导数压轴大题：极值点偏移问题（原卷）

5.9导数压轴大题：极值点偏移问题

模块一：基础知识...................................................2

考点一：极值点偏移的含义........................................2

考点二：极值点偏移加法型的一般题设形式..........................2

考点三：极值点偏移解决策略......................................3

题型四：极值点偏移加法型判定方法与证明..........................3

模块二：题型分类...................................................4

题型一：极值点偏移加法型（xi+x2）..........................................................................................4

题型二：极值点偏移减法型（X1—X2）..........................................................................................6

题型三：极值点偏移乘积型（X1X2）.................................................................................................8

题型四：极值点偏移平方型（x,+x9.......................................................................................10

题型五：极值点偏移倒数和工+工与其他变形........................11

X1X2

模块三：综合巩固..................................................12

5.9导数压轴大题：极值点偏移问题

在导数这•模块的学习中，极值点偏移问题是导数的应用中非常重要的•种问题，也是在压轴题中容

易出现的一种题型。但是常常它的出现的特征非常明显，其中涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，

不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转

化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.

极值点偏移问题人体可分为加法型、减法型、乘积型、平方和型及倒数和型5个类型，考查学生化归

与转化思想，逻辑思维能力、运算求解能力，

模块一：基础知识

考点一：极值点偏移的含义

一、极值点偏移的含义

我们知道，如果对于函数y=；(x)在定义域D内任何一个x都满足f(x)=f(2a・x),则函数f(x)关于直线直线

x=a对称：可以理解为函数f(x)在对称轴两侧.函数值变化快慢相同.H若f(x)为单峰函数,则x=a必为f(x)

的极值点.如二次函数f(x)的顶点就是极值点x。,若f(x)=c的两根的中点为手，则刚好有华二勺即极值点在

两根的正中间，也就是极值点没有偏移.如下1图。

若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数f(x)的极值点为m,且函数f(x)满足定义域内x=a左侧的任

意自变量x都有f(x)>f(2a-x)或f(x)<f(2a-x),则函数f(x)极值点m左右侧变化快慢不同.故单峰函数f(x)定义域内

任意不同的实数x1,X2满f%)=f(X2),.则牛与极值点m必有确定的大小关系：

若a〈红詈，称为极值点左偏；若2美Z,则称为极值点右偏.

就二匕如说：函数目仅)=£的极值点>:。=1刚好在方程g(x)=c的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.如1：2

图

考点二：极值点偏移加法型的一般题设形式

1.若函数，（x）存在两个零点七，当且王工占，求证：X+W>2%（与为函数/（X）的极值点）；

2.若函数/（X）中存在X1,工2且工产工2满足/（工1）=/（工2），求证：X1+X2>2x0（%为函数/（X）的极

值点）；

3.若函数/'"）存在两个零点X1,々且不工工2，令）=y2，求证：/"（XQ）〉。；

4.若函数/（X）中存在X1,当旦玉。工2满足/（f）=/（工2），令/="j'求证：/'（%）>0.

考点三：极值点偏移解决策略

（I）证明X+/<2。（或石+马>2a）：

①首先构造函数g（x）=/（x）-/（2a-x）,求导,确定函数y=/（x）和函数y=g（x）的单调性；

②确定两个零点七，且/'（芮卜/小），由函数值g（*）与g（“）的大小关系，得

g（$）=/（3）-/（2。一$）=f（*2）-/（2[->）与零进行大小比较；

③再由函数y=/（x）在区间（。,内）上的单调性得到巧与2。一再的大小，从而证明相应问题；

（2）证明中2</（或中2>/）（王、4都为正数）：

（2\

①首先构造函数g（x）=/（x）-/—，求导，确定函数歹=/（》）和函数y=g（x）的单调性；

②确定两个零点芭<"/，且/（占）=/（七），由函数值g«）与g（。）的大小关系，得

g（xj=/（xj-/（斗小2）-/图与零进行大小比较；

③再由函数歹=/（》）在区间l&y）上的单调性得到乙与土的大小，从而证明相应问题；

X]

（3）应用对数平均不等式斥〈产一一<苦玉证明极值点偏移：

In$-Inx,2

①由题中等式中产生对数；

②将所得含对数的等式进行变形得到丁土『一：

③利用对数平均不等式来证明相应的问题.

题型四：极值点偏移加法型判定方法与证明

对于可导函数y=/（x）,在区间5力）上只有一个极大（小）值点与，方程/（x）=0的解分别为X，9,

且QV玉<X2<6，

（I）若/（X]）</（2x0-x2）,则/；七V（>）X。'即函数V=f（x）在区间（王,工2）上极（小）大值点工0右

（左）偏；

（2）若/（2X0-X2）,则"＞（＜）.%，即函数y=f（x）在区间（玉,工2）上极（小）大值点玉）右

（左）偏.

证明：（1）因为对于可导函数y=j\x）,在区间伍力）上只有一个极大（小）值点/，则函数/（X）的单

调递增（减）区间为（4,%）,单调递减（增）区间为（％,6），由于4cxi＜/＜人，有玉＜演），且2%-马＜/，

又/。1）＜/（2玉）一工2），故X＜（＞）2/-工2，所以"；"＜（＞）工0,即函数极（小）大值点玉）右（左）

偏；

左慢右快（极值点右偏=〃?＞土也）

22

模块二：题型分类

题型一：极值点偏移加法型（x±±X21

1.已知函数/。）=1./一2。4+81nx.

6

（1）若函数/"）在定义域内单调递增，求实数。的取值范闹;

（2）若函数/（外存在两个极值点.看，求证：X,+X2＞4.

2.已知。为常数，函数/（x）=e--

（1）讨论函数/（x）的单调性：

（2）若函数/'（X）有两个不同的零点%,电（玉＜天）・

（i）求实数4的取值范围；

（ii）证明:X]+、＞2.

3.己知函数/（x）=f（lnx-1a）,0为实数.

2

（1）当。=§时，求函数在4=1处的切线方程；

（2）求函数/"）的单调区间：

⑶若函数/（X）在X=e处取得极值，/'（X）是函数/（X）的导函数,且/'（为）=/（々），石。2,证明:

2<X1+x2<e.

4.已知函数/(x)=(x-l)ev+a(x3+1)(。€R).

(1)讨论函数/(x)的单调性：

(2)当函数/(x)仅有两个零点看,々时・

(i)求实数〃的取值范围；

(ii)求证：X]+z<0.

题型二：极值点偏移减法型区工-xzl

1.已知函数/(x)=lnx-or

(1)讨论/(x)的单调性：

(2)若为，*2，(再<七)是/(x)的两个零点.证明:

2

(I)X]+X)>一;

-a

2x/\-ea

-x.>----------.

2.1(x)=In(e、*"+1j——+—+/>々两个零点工1(X<*2)•

(1)4=00寸，求Z)的范围；

(2)8=-1且〃<:时，求证：x2-xi<2\/5-4a.

3.已知函数/（X）二F一2工一（〃+1）,g（A-）=x2+（6/-l）x-（67+2）（其中g2.71828是自然对数的底数）

⑴试讨论函数/（X）的零点个数；

⑵当时，设函数=-g（x）的两个极值点为覆、/且$</，求证：eX2-ex,<4/+2.

4.已知函数/(x)=^--a(x-l)+(4?-l)lnx,a>2.

(1)求函数/(x)的单调区间：

(2)若/(〃?)=/⑴且加工1,证明:Vxe(l,m),(a-l)lnx>A-l；

2

x

(3)记方程、•—4x+3Inx=—4的三个实根为为，々，3»若$</</，证明：x3-x2<2^.

题型三：极值点偏移乘积型(X£2)

1.已知函数/。)=30--(2。+].+21nxswR).

⑴若/J)有唯一极值，求。的取值范围；

(2)当a«0时,若/'区)=/"2)，qf,求证：x)x2<4.

2.已知函数/(x)=xlnx->0).

⑴若函数/(x)在定义域内为减函数，求实数a的取值范围；

⑵若函数/(x)有两个极值点七,毛(不＜毛)，证明：＞L

3.已知/'(x)=2x-sinx-八lnx.

⑴当。=1时，讨论函数/(X)的极值点个数；

(2)若存在多，工2(0〈再。2)，使“石)=/(%2)，求证：不玉＜。.

4.己知函数/(x)="lnx,g(x)=be'(e为自然对数的底数)

⑴当a=e时，恰好存在一条过原点的直线与/(X),g(x)都相切，求b的值;

(2)若6=1,方程xg(x)-/(x)-av=0有两个根与X,,(0<x,<X,),求证：为飞、「化♦*’

题型四：极值点偏移平方型&彳士X曼

1.已知函数〃')=上叵，^>0.

ax

(1)若〃x)Wl,求。的取值范围;

⑵证明：若存在怎，々，使得/(%)=/伍)，则x；+x；>2.

2.在平面直角坐标系X。，中，RSO/8的直角顶点A在x轴上，另一个顶点4在函数/(力=更图象上

X

⑴当顶点4在X轴上方时，求以X轴为旋转轴，边43和边08旋转一周形成的面所围成的几何

体的体枳的最大值：

2«

(2)已知函数g(x)=e-5；〃厂-1,关于x的方程/(x)=g(x)有两个不等实根可当(再<当).

(i)求实数〃的取值范围；

(ii)证明：片+4>一.

3.已知函数/(x)=5'-ar

.V

⑴若/(x)W-l,求实数。的取值范围；

12

2

(2)若/(x)有2个不同的零点和田(X)<x2),求证:2X1+3x；>—.

4.已知函数/。)=小二口，g(x)=或.

XX

(1)若对任意的叫〃e(0,+8)都有4Yg(〃)，求实数/的取值范围;

(2)若再户2w(°，+°°)且工产七,e"F=%,证明：x：+x；>2.

匹

题型五：极值点偏移倒数和?士(与其他变形

1.已知函数/(x)=(2c-x)lnx,其中e=2.71828…为自然对数的底数.

(1)讨论函数/(x)的单调性;

(2)若为72e(O,l),且毛lnX1-占Inx2=2以内(111工［一In%),证明：2e<—+—<2e+1.

I+x

2.已知〃x)=；—吟g(x)=a(x+\).

\-x

(1)求N="x)的单调区间；

⑵当a>0时，若关于X的方程/*)+g(x)=。存在两个正实数根X'M)，证明：4>&2且X用<再+声.

3.已知〃(x)=lnx-a》

⑴若Mx)有两个零点，求。的取值范围；

⑵若方程a「e，=lnx+x有两个实根为、巧，且声>玉,证明：)<0.

4.已知函数/(M=aln,-x,g(x)="<zev.(c-2.71828…为自然对数的底数)

⑴当。=1时，求函数V=/(x)的极大值；

(2)已知*1，口€(。，+<50)，且满足/(石)>8(*2)，求证：.V)+aex->2a.

模块三：综合巩固

1.已知函数/(x)=1n|x-l|-@,aeR是常数.

X

⑴求曲线y=/(x)在点(2J(2))处的切线方程，并证明对任意“GR,切线经过定点;

(2)证明：”0时,设4、々是明X)的两个零点，且,+々>2.

2.已知函数/(x)=二一21nx(awA且。工0).

a

(1)讨论函数/(x)的单调性;

(2)若函数/")有两个零点七、x2{x{<x2),且〃=/,证明：x}+x2>2e.

3.已知函数/(x)=c'0-ox2)(a>0)(e为自然对数的底数).

(1)求函数〃x)的单调区间:

(2)当a=l时，V=/(x)在点0,0)处的切线方程为y=g(x),设方程/(幻=山>0)有两个实数根

再,七(内<》2)，求证：

(I)fM<g(x).

(ii)—X1<2-/(1H-----).

2e

4.已知函数/(力=(》-0-1)。'一3小+e2x

⑴求函数/(x)的单调区间与极值.