第八章 成对数据的统计分析 单元测试卷-2025-2026学年高二数学下册人教A版选择性必修第三册

2025-2026学年第二学期高二数学成对数据的统计分析测试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.甲、乙、丙、丁四位同学各省对A4两变量的线性相关性做试

甲乙丙T

验，并分别求得样本相关系数〃如表:

7,0.820.680.690.85

则试验结果体现A8两变量具有更强的线性相关性的是（)

A.甲B.乙C.丙D.丁

2.已知变量x,y具有线性相关关系，由样本数据（冷凹）（i=l,2,3,4,5）得到y关于X的经验

回归方程为），=3x+/,若£七=15,fZ=50,则当x=6时，丁的预测值为（

)

A.19B.23C.13D.59

3.某校研究性学习小组收集了某地区近几年的某种经济指标y与年份x的数据,经已算得经验回

归方程为），=0.008x+16.392.若2026年该经济指标的实际值为32.1,则残差为（)

A.0.2B.-0.2C.0.5D.-0.5

4.下列样本数据散点图中，变量x和变量》的样本相关系数分别为4,4，4,则（）

相关系数々相关系数〃2相关系数小

A.”弓<4B.C.D,ry<rx<r2

5.下列说法中♦错•误•的有几个（）

①数据1,2,3,5,7,8,9的60%分位数是6；

②根据2x2列联表中的数据计算得出/26.635,而P（z2*.635卜0.01,则“两个分类变量有关联”

此推断犯错误的概率不大于0.01;

③回归分析时，可用决定系数配刻画模型的拟合效果，R2越大，则拟合效果越好;

④若随机变量4服从正态分布若产©<。注尸©>1-2.），则实数

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.某工厂为研究新、旧两条产线与产品质量的关系，随机抽取200件产品进行检验，得到如下2x2

列联表，则下列说法正确的是（）

优质品非优质品合计

新产线7525100

旧产线6040100

合计13565200

n{ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

A.有95%的把握认为新、旧两条产线的产品质量有差异

B.有99%的把握认为新、旧两条产线的产品质量有差异

C.根据小概率值。=0.05的独立性检验，我们认为新、日两条产线的产品质量没有差异

D.根据小概率值a=（）.（X）l的独立性检验，我们认为新、旧两条产线的产品质量有差异，该推断

犯错误的概率不超过0.001

7.新泰中学为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生，调查他们参

与科技类、文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示，经计算得到

/=8.651.下表是/独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临

界值，下列说法正确的是（）

a().050.01().(X)5().001

试卷第2页，共8页

3.8416.6357.87910.828

A.在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人

B.在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人

C.依据。=0.（）1的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的

概率不大于0.01

D.依据a=0.（X）l的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错

的概率不大于0.001

8.用模型>=〃*拟合一组数（4y）（i=l,2,…,10）,若%+毛+…+与）=30,Xo=e"）,设z=lny,

得变换后的经验回归方程为$=院+3,则欣=（）

A.2e3B.12C.3e2D.6

二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）

9.某单位通过对数据的统计与分析得知，日用电量y（单位：&W/）与当天平均气温工（单位：。0

之间线性相关，且线性回归方程为§，=-2x+60.已知数据样本的相关系数为「，则下列说法正确的

有（）

A.日用电量与平均气温成负相关，气温每升高日用电量平均减少

B.可以预测到当平均气温为-4c时，日用电量约为68kW.h

C.如果样本的相关系数厂=-0.9,则说明用电量与平均气温的线性相关性很弱

D.该回归直线必经过样本点的平均值点（工方

10.如图所示，有一散点图在5个（K封数据中去掉。（3,10）后，下列说法中错•£(10,12)

glO)

误的是（）

•C(4,5)

.・8亿4)

A.残差平方和变大B.相关系数「变小4L3)

C.决定系数2变小D.解释变量x与响应变量》的相关性变强

11.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销,

统计了连续5个月的月销售量/(单位：千件)与售价单位：元/件)的情况如下表所示.则

()

售价X(元/件)1011121314

月销售量y(千件)109975

力(菁-可(£-方寸/一烟XU.-x)(y;-y)或凹-西

参考公式：①~”仁iX”----J----------T-----

J£(x,-可~£(，-刃JE<-^2x,v.2-«rEU-JXEv-^2

Vi-1/-IV\1=1i=l7r-1i-l

@a=y-bx.

参考数据：£X/=468,^(A;-X)2=10,X(y,-y)2=l6,而々3.162.

/=lr-l/=1

A.y关于x的线性回归方程为：,y=-1.2x+22.4

B.相关系数一。-0.95(小数点后保留两位)

C.当售价为15元/件时，预测月销售量为3.4千件

D.在线性回归方程的估计下，样本点(KM0)的残差为"0.4

三、填空题(本大题共3小题，共15分)

0

12.已知变量4和变量的一组成对样本数据为(3,y),(w，%)「••，(/，)%),其中f=£，其回归直线方

O

1O

程为y=2x+(,当增加两个样本数据(-1,3)和(2,11)后，经重新计算得到新回归直线的斜率为3,则

4

在新的回归直线方程的估计下，样本数据卜等)所对应的残差为.(残差=观测值-预测

值)

13.已知一系列样本点(％/)(i=l,2,3,…,9)满足不=5,£>”265,由最小二乘法得到N与x的回归

r-l

方程，其中，入=中=123,…,9).现用决定系数内来判断拟合效果(R2越接近1,拟合效果越好),

若2；=i(%一％尸=L60，则於=_____•

14.已知由样本数据(4y)(i=L2,3,…[0)组成的一个样本，得到回归直线方程为22Ao.4,且元=2,

去除两个样本点(-3』)和(3,-1)后，新得到的回归直线方程斜率为3,则样本(48)的残差为.

试卷第4页，共8页

四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.1本小题13分）在疫情的特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学

生在线学习.复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与

在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取50名进行调查.知道其中有30人每

天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如下的等高条形图：

（D用样本频率估计概率，求学习时长不超过1小时但考试成绩超过120分的概率;

（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线

学习时长有关“

a0.0500.0100.001

2n^ad-bey

(a+/?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

Xa3.8416.63510.828

16.(本小题15分)某电视厂家

准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出.广告费支

出x（单位：万元）和销售量丁（单位：万台）的数据如下：

年份2014201520162017201820192020

广告费支出工1246111319

销售量y1.93.24.04.45.25.35.4

（1）若用线性回归模型拟合y与二的关系，求出〉关于工的线性回归方程;

⑵若用y=c模型拟合y与X的关系，可得回归方程）=1.63+0.994,经计算线性回归模型和该

模型的R2分别约为0.75和0.88,请根据R2的值，判断选择哪个回归模型更好.

««--r2之式项一元）（VL刃^^xtyi-nxy〃

参考数据：Zx,.Z.=279.4,石（看一幻2=260.附：b=⑺与）2=火炉一位2，a=y-hx.

17.（本小题15分）对于变量工和变量），，设获得的成对数据为（芭/）,（生必），…，（%工），其中

亍=上工4》=’2上.在某实验过程中，随机抽样获得了如下成对样本数据：

“2〃,=>

X100110120130140150160170180190

y40475661667274788386

表1

对表1中数据作变换〃=弥-150）#=），-70得到了如下表2:

序

号12345678910

U-5-4-3-2-101234-5

V-30-23-14-9-42481316-37

UV150924218404163964429

表2

设样本相关系数为「，当0.8指＜0.9时，表明两个变量的线性相关程度较强，当时，表明两

个变量的线性相关程度很强.

£(D(NT)次（％—工心一到

i-1

参考公式：r==----------------，a=y-bx.

(人，一1『ZU-^）2

/=1

参考数据：Z10“：=85,Z10匕2=223=145,y=66.3,鬻a0.4976,

i=iJ=I823U

a1.9603,,R下x0.9876,0.4976x145=72.152,1.9603x66.3n\29.9679

2094.1V8250V2094J

⑴证明：力（菁7）（-y）=力x^-nxy

；=Ii=l

（2）分别求表1中的两个变量乂上表2中的两个变量〃/的样本相关系数小弓，并推断相关关系的

类型（即正相关或负相关）和相关程度；

（3）设y关于X的经验回归方程为$，=去+G,反之，X关于），的经验回归方程为£=2y+e.

（i）由表1的实验数据，求经验回归方程亍=加+&和定=dy+2,并判断、:y=Ex+&与％：y=

在直角坐标系中的位置关系（计算结果精确到0.01）；

试卷第6页，共8页

(ii)对于实验中经过随机抽样获得的〃对数据(与y)，，=L2,…，得到经验回归方程$，=小-4和

x=dy+c1在线性相关程度较强的条件下，判断y=+a与y=|(x-C)对应的两条直线是否相

交？若相交，请求出交点坐标，若不相交，请说明理由.

18.(本小题17分)某商场为了解顾客购买41手机的意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情

况，得到数据如下表.

购买无4技术的手

购买AI手机心H二”十

机

男性顾客4565110

女性顾客563490

总计10199200

(1)根据表中数据，判断是否有95%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关？并说明理由；

⑵从这11。位男性顾客中随机挑选4位，求其中至少有2位购买41手机的概率(精确到0.01);

(3)为促进AI手机的销量，该商场为购买加手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，

分别奖励300元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为!和?，其余情况不中奖.每位顾

oJ

客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为X元，求随机变量

X的数学期望.

n(acl-be)2

参考公式及数据:①/=其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

②尸(/26.635)®0.01,P(z2>5.024卜0.025,P(/2>3.841)®0.05,P(/2>2.706)«0.1.

19.(本小题17分)一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度X有关，现收集了该种药用昆虫

的6组观测数据如下表：

温度"C212324272932

产卵数)，/个61120275777

经计算得：工=；1>,=26,亍=；t>,=33,£（x,-可（y-刃=557,£（A;-T）2=84,£（,-寸=3930,

线性回归模型的残差平方和£（y「y）2=236.64,小皿/⑹，其中4y分别为观测数据中的温度和

r=l

产卵数，i=l,2,3,4,5,6.

（1）若用线性回归方程，求》关于大的回归方程$，=加+力（精确到0.1）;

（2）若用非线性回归模型求得了关于工回归方程为>=0.06€。2叫，且决定指数代=0.9522.

（i）试与（1）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好.

（ii）用拟合效果好的模型预洌温度为35C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.

附：一组数据（x，y），（w，%）-••，（%”），其回归直线亍=几+&的斜率和截距的最小二乘估计为

/i）（»-了）E（x-^）'

b=J~,---------,a=y-hx-决定系数代=1一片--------.

f=1r=1

试卷第8页，共8页

参考答案:

题号12345678910

答案DADBAACAABDABC

题号11

答案ABD

1.D

【详解】由表格知，相关系数厂绝对值最大的是丁，故试验结果体现A8两变量具有更强的线性相

关性的是丁.

2.A

【详解】由=£凹=50,得:i#=3,y=^=IO,

;=iM55

点伍到在回归直线上，故10=3x3+/,解得£=1,.\y=3x+l,

故当x=6时，9=3x6+1=19.

3.D

【详解】由经验回归方程为y=0.008x+16.392得：预测值%”6=0.008X2026+16.392=32.6,

残差=实际值一预测值=32.1-32.6=-0.5.

4.B

【分析】根据散点图，结合变量间的相关关系和相关系数的定义，即可求解.

【详解】由散点图3）可得，变量尤与变量》之间呈现正相关，所以4>0;

由散点图（2）可得，变量X与变量》之间呈现不相关，所以弓=0；

由散点图（3）可得，变量X与变量》之间负相关，所以4<0,所以匕

5.A

答案第1页，共11页

【分析】利用百分位数定义可判断①；利用独立性检验可判断②；利用决定系数与模型拟合效果的

关系可判断③；利用正态分布k称性和性质可判断④.

【详解】对于①，将数据按从小到大排列：1,2,3,5,7,8,9共有7个数据，06x7=4.2

故60%分位数是第5个数，即7不是6.故①错误；

对于②，根据2x2列联表中的数据计算得出/之6.635,而P⑴之6.635卜0.01,

则有99%的把握认为两个分类变量有关系，

则，，两个分类变量有关联，，此推断犯错误的概率不大于0.01,故②正确；

对于③，在做回归分析时，可以用决定系数2刻画模型的回归效果，

若心越大，则说明模型拟合的效果越好，故③正确；

对于④，由随机变量其正态曲线关于直线4=1对称，

由P^<a)=P(^>2-a),若P^<a)>P^>\-2a)t

则P(空2-a)NPq>l一勿),即得2生1一孙所以31,故④正确.

6.A

【详解】零假设“。：新、旧两条产线的产品质量没有差异,

200x(75x40-60x25)2

由题意可得/=之5.128>3.841,

135x65x1(X)x100

则有95%的把握认为新、旧两条产线的产品质量有差异.

7.C

【分析】由等高堆积条形图，可以分别求出高一、高二学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活

动人数之比，从而根据分层抽样求出人数，即可判断选项A和B；根据/=8.651,有照临界指表,

即可判断选项C和D.

【详解】由等高堆积条形图可知，高一学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比为

0.6:0.4-3:2,

答案第2页，共11页

3

所以按比例分层随机抽样抽取2，）人，则参加科技类的学生有20xj=12人，A错误；

由等高堆积条形图可知，高二学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比为

0.4:0.6=2:3,

24

所以参加科技类活动人数为200：1=80人，参加文艺类活动人数为200x：=120人，

•JJ

所以调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多】20-80=40人，B错误；

已知/=8.651,根据临界值表可得/=8.651>6.635=Zo.ol,

依据a=0.01的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率

不大于0.01,

所以C正确：因为/=8.651<10328=a0m,不满足/>短陋，因此不能依据。=0.001的独立性检验

得出结论，所以D错误.

8.A

【分析】先对指数式>=讹辰取对数化为线性形式z=ln〃+心，结合已知数据算出M=3,z=9,利用

回归直线过样本中心点（x,z）求出&=3=2,再对比截距得Ina=3即〃,最后相乘成=2本.

【详解】由丁=。/，得lny=ln（储'）=依+1114,

令z=lny,贝ijz与“满足线性关系$="+，

由芯―工2+…+/=30,得［=特=3,由

得弓一Z?十…十"—Iny+Ing+…十lny10_In（,为…）io）-Ine-90,所以z=历=9,

鸟=屈+3过样本中心点伉可=（工9）,即9=3》+3,解得%=2,

对比$=依+lni和S=务工+3,k"-A，解得％=2,a=e1所以Hr=2e’.

Una=3

9.ABD

答案第3页，共11页

【详解】A、因为线性回归方程为》=-21+60,-2<0,两个变量成负相关,

即当气温每升高日用电量平均减少2kW/,故A正确；

B、因为线性回归方程为S=-2X+60,当工=~4时，$，=—2x（T）+60=68,

则当平均气温为-4,C时，日用电量的度数约为68hW?,故B正确；

C、r=-0.9,H=0.9,0.9非常接近1,

说明用电量与平均气温的线性相关性很强，故C错误；

D、回归直线亍=加+a必经过样本中心（元刃，

所以回归直线$=-21+60必经过样本点的平均值点（元刃，故D正确.

10.ABC

【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差平方和的变化情况即可得.

【详解】从散点图可分析出，若去掉。点，则解释变量工与响应变量y的线性相关性变强，

且是正相关，所以相关系数〃变大，决定系数2变大，残差平方和变小，

故A、B、C错误，D正确.

11.ABD

【分析】由已知公式求得线性回归方程可判断ACD,由相关系数计算公式可判断B.

-=10+11-12+13+14=1-10+9+9+7+5

【详解】计算均值:y=-----------：----------

5

468-5x12x8-12

选项A：根据公式刃=弓-------二T・2,

10玉T

i=l

a=7-^x=8-(-l.2)x12=22.4,线性回归方程为S，=-L2X+22.4,A正确;

答案第4页，共11页

）:..y-tixy

选项B：相关系数一『J-'《，，「盍=箫。1T495,B正确；

、2A-疝-Z-vr-^r

V\i=l八j=l7

选项c：x=15代入回归方程：y=-1.2x154-22.4=4.4,预测月销售量为4.4千件，不是3.4千件，C

错误；

选项D4=10时，y=-1.2x10+22.4=10.4,e=y-y=10-10.4=-0.4,D正确.

12.-；/-0.5

【分析】将样本中心点代入回归方程中求出即可得出为+9+……+为，进而得出新

数据的样本中心点和回归方程，代入计算即可.

【详解】由题意得，7=2i+==2>4+；=7,

4o4

9

贝|」内一天+…+/=8乂£=9,y+必+…+/=8x7=56,

O

当增加两个样本数据（T3）和（2,11）后，

变量x的平均数为空电=1,变量》的平均数为注詈=7,

因为新回归直线的斜率为3,所以可设其方程为），=3x+〃,

将(1,7)代入得〃=7-3=4,贝IJ)，=3X+4,

令户3,则尸13,则样本数据卜弓）所对应的残差为胃一13T.

24

13.0.96/—

4J

22

Z(»-t)E(.v/-x)16

【详解】R1=IT--------=1-^---------=1------:——r=0.96

丁/—\2▽2Q—2265—9x5"

14.-1

【分析】由回归方程求出九再求出新样本的平均数？，了，从而求出回归直线方程，再求出预测

答案第5页，共11页

值，即可得到残差.

【详解】将了=2代入a=2X-0.4,亍=2x2-04=3.6,

去除两个样本点(T1)和(3,-1)后，所以？=答=[,-=16xl0=9a=1-3x^=-3,

oZoZZZ

故去除样本点(-3,1)和(3,T)后的回归直线方程为9=3x-3,

当x=4时，》=3x4—3=9,则样本(4,8)的残差为8—9=—1.

15.⑴卷

(2)能，高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习肘长有关

【分析】(1)根据等高图，应用古典概型的概率求法求概率即可；

(2)由题意完善列联表，再求出卡方值，结合独立检验基本思想得到结论.

【详解】(1)从等高条形图中看出，学习时长不超过1小时，

但考试成绩超过120分的人数为三'3。=12人，

(2)依题意，得2x2列联表:

数学成绩

M120分>120分合计

在线学习时长

41小时181230

>1小时51520

合计232750

零假设〃。：高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长无关,

答案第6页，共11页

50(18x15-5x12):1225

——。5.918>3.841=%

23x27x30x20207005

，根据小概率值。=0.05的独立性检验，可以认为名不成立,

即高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关，而且犯错误的概率不超过0.05.

16.(1)y=0.17A+2.84

(2)y=1.63+0.99心更好

【分析】(1)根据线性回归方程相关基本量直接计算即可；

(2)根据R?反映的残差平方和与拟合效果关系进行判断.

■z,\।BIJE.ZB-1+2+4+6+11+13+190

【详解】(1)由题意得，x=---------------------------------=8,

-1.9+3.2+4.0+4.4+5.2+5.3+5.429.4-

y=------------------------------------------------=-------=4.2,

77

n7

X*j=279.4,=1+4+16+36+121+169+361=708,

2Ii=l

圻pi:_利-7行_279.4-7X8X4.2_279.4-235.2_442_「17

、“一喜一xf-7x2-708-7X82-708-448-260-，

所以4=3石=4.2-0.17x8=2.84,

所以y关于X的线性回归方程为y=0/7x+2.84

(2)因为0.75v0.88,且内越接近于1,反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好,

所以选用y=1.63+0.99。更好.

”__〃_〃_/__

17.(1)证明如下：2(芭-外(%-月=2七%-)乏天-》2»+〃盯'，

i-lr-1r-1/-I

"〃/_n__

而因为Z)'i=方，WX=^，所以ZcE-x)()'i-)')=2内-〃D

f=li=|i-l/-I

(2)/1=0.9876,弓=0.9876,相关类型为线性正相关，相关程度很强.

(3)(i)相交；(ii)相交，交点坐标为(五刃

答案第7页，共11页

【详解】（1）略

(2)•.•x=10w+150,y=v4-70,

/.X=10M+150=145,y=v+70=663,

10_10

-〃尸=-10〃=85-10x0.25=82.5,

i=li=l

io_io_

所以-»=100Z(〃,一〃)2=8250,

/=!i=\

10_I。_

因为Z(y-9=Z(匕二20941

;=!1=1

10_10.

10v

所以Z(匕…)2=E<-=2231-10X(-3.7)2=2094.1,

i=li=l

10__10__

则22(wl-M)(VZ-v)=w.v--1Ov/J=429-10x(-0.5)x(-3.7)=410.5,

r=li=l

10__10__

故Z(为一x)(M-y)=IOZ(/一〃)(匕-3=10x410.5=4105,

i-ii-i

10

XU-J)(y,.-y)

焉缶"6,

410.5

弓=之0.9876

辰503094.1

J相关类型为线性正相关，相关程度很强.

10

za-可⑴-刃

人卜4105

(3)⑴h=1______________〜0.4976

石(4-可8250

ci=y-bx=66.3-0.4976x145«-5.85

y=0.50x-5.85

id

£"）（—）4105

®1.9603

欧y-W一颉

答案第8页，共11页

Jy=145-1.9603x66.3«15.03,

・•・x=1.96y+15.03

所以y=0.5x-5.85与y=与今一15.03)相交.

1.Vo

(ii)因为在线性相关程度较强的条件下，有0.8引「|<0.9

亍=总+1过f),父=dy+G过(元刃,

.-.y=|(x-c)过(工节，

y=去+4与y=[(X—3)有公共点(元力

假设两条直线重合，贝恰2=1

£(答-可()\-方Z(D(»-刃

18.(1)有95%的把握认为购买川手机与顾客的性别有关，理由见解析

⑵0.54

⑶然

【分析】(1)根据题设中的数据计算结合临界值表可判断95%的把握认为购买4手机与顾客

的性别有关；

(2)利用对立事件可求至少有2位购买AI手机的概率；

(3)先求出X的分布列，再根据期望公式可求E(X),或者利用独立事件的期望公式求出矶X).

【详解】(1)作原假设，。：购买川手机与顾客的性别无关，取仪=0。5,

答案第9页，共11页

根据题意，代入数据，得/=200X(45X3”65X56)：8995,

110x90x101x99

因为/>3.841,所以否定原假设，即有95%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关.

(2)由题意得尸=1-空淖”。0.54.

do

(3)解法一