第一章 勾股定理 验收卷-【暑假预习】新八年级数学（北师大版）

勾股定理验收卷

一、选择题（每小题3分，共36分）

1.下列各组数是勾股数的是（）

A.8,15,17B.1.5,2,2.5C.5,8,10D.3,4,6

【答案】A

【详解】

A、因为82+152=172,故是勾股数：故此选项止确;

B、因为勾股数必须是正整数，故不是勾股数.故此选项错误；

C、因为52+82,1（）2,故不是勾股数.故此选项错误；

D、因为32+42=62,故不是勾股数.故此选项错误；

故选:A.

2.一个门框的尺寸如图所示，下列长x宽型号（单位：m）的长方形薄木板能从门框内通过的是（）

A.2.9x2.2B.2.8x2.3C.2.7x2.4D.2.6x2.5

【答案】A

【详解】

门框的对角线长为庐米.

•••石出2.236米.

.•.只有4选项的薄木板的宽小于2.2.36,即只有A选项的薄木板可以通过.

故选：A.

3.如图，在三角形ABC中，NACB=90。，4C=3,BC=4,以点A为圆心，AC长为半径画弧，交于点Z）,

则BD=（）

D

B

A.2.5B.3C.2D.3.5

【答案】C

【详解】

解：・・・AC=3,BC=4,

-A^=y/AC2+BC2=5»

•・•以点A为圆心，4c长为半径画弧，交A3于点。，

.\AD=AC,

.\AD=3,

：,BD=AB-AD=5-3=2.

故选C.

4.设一个直角三角形的两直角边分别是a,b,斜边是c.若用一把最大刻度是20cm的直尺，可一次直接

测得c•的长度，则小方的长可能是（）

A.。=12,b=16B.a=11,b=\lC.a=10,%=18D.a=9,b=19

【答案】A

【详解】

解：A.a=12,。=16,根据勾股定理斜边c=20；

B.a=ll,>=17,斜边c=J410>20；

C.a=l0,8=18,斜边万>20；

D.〃=9,b=19,斜边c二屈^>20：

•・•最大刻度是20U.II的直尺，可一次直接测得c的长度，

a=12,/?=16,

故选：A.

5.如图，某公园内的一块草坪是长方形A3C。，已知八3=8m,3c=6m,公园管理处为了方便群众，

沿AC修了一条近道.一个人从A到。走A—8—C比直接走AC多走了（）

A.2米B.4米C.6米D.8米

【答案】B

【详解】

解：在长方形A8C。中，

ZABC=90°

AC=yjAB2+BC2=V82+62=1（）

V/W+BC=8+6=14

.-.14-10=4

..・从A到。走A-4-C比直接走AC多走4米，

故选：B.

6.如图，以两个半圆的直径作为直角边，正方形的一边作为斜边构成一个直角三角形，己知半圆面积分别

为1和3兀，则正方形的面积为（）

A.16兀B.32兀C.16D.32

【答案】D

【详解】

设大半圆的半径为R,小半圆的半径为r,根据题意得，

、兀R，=3兀

2

:.R=46

12

—71V-71

2

r=V2

故直角三角形的两条直角边为：2瓜

故直角三角形的斜边平方为（2#尸+（2及尸=32,

则正方形的面积为：32,

故选：D.

7.如图，矩形ABCD是一个长为20m、宽为15m的长方形草地示意图，现在有一只小狗在点A处玩耍,

主人在点C处与人聊天，小狗若想快速回到主人身边，最短奔跑距离为（）

D.35m

【答案】c

【详解】

解：由两点之间线段最短可知，连接AC,如下图所示:

在R/ABC中，由勾股定理有：AC=\]AB2+BC2=>/202+152=25(m)»

故选:C.

8.如图，为了测量池塘的宽度。K，在池塘周围的平地上选择了A、B、C三点，且A、。、E、C四

点在同一条直线上，ZC=90°,已测得AB=100m,BC=80m,AD=20m,EC=10m,则池塘的

C.50mD.40m

【答案】C

【详解】

解：在RtZkABC中，

AC=飞AB?-BC?=V1002-602=80m

所以DE=AC-AD-EC=80-20-10=50ui

故选：c.

9.已知△ABC的三条边分别为。、b、C,三个角分别为NA、BB、NC,则下列选项中不能判定它是

直角三角形的为()

A.b2=a2-c2B.ZC=Z4-ZB

C.NA:NB:NC=3:4:5D.a:A:c=12:13:5

【答案】C

【详解】

由/="-C2可得"+C?=4,故A可以判定是直角三角形.

由NC=NA—N3可得NA=90%故B可以判定是直角三角形.

ZA:ZB:ZC=3:4:5,即NA=45。，ZB=60°,NC=75。，/.C不为直角三角形.

由〃：/?:C=12:I3:5可得〃2=a2+°2,故D可以判定是直角三角形.

故选C.

10.古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭，有个邻居聪明者,

教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服若设竿长为x

尺，则可列方程为()

A.(x+2)2+(x-4)2=x2B.(x-2)2+(x+4)2=x2

C.(X-2)2+(X-4)2=X2D.(X+2)2-(X-4)2=X2

【答案】C

【详解】

设竿长为x尺，根据题意得，房门的宽为工-4,高为工-2,对角线长为x,根据勾股定理列出方程

(x-2)2+(x-4)2=x2.

II.如图，快艇从A地出发，要到距离A地10海里的C地去，先沿北偏东70。方向走了8海里，到达8地,

然后再从4地走了6海里到达。地，此时快艇位于"地的().

A.北偏东20。方向上B.北偏西20。方向上

C.北偏西3()。方向上D.北偏西40。方向上

【答案】B

【详解】

解：:AO10海里，AB=8海里，BO6海里，

根据勾股定理的逆定理可知AB2+BC2=AC2，

，ZABC=90°,

VZDAB=70°,AD/7BE,

.,.ZABE=110°,

则NCBE=110o-900=20。,即点C在点B的北偏西20。方向上.

故诜B

12.如图，已知NB=NC=NO=NE=900,且AB=CD=3,BC=4,DE=EF=2,则4,F

两点间的距离是（）

【答案】D

【详解】

解：过点尸作/G_LA8交A8的延长线于点G,

贝ljAG=A8+CQ+Er=8,FG=BC+DE=6,

由勾股定理得，4V=JAG2+R?2=IO,

二、填空题（每小题3分，共18分）

13.下列各组数：①1、2、3；②血，血，2；③0.3、0.4、0.5；④9、40、41,其中是勾股数的是

（填序号）.

【答案】④

【详解】

解：①1、2、3,因为1+2=3,无法组成三角形，所以不是勾股数；

②及，0不是正整数，不属于勾股数：

③0.3、0.4、0.5不是正整数，不属于勾股数；

④因为92+402=4口,所以以40、41属于勾股数;

故答案为：④.

14.如图所示，有一圆柱形油罐，现要以油罐底部的一点A环绕油罐建梯子，并且要正好建到A点正上方

的油罐顶部的〃点，已知油罐高入〃=5米,底面的周长是12米，则梯子最短长度为.

【详解】

解：如图所示：

/1B=A/|224-52=13（米），

15.我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去

本八尺而索尽.问索氏几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木

柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽.问绳索长是

多少？”示意图如图所示，设绳索AC的长为X尺，木柱AB的长用含工的代数式表示为一尺，根据题意，

可列方程为—.

【答案】（x-3）（X-3）2+82=X2

【详解】

解：设绳索长为X尺，则木柱长为(X—3)尺,

根据勾股定理可列方程：(x—3y+82=f,

故答案为：(x-3)；(X-3)2+82=X2.

16.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到8处搬运食物，它爬的最短距离是

20

B

2

A

【答案】25

【详解】

解：如图所示：台阶平面展开图为长方形,

BC=5+5+5=15,

则蚂蚁沿台阶面爬行到4点最短路程是此长方形的对角线长.

由勾股定理得：AB2=AC2+BC2，

即AB?=2()2+152,

・•・A3=25,

故答案为：25.

17.如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形A,B,C,D的边长分别是4,5,

3,4,则最大正方形E的面积是

【答案】66

【详解】

根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为Si,C、D的面枳和为S2,

SI=42+52,S2=32+42,

于是S3=S|+S2,

即可得S3=16+25+9+16=66.

故答案是:66.

18.东汉《九章算术》中，"折竹抵底''问题，意思是：如图所示一根竹子，原高10尺，一阵风将竹子折断,

其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少？.

【答案】4.2尺.

【详解】

解：如图所示：

由题意得：NAOB=9()。，

设折断处离地面的高度04是x尺，

由勾股定理得：X2+42=(1()7)2,

解得：x=4.2,

即：折断后的竹子高度04为4.2尺.

故答案为：4.2尺.

三、解答题(19题6分，其余每题8分，共46分)

19.有一朵荷花，花朵高出水面I尺，一阵大风把它吹歪，使花朵刚好落在水面上，此时花朵离原位置的

水平距离为3尺，此水池的水深有多少尺？

【答案】4尺

【详解】

解：设水深x尺，那么荷花径的长为(x+1)尺，如图

由匀股定理得：

(X2+32=(X+1)2

解得：x=4

答：水池的水深有4尺

20.某零件周边尺寸(单位，cm)如图所示，且NCZM=90°.求该零件的面积.

【答案】零件的面积为24.

【详解】

解：连结4C

•・•NCD4=90',A。=3,C。=4

AC=5

・・・AB=12,8C=13

/.AC2+/1B2=524-122=132=BC2

.•.N8AC=90'

・•・零件的面积=SMM-SM0c=；x5xl2—‘x3x4=30—6=24

22

21.如图，学习了勾股定理后，数学活动兴趣小组的小娟和小燕对离教室不远的一个直角三角形花台斜边

上的高进行了探究：两人在直角边A3上距直角顶点用0米远的点。处同时开始测量，点C为终点.小娟沿

DTBTC的路径测得所经过的路程是15米，小燕沿。.AfC的路径测得所经过的路程也是15米，

这时小娟说我能求出这个直角三角形的花台斜边上的高了，小燕说我也知道怎么求出这个直角三角形的花

台斜边上的高了.亲爱的同学们你能求出这个直角三角形的花台斜边上的高吗？若能，请你求出来：若不能,

请说明理由？

【答案】能，理由见祥解，一米

13

【详解】

解：RtAABC中，NB=90°,

设BC-a(/n),AC-b(tn),AD-x(m)

则10+4=x+/?=15。〃).

a=5(/??),/?=15-x(ni)

乂在RtAABC中，由勾股定理得：(10+x)2+a2=Z?\

(10+X)2+52=(I5-A:)2,

解得：x=2,即AO=2(米)

」.AbhAD+DB=2+10=12米，8C=5米，AC-13米

,仓$12=-?13/i,力二竺米

2213

答：这个直角三角花台底边上的高位A3为黑米

13

22.如图，一架云梯44长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米.

(1)这个梯子底端离墙有多少米？

(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？

BtBC

【答案】(1)7：(2)不是

【详解】

解：(1)由题意得此时a=24米，c=25米，根据a?+b2K2,

.\b=7米；

(2)不是.设滑动后梯子的底端到墙的距高为b米，

得方程,b2+(24-4)2=252,

解得b=15,

所以梯子向后滑动了8米.

综合得：如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向不是滑4米.

23.已知：如图，在AABC中，CDJ_AB于点D,AC=20,BC=15,BD=9.

(1)求CD的长.

(2)求AD的长.

(3)AABC是直角三角形吗？请说明理由.

【答案】(1)12；(2)16；(3)aABC是直角三角形，理由见详解.

【详解】

解：⑴,:CD1AB,

.,