人教A版高一数学暑假预习：等式与不等式的性质（练）-（人教A版必修第一册）原卷版+解析

2.1等式与不等式的性质

【题型解读】

【题型一不等关系的建立】

1.（2022•凌源市模拟）在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜.已知a

克精水中含有》克糖（a>b>0）,再添加〃?克糖（〃?>（））（假设全部溶解），可将糖水变甜这一事实表示为

下列哪一个不等式（）

bb+mbb+maa+maa+m

A.->-------B.-<-------C.->-------D.-<-------

aa+maa+mbb+mbb+m

2.（2022届山东省烟台市高一诊断性测试）一公司投资A生产线500万元，每万元可创造利润1.5万元，该公

司通过引进先进技术，在生产线4没资减少了x万元，且每万元的利润提高了0.5x%;若将少用的x万元全部投

入3生产线，每万元创造的利润为1.5（。-焉x1万元，其中。>0.

⑴若技术改进后4生产线的利润不低于原来A生产线的利润，川不等关系表示；

⑵若生产线B的利润始终不高于技术改进后生产线4的利润，川不等关系表示.

3.（2022・贵州南明贵阳一中高一期中）如图所示的两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成

的，图（2）是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a,b（a于b）的不等式表示为

/□

围⑴ffi（2）

【题型二比较大小】

1.（2022♦浙江高一月考）已知OVaV*,且M=1一1.,N=['-Jb，则M，N的大小关系是（）

A.M>NB.MVNC.M=ND.不能确定

2.12022•江苏南通市•海安高级中学高一期中）'位a=4i,b=布-区c=瓜-6则。，4c的大小

关系为（）.

A.a>b>cB.a>c>bC.h>a>cD.b>c>a

3.（2022.上海高一月考）比较（x—3『与（工一2）（柒一4）的大小（）

A.无法比较大小B.（X-3）2>（X-2）（X-4）

C.（x—3）2=（x-2）（x-4）D.（x—3）2<（x-2）（x-4）

4.（2022•江西高一期末）若〃[二3f-x+1，n-2x2+x-1»则〃?与〃的大小关系是（

A.m>nB.m>nC.m<nD.m<n

5.（2022•北京人大附中月考））甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半

时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（）

A.甲先到教室B.乙先到教室

C.两人同时到教室D.谁先到教室不确定

6.（2022•河南焦作市高一期中）”R,比较。+1）（炉+尹1）与Cr+fl+X+1）的大小.

ab

7.（2022•广东高一月考）已知〃>0,〃>0,试比较JZ+”与的大小;

【题型三不等式性质的运用】

1.（2022•河南焦作市高一期中）下列命题正确的是（）

A.若a>b，则!<'B.若a>b>则/>

ab

C.若a>b,c<d,则D.若a>b,c>d»则。。

2.12022•浙江高一月考）若avO,—lv〃v0,则下列不等关系一定正确的是（）

A.a<bB.a<h2C.同>网D.a+h>0

3.（2022•全国高一课时练习）下列命题正确的是（）

A.若a>b,则4c2>/?02B.若则02>小

C.若a<b,则D.若a>b>6,c>d>0»则。

ab

4.（2022•葫芦岛期末）若。、b、。为实数，则下列命题正确的是（）

A.若a>b,贝必（?2>权」B.若。<〃<0,则

C.若avbvO,则D.若a<〃<（）,则

abab

5.（2022.武汉外国语学校高一月考）已知CACGR,且那么下列各式中正确的是（）

A.,1<1C-ac2>he2D./*

ab

6.（多选）下列命题不正确的（）

A.1<1<O=>|«|>|Z?|

B.

ab

311

a>22

c-<-a>/?]11

Io方D.>=>-<-

。>a

Pab>0\ab

7.下列结论正确的个数为（）

①两个实数。，匕之间，有且只有〃>8,a=b,。<力三种关系中的一种；

②若f>1，则；

b

③一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变；

④一个非零实数越大，则其倒数就越小；

@a>h>0,c>6/>0=>—>—；

dc

⑥若a〃>0,则a

ab

A.2B.3C.4D.5

8.（2022•浙江高一期末）（多选）已知实数a,b,。满足cvb<a,且4c<0,则下列不等式一定成立

的是（）

22

A.ab>acB.c（〃一〃）>0C.ac（a-c）<0D.cb<ab

【题型四利用不等式的性质证明不等式】

1.12022•四川宜宾市高一期中）已知。>人>0,cvO,求证：->y.

ab

2.（2022•椒江区校级月考）已知a>Z?>0,cvdvO,e<0,求证：

a-cb-d

3.（2022•万州区校级月考）已知。涉是任意实数，求证：/+/?42〃为+,力3,并指出等号成立的条

件.

4.（2022•北京师范大学万宁附属中学高一开学考试）设求证:

12122

be4-ca+ab<Ire+ca+ab•

【题型五利用不等式的性质求取值范围】

1.12022•四川宜宾市高一期中）若2V4V5,3</?V10,则。一助的范围为

2.12022•浙江高一期末）已知14。+力<4,-\<a-b<2,则3々一。的取值范围是（）

A.——5191B.[—8,1]C.[—1,8]D.[1,8]

3.（2022•万州区校级月考）已知1<。<匕<3,则。+人的取值范围是,；的取值范围是

4.（2022•北京师范大学万宁附属中学高一开学考试）（多选）设x,y为实数，满足

0<yW2,则下列结论正确的是（）

X

A.I<x+y<6B.\<x-y<2c.0<xy<8D.—22

y

5.（2022•安徽合肥市高一期中）已知一lWx+yW4,2Wx-6yW3,则z=3x-4y的取值范围是

6.（2022•四川雅安市月考）已知1W〃一2<t/+Z?<4,则4。一2〃的取值范围是（）.

A.[5,10]B.[4,11]C.[3J2]D.以上都不对

7.（2021•江苏省高一月考）（1）若12va〈60，15v〃v36,求2。一6,£的取值范围；

b

（2）已知不，）'满足一!《■¥-》<,，Ovx+yv】，求3x-y的取值范围.

22'

2.1等式与不等式的性质

【题型解读】

【题型一不等关系的建立】

1.（2022♦凌源市模拟）在三常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越

来越甜.已知。克糖水中含有〃克糖再添加加克糖（加>0）（假设全部溶解），

可将糖水变甜这一事实表示为下列哪一个不等式（）

bb+mbb+maa+maa+m

A.->----B.-<----C.->----D.-<----

aa+maa+mbb+mbb+m

【答案】B

【解析】解：下列不等式中表示糖水变甜即糖的浓度增大，因此2V匕”正确.故选：B.

aa+m

2.（2022届山东省烟台市高一诊断性测试）一公司投资A生产线500万元，每万元可创造利

润L5万元，该公司通过引进先进技术，在生产线4投资减少了x万元，且每万元的利润提高了

（13、

0.5x%;若将少用的x万元全部投入8生产线，每万元创造的利润为1.5a-——x万元，其

、1IXJw）

中。>0.

⑴若技术改进后4生产线的利润不低于原来4生产线的利润，用不等关系表示；

⑵若生产线B的利润始终不高于技术改进后生产线4的利润，用不等关系表示.

2

【答案】⑴X-300xW0（2）1.5（Q-益。》41.5（500-x）（l+0.5x%）

【解析】（1）由题意得1.5（500—x）（l+0.5x%）21.5x500,整理得/—300工工0.

（13）

⑵由题意知,生产线B的利润为1.5fz-——xx万元，

\1UUUJ

由（1）技术改进后生产线4的利润为1.5（500-.E）（1+0.5X%）万元

则1.5（a—<1.5（500-幻。+°.5x%）.

3.（2022.贵州南明贵阳•中高一期中）如图所示的两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰

直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母小

(aWb)的不等式表示为.

ffl(l)S(2)

【解答】解：图(】)是由两个等腰直角三角形构成的，面积炉.

图(2)是一个矩形，面积S2=〃〃.

可得：-(a2+b2)>ab(a^b).

2

故答案为：-(/+/，)>ab

2

【题型二比较大小】

1.(2022.浙江高一月考)已知0<〃号，且加=±-&，N=搭-占,则M,N的大

b1+a1+b1+a1+b

小关系是()

A.M>NB.M<NC.M=ND.不能确定

【答案】A

【解析】解：由于0V«v1,所以OVaAVl.即1・出?>0.

所以M・N=—___-_____匕+工=匕+12^=。-Q)a+b)+(l+a)(l_b)=

以MN1+a1+h1+a+1+ba+1十1+b(l+a)(l+d)

2(—ab)7)

(l+a)(l+b)-

所以M>N,故选：A.

2.(2022•江苏南通市•海安高级中学高一期中)设a=y[i,b=币一小”=瓜一垃,

则凡b,c的大小关系为().

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>oa

【答案】B

【解析】b=币-6=万+6，-=/,・・・V7+G>«+0，

44

:.b〈c.又a—c=-=提—‘故a>c.综上可

V7+V3x/6+V2

得：a>c>h.

故选：B.

3.(2022.上海高一月考)比较(x—3『与(工一2)(工一4)的大小()

A,无法比较大小B.(x-3|2>(x-2)(x-4)

C.(JC—3)~=(x—2)(x-4)D.(x—3)~<(x—2)(x—4)

【答案】B

【解析】(x-3)2-(x-2)(x-4)=x2-6^+9-x2+6x-8=1>0,所以

(x-3)>(x-2)(x-4),故选：B

4.(2022•江西高一期末；若〃z=3f-x+1，〃=2W+x-1，则，〃与〃的大小关系是

()

A.m>nB.m>nC.m<nD.m<n

【答案】A

2

【解析】团〃?=3/・x+bn=2x+x-1

n=(3x2-x+1)-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0

因此：机故选：A

5.(2022•北京人大附中月考))甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路

程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则()

A.甲先到教室B.乙先到教室

C.两人同时到教室D.谁先到教室不确定

【答案】B

【解析】解：设步行速度与跑步速度分别为】“，V2,

显然0Vv2,总路程为2s,则甲用时间为二十一,乙用时间为-----，

%V2V1+V2

2

SS4sS(V1+V2)-4SV1V2S(UI-U2)2、八

vvv+v

ViV2%+艺也〃2(也+〃2)l2(l2)

故3+—>--------，故乙先到教室，故选：B.

%V2%+为

6.(2022•河南焦作市高一期中)XGR»比较(x+1)，+>1)与(x+f(d+1一])

的大小.

【答案】(x+l)(d+T+l〉(x+](Y+x+l)

丁+―>o

222224

2AX,I\

所以(x+l)X~4-----F1>1X4---x2+X+1)

22J

ab

7.（2022•广东高一月考）已知。>0,〃>0，试比较石+〃与的大小;

【答案】&+6，赛'+白（当且仅当时取等号）

【解析】方法一：由题意

ayJa+b\[b-a\[b-b\/a_（"力乂6-而）

\[a'Jbyfab

（石+二）（4-甸二

\[ab

因为a>0,b>0,所以G+G>0，（4a->[b^>0.y/ab>0»

所以（&+〃）（&-"）20,当且仅当〃=〃时等号成立,

4ab

所以G+扬工ab

为+五（当且仅当。二〃时取等号）.

ab-

।忑F+（6+旬（…-切_a+b-4ab

方法二:||==

+y/b4ab^y/a+\[b^>[ab（4a4cib

（4a-4b^+\[ab

地多+1>1，当且仅当。=〃时等号成立,

>jab

ab

所以C+J2,（当且仅当。=/?时取等号）.

【题型三不等式性质的运用】

1.（2022•河南焦作市高一期中）下列命题正确的是（）

A.若a>b，则,<!B.若a>b，则a2>b2

ab

C.若a>b,c<d,则a-c>力一"D.若a>b,c>d»则ac>Z?4

【答案】C

【解析】A.若公切，则■!■<,，取〃=1/二-1不成立

ab

B.若a>b,则/>Z?2,取。=0,匕二-1不成立

C.若a>b,c<d,则〃一。>〃一d,正确

D.若〃>〃.c>7,则〃c>〃/7,取a=LZ?=—Lc=l.d=-2不成立一故答案选C

2.（2022.浙江高一月考）若4<0,-1<人<0,则下列不等关系一定正确的是（)

2

A.a<bB.a<bC.\a\>\b\D.a+b>0

【答案】B

【解析】avO,从>0，所以a<Z?2故选：B

3.（2022•全国高一课时练习）下列命题正确的是（）

A.^a>b,WOac2>be1B,若则小泌？

C.若a<b,则D.若。>b>0,c>>0»则

ab

【答案】D

【解析】对于A：因为/NO,所以当c、2=0时.，ac2=bc2>故A错误；

对于B：若々3>/心可得当。=0/=-1时，满足但故B错误；

对于c：当。=-1,〃=1时，-=-14=1-所以故C错误；

abab

对于D：若a>b>U,c>d>2，贝故D正确.

故选：D

4.（2022•葫芦岛期末）若。、力、。为实数,则下列命题正确的是（）

A.若a>b,则a/〉。/B.若则片>必>/?2

C.若〃</?<（）,则D.若则

abab

【答案】B

【解析】对于A选项，若c=0，则a/n8c"故A不成立；

对于B选项，Qvb<0,在不等式Q<〃同时乘以a（a<0）,得

另一方面在不等式。两边同时乘以方，得〃〃>/,.•./>〃〃>从，故B成立：

对于选项C,在。两边同时除以"（">。），可得:〈J，所以C不成立：

对于选项D,令a——2,b—~\,则有:=二=2,2=!，—<y->所以D不成立.

b-1a2ab

故选B.

5.（2022・武汉外国语学校高一月考）已知a,"ceR,且那么下列各式中正确的是

（）

A.B.—<7C.ac2>bc2D.>b'

bab

【答案】D

【解析】对于A选项：举反例〃=则一二-1<1,则A不成立；

b

对于B选项：举反例。=1/=-1,则,==-7,所以则B不成立;

abab

对于C选项：举反例c=0,则a2c=o/2c=o,所以“2c=〃2c，则c不成立；

/113

对于D选项：/一〃’=(〃一人)卜/+"+〃)=a+—b+—〃

2J4

、2

国。>匕，一〃>0又回（.+1•/?3

+-/?2>O0«3-Z73>O»即，>/户.贝IJD成立故选：D.

I24

6.（多选）下列命题不正确的（）

A.L〈_L〈on|a|>|/?|B.2na>b

abcc

11a2>b211

C.=>a<bD.=>—<-

ab>0ab>()ab

【答案】ABD

【解析】A：•/<1<0/.c必>0且-■->-->0,因此一~--ab>――-ab>0ab,

ababab

即一"一。>0=|-4>卜4>。=例>同，故本命题不正确;

48

B：因为三>二，显然4>8不成立，所以本命题不正确；

-2-2

C：由=。3一万3=（。一份«/+〃人+/）>（）,而〃人〉。，

所以有4>。，而［一!二^--<0=>—<—,故本命题正确；

ahabab

D：若。=-2,〃=—1,显然成立，但是二<二不成立，故本命题不正确,

ab>0-2-1

故选：ABD

7.下列结论正确的个数为（）

①两个实数〃，〃之间，有且只有a>〃，a=b,4cb三种关系中的一种；

②若f>1,则

b

③一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变;

④一个非零实数越大，则其倒数就越小；

⑤c>d>0=>-^->—；

⑥若出?>0,则

ab

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】解：对于①，任意两个实数显然成立；

对于②，若：>1,则与心>0,故且〃>0或〃且〃<0,故错误；

bb

对于③，不等式的两边乘以同一个正数，不等号方向不变，故错误；

对于④，例如-2v2，-?<!，故错误；

22

对于⑤，c>t/>o=>-!->->o,进而由。〉匕>0可得=>2,故正确；

acac

对于⑥，由出?>0得。，力同号，故当。>〃>0时，—<»当0>。>分时，—<,故

ahab

若">0,则正确；综上正确的是：①⑤⑥故选：B.

ab

8.（2022•浙江高一期末）（多选）已知实数。，b,c满足ccbva,且acvo,则下列

不等式一定成立的是（）

A.ab>acB.c（Z?-tz）>0C.ac（〃-c）<0D.cb2<ab2

【答案】ABC

【解析】因为实数。，b,c满足ccbca,且ac〈O,

所以。>0,cv0,

由力〉c,。>0,得ab>ac,故A正确；

由Z?<a,c<0.得c（8一a）>0,故B正确；

由a>c,ac〈O,得ac（〃-c）<0,故C正确；

由。〉c,从NO,得cb?Wab?，当〃=0时，等号成立，故D错误；

故选：ABC

【题型四利用不等式的性质证明不等式】

1.（2022•四川宜宾市面一期中）已知c<0,求证：

ab

【答案】证明见解析.

【解析】£一£=幺二竺=心心，

ababab

因为a〉〃〉0，c<(),所以人一。<0，c[b-a)>0,出?>0故"^——>0t即证:

ab

2.(2022•椒江区校级月考)已知c<d<0,evO,求证：'一>」一

a-cb-d

【答案】----->------

a-cb-d

【解析】Qc<dv0,.c>一〃>0，

又，a>b>0,：.a—c>b—d>0-,­—■—<---<0,

a-cb-d

ee

又・・・e<0，「•——>--

a-cb-d

3.(2022•万州区校级月考)已知。功是任意实数，求证：/+尸2°%+出/,并指出等

号成立的条件.

【答案】证明见解析；当且仅当。=/?时，等号成立.

[解析】因为(/+//)-(。%+加)=(/_九)+仅4_加)

=(b-a)=(a-b)(cr,~^3)

=(a_b，(/+ab+b2^=(a-b)2

故(a，+//)—(a’Z?+ab3)>0,即a4+〃42a3b+aby.

当且仅当。=Z?时，等号成立.

4.(2022•北京师范大学万宁附属中学高一开学考试)设a>〃>c,求证：

be2+ca1+ab2<b2c+da+erb-

【答案】证明见解析

【解析】

be2+ca1+ab2-Ire-ca-a2b

=b[^c2-tz2)+b2(a-c)+ac(a-c)

=b(a+C)(C_Q)-〃2(C_Q)-4c(c-a)

=<0.

【题型五利用不等式的性质求取值范围】

1.(2022•四川宜宾市面一期中)若2<〃<5,3<〃<10,则。一力的范围为

【答案】（-18,-1）

【解析】依题意可知一20<-27?<-6,由「2<々<5,由不等式的性质可知

-18va-2/?v-1.故填：（-18,-1）.

2.（2022•浙江高一期末）已知-\<a-b<2,则3a—〃的取值范围是

（）

-5191

A.,—D.[8,1]C.[1,8]D.[1,8]

22

【答案】c

【解析】3。一/?=2（。一4）+（〃+/?）

-2<2（tz-Z?）<4,[<a+b<4f_1W2（a—〃）+（a+Z?）K8故选：c

3.（2022•万州区校级月考）已知1<〃<匕<3,则a+〃的取值范围是________,，的

b

取值范围是.

【答案】（2,6）

【解析】・.T<a<〃<3,即a<b<3,/.l+a<a+b<Z?+3,

乂1+4>2,b+3<6,:.2<a+b<6；

—Illla,

又一＜一＜一,＜1,又一＞一，＜1.

3ba3b333b

综上所述：a+〃的取值范围为（2,6）；1的取值范闱为

故答案为：（2,6）；（；」.

4.（2022•北京师范大学万宁附属中学高一开学考试）（多选）设