高中数学立体几何知识点知识清单

高中数学立体几何知识点知识清单一、空间几何体的结构1.1棱柱、棱锥、棱台*棱柱：有两个面互相平行（底面），其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。棱柱的分类可按底面多边形的边数（三棱柱、四棱柱等）或侧棱与底面是否垂直（斜棱柱、直棱柱、正棱柱）。*性质：侧棱平行且相等；侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻两条侧棱的截面是平行四边形。*棱锥：有一个面是多边形（底面），其余各面是有一个公共顶点的三角形（侧面）。按底面边数可分为三棱锥、四棱锥等。如果底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心，则为正棱锥。*正棱锥的性质：侧棱都相等；侧面是全等的等腰三角形；斜高（侧面等腰三角形底边上的高）都相等；顶点在底面的射影是底面中心。*棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。由正棱锥截得的棱台叫正棱台。*正棱台的性质：侧棱相等，延长后交于一点；侧面是全等的等腰梯形；斜高（侧面等腰梯形的高）都相等；两底面是相似正多边形。1.2圆柱、圆锥、圆台、球*圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。旋转轴为轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面为底面，平行于轴的边旋转而成的曲面为侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线。*圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体。*圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分。也可看作以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的面所围成的旋转体。*球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体。球面上任意一点到球心的距离都等于半径。1.3简单组合体由上述基本几何体拼接或截去一部分而成的几何体，关键在于分析其构成，将其分解为熟悉的基本几何体。二、空间几何体的三视图和直观图2.1中心投影与平行投影*中心投影：光由一点向外散射形成的投影，其直观性强，但度量性差。*平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影。平行投影按投射方向是否正对着投影面，可分为斜投影和正投影。三视图采用正投影。2.2三视图*正视图：从几何体的正前方观察得到的投影图，反映几何体的高度和长度。*侧视图：从几何体的正左方观察得到的投影图，反映几何体的高度和宽度。*俯视图：从几何体的正上方观察得到的投影图，反映几何体的长度和宽度。*画法规则：长对正（正俯同长）、高平齐（正侧同高）、宽相等（侧俯同宽）。注意可见轮廓线用实线，不可见轮廓线用虚线。2.3直观图（斜二测画法）*用途：用于表示空间几何体的平面图形，具有一定的立体感。*步骤要点：1.在已知图形中建立直角坐标系，通常取互相垂直的边为x轴、y轴（若为空间图形，再建立z轴）。2.画直观图时，把它们画成对应的x'轴、y'轴，两轴相交于点O'，使∠x'O'y'=45°（或135°）。3.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度变为原来的一半。平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z'轴且长度不变。4.画图完成后，擦去辅助线，保留必要的轮廓线。三、空间点、直线、平面之间的位置关系3.1平面的基本性质（公理）*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。（判断直线是否在平面内的依据）*公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（确定平面的依据，及其推论：直线和直线外一点、两条相交直线、两条平行直线均能确定一个平面）*公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。（判断两个平面相交及确定交线的依据）3.2空间中直线与直线的位置关系*平行直线：在同一平面内，没有公共点。*相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点。*异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（判断关键：既不平行也不相交）*公理4（平行公理）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行线的传递性）*等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。*异面直线所成的角：过空间任一点O，分别作异面直线a、b的平行线a'、b'，则a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角。其范围是(0°,90°]。若所成角为90°，则称两条异面直线互相垂直。3.3空间中直线与平面的位置关系*直线在平面内：有无数个公共点。*直线与平面相交：有且只有一个公共点。*直线与平面平行：没有公共点。（直线在平面外包括相交和平行两种情况）3.4空间中平面与平面的位置关系*两个平面平行：没有公共点。*两个平面相交：有一条公共直线。四、直线、平面平行的判定及其性质4.1直线与平面平行的判定*判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。（简记：线线平行，则线面平行）*关键：在平面内找到一条与已知直线平行的直线。4.2直线与平面平行的性质*性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。（简记：线面平行，则线线平行）*应用：常用于由线面平行推导线线平行。4.3平面与平面平行的判定*判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。（简记：线面平行，则面面平行）*推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。4.4平面与平面平行的性质*性质定理1：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（简记：面面平行，则线线平行）*性质定理2：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。（面面平行，则线面平行）*性质：夹在两个平行平面间的平行线段相等。五、直线、平面垂直的判定及其性质5.1直线与平面垂直的判定*定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直。*判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。（简记：线线垂直，则线面垂直）*常用结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。5.2直线与平面垂直的性质*性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。*性质：直线垂直于平面，则垂直于平面内任意一条直线。5.3平面与平面垂直的判定*二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。*二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。其范围是[0°,180°]。*直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。*判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。（简记：线面垂直，则面面垂直）5.4平面与平面垂直的性质*性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。*常用结论：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。六、空间几何体的表面积与体积6.1多面体的表面积*棱柱、棱锥、棱台的表面积：其表面积为各个面的面积之和，即展开图的面积。*直棱柱的侧面积：S_直棱柱侧=底面周长×高。*正棱锥的侧面积：S_正棱锥侧=(1/2)×底面周长×斜高。*正棱台的侧面积：S_正棱台侧=(1/2)×(上底面周长+下底面周长)×斜高。6.2旋转体的表面积*圆柱的表面积：S=2πr²+2πrl=2πr(r+l)，其中r为底面半径，l为母线长。*圆锥的表面积：S=πr²+πrl=πr(r+l)，其中r为底面半径，l为母线长。*圆台的表面积：S=π(r'²+r²+r'l+rl)，其中r'、r分别为上、下底面半径，l为母线长。*球的表面积：S=4πR²，其中R为球的半径。6.3空间几何体的体积*柱体的体积：V=Sh，其中S为底面积，h为高。（棱柱、圆柱均适用）*锥体的体积：V=(1/3)Sh，其中S为底面积，h为高。（棱锥、圆锥均适用）*台体的体积：V=(1/3)h(S'+√(S'S)+S)，其中S'、S分别为上、下底面积，h为高。（棱台、圆台均适用）*球的体积：V=(4/3)πR³，其中R为球的半径。七、空间向量与立体几何（理科）7.1空间向量及其运算*空间向量的基本概念：与平面向量类似，包括向量、模、零向量、单位向量、相反向量、相等向量等。*空间向量的线性运算：加法、减法、数乘运算及其运算律（交换律、结合律、分配律）。*空间向量的数量积：a·b=|a||b|cos<a,b>。用于求模长（|a|=√(a·a)）、夹角（cos<a,b>=a·b/(|a||b|)），以及判断垂直（a⊥b⇔a·b=0）。*空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x,y,z}，使得p=xa+yb+zc。{a,b,c}叫做空间的一个基底。7.2空间向量的坐标表示与运算*空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，建立坐标系Oxyz。*向量的坐标表示：向量a=xi+yj+zk，记作a=(x,y,z)。*坐标运算：设a=(x₁,y₁,z₁)，b=(x₂,y₂,z₂)，则*a+b=(x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂)*a-b=(x₁-x₂,y₁-y₂,z₁-z₂)*λa=(λx₁,λy₁,λz₁)*a·b=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂*平行与垂直的坐标表示：*a//b(b≠0)⇔存在λ，使得a=λb⇔x₁=λx₂,y₁=λy₂,z₁=λz₂*a⊥b⇔a·b=0⇔x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=07.3用空间向量解决立体几何问题*直线的方向向量：与直线平行的非零向量。*平面的法向量：垂直于平面的非零向量。（求法：设出法向量坐标，利用其与平面内两条相交直线的方向向量垂直，列出方程组求解）*证明线线平行：方向向量平行。*证明线面平行：直线的方向向量与平面的法向量垂直；或直线的方向向量能表示为平面内两个不共线向量的线性组合。*证明面面平行：两个平面的法向量平行。*证明线线垂直：方向向量垂直（数量积为零）。*证明线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量平行。*证明面面垂直：两个平面的法向量垂直。*求异面直线所成的角：转化为其方向向量的夹角（注意范围取锐角或直角）。*求直线与平面所成的角：直线的方