浙教版八年级数学下学期第一次学情自测培优卷（测试范围：第1章 二次根式~第2章 一元二次方程）解析版

八年级数学下学期第一次学情自测.培优卷

【新教材浙教版】

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1.下列计算正确的是（）

A.7（-3）2=-3B.（2可=6

C.V2+V3=V5D.V3xV2=V6

【答案】D

【分析】本题考查二次根式的运算性质，需根据二次根式的化简、乘方、加减、乘法法则逐一判断选项.

【详解】解：07（-3）2=79=3,回A选项错误.

回（2例=12,回B选项错误.

团近与百是不同的最简二次根式，不能合并为遍，耻选项错误.

13Gx企=石，团D选项正确.

2.（25-26八年级上•浙江宁波・期末）已知方程/+皿+3=0的一个根是1,则它的另一个根是（）

A.-3B.3C.-4D.4

【答案】B

【分析】利用一元二次方程根的定义，先将已知根代入方程求出参数用的值，再解一元二次方程即可得到

另一个根.

【详解】解：团方程/+6”+3=0的一个根是1,

团将％=1代入方程得/+771・1+3=0,

解得771=-4,

团原方程为42-4%+3=0,

将方程因式分解得（％-l）（x-3）=0,

解得=1，%2=3,

团方程的另一个根是3.

3.（25-26八年级上•福建福州•期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（）

A.6B.C.V0^3D.V5

【答案】D

【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，解题的关键是掌握最简二次根式的定义.

根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断

选项即可.

【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数

或因式

对于A选项：〃=旧=2,被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；

对于B选项：g的被开方数含分母，不是最简二次根式；

对于C选项：顺二岛,被开方数含分母，不是最简二次根式；

对于D选项：遥的被开方数不含分母，且5不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；

故选：D.

4.（25-26九年级上•湖北武汉•期末）已知a,b是方程/+x-3=0的两根，则空的值为（）

ab

A.3B.：C,D.-1

【答案】B

【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系.先利用该关系求出Q+力与Qb的值，再代入所求代数式计

算即可.

【详解】解：b是方程/+工_3=0的两根，

0a+匕=—1,ab=-3,

将a+b=-1,ab=-3代入

ab

得誓咤♦

故选:B.

5.（25-26八年级上•上海杨浦•期中）下列式子不是a-力的有理化因式的是（）

A.4+4B.xVx+XyfyC.yjx+yD.3五+：行

【答案】C

【分析】本题考查有理化因式的概念，关键是通过相乘验证是否消除根式.注意选项C的乘机仍保留根式

结构.

有理化因式需满足与给定式子相乘后结果不含根式.通过计算各选项与Gf的乘积，判断是否含根式.

【详解】回有理化因式应使乘枳不含根式，

A.（Vx-y[y｝（Jx+y[y）=x-y,不含根式；

B.（历一五）（%《+%近）=%（五一⑨（G+初=%（%-丫），不含根式；

c.（Vx-y/y）yjx+y=Jx（x+y）-y/y（x+y）,仍含根式：

D.（4一依+：行）=g（x_y），不含根式.

0选项C不是有理化因式.

故选：C.

6.（25-26九年级上•山东青岛•月考）如果关于工的一元二次方程a/+2%-1=0有两个不相等的实数根，

则a的取值范围是（）

A.a>—1B.a>—1C.a>-1,且aHOD.a>一1且aH0

【答案】D

【分析】本题考古了一元二次方程的定义以及根的判别式，先根据定义确定Q的约数条件，再利用判别式求

出范围即可.

【详解】•.•一元二次方程a/+2x-l=0有两个不相等的实数根，

•••A=b2-4ac=22—4xax（-1）=44-4a>0

解得：Q>—1

•.•方程是一元二次方程，

二次项系数Q*0,

综上所述，a>-1且aH0.

故选：D.

7.（2024,云南曲靖・模拟预测）设〃为正整数且九〈卫笋Vn+1,则〃的值为（）

V2

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【分析】本题考查二次根式的化简，无理数的估值.先对式子号电进行化简，再对无理数估值即可解答.

V2

【详解】解：亘笋二病—1,

72

049<63<64,

07<V63<8,

06<V63-1<7,

团6〈也要<7,

V2

0n=6.

故选:A.

8.(24-25九年级上•天津•月考)如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样的路，余下部分种

植草坪.要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为()

匚

r

A.54x+38x—x2=1800B.(54-x)(38—x)+x2=1800

C.54x38-54%-38%-x2=1800D.(54-x)(38-x)=1800

【答案】D

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据矩形草地的长、宽及修建道路的宽度，可得出

种植草坪的部分可合成一个长为(54-%)米，宽为(38-幻米的矩形，再结合草坪的面积为1800平方米，即

可列出关于x的一元二次方程，此题得解.

【详解】解：团矩形草地的长为54米，宽为38米，且道路的宽为x米，

团种植草坪的部分可合成一个长为(54-幻米，宽为(38-无)米的矩形.

根据题意得:(54-x)(38-x)=1800.

故选：D.

9.(25-26八年级上•上海普陀•期中)己知整数％、y满足y+2万=同，那么能满足条件的整数X的个数

是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】本题考查二次根式的加法运算，根据题意，分x=0,y=0,以及在，、历化简后为被开方数为2的

同类二次根式，三种情况进行讨论求解即可.

【详解】解：团4+2方=同=5或，

取>0,y>0,

以=0或y=0或近，方化简后为被开方数为2的同类二次根式，

当x=0时，此时y不是整数，不符合题意；

当）'=0时，此时％=50,符合题意；

当、伍方化简后为被开方数为2的同类二次根式时：设4=a近忑=bg

0aV2+2bV2=5VL

团。+2b=5,

当a=l时，b=2,符合题意，此时4=&，故％=2；

当a=3时，8=1,符合题意，此时4=3e=故x=IB：

综上：x=2,18,50：

故选D.

10.（25-26九年级上•湖南怀化•月考）定义（a,b,c）为方程a/+bx+c=0的特征数.若特征数为

（1,2k-2,/一刀的方程的两实数根的平方和为12,则Z的值为（）

A.-1或4B.-4C.-1D.-4或1

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练学

握以上公式是解题的关键.

根据特征数的定义，得出方程的原形式，利用根与系数关系及平方和条件列出方程，结合判别式求出A的值.

【详解】解：团特征数为（1,2k-2,k2-k\

回方程为"+（2k-2）x+（k2一k）=0,

设两实数根为勺,&，则，

+%2=-（2忆—2）=2—2k,

2

xxx2=k—k,

222

HXi+x2=（%i+x2）-2石%2=12，

团（2-2幻2-2（1一攵）=12,

化简得：k2-3k-4=0,

解得k=4或k=-1,

又叵方程有实数根，

2

回4=（2k-2）-4a2-Ar）=4（1-k）>0f

即A<1,

龈=4（舍去），

龈=-1

故选c.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11.（25-26九年级上•河南南阳・期中）以工二2三孚正互为根的一元二次方程是.

【答案】X2+X-2=0

【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，熟练掌握求根公式式解题的关键.

通过对比给定的求根公式与标准求根公式，确定一元二次方程的系数，从而得到方程.

【详解】解：给定的求根公式为％==正事巨，标准求根公式为工=上等叵，

对比可得：—b=-1>因此b=1（

2a=2x1,因此a=1,

根号内部表达式为b?—4ac=I2-4x1x（—2）=1+8=9,得c=-2,

因此一元二次方程为ax?+bx+c=0,即/4-x-2=0

故答案为：x2+x-2=0.

12.（25-26八年级上•湖南郴州•期中）若伞与g可以利用加法的结合律进行运算（即：它们可以合并），

则最小的正整数a是__________.

【答案】3

【分析】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键.根据题意，〃与也可

以合并，说明它们是同类二次根式，先将V12化简，再确定a的值即可.

【洋解】解：：Va与yJ12可以合并，V12=V4x3=2>/3,

则与V3是同类二次根式，

即VS=/cV3（/c为正整数），

两边平方得a=k2x3,

当k=l时，a取最小值，即a=I2x3=3,

验证：遍与2旧可以合并，

故答案为：3.

13.（25-26九年级上•陕西汉中•月考）用配方法解方程％2-6无-6=0时，配方后得到（％+=b,则a+

b=.

【答案】12

【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键.

先对“2一6%-6=0配方，然后与(％+a)2=b对比求得。、b的值，最后代入求值即可.

【详解】解：%2-6%-6=0,

x2-6%=6,

x2-6%4-9=6+9,

(x-3)2=15,

+a)2=b,

0a=-3,b=15,

团Q+b=—34-15=12.

故答案为:12.

14.(25-26八年级上•上海杨浦•期中)化简：忌(%>0)=；

【答案】警

4x2

【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的性质进行化简根式即可，熟练掌握二次根式的性质

是解题的关键.

【详解】解：层=离=藤=嚼

故答案为：鬻.

15.(25-26八年级上•四川雅安・期中)若J(a-3+2A/2)2+\b-3-2或|=0,Kila2004xb2005=.

【答案】3+2V2

【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的乘法运算，先利用非负数的性质可得。=3-2&，匕=3+

2vL即得M=(3-2®(3+2乃)=1,再利用积的乘方的逆运算可得。2。。4xb2Q0S=(axb)2004xb,

再代入计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键.

【详解】解：团J(a-3+2V2)2+|Z?-3-2V2|=0,

回a-3+2或=0,b-3-2&=0,

解得a=3-2x/2,b=3+2或，

^ab=(3-2鱼)(3+2A/2)=32-(272)2=9-8=1,

回G2004xd2005=a2004xd2004xb=(axb)2004xb=1x(3+272)=3+2痘，

故答案为：3+2V2.

2

16.(25-26九年级上•江苏常州月考)关于％的方程a(x4m)4b=0的解是刈=-2,x2=4(a、b、m均

为常数，,则方程a(x+n-l)2+b=0的解是.

【答案】xt=-1,x2=5

【分析】此题主要考查利用整体代换思想解方程.熟练掌握该知识点是关键；通过观察方程结构，可将第

二个方程中的Q-1)看作一个整体，则该整体的值应等于第一个方程的解，从而求出工的值.

【详解】解：：关于％的方程a(x+m)2+b=0的解是=-2,x2=4(a,m,b均为常数，aHO),

•••方程变形为Q[(%-l)+m]2+b=0,

即此方程中x-1=-2或x-1=4,

解得％=-1或x=5.

故答案为：勺=-1>x2=5.

三、解答题(本大题共8小题，满分72分)

17.(6分)解方程

(1)公式法：(x+2)(x—3)=x+2

(2)配方》去：^x2-6x-7=0.

【答案】(1)勺=4,X2=-2

(2)又1=6+55/2,%2=6-5^2

【分析】(1)先将方程化成一般股式，再利用公式法进行求解：

(2)先将二次项系数化为1,再利用配方法进行求解.

【详解】(1)解:(%+2)(%-3)=%+2

x2-x-6=x+2

x2-2x-8=0,

•••△=(一2/-4x1x(-8)=36>0,

舐二竽二竽=，

2x12

=4,x2=-2；

(2)解：|X2-6X-7=0

X2-12X-14=0

x2-12x=14

x2-12x+36=144-36

(x-6)2=50

x-6=±x/50

x=6±5V2

团％1=6+5V2,%2=6-5V2.

18.（6分）（25-26八年级上•上海•期中）计算:

(l)V24-1V3+2J—vn；

⑵产

【答案】⑴:述一怖\/5；

36

（2）一祚口

【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

（1）根据分母有理化，二次根式的性质分别运算，然后合并即可；

（2）根据二次根式的性质进行化简，然后通过二次根式乘除法进行求解即可.

【详解】（1）解：旧一:店+2/一3m

L1厂2L11

=2A/6——V34--V6——X/3

4D。

=^V6-M；

36

⑵解:

=y；?x（-^）x^

=若心.

19.（8分）（25-26九年级上•江苏无锡•期末）已知一元二次方程/-2%+根=0.

⑴若方程有两个实数根，求血的范围；

⑵若方程的两个实数根为%1，且％1+4皿=3,求m的值.

【答案】⑴m<1

⑵m=|

【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，熟知一元二次方程的根的判别式

和根与系数的关系是解题的关键.

（1）根据题意可得A=（-2）2-4x1X77120,解之即可得到答案；

（2）根据根与系数的关系可得与+必=2,右血=加，再由题意可得（必+不）+3乃=3,据此求出X],“2

的值即可得到答案.

【详解】（1）解：团关于X的一元二次方程/—2x+m=0有两个实数根，

0A=（一2/一4x1xm>0,

Em<1；

（2）解：（3关于x的一元二次方程/一2x+m=0的两个实数根为巧，x2,

x

团％1+2=2,x1x2=m

0xx+4X2=3,

回a+g）+3%2=3,

02+3x2=3,

以2=p

0=2­：=

133

e13m=%62=53><-1=5-,

埼<1,

（am=q符合题意.

0m=

9

20.（8分）（25-26九年级上•河南南阳・月考）代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟新径,

事半功倍.阅读下列短文：已知备，求2a2-8。+1的值.分析与解答；

加=品=（2+总2用=2一6,

121G-2=-V3,

团（Q—2）2=3»即a?—4Q+4=3,

Ea2-4a=-1,

02G2-8a+1=2（Q2-4a）+1=2x（-1）+1=-1.

请你根据上面的分析过程，解决如下问题：

⑴计算会二—；

(2)若Q=4一，求4a2-8Q+1值.

v2-1

【答案】(1)72-1

（2）5

【分析】本题主要考杳了二次根式的化简，利用平方差公式进行分母有理化，代数求值，解题的关键是掌

握二次根式的化简法则.

（1）利用平方差公式进行分母有理化即可;

（2）先对二次根式进行化简，再变形代数求值即可.

V2-1

【详解】解:

（1）6+1—(V2+l)(，/2-l)=V2-1;

（2）解："廿鬲号Te+L

06—1=y/2,

2

•••(a-l)=2t即a?—2a+1=2,

0a2—2a=1>

04（12—8Q+1=4（a2—2a）+1=4x14-1=5.

21.（10分）（24-25九年级上•广东清远•期末）直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在其平台上对一

款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出30件，通过市场调查发现，

每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件.

⑴若口获利1000元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？

⑵经统计，促销活动后第〜日的铛售量为64件，第三日的俏售量为81件.如果第二日、第三日销售的增

长率相同，求该款小商品的日平均增长率.

【答案】（1）每件售价应定为50元；

（2）该款小商品的日平均增长率为12.5%.

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

⑴设每件降价x元，则每件售价应为（60-幻元，日销售量为（30+"10）件，每件盈利为（60-工一30）

元，根据日获利1000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；

（2）设该款小商品的日平均增长率为〃?，根据第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件，列出一

元二次方程，解之取符合题意的值即可.

【详解】（1）解：设每件降价x元，则每件售价应为（60-幻元，日销售量为（30+gxl0）件，每件盈利

为(60—x—30)兀,

由题意得：（60-x-30）（30+X10）=1000,

整理得：x2-15%4-50=0,

解得：%i=10,M=5,

当x=10时，日销售量为30+£K10=50件；

当x=5时，日销售量为30+数1。=40件，

因为商家想尽快销售完该款商品，所以应选择日销售量较大的方案，故取工=10,

060—x=50,

答：每件售价应定为50元；

（2）解：设该款小商品的日平均增长率为加，

由题意得:64（1十771）2=81,

解得：m.=0.125=12.5%,m2=-2.125（不符合题意，舍去），

答：该款小商品的日平均增长率为12.5%.

22.（10分）（25-26八年级上•江苏南通・期末）若两个含有二次根式的代数式M,N满足M-N=t，其中

/是有理数，则称M与N是互为”相关代数式〃.

⑴若M与遍是互为“6相关代数式"，则M=_；

⑵若其中M=a-遍（〃是有理数），N=8+2V5,且M与N是互为“，相关代数式”，求。和，的值.

【答案】（1）2百

（2）。=4»t=22

【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的乘法，熟练掌握分母有理化是解题的关键.

（1）由题意知V5M=6,计算求解即可；

（2）由题意知M-N=（a-遍）（8+2正）=3计算求解即可.

【详解】（1）解：与6是互为“6相关代数式"，

vV3M=6,

•••M=专=2A/3；

（2）解：・.・M与N是互为”相关代数式〃,

M•N=（Q-V5）（8+2V5）=t,

整理得，（2a-8）＞/5+8a-10=t,

,:t是有理数,

•••2a-8=0,8a—10=t,

解得a=4,t=22.

23.（12分）（25-26九年级上•福建泉州•期末）综合实践:

探究主题一元二次方程根的判别式拓展探究

在学习一元二次方程根的判别式时，小明同学通过几道习题的解答，他说自己发现了判断一类

方程有无实数根的一种简易方法并提出了一个猜想：“若一元二次方程ad+bx+c=0（a。0）

探究情境

的二次项系数。和常数项c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两人不相等的实

数根."请你结合所学知识，对小明的猜想进行探究.

（1）解满足以下条件的一元二次方程，验证小明的猜想：

①当a>0,c<0时，例如/+“-2=0,此方程的解是________：

实例验证

②当QVO,c>0时，例如-/-2x+3=0,此方程的解是________；

这两个实例可以验证小明的猜想________（填"正确"或"错误〃）.

严谨证明（2）小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例.

（3）已知关于X的一元二次方程（7n-l）/+27nx+（7n+2）=0,其中/〃为整数，满足二次

拓展延伸

项系数和常数项异号，求/〃的值及方程的解.

【答案】（1）①=-2,X2=1；②Xi=—3,%2=1;正确；（2）见解析;（3）m=-1时,力=,x2=一1”；

m=0时，/=A/2,X2=—\/2

【分析】本题考查了一元二次方.程的定义，解一元二次方程，根的判别式等知识；

（1）根据因式分解法解方程，即可求解；

（2）根据题意计算A=b2-4ac>0,即可得证；

（3）根据一元二次方程的定义，以及机为整数，满足二次项系数和常数项异号，得出m的值，进而解方程,

即可求解.

（详解】解：（1）①当a>0,c<。时，例如％2+x-2=0,

0（x+2）（x-1）=0»

0x4-2=0或％-1=0,

用此方程的解是与=-2,X2=1；

②当aVO,c>0时，

例如——-2x+3=0,

0x2+2x-3=0

0（x+3）（%-1）=0

0x4-3=0或x-1=0,

回此方程的解是不=-3,X2=1；

这两个实例可以验证小明的猜想正确；

故答案为：=—2,X2=1;=-3,X2=1;正确.

（2）解：小明的猜想正确，

证明：一元二次方程。公+8%+。=09工0）的二次项系数4和常数项。异号（即两数为一正一负），

Me<0,