2025高考数学试题分类：三角函数（附解析）

2025高考三角函数

一、单选题

2.(2025•新高考II卷)在VA8C中，BC=2,4C=1+G，AB=亚,则人=()

A.45°B.60°C.120°D.135°

A解析:由题意得cosA=

2AB»AC2x6xi：］+G)2

又0vAvl80,所以A=45".

故选A.

3.（2025・新高考I卷）若点3,0）（。>0）是函数y=2lan|x-^的图象的一个对称中心，则

。的最小值为（）

4兀

D.

B・ic,?T

B解析：根据正切函数的性质，），=2tan（xT的对称中心横坐标满足吟人工,

tJJ4

即y=2tan（x/）的对称口心是径+],0）/eZ,

即。=三十侬,AwZ,

32

乂。〉0,则k=0时4最小，最小值是—,

即“咤

故选B.

4.（2025•天津•）/（x）=sin3x+e）（/>0,F<e<7T）,在一葛噌上单调递增，且工哈

为它的一条对称轴，（早。）是它的一个对称中心，当xw0，：时，/*）的最小值为（）

A.一走B.--C.ID.0

22

nit

-co-（p=-+2kn

A解析：设f（x）的最小正周期为兀根据题意有:，（山，丘Z）,

—CD+（/）=mTl

由正弦函数的对称性可知4-工=（2#]）7（〃eZ）,

3124''

2nn+n..

即NN一K=------69=4/7+2,

42co

又/a)在考M上单调递增，则

9ZIMZ'ITZ，kt)z

n2

(p=--\-2kn

69=2»则

2n

(P=nm--

jr.I»n

V^e(-7t,7t),，攵=0,〃2=1时，(p=—•,*f(x)=sin2x+—,

I3j

_itit4兀

当xe0卷时,2x+-e

3

由正弦函数的单调性可知/(x),=sin也=-9.

"\/mm32

故选A

5.(2025・北京•)设函数/(x)=sin3+cos@x(ty：>0),若/(x+;t)=/*)恒成立，且/(刈

在上存在零点，则。的最小值为()

4

A.8B.6C.4D.3

C解析：函数,f(x)=sinex+cos6yx=0sin]&x+；](©>O),

设函数/*)的最小正周斯为T,由/*+兀)=/(八)可得灯=兀(01<),

所以T二得嚓(屣N)即/=2口(丘N)

又函数/(>)在|"0闱上存在零点，旦当国时，的+；」£,芋+1],

4J4J4|_444

所以~7"+T-71»即N3；

44

综上，。的最小值为4.

故选C.

6.(2025.新高考II卷.)己知0<ra<r4.cosy=.则sin(a-?)=()

A.也B.也C.逑D.述

1051010

D解析：cosa=2cos23-l=2x(¥)-1=-^,

因为0<°<乃，则gva<7c,则sina=VI-cos2a=

试卷第2页，共10页

.(乃).乃.用4及，3)加7近

贝miUlsina—=sinacos—cosasin—=-x-------x—=-------.

k4j4452(5)210

故选D.

二、多选题

7.(2025.新高考I卷.)已知V4AC的面积为!，若

4

cos2A+cos2^+2sinC=2,coS/4cos^sinC=—,则()

4

A.sinC=sin2?\+sin:BB.AB=42

C.sinA+sin«=—D.AC2+BC2=3

2

ABC解析：cos2A+cos2B+2sinC=2,由二倍角公式，

I—2sin2A+1—?.sin2A+2sinC=2,

整理可得，sinC=sin2A+sin2B>A选项正确;

由诱导公式，sin(A+B)=sin(7t-C)=sinC,

展开可得sinAcos8+sinBcos4=sin°A+sin2B>

即sin4(sinA-cos8)+sin5(sinB-cosA)=0,

下证C=(.

方法一：分类讨论

若A+3=巴，则sinA=cos5,sinB=cos4可知等式成立;

2

若A+8<[即A<=-B,由诱导公式和正弦函数的单调性可知，sinA<cos8,同理

22

sinB<cosA,

又sinA>0,sin8>0,于是sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)<0,

与条件不符，则不成立；

若A+8>工，类似可推导出sin力(sinA-cosB)+sinB(sin3—cosA)>0,则A+8>2不成

22

立.

综上讨论可知，A+B=1即c=t

22

方法二：边角转化

sinC=sin，A+sin，8时、由Cw(O,兀)，贝lJsinCw(O,l],

于是lxsinC=sin?A+sin2fi>sin2C，

由正弦定理，a2+b2>c\

由余弦定理可知，cosCNO,则C€(0,§,

若。狂(0弓)，则A+4>；,注意到cosAcos8sinC=；,则cosAcos8>0,

于是cosA>0,cos8>0(两者同负会有两个钝角，不成立)，于是A,4c(0,f,

结合A+3>¥QA>巴—8,而A,¥-8都是锐角，则sinA>sin但-8]=cosB>0,

22212J

于是sinC=sin，A+sin2B>cos2B+sin28=1,这和sinCW1相矛盾,

故。€(0卷)不成立，则C=]

方法三：结合射影定理(方法一改进)

由sinC=sin?A+sin?8，结合正弦定理可得，c=as\nA+bsinB,由射影定理可得

c=acosB+bcosA,于是“sinA+OsinB=acosB+。8sA,

则a(sinA-cosB)+b(sinB-cos4)=0,可同方法一种讨论的角度，推出A+8=g,

方法四：和差化积(方法一改进)

续法三：

6t(sinA-cosB)+ZKsinB-cosA)=0,可■知sin人一cosA,sin“一cos人同时为0或者异号,即

(sinA-cosB)(sinB-cos/4)<0,展开可得，

sinAsin/?-sinAcosA-cosI3sinB+cosAcosB<0,

即cos(A—8)—g(sin2A+sin28)W0,结合和差化积，cos(A-^)(1-sin(A+B))<0,由上

述分析，，则,■|，1,,贝lJcos(A—B)20,则l—sin(A+8)K0,即

sinC^l.于是sinC=l,可知C=].

由cosAcosBsinC=—=cosAcosB,由4+B=—,贝ijcosg=sin人，即sinAcosA=一,

424

则sin2A=；,同理sin2B=J,由上述推导，弓｝则2428c(0,兀)，

不妨设A<8,则2A=m，28=军，即4=义,8=普，

661212

由两角和差的正弦公式可知sin2+sin2=^二立+丑也="，C选项正确

1212442

试卷第4页，共10页

由两角和的正切公式可得，tan普=2+6,

设8C=，,AC=（2+G）f,则A8=（&+后），

由Sw=g（2+J5）/=：,则/=土芋=j与1,则"在二1.

24412\/2

于是AB=（显可=0B选项正确，由勾股定理可知，AC2+BC2=2,D选项错误.

三、填空题

8.（2025•上海,）函数V=8sx在一；,；上的值域为

［0』

【分析】利用余弦函数的单调性可得.

解析：由函数产cosx在［go］上单调递增，在0,；单调递减，

且〃一/=oj（o）=1=冬

故函数y=cosx在-得上的值域为［0』.

故答案为：［0』.

9.（2025・上海•）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上.某斜面

上有两根K为1米的垂直于水平面放置的杆了，与斜面的接触点分别为A、6,它们在阳光

的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4

米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米.则斜面的底角0=.（结果

用角度制表示，精确到0.01。）

12.58

【分析】先根据在A处的旗杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合B处的旗杆算出斜面角.

解析：如图，在A处，tanx=-i-=2.5,在8处满足tanNC£D=2.5,

0.4

(其中ED〃水平面，CE是射过8处杆子最高点的光线，光线交斜面于E),

故设3。=)，，则ED=黑,

由勾股定理，/+(皆)=°452,解得0.098,

于是0=arcsin®12.58

0.45

故答案为：12.58

10.(2025•北京,)关于定义域为R的函数/(%),给出下列四个结论:

①存在在R上单调递增的函数/(x)使得/(x)+f(2x)=-x恒成立；

②存在在R上单调递减的函数/Cr)使得〃x)-/(2x)=x恒成立；

③使得/(幻+/(-x)=cos.「恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个；

④使得/(x)-f(-x)=cos上恒成立的函数/(A)存在且有无穷多个.

其中正确结论的序号是.

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【分析】利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证后可判断②③的正误.

解析：对于①，若存在在R上的增函数满足/(.V)+/(2X)=T,

则/(0)+f(2x0)=-0,即40)=0,

故x>0时，f(4x)>f(2x)>/(x)>0,故/(4x)+/(2x)>/(x)+/(2x),

故—2x>—x即xvO,矛盾,故①错误；

对于②，取/(力=-4，该函数为R上的减函数且/(x)-/(2x)=x,

故该函数符合，故②正确;

1

对于③，取〃力=—COSX+7/LV.weR

2

此时〃X)+/(T)=COSX.由〃7WR可得/(X)有无穷多个,

故③正确:

对于④，若存在/(x),使得/(X)-〃T)=COSX,

令x=0,则0=cos0,但cosO=l,矛盾，

故满足/(x)-/(-x)=cosx的函数不存在，故④错误.

故答案为：②③

11.(2025•北京•)已知。，尸e[0,2n],且sin(a+〃)=sin(。一夕)，cos(a+〃)wcos(a-〃).写

出满足条件的一组①夕的值a=，P=.

三(答案不唯一)(答案不唯一)

26

解析：因为sin(a+〃)=sin(a-0,cos(a+/?)^cos(a-/7),

所以a+Aa-〃的终边关于y轴对称，且不与V轴重合：

故a+/?+a一6=7t+2EJ:wZ且2+/7工^+阮，/wZ,

即a=；+EkZ,故取a=".可满足题设要求.

四、解答题

12.(2025•天津高考)在VABV中,角A氏C的对边分别为。也。.已知

asinB=J5/?cosA,c-2b=1>a=V7.

(I)求4的值;

⑵求c的值：

(3)求sin(A+28)的值.

解析：（1）已知asin3=VJ〃cosA,由正弦定理=-^~^

sinAsinB

得asin8=bsinA=GbcosA,显然cosA工0,

得tanA=>/5，由OVAVJT,

故A=*

（2）由（1）知cosA=J,且c=2〃+l,a=@,

由余弦定理/=〃+/-2/?ccosA,

则7=6+（2力+l）2-2x，伙2〃+1）=36+3力+1,

2

解得b=l（〃=一2舍去），故c=3.

（3）由正弦定理."=b^.b=\,a=A/7,sinA=—»

sinAsinB2

得sinB=2^4=叵，且“>/人则3为锐角，

a14

故COSB=9V7,故sin2〃=2sinAcosB=,

1414

11

ficos2B=l-2sin2B=1-2x

故sin（A+2B）=sinAcos25+cosAsin2B=—x—+—=

2142147

13.（2025•北京高考）在V4AC中，cosA=-；,asinC=4夜.

⑴求c的值;

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得VA4C存在，求

边上的高.

条件①：4=6；条件②：asinB=1°.；条件③：V4BC的面积为10夜.

3

解析：(1)因为cos4=一；,Aw(0,7t),所以sinA=Jl—cos2A=迈,

33

由正弦定理有asinC=csinA=3与(?=4夜，解得c=6；

3

(2)如图所示，若VA8C存在，则设其8C边上的高为A。，

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c

D

A-------------------

若选①，a=6,因为c=6,所以C=A,因为cosA=-g<0,这表明此时三角形48c有

两个钝角，

而这是不可能的，所以此时三角形A8C不存在，故边上的高也不存在；

若选②，“sin8=吆2，由asinC=4夜有sin85,由正弦定理得仁之,所以

3寸正飞,6

b=5.

所以由余弦定理得a=>/伊+c'一»ccosA=^25+36—2x5x6x一;=9,

此时三角形A8C是存在的，且唯一确定，

所以S.sc='人csinA=—fiCi4D,BP-x5x6x^^-=—x9AD,

•22232

所以8c边上的高AO=二史；

9

若选③，VA8C的面积是10夜