期末压轴题02 几何压轴50练（专项训练）数学北师大版七年级下册（原卷版）

期末压轴专题02几何压轴题50练

目录

类型一、平行线的性质与判定多结论问题...............................................................1

类型二、平行线的性质与判定多解题问题...............................................................2

类型三、三角形全等的性质与判定多结论问题...........................................................4

类型四、三角形全等的性质与判定多解题问题...........................................................6

类型五、平行线的性质与判定综合问题..................................................................7

类型六、平行线中的拐点问题...........................................................................9

类型七、平行线中的三角板旋转问题...................................................................11

类型八、三角形全等的性质与判定综合问题............................................................13

类型九、三角形全等模型之一线三等角.................................................................15

类型十、三角形全等模型之倍长中线...................................................................18

类型十一、三角形全等模型之截长补短.................................................................20

，类型一、平行线的性质与判定多结论问题

1.（25-26七年级上•江苏无锡•期末）如图，已知EF〃GH,4、。为G”上的两点，A/、4为止上的两点,

延长力M至点C,力4平分ND4C,点N在直线。3上，且BN平分NFBC,若//CB=110。.则下列结论:

①乙MAB=4BAD；②③NNBC=NBDH；④设NC8M=a,则

/无4。=55。-3。；⑤/。氏4=55“，具中，正确的有（）

A.①②③B.①②③④C.①②③⑤D.②③④⑤

2.（25・26八年级上•辽宁沈阳•期末）如图，已知力8〃。。，EG,EM.6“分别平分

Z.AEF,NBEF,ZEFD,下列结论：①/£A"=90。；②FM//GE：③/EGE与乙场必互补.其中，正确

A.0B.IC.2D.3

3.（24-25七年级下•陕西咸阳・期末）如图，已知//1力。于点儿Zl+Z3=180°,则下列结论:

①N2=N3：②NI=N4；③CQ||M；④NB=NBFE；⑤N8尸。=90。.其中正确的是（）

C.①②®©D.①®@⑤

4.（25-26七年级上•吉林长春期末）如图，/8=110。,/。=70。,。£平分/月。。交8。于点石，点厂为线

段CO延长线上一点，NBAF=NEDF,则下列结论正确的有.

©Z5/1D+ZJDC=180°；@AF//DE,@BC//AD；®ZDAF=ZF

5.（25-26七年级上•吉林长春•期末）如图，AE\\CF,乙1W的平分线C8交力E于点A,G是3上一点,

连结8G,AC//BG,NG8E的平分线8。交于点。，连结力。.给出下面四个结论：

①"8C=90。；②△"C与△力8。的面积相等；③与上互余的角有2个；④若NC/8=a,则

上述结论中，正确结论的序号有

怎类型二、平行线的性质与判定多解题问题

6.（25-26七年级上•江苏泰州•期末）如图，在直线上取一点。，向上作一条射线OC,使N8OC=50。,

将一直角三角板顶点放在点。处，一边QW在射线。8上，另一力ON在直线48的下方，其中

乙OMN=300.将图中的三角板绕点O按每秒10。的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中笫

秒时，边MN所在直线恰好与射线OC平行.

7.（25-26七年级上•江苏南京・期末）如图，AB〃CD,点P,0分别是48,CO上的一点，射线P8绕点产

顺时针旋转，速度为每秒1度，射线2c绕点。顺时针旋转，速度为每秒3度，旋转至与。。重合便立即回

转，当射线总旋转至与山重合时，心与0C都停止转动，若射线内先转动40秒，射线。C才开始转动,

则射线0c转动一秒后，。。与外平行.

鄢

8.（25-26七年级上•河南新乡期末）如图所示,将两个直角三角板的一个顶点重合，其中/月C8=NCQE=90。,

48c=30。，ZZ）CE=45°.三角板IBC固定不动，三角板QC£可绕点C转动，当/出〃EC时，NDCB

9.（24-25七年级下•江苏宿迁•期末）将一副三角板如图放置，点8、。重合，点尸在4c上，AB与EF交

于点G/C=/EFB=90。=60。/E=45°,现将图中的ZUfC绕点G按每秒30。的速度沿逆时针方向旋

转180%在旋转的过程中，A/lbC恰有一边与。石平行的时间为

4⑺)

10.（25-26八年级上•陕西西安•期末）将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，4c边重合,

/胡C=45。，ZDJC=30°.保持三角尺48c不动（如图2）,将三角尺力CO绕着点。顺时针转动90。后停

止.在转动的过程中，当三角尺/C。有一条边与三角尺ABC的一条边恰好平行时，的度数为

等类型三、三角形全等的性质与判定多结论问题

II.（25-26七年级下•全国•期末）如图，RtZ\48C中，ZJC5=90°,CQ是48边的中线，力£平分

NC4B,CF1AB,力石与W相交于点G.下列结论一定成立的是（）

①“C。与△8CO的面积相等；②N/C产二/8；@AJC£^ACFD：④NCEG=NCGE

A.①②B.②③C.①③④D.①②④

12.（25-26八年级下•湖南衡阳•期末）如图，在△W8C中，是8C边上的高，

ZBAF=ZCAG=90°,^=AF.AC=AG.连接/G,交。力的延长线于点已连接8G,b.则下列结论:

①BG=CF；©BGVCFx③EF=EG；④BC=24E,其中正确的有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

13.（24-25八年级上•北京石景山期末）如图，在△48。中，/4。8=90。,。=。4,。。是力力。8内部的射

线且/5CZ）＜45。，过点力作月七_LCO于点过点6作8/LLC。于点尸.给出下面三个结论：①

ZEAB=NFBA；@AB=CF；@EF=AE-BF.其中正确的有（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

14.（24-25八年级上•新疆乌鲁木齐•期末）如图，在四边形48CO中，AD//BC.若/D48的角平分线力f

交C。于连接此，且斯平分/48C,得到如下结论：①N4必=90。；②AB-AD=BC；

③AD=DE；®BE=^CD-⑤若力4=工，则/E的取值范围为0<4E<x,那么以上结论正确的个数是

（）

A.2B.3C.4D.5

15.（24-25八年级上•河北沧州•期末）如图所示，在△力8C中，N1=N2,点G为4。的中点,5G的延长

线交/C于点E,b为44上的一点，b与力。垂直，交力。于点〃，则下面判断正确的有（）

①力。是/8/C的平分线：②跳:是△/AC的边4C上的中线：③C"是"CO的边力。上的高；④

AF=AC.

与类型四、三角形全等的性质与判定多解题问题

16.（25-26八年级上•辽宁盘锦期末）如图，在△力8C中，^ACB=90°,AC=5cm,BC=2cm,CD为AB边

上的高，点2从点3出发，在直线8C上以2cm/s的速度移动，过点E作8C的垂线交直线CO于点E当点

17.（25-26八年级上•湖南怀化•期末）如图,在中,4=90°，17=14cm,JC=4cm,过点8作

BM±AB.动点E从4点出发以2cm/s的速度沿射线4月运动，动点。在射线8M上，随着E点的运动而

运动，始终保持上。二圆.若点E的运动时间为，秒（/＞（））,则当以A,E,A）为顶点的三角形与△4CK全

18.（25-26八年级上•湖北荆州•期末）图，AB=4cm,AC=BD=3cmtNCAB=/DBA,点户在线段48

上以2cm/s的速度由点力向点B运动.同时，点。在线段8。上由点8向点。运动，设运动时间为"s）,则

BP=cm（用含有/的式子表示）；当△力CP与△4尸。全等时，点。的运动速度为cm/s.

19.（25-26八年级上•湖北荆门•期末）如图,48=4cm,8c=6cm,*B=£C,如果点,在线段8c上以2cm/

秒的速度由4点向C点运动，同时，点。从C点出发沿射线。运动，若经过，秒后，A/18尸与△C。尸全等，

则/的值是

V

BPC

20.（25・26八年级上•河南新乡•期末）如图,在△力2c中,Z5=4C=12cm,BC=8cm,点0为45的中点,

点P在线段8c上以2cm/s的速度由点8向点C运动，同时点。在线段C4上由点。向点/运动，当点。的

运动速度为cm/s时，△4为与△CQP全等.

，类型五、平行线的性质与判定综合问题

21.（25-26七年级上•江苏苏州•期末）如图，OE与相交于点。，且DE〃BC,氏W平分N44C,且

OM±AB.

（1）若/MOE=24。，求/MBA的度数；

（2）画N8。。的平分线ON,ON与阳/有怎样的位置关系？为什么？

22.（25-26七年级上•江苏无锡•期末）如图，Z2=ZB,BE与DF交于点、P.

⑴若/1=52。，求/C的度数;

(2)若/2+40=90。，/8〃CO,试判断8E与。尸的位置关系，并说明理由.

23.(25・26七年级上•江苏泰州•期末)如图，点b在线段上，点旦G在线段CO上，FG〃AE,Zl=Z2.

(I)请判断48与8的位置关系，并说明理由；

(2)若8C平分乙44。,/。=114。，求NC的度数.

24.(25-26八年级上•河南郑州•期末)在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣,

杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能.

(1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的

光线。民。C等反射以后沿着与Q。。平行的方向射出.图中如果N8OP=42。，^QOC=680,请求出480

和/QCO的度数：

(2)•种路灯的示意图如图②所示，其底部支架48与吊线FG平行，灯杆C。与底部支架AB所成锐角a=18。,

顶部支架痔与灯杆CD所成锐角P=42。，请直接写出EF与FG所成锐角的度数.

25.(25-26八年级上贵州•期末)已知/8〃CO,直线EE与45,。分别交于点E,F,FG平分/EFD

⑴如图1,若NEGF=260,则乙4£尸的度数是一.

(2)作EM平分NGEF,交FG于点

如图2,过点G作GN1EG,交直线EE于点N,求证：GN//EM.

如图3,点。是A/E延长线上的-■点，连接小，若2NCFP=3/PFG,请写出/尸尸历与存在的数量

关系，并说明理由.

等类型六、平行线中的拐点问题

(2)求证：/MEN=NEND-/EMB.

(3)如图2,平分NQ平分乙END,若/MEN=a,试用含。的代数式表示NM0N的度数.

27.(25・26八年级上•山东济南期末)已知48〃。。，点E在14上，点/在。。上，点G为射线"'上一

点.

证明：过点G作直线〃/8,

AB//CD,

.,.①//CD.

MN//AB,

@=Z.AGM.

MN//CD,

，N。=③(©).

，ZAGD=ZAGM+/DGM=乙4+NO.

(2)【类比探究】如图2,当点G在线段E〃延长线上时，请写出4G。、/彳、/£>三者之间的数量关系,

并请用平行线的知识说明理由.

(3)【应用拓展】如图3,点E与点力重合，力〃平分NG48,且N〃/加=22。，ZAFC=72°,那么/〃的

度数为.

28.(25-26七年级下•河南新乡•期末)如图，瓦厂分别是48,CQ上的点，P为AB,CQ之间的

一点，且始终在直线小的左侧，连接EP,PF.

⑴若NAEP=40。,NCFP=70°,则"PF=；

(2)请判断之间的数量关系，并说明理由；

(3)在48,。。内部另作一条折线£-。-尸，且点。在直线MII勺右侧.若ZBEP=2』BEQ,

NDFP=2NDFQ/EQF=1000,请直接写出NEPF的度数.

29.(25-26七年级上江苏无锡期末)如图，MN//PQ,直线AB交MN于•点、A,交尸。于点8,点E是线

段44上一点，C、。分别在射线力N、BQ上,连接CE、。旦NECN的平分线与N8OE的平分线交于点立

(2)ZC£D与NCFD的数量关系是；

(3)过点。作。“1CF,交。尸的延长线于“，将直线绕点/逆时针旋转，速度为每秒2。，旋转后的对

应直线为/出'，同时，将△£>"/绕点。顺时针旋转，速度为每秒4。，旋转后的对应三角形为△。尸H',当

直线力"首次与直线MV重合时，整个运动停止.在(1)的条件下，若NC4?=80。,/以加=40。，经过/

秒后，直线4"恰好与△。尸〃'的边U〃'或边。〃'平行，请直接写山所有满足条件的，的值.

3().(25-26七年级上•海南海口•期末)综合与探究

如图，AB//CD,点尸，。为直线CO,48上两定点，0°<ZPW<180°.

⑵若PM平分4CPN,QM平分ZJQN,"NQ-110°.

①如图2,点N在。。左侧时，求/PM。的角度：

②如图3,点N在。。右侧，求/尸财。的角度；

(3)如图4,PM平分NCPN,0M平分乙4QN,/尸N0=120。，点N在尸。右侧，若NCPM与乙4。”的角

平分线交于点M，/bM与40M的角平分线交于点风；依次类推，则々%026。=_.(直接写出结

果)

国类型七、平行线中的三角板旋转问题

31.(25-26七年级上•重庆・期末)如图所示，含30。的直角三角形48C,点力和点。在两平行线MMQR

上，AD.我分别为NA4N、/历1”的角平分线，尸为8C的延长线与力。的交点.

(1)求证：EA1AD；

(2)试判别ZAED和ZCFZ)的大小关系，并说明埋由；

(3)当ZADE=36。时，射线AM和射线CB分别以10°每秒和30°每秒的速度同时顺时针旋转，当射线C8旋

转一周时，全部停止运动，求射线力M和射线C3在旋转过程中平行时对应的时间的值.

32.（25-26八年级上•山西太原•期末）综合与实践

问题情境：如图1，已知直线MN〃P。，将直角三角板48c（其中48C=90。，NB力C=60,）的顶点力,

初步探究：（1）请用等式表示"和之间的数量关系，并说明理由；

深入探究：（2）如图2,在（1）的基础上，分别作/MC和N8CP的平分线，两线交于点，，则乙4HC

的度数为。.

33.（25-26七年级匕河南南阳期末）（1）【感知】将一副二角板按如图1所示的方式放置，便二角板川。石

的直角顶点£落在3C上，ZD/1£=60°,Z5=ZC=45°,且AD〃BC,则/。E的大小为度；

⑵【探究】如图2,将图1中的三角板48。放在一组直线MV与也之间（其中4=48=45。），并使

直角顶点/在直线上，顶点。在直线尸。上，现测得乙刈8=23。，ZPCB=22°,试说明MN〃P。；

（3）【拓展】现将图1中的三角板月8C按图3方式摆放（其中/8=/4。8=45。），使顶点C在直线MY上,

直角顶点4在直线尸。上.箱MN〃PQ,请写出/尸48与NMC4之间的关系式，并说明理由.

34.（25-26八年级上•山西晋中•期末）【项目化学习】“玩转三角尺”.

【项目背景】：在数学实践活动课中，项目学习小组的同学们用一副三角尺进行数学探究活动，如下图，利

用三角尺48c和三角尺。"'进行了操作探究活动.（其中乙%。=///宏=90。，48=60。，

48C=30。，=NO在=45。）请你一起探究，完成以下任务.

图1图3

任务一：如图I,项目学习小组的同学们将三角尺/8C沿8C方向移动，得到△44G，王丽发现此时

AB〃妈,她的判断依据是：

任务二：项目学习小组的同学们膈这两个三角尺进行了如图2摆放，并过点E作直线。平行于边8c所在的

直线6且点力与点F重合，求N1的度数.

任务三：在图2的条件下，项目学习小组的同学们固定三角尺将三角尺力4C绕点。逆时针旋转

180。，如图3,请你一起进行操作探究活动，在旅转过程中，当二角尺48c的边所在直线与七人所在直线平

行时，直接写出满足条件/FC4的度数.

35.（25-26七年级上•山西运城•期末）综合与探究

问题情境:

有一副三角板48C和。£7LNACB=/EDF=90。，NDEF=NDFE=45。，4/C=60。，乙48。=30°,点力

始终在。后边上，点。在三角板力8c内，DF与4B边交于点、G.

初步探究:

（1）如图1,若EF//AB,则Z.CAD的度数为<

（2）如图2,若/BGF=75。,试判断月产与8C的位置关系，并说明理由.

深入探究:

(3)如图3,力。平分/A4C,过点£作£%比，交O77的延长线于点〃，求N"灯'的度数.

演类型八、二角形全等的性质与判定综合问题

36.（24-25七年级下•陕西西安•期末）如图，在/UBC中，AB=AC,力DJ.BC于点、D,E为4C边上一

点，连接8E与4）交于点E,G为AABC外一点,满足乙1CG=N4?£,NF/tG=NB/1C,连接EG.

(2)求证：BE=CG+EG.

37.(24-25八年级上•重庆南川・期末)如图，在△W8C中，D为边BC上一点,E为边BA上一点、,且

4E=CD,连接力。，尸为力。的中点.连接E尸并延长，交4C于点G,在/G上截取点，，使尸H=FE,

连接GO,若HG=CG.

(I)求证：4AEF/4DHF；

(2)求证：/B=2/GDC.

38.(24-25七年级下•山东济南•期末)MBC和△。骸是两个角都是45。的等腰直角三角形(BA=BC,

BE=BD,ZDBE=ZABC=90°)的三角板，

【问题初探】

(1)当两个三角板如图(1)所示的位置摆放时，。、8、C在同一直线上，连接/I。、CE,请证明：AD=CE；

【类比探究】

(2)当三角板/3C保持不动时，将三角板。8E绕点8顺时针旋转到如图(2)所示的位置，判断月。与CE

的数量关系和位置关系，并说明理由.

39.(25・26八年级上•河南新乡•期末)如图，已知448。,4。〃8。,4。=48,点芯在直线力8上，连接。£.

E

图⑴图⑵

(I)如图1,当点E在员4的延长线上时.

①若%E=8C,求证：DE=AC；

②若DE=HC,求证：AE=BC：

(2)如图2,点石在边力〃上，OE=/4C,C/_L/14于点尸.若AB=BC,BF=2,直接写出8E的长.

40.(25-26八年级上•山东聊城•期末)己知Z4C8中，AC=BC,过点力作直线/〃C8,点产为直线/上任

意一点.

图1图2图3

(1)点七为线段4C上的任意一点，点尸位于力点的右边，连接交8£于点〃.如图1,若乙1C5=9O。，

BE=CF,试探究BE与Cr的位置关系，并证明你的结论；

⑵若乙4。5=90。，连接产C,过点。作CO1CT,并使CQ=b,连接力8交射线NC于点G,过点。作

DM1AC于点A/,若/C=m，AG=n,

①如图2,点尸在4点右边，求线段//的长度；(用机，〃表示)

②若点F在A点左边,在图3中画出图形并直接写出线段力厂的长度.(用〃?，〃表示)

怎类型九、三角形全等模型之一线三等角

41.(24-25七年级下•广东清远•期末)【问题提出】

(1)如图1,直线/经过点力，ZBAC=90°,AB=AC,分另!过点8,C向直线/作垂线，垂足分别为

E.求证：AABDm/XCAE；

【变式探究】

(2)如图2,点力、。、E分别在直线/上，如果NCE/=N8/C=N/QB,AB=AC,求证：DE=BD+CE；

【拓展应用】

(3)如图3所示，在Rte，，。和《△CZZT中，ZBAD=/CAE=90°,AB=AD,AC-AE,连接〃C,

DE,作8c边上的高力G,延长G4交DE于点H.若力，=5,4G=12,求△以£的面积.

图3

42.(24・25七年级下•山西晋中•期末)综合与实践

数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动,探究有关线段之间的关系.已知：在A/IBC

中，AB=AC.

即图2图3

⑴如图1,若ZB4c=90°,点、D、A、E在直线加上，NBDA=NAEC=NBAC,则与力E的数量关系为

,CE与力。的数量关系为

(2)如图2,若NB/C>90。，点D、力、E在直线m上,NBD4=4EC=NB4C,试判断线段8Q,CE和OE

的数量关系，并说明理由.

(3)如图3,若/8/C<90。，AB=AC=\2cm,5C=8cm,E是中点，点尸在线段8c上以3cm/s的速度

由点6到点C运动，同时点。在线段。上由点。到点/I运动，它们运动的时间为fs,当点。的运动速度

为多少时，能使与以C、P、。三点为顶点所构成的三角形全等.(直接写出结果)

43.(24-25八年级上•吉林•期末)在直角三角形力8c中，/力。=9()。，直线/经过点C.

图1图2图3

(1)当片。一〃。时，

①如图1，分别过点48作4)_L直线/于点。，8芯_L直线/于点£.求证：“CDGCBE；

②如图2,过点力作力QJ.直线/于点。，点8与点尸关于直线/对称，连接8/交直线/于点E,连接

CF.请写出线段。E,AD,E尸三者之间的数量关系，并说明理由.

(2)如图3,当/C=8cm,8。=6cm时，点4与点/关于直线/对称，连接即，CF.点"从4点出发，以每

秒1cm的速度沿路径A^C运动到终点C；点N以每秒3cm的速度沿路径FTCTBTCTF运动到终点

F.分别过点M,N作MD工直线I于点、D,NE工直线I于点、E.点M,N同时开始运动，各自达到相应

的终点时停止运动，设运动时间为，秒.当△MOC与ACEN全等时，直接写出，的值.

44.(25-26八年级上•湖北随州•期末)数学教材中有这样一道习题：“如图1,

ZACB=90°,AC=BC,AD±CEyBEICEf垂足分别为2E,若力。=2.5cm,D£=1.7cm,求质的长.”

在计算时，我们通过证明△4QC丝△CEB,得到一些线段之间n勺数量关系，然后进行求解.

图1

【类比探究】

(1)如图2,在等腰三角形42。中，ZACB=90°,AC=BC,OK为过点。的直线，AD工DE于D,BEJ.DE

于E,求证：DE=AD+BE；

【拓展应用】

（2）如图3,在Rt"O8中，408=90。，分别以和08为直角边作等腰RtZX/必。和等腰Rl^OBC,

连DC交04延长线于点E.猜想力。与"E的数量关系，并说明理由：

【知识迁移】

（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以△//。的48,4C边向外

作等腰RtAMO和等腰RtZXOE,其中N历10=NC/1E=90。，.4G是边8C上的高.延长G/交DE于点H,

若4，=5,/G=12,直接写出的面积.

等类型十、三角形全等模型之倍长中线

45.（25-26八年级上•陕西商洛・期末）（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图

①，彳。是△相。的中线，若AB=7,JC=5,求8c长和4。长的取值范围.他们利用所学知识很快计算

出了8c长的取值范围为；

（2）方法探究：但是他们怎么也算不出力。长的取值范围，经小组讨论后发现：延长力。至点七.使

DE=AD,连接即，如图①.可证出△力CQ知所。，利用全等三角形的性质可将已知的边长与力。转化

到力8七中，进而求出4。长的取值范围，请写出解答过程；

（3）方法应用：如图②，在△/IBC中，点E在4c上，且OE=QC,过点E作以口|48,交4D于点F,

且E"=4C.求证：力。平分N8幺C.

图⑴图②

46.（25・26八年级上•江西赣州•期末）【发现问题】数学活动课上,王老师提出了如下问题:如图①,

/B=5,AC=3,中线月。的取值范围是多少？

【探究方法】

（1）第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：

①延长力。到使得。月=力。；②连接8E,通过三角形全等把48、AC.24。转化在zUBE中；③

利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为"-BE〈AE<AB+BE,从而得到AD的取值范围是」

方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形.

【问题拓展】

(2)如图②，OA=OB,OC=OD,/力。B与NC。力互补，连接NC,BD,E是/。的中点，求证:

OE=；BD;

(3)如图③,在(2)的条件下，若=延长EO交8”于点尸，OF=2,OE=5,求△/OC

的面积.

47.(25-26八年级上•黑龙江哈尔滨•期末)【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其

中一个问题作如下探究:

(1)【问题背景】“BC

如图1,△48c中，<B=8,AC=6,4。是中线，则力。的取值范围是

图1

(2)【变式思考】

如图2,“必。中，力。是中线，分别以力以4C为腰在外作等腰必△力8E和等腰

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