六年级数学解决问题举一反三练习题

在小学数学的学习旅程中，六年级无疑是一个承上启下的关键阶段。其中，“解决问题”模块更是对学生综合运用知识能力的集中检验，它不仅要求孩子们掌握基础的数学概念和运算技能，更强调逻辑思维、分析能力和模型思想的构建。而“举一反三”，正是攻克这一难关的有效途径。它不是简单的重复练习，而是通过典型例题的深度剖析，引导学生理解问题本质，掌握解题方法，并能触类旁通，灵活应对各种变式。下面，我们将围绕六年级数学中几个核心的解决问题类型，通过“范例引路-思路点拨-变式拓展”的模式，帮助同学们真正提升解决问题的能力。一、分数应用题：找准“单位1”，理清数量关系分数应用题是六年级数学的重中之重，也是孩子们容易混淆的难点。解决这类问题的关键在于准确判断“单位1”的量，并理清题目中各个量之间的分数关系。范例引路典型例题1：学校图书馆新购进一批图书，其中故事书有240本，科技书的本数是故事书的3/4，文艺书的本数又是科技书的5/6。文艺书有多少本？思路点拨：1.找“单位1”：首先看“科技书的本数是故事书的3/4”，这里“是”字后面的“故事书的本数”就是“单位1”，它是已知的（240本）。2.求科技书本数：已知单位1，求它的几分之几是多少，用乘法。所以科技书的本数为：240×3/4。3.再找“单位1”：接着看“文艺书的本数又是科技书的5/6”，这里“是”字后面的“科技书的本数”就是新的“单位1”，它在上一步已经求出。4.求文艺书本数：同样，已知单位1（科技书本数），求它的几分之几是多少，用乘法。分步解答：科技书：240×3/4=180(本)文艺书：180×5/6=150(本)答：文艺书有150本。举一反三变式练习1(稍作变化)：学校图书馆新购进一批图书，其中故事书有240本，科技书的本数是故事书的3/4，又是文艺书的5/6。文艺书有多少本？*(提示：这里“科技书的本数……又是文艺书的5/6”，谁是单位1？已知还是未知？)*变式练习2(逆向思考)：学校图书馆新购进一批文艺书有150本，正好是科技书本数的5/6，而科技书的本数又是故事书的3/4。故事书有多少本？*(提示：这道题的单位1是已知还是未知？未知的话，用什么方法计算？)*方法小结：解决分数应用题，首先要通过诸如“是”、“占”、“比”、“相当于”等关键词准确找到“单位1”的量。*若单位1的量已知，求它的几分之几是多少，用乘法：单位1的量×对应分率=比较量。*若单位1的量未知，已知它的几分之几是多少（比较量），求单位1的量，用除法或方程：比较量÷对应分率=单位1的量。二、行程问题：把握“路程、速度、时间”的铁三角行程问题是小学数学中富有挑战性的一类问题，它贴近生活，变化多样。但无论如何变化，其核心都离不开“路程=速度×时间”这一基本数量关系。范例引路典型例题2：甲、乙两地相距360千米，一辆客车从甲地开往乙地，每小时行驶60千米。这辆客车出发1小时后，一辆货车从乙地开往甲地，每小时行驶40千米。货车出发后经过多少小时与客车相遇？思路点拨：1.理解题意：客车先出发1小时，然后货车才出发，之后两车相向而行，最终相遇。求货车出发后到相遇所用的时间。2.画线段图（辅助理解）：可以画出甲、乙两地，标记客车先行驶的1小时路程，然后表示出剩下的路程是客车和货车共同行驶直至相遇。3.关键分析：客车先行了1小时，行驶的路程为60×1=60千米。此时，两车相距____=300千米。之后，客车和货车相向而行，它们的相对速度为两车速度之和（60+40）千米/小时。4.相遇时间：共同行驶的路程÷速度和=相遇时间。这里的共同行驶路程就是客车先行1小时后剩余的路程。分步解答：客车先行路程：60×1=60(千米)剩余路程：360-60=300(千米)速度和：60+40=100(千米/小时)相遇时间（货车出发后）：300÷100=3(小时)答：货车出发后经过3小时与客车相遇。举一反三变式练习1(不同出发方式)：甲、乙两地相距360千米，一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行驶60千米，货车每小时行驶40千米。两车出发后经过多少小时相遇？相遇时客车比货车多行驶了多少千米？*(提示：同时出发，没有先后，直接用总路程除以速度和。第二问可以先求路程差，也可以先求每小时多行的路程。)*变式练习2(追及问题)：甲、乙两地相距360千米，一辆客车从甲地开往乙地，每小时行驶60千米。客车出发2小时后，一辆货车从乙地开往甲地，每小时行驶80千米。货车出发后经过多少小时能追上客车？*(提示：这是同向而行的追及问题，关键是找出追及路程和速度差。货车能追上客车吗？)*方法小结：*相遇问题（相向而行）：总路程=速度和×相遇时间；相遇时间=总路程÷速度和。*追及问题（同向而行）：追及路程=速度差×追及时间；追及时间=追及路程÷速度差。解决行程问题，关键在于分析清楚运动物体的出发时间、方向（同向、相向、背向）、速度以及运动结果（相遇、追及、相距多少），灵活运用基本公式，并辅以线段图帮助理解，往往能化繁为简。三、工程问题：巧用“单位1”，化抽象为具体工程问题主要研究工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题通常不给出具体的工作总量，解题时常常把工作总量看作单位“1”，使问题简化。范例引路典型例题3：一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。如果甲、乙两队合作，几天可以完成这项工程的（2/3）？思路点拨：1.设工作总量为单位“1”：这是工程问题常用的策略。2.求工作效率：工作效率=工作总量÷工作时间。甲队的工作效率：1÷10=1/10(表示甲队每天完成这项工程的1/10)乙队的工作效率：1÷15=1/15(表示乙队每天完成这项工程的1/15)3.求合作效率：两队合作，每天完成的工作量就是两队工作效率之和：1/10+1/15。4.求工作时间：工作时间=工作总量÷工作效率。这里的工作总量是“这项工程的2/3”。分步解答：甲队效率：1÷10=1/10乙队效率：1÷15=1/15两队合作效率：1/10+1/15=3/30+2/30=5/30=1/6完成工程的2/3所需时间：(2/3)÷(1/6)=(2/3)×6=4(天)答：甲、乙两队合作，4天可以完成这项工程的2/3。举一反三变式练习1(直接求全部完成)：一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。如果甲、乙两队合作，几天可以完成这项工程？*(提示：工作总量是多少？)*变式练习2(有具体工作总量)：一批零件有300个，甲单独做需要10小时完成，乙单独做需要15小时完成。如果甲、乙两人合作，几小时可以完成这批零件？*(提示：这里给出了具体工作总量，还需要设为单位1吗？两种方法都可以试试，比较一下。)*方法小结：工程问题的基本关系式：工作总量=工作效率×工作时间。*当工作总量未知时，通常把它看作单位“1”。*各部分的工作效率之和，就是合作的工作效率。*若给出了具体的工作总量（如变式2），则可以直接使用具体数量进行计算，思路类似。四、比和比例问题：明确“份数”与“实际量”的对应比和比例在生活中应用广泛，六年级阶段主要涉及按比例分配以及正反比例的应用。理解“比”所代表的份数关系，并找到与实际数量的对应，是解决这类问题的关键。范例引路典型例题4：一个长方体的棱长总和是96厘米，长、宽、高的比是3:2:1。这个长方体的体积是多少立方厘米？思路点拨：1.理解长方体棱长总和：长方体有4条长、4条宽、4条高，所以棱长总和=4×(长+宽+高)。2.求出长+宽+高的和：96÷4=24厘米。3.按比例分配：长、宽、高的比是3:2:1，总份数为3+2+1=6份。这6份对应的实际长度和是24厘米。4.求出一份的长度：24÷6=4厘米。5.分别求出长、宽、高：长占3份，宽占2份，高占1份。6.计算体积：长方体体积=长×宽×高。分步解答：长+宽+高：96÷4=24(厘米)总份数：3+2+1=6(份)一份的长度：24÷6=4(厘米)长：4×3=12(厘米)宽：4×2=8(厘米)高：4×1=4(厘米)体积：12×8×4=384(立方厘米)答：这个长方体的体积是384立方厘米。举一反三变式练习1(按比例分配基本型)：学校把一批图书按3:4:5的比例分给四、五、六年级，已知六年级分得100本。这批图书共有多少本？四年级和五年级各分得多少本？*(提示：六年级对应的是几份？先求出一份是多少本。)*变式练习2(稍复杂的比例分配)：甲、乙、丙三人共同投资一个项目，甲投资了4万元，乙投资了5万元，丙投资了6万元。一年后，共获利15万元。如果按投资额进行分配，三人各应分得利润多少万元？*(提示：这里的“比”是什么？是4:5:6。)*方法小结：按比例分配问题的解题步骤：1.明确分配的总量和分配的比。2.计算出总份数。3.求出一份的量：总量÷总份数=一份的量。4.根据各部分所占的份数，求出各部分的量：一份的量×对应份数=部分量。结语：勤思善练，触类旁通“解决问题”的