位置与坐标-【暑假预习】新八年级数学（北师大版）

第十讲位置的确定与平面直角坐标系

【学习目标】

1.认识到在平面内，确定•个物体的位置•般需要两个数据，并能准确地确定物体的位置.

2.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念；

3.认识并能画出平面直角坐标系；

4.能在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标。

5.在同一直角坐标系中，感受图形平移前后点的坐标变化

6.在同一直角坐标系中，感受图形的轴对称（原点对称）变换坐标变化.

7.经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识。

【基础知识】

1.平面直角坐标系概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴

叫x轴或横轴；铅垂的数轴叫y轴或纵轴，两数轴的交点0称为原点。

2.点的坐标：在平面内一点P,过？向x轴、y轴分别作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫P点的横

坐标和纵坐标，则有序实数对（a、b）叫做P点的坐标。

3.在直角坐标系中如何根据点的坐标，找出这个点（如图4所示），方法是由P（a、b）,在x轴上找到坐标

为a的点A,过A作x轴的垂线，再在y轴上找到坐标为b的点B,过B作y轴的垂线，两垂线的交点即为所找的P

点。

4.如何根据已知条件建立适当的直角坐标系？

根据已知条件建立坐标系的要求是尽量使计算方便，•般地没有明确的方法，但有以下几条常用的方法：

①以某已知点为原点，使它坐标为（0,0）；②以图形中某线段所在直线为x轴（或y轴）；③以已知线段中

点为原点；④以两直线交点为原点；⑤利用图形的轴对称性以对称轴为y轴等。

5.图形“倒转与对称”的变化规律：

A、将图形上各个点的横坐标不变，纵坐标分别乘以T,所得的图形与原来的图形关于x轴对称。

B、将图形上各个点的纵坐标不变，横坐标分别乘以T,所得的图形与原来的图形关于y轴对称。

【考点剖析】

考点一：用有序数对表示位置

例L如图，写出表示下列各点的有序数对：

A（3,—）；8（5,2）；

C（一,—）；。（—,—）；

E（,）；/（，）；

G(,)；H(,)；

【详解】

解：4(3,3)；8(5,2)；

C(7,3)；D(10,3)；

E(10,5)；F(7,7)；

G(5,7)；"(3,6)；

”48).

故答案：3；7,3；10,3；10,5；7,7；5,7；3,6；4,8.

考点二：用有序数对表示路径

例2.根据指令(s,A)(说明：s'O,单位：厘米：0°WAV180。),机器人在平面上能完成下列动作：先

原地逆时针旋转角度A,再朝其面对的方向沿直线行走距离s,若机器人站在点M处，面对的方向如图所示.

(1)给机器人下了一个指令(2,60。),机器人移动到了B点，请你画出机器人从M点到B点的运动路径；

(2)若机器人从M点运动到了C点，则给机器人下了一个什么指令？

M机H人而时的方向

【答案】(1)画图略

(2)指令(3,20°)

【解析】

试题解析：(1)如图：

B(2,60°)

60°

（2）给机器人的指令是（3,20°）o

考点三：在平面直角坐标系中描点

例3.如图，用（-1」）表示A点的位置，用（3,0）表示4点的位置.

（1）画出直角坐标系.

（2）点E的坐标为.

（3）△COE的面积为

D

V

\

E

C

B

A

【答案】（I）见解析；（2）（3,2）；（3）3.5.

【详解】

（1）如图所示，即为所求

y

(2)点E在第一象限，横坐标、纵坐标均为正数，

.•./(3,2)

故答案为；(3,2)；

⑶一;xlx3一;xlx2=3.5

故答案为：3.5.

考点四：根据点所在位置，求参数

例4.(1)点人(。+1/一2)在第二象限，则点力+1)在第___________象限.

【答案】一

【详解】

解：由4(a+1,b~2)在第二象限，得

疗IVO,Z/-2>0.

解得-加>1,>1>3,

点5(-分出1)在第一象限，

故答案为：一.

(2)在平面直角坐标系中，已知点根+3)在x轴上：则机二.

3

【答案】一：

2

【详解】

3

解：由题意，得2*3=0,解得nF---»

2

3

故答案为：一二.

2

考点五：坐标系内的规律探究

例5.如图，四边形AO3C是正方形，曲线6片…叫做”正方形的渐开线”，其中弧弧6鸟，

弧鸟A，弧八巴的圆心依次按点A,。，B,。循环，点A的坐标为（2,0）,按此规律进行下去，则点£o2i

的坐标为.

【答案】(4044,0)

【详解】

解：由题意可知：正方形的边长为2,

£(2,0),BC0,2),C(2,2),

R(4,0),P2(0,-4),月(-6,2),P\(2,10),Ps(12,0),只(0,-12)

可发现点的位置是四个一循环，每旋转一次半径增加2,

2021+4=505……1,故点心⑵在x轴正半轴，

8的长度为2021X2+2=4044,

即：丹OR的坐标是（4044,0）,

故答案为：（4044,0）.

考点六：平面直角坐标系综合问题

例6.在平面直角坐标系中，已知点M（。-6,5。+1（））.

（1）若点”在y轴上，求。的值；

（2）若点M到1轴的距离为5,求点M的坐标；

（3）若点M在过点八（2,-4）且与），轴平行的直线上，求点M的坐标.

【答案】（1）。=6；（2）点M的坐标为（一7,5）或（一9,-5）；（3）点例的坐标为（2,50）

【详解】

(1)•・•"点在y轴上,

."6:0

..£=6；

(2)•••”点到x轴的距离为5

/.15^+101=5

，5aH()=±5

解得：CF-3或护T

故J/点坐标为(-9,-5)或(-7,5)；

(3)•・•幽点在过点4(2,-4)且与y轴平行的直线上

-6=2

:.48

・•・"点坐标为(2,50).

考点七：轴对称与坐标变化

例7.如图，，53。三个顶点的坐标分别为3(4,2),0(3,4).

(1)画出A6C关于)'轴的对称图形△AgG；

(2)在工轴上求作一点p,使APAB的周长最小，并直接写出点尸的坐标.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；P(2,O)

【详解】

(1)如图所示，△A4G即为所求.

(2)如图所示，点。即为所求，其坐标为(2,0).

【真题演练】

1.如图，象棋盘上“将”位于点(2,-1),“象”位于点(4,—1),则“炮”位于点()

C.(T2)D.(2,1)

【答案】C

【详解】

如图所示：“炮”位于点(一1,2),

故选:C.

2.如图是雷达探测到的6个目标，若目标C用(40,120°)表示，目标D用(50,210°)表示，则(30,

240°)表示的目标是()

A.目标AB.目标BC.目标FD.目标E

【答案】D

【详解】

解：・・・目标C用(40,120°)表示，目标D用(50,210°)表示，

・•・第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数，

・•・表示为(30,240°)的目标是：E.

故选:D.

3.已知点〃的坐标为(-3,T),则点P到y的距离为()

A.-3B.3C.4D.-4

【答案】B

【详解】

解：•・•点夕的坐标为(-3,-4),

，点尸到y轴的距离为3.

故选:B.

4.点(-4,2)所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【详解】

解：点(-4,2)所在的象限是第二象限.

故选:B.

5.在平面直角坐标系中，已知点A(a,〃)在第二象限，则点-。)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【详解】

解：・・•点P（4〃）在第二象限，

<0,/?>0»

**•—b<0，

・•・点B（a,-b）在第三象限.

故选C

6.已知点A（〃,3）和点3（4/）关于x轴对称，则（o+b严等于（）

A.1B.-1C.2021D.-2021

【答案】A

【详解】

•・•点A（a,3）和点3（4,〃）关于x轴对称，

.•.2=4,8=-3,

A（fl+Z>）202,=（4-3）2021=1,

故选：A.

7.在平面直角坐标系中，点Q（-3,7）关于y轴对称的点的坐标是（）

A.（-3,7）B.（3,7）C.（-3,-7）D.（3,-7）

【答案】B

【详解】

解：点。（-3,7）关于y轴对称的点的坐标是（3,7）.

故选：B.

8.如图，在平面直角坐标系中，将边长为3,4,5的/",AB。沿工轴向右滚动到的位置.，再到

的位置…依次进行下去，发现4（3,0）,4（12,3）,4。5,0）・・哪么点4021的坐标为（)

A.(12129,0)B.(12129,3)C.(12132,0)D.(12132,3)

【答案】D

【详解】

解：由题意得：NAOB=90°,点、A(3,0),B(0,4),

根据旋转可知：%+45+84=3+5+4=12,

:.点、&(12,4),4(12,3)；

继续旋转得，

B、(2X12,4),4(24,3)；

氏(3X12,4),/15(36,3)

•••

发现规律：

氏皿(1011X12,4),J2O2i(12132,3).

・••点402i的坐标为(12132,3).

故选D.

9.教室5排2号可用有序数对(5,2)表示,则2排5号用数对可表示为

【答案】(2,5)

【详解】

解：-5排2号用用有序数对(5,2)表示，

.•.2排5号用数对可表示为(2,5).

10.有一个英文单词的字母顺序对应如图中的有序数对分别为(3,1),(1,2),(2,2),(7,2),(1,1),请

你把这个英文单词写出来或者翻译中文为

【详解】

由题意知（3,1）表示C,（1,2）表示H,（2,2）表示1,（7,2）表示电（1,1）表示A,所以这个英文单词为CHINA

或中国,

故答案为：CHINA或中国.

11.在平面直角坐标系中，点夕（以-在轴上，则a的值是_.

【答案】1

【详解】

解：：点P（a-l,a+l）在y轴上，

.»1=0,

解得：步1,

故答案为：1.

12.2021年4月8日，中国扬州世界园艺博览会在扬州仪征市开幕，本届搏览会以“绿色城市：健康生活”

为主题.如图，是扬州世界园艺博览会部分导游图，若滩涂卬象的坐标为（2』），丛林野趣的坐标为（-3,-2）,

则中国馆的坐标为_____.

【答案】（3,-2）

【详解】

解•：因为滩涂印象的坐标为（2,1）,从林野趣的坐标为（一3,-2）

所以建立平面坐标坐标系如下:

则中国馆的坐标为(3,—2),

故答案为：(3,-2).

13.已知点P(2,a)与点、Q(b,3)关于轴对称，则〃—力的值为

【答案】5

【详解】

解：・.・P(2,。)与点。(〃，3)关于1轴对称,

・•/、Q两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，

/.b=-2,a=3,

/.a-b=3-(-2)=5,

故答案为：5.

14.已知点/l(3a-6,K1),试分别根据下列条件，求出点力的坐标,

(1)点月在x轴上；

(2)点力在过点P(3,-2),且与y轴平行的直线上.

【答案】(1)(-9,0)；(2)(3,4)

【详解】

解：(1)•・•点力(3b6,ei+1)在x轴上，

解得a=-l,

:.3<a-6=-3-6=-9,

・・・点力的坐标为(-9,0)；

(2)・・,点4在过点产(点-2),且与y轴平行的直线上，

:.3c/-6-3,

解得炉3,

『3+1=4,

・•・点力的坐标为（3,4）.

15.在平面直角坐标系中，已知点A/（/〃,2/〃+3）.

（1）若点M在x轴上，求m的值；

（2）若点M到x轴的距离是3,求m的值；

（3）若点M在第二、四象限的角平分线上，求m的值.

【答案】⑴--：（2）0或-3；（3）-1

2

【详解】

解：（1）•・•."（/〃，2册3）在X轴上，

・・・2»3:0,

.3

..ZF---;

2

（2）•・•点”到x轴的距离是3,

|2m+3|=3,

解得：nF。或-3；

（3）♦:2研3）在第二、四象限的角平分线上,

:./（2/^3）=0,

:.nf=-\.

【过关检测】

1.一组正整数1,2,3,4,5…，按下面的方法进行排列：若正整数2的位置记为（1,2）,正整数10的位

置记为（2,7）,则正整数2020的位置可记为（）

第：列第2列第3列第4列第5列第6列第7列第8列

12345678第1行

161514131211109第2行

......••••••

A.（252,5）R.（253,5）C.（252,4）D.（253,4）

【答案】D

【详解】

解：由表格可得：每行8个数，奇数行从左到右依次增加,

720204-8=252-4,

工正整数202（）的位置可记为（253,4）,

故选:D.

2.如图，点力、B、C的坐标分别为（）

A.(2>—1)>(0,—2),(1,—4)B.(—1>2),(—2,0),(—4,1)

C.(-1,2),(0,-2),(-4,-1)D.(1,2),(2,0),(4,1)

【答案】B

【详解】

如图,过点4c分别作坐标轴的垂线,可得坐标分别为:(-L2),(-2,0),(-4,1),

3.已知力、8两点的坐标分别是（-2,3）和（2,3）,下列结论错误的是（）

A.点力在第二象限B.点4在第一象限

C.线段48平行于y轴D.点/I、弓之间的距离为4

【答案】C

【详解】解：・・・A〃两点的坐标分别是(-2,3)和(2,3),

・••点力在第二象限，点4在第一象限，点力、夕之间的距离为4,线段平行于A■轴,

结论错误的是。选项，符合题意：

故选：C.

4.如图，三角形4旗的面积等了()

D.13—

22

【答案】D

【详解】

过点力作AD_Lx轴于〃，如图所示:

AD=6,CD=3,

/.OD-6,

••^AABC=§悌形8ODA_SmoC~^ACD，

=-(BO+AD)OD--BOOC--CDAD

222

=-(3+6)x6——x3x3——x3x6

222

_54_9__18

-T_2-T

27

=—,

2

27

即8c=才，

故选:I）.

5.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点。出发，按向右，向上，向右，向下的方

向依次不断移动，每次移动1m.其行走路线如图所示，第1次移动到4,第2次移动到人,第〃次移动到

A”，则△。&&m的面积是（）

A.504.5m2B.505m2C.505.5nrD.1010m2

【答案】C

【详解】

解：由题意知04=2〃,

720204-4=505,

2020

••=------F1=1011,A2A209〃X轴,

2

则ZXOM2M的面积是—XIX1011=505.5（加，

2

故选:C.

6.点尸（3,-5）关于y轴的对称点是（）

A.(-3,5)B.(3,5)C.(-3,-5)D.(3,-5)

【答案】C

【详解】

解：点尸（3,—5）关于y轴的对称点是（一3,—5）,

故选：C.

7.在教室里，小明的座位在第2歹IJ、第5行，小亮的座位在第4歹人第1行，如果把小明的座位记为（2,

5）,那么小亮的座位可以记为.

【答案】（4,1）

【详解】

•・•小明的座位在第2列、第5行，把小明的座位记为(2,5),

工小亮的座位在第4歹IJ、第1行，小亮的座位可以记为(4,1).

故答案为：(4,1).

8.如图，在平面直角坐标系中，平行于戈轴，点A的坐标为(4,3),点8在点A的左侧，AB=a,若

点6在第二象限，则々的取值范围是__________.

B月(4,3)

------------------------------

O

【答案】«>4

【详解】

解：(2/^平行于工轴，44,3),

「.B的纵坐标为3,

AB=a,8点在第二象限，

.•.8点到y轴的距离为a-4,

:.a>4

故答案为：a>4.

9.(4+21=％=0,贝⑼在第____象限.

【答案】二

【详解】

解：由题意得，/2=0,加6=0,

解得a=-2,b=6,

所以，点(-2,6)在第二象限；

故答案为：二

10.如图，(一周记为360°,一周多10°记为370°)

10°

点4用极坐标表示为;

点,也用极坐标表示为:

点1用极坐标表示为;

点儿用极坐标表示为.

【答案】(2,0°)(4,123°)(8,240°)(2",120“(〃—1)).

【详解】

・・•一周记为3600,一周多10。记为370。,

・・・4横坐标为2,纵坐标为o。，

・••点4用极坐标表示为(2,0。)；

•・•&横坐标为4,纵坐标为12()。.

点4用极坐标表示为(4,120。)；

•・•4横坐标为8,纵坐标为240。，

点&用极坐标表示为(&240。)；

根据上述规律，

・••点4”用极坐标表示为(2”,120°(«-1)).

11.若点力与点4(1,1)关于点。(-1,-1)对称，则点力的坐标是

【答案】(-3,-3)

【详解】

设点A的坐标为(x,y),

由题意得:

则点A的坐标为（-3,-3）,

故答案为：（-3,-3）.

12.点产（-2,3）关于/轴对称的点的坐标为.关于y轴对称的点的坐标为.

【答案】（・2,-3）（2,3）.

【详解】

解：点尸（-2,3）关于x轴对称的点的坐标为（-2,-3）；

点P（-2,3）关于y轴对称的点的坐标为（2,3）.

故答案为；（-2,-3）,（2,3）.

13.如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、

2、3、4、5、6、7、8,将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系.在

建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边

交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的

坐标可表示为（125）,点B的坐标可表示为（4,3,1）,按此方法，若点C的坐标为加一1）,则皿=

【答案】3

【详解】

解：根据题意，点C的坐标应该是（3,3,2）,

•*.in=3.

故答案是：3.

14.如图，在平面直角坐标系中，第一次将二。46变换成.044,第二次将sOAA变换成△O43?,

第三次将△。人约变换成…，将其％3进行〃次变换，得到△。儿&,观察每次变换中三角形

顶点坐标有何变化，找出规律，推测人的坐标是______,A”的坐标是.

y

5

4

3

2

1

【答案】(32,3)(2〃,3)

【详解】

解：A(l,3),A(2,3),A(4,3),人(8,3),A,(16⑶…，

••.4的横坐标为2”，4纵坐标都为3,

・・•儿(2〃,3)

.•.4(25,3),即A(32,3)

故答案为：(32,3)；(2",3).

15.如图，已知在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为4(0,0),8(9,0),6(7,4),D

【详解】

解：过〃，C分别作/昭，仃'垂直于AS,E、尸分别为垂足，则有:

=-XAEXDE^—X(ODE)XER'XFC^FB.

222

11、1

=—X2X8+—X(8+4)X5+—X2X