模拟)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为______，项数为_____．29(2)已知Sn是正项等比数列{an}的前n项和，S10＝20，则S30－2S20＋S10的最小值为________．-5等比数列前n项和(积)最值问题的解题策略策略一考虑公比与首项的符号对最值的影响策略二利用二次函数的单调性求最值策略三利用基本不等式求最值9．在各项都为正数的等比数列{an}中，已知0<a1<1，其前n项积为Tn，且T12＝T6，则Tn取得最小值时，n的值是________．9考点三等比数列的判定与证明已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求an及Sn；(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．等比数列的判定与证明的方法(1)在解答题中证明一个数列为等比数列时，一般用定义法与等比中项法，在选填题中还可以用通项公式法和前n项和公式法来判定一个数列是否是等比数列．(2)如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可．(3)判定一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.(4)在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证．课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★考点等比数列基本量的运算等比中项；等差中项等比数列前n项和公式中qn的系数与常数项的关系等比数列项的性质等比数列基本量的运算等比数列前n项和的性质等比数列项的性质等比数列基本量的运算等比数列的判定与证明等比数列基本量的运算题号1112131415161718难度★★★★★★★★★★★★★★★★考点等比数列基本量的运算；an与Sn符号的判断；含绝对值的数列的单调性的判断等比数列基本量的运算等比数列前n项和的应用等比数列的性质及其应用；等比数列基本量的运算等比数列的判定与证明；等比数列基本量的运算等比数列的判定与证明等比数列前n项和(积)的最值问题等比数列的判定与证明；与等比数列有关的能成立问题一、单项选择题1．在等比数列{an}中，a1＝1，a2a3＝8，则a7＝(

)A．8 B．16C．32 D．64解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a2a3＝8，a1＝1，所以q3＝8，解得q＝2，所以a7＝a1q6＝26＝64.故选D.11．(2026·江西赣州摸底)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a3＝18，S3＝26，则(

)A．an>0 B．Sn>0C．数列{|an|}为单调数列 D．数列{|Sn|}为单调数列2三、填空题12．(2025·新课标Ⅰ卷，13)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于________．13．(2026·宁夏银川模拟)有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个