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文档简介

一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影第四节空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程①曲线上点的坐标都满足方程组（1）；曲线与方程组的关系：②不在曲线上的点的坐标不能同时满足两个方程.空间曲线可以看作两个曲面的交线.方程组(1)叫做空间曲线C的一般方程.C例1

方程组表示怎样的曲线?解表示母线平行于

z

轴的圆柱面,其准线是面上的圆,在原点,半径为1.圆心表示母线平行于y

轴的柱面,面上的直线，其准线是它是一平面.所以表示圆柱面与平面的交线C为一椭圆.例2

方程组xyz表示球面与平面的交线C.表示上半球面与圆柱面的交线C.

例3

方程组练习1

P24二、空间曲线的参数方程这个方程组叫做空间曲线的参数方程.空间曲线C的方程除了一般方程外,也可以用参数形式表示,只要将C上的动点坐标x,y,z表示为参数t的函数:随着t的变动便可得曲线上的全部点.●叫做螺旋线的螺距.解取时间t

为参数，设当t=0时,动点位于x轴上的一点A(a,0,0)处.经过时间

t

,动点由A运动到M(x,y,z),记M在xOy面上的投影为所以M构成的图形叫做螺旋线,试建立其参数方程.例4轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升,那么点其中ω、v为常数.若令例5.

将下列曲线化为参数方程表示:解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为三、空间曲线在坐标面上的投影投影柱面投影曲线以曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面.投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy面上的投影曲线，或简称投影.设空间曲线C的一般方程为（1）消去变量z得方程（2）方程（2）表示一个母线平行于z轴的柱面，它必定包含曲线C.一定包含C在xOy面上的投影.包含曲线C在yOz面上的投影曲线空间曲线Ｃ在yOz、zOx面上的投影?方程？包含曲线C在zOx

面上的投影曲线思考：o求曲线C在

xOy及

yOz

面上的投影方程.

例6

设空间曲线C

解消去x得：曲线C在yOz

面上的投影方程为:消去z得：曲线C在

xOy上的投影方程为：补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体曲面立体也好’曲面也好’它们的投影问题都要转化为曲线的投影问题.

例7

设一个立体由上半球面求它在xOy

面上的投影.解上半球面和锥面的交线C为：消去z

得因此交线C

在xOy

面上的投影曲线为：于是所求立体在

xOy

面上的投影,和锥面所围成，是圆域：两曲面的交线在

xOy面上的投影方程为：解

练习2

求球面与平面的交线在xOy面上的投影的方程.

消去z

得：即o练习3

求上半球与圆柱体的公共部分在xoy面和xoz面上的投影.oP40P39（1）在

xoy

面上的投影：（2）在

zox

面上的投影：（3）在

yoz

面上的投影：练习4

求柱面与第一卦限部分所围立体在各坐标面上的投影.P4

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