相似三角形中的动点问题的六种模型-北师大版九年级《数学》上册培优专项训练

专题04相似三角形中的动点问题的六种模型

题型归纳

目录

题型一：相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）...................................1

题型二：相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）.................................6

题型三：相似三角形动点中求线段及线段和最值问题...............................................14

题型四：相似三角形中的动点问题与函数图像问题.................................................20

题型五：相似三角形中的动点问题与几何综合问题.................................................25

题型六：相似三角形中的动点探究应用问题........................................................38

:题型专练

题型一：相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）

例I.如图，在VABC中，AB=4cm,AC=8cm,点P从8点出发沿胡方向向终点A以la〃/s的速度移动；

同时，点。从A出发沿AC方向向终点C以2a〃/s的速度移动.设运动时间为/（s）,当1=时，NABC

与△APQ相似.

4

【答案】2或］

【知识点】相似三角形的判定与性质综合

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关犍是根据题意分类讨论，列出比例式，根据比例式

求出运动时间.

【详解】解：点P从3点出发沿胡方向向终点A以lcm/s的速度移动；同时，点。从A出发沿AC方向向

终点。以2c〃z/s的速度移动.设运动时间为/（s）,

则BP=/cm,AP=(4-/)cm,力。=2fcm,

回N4=N4,

当理二强时AAPQ^SBC.

ABAC

团AB=4cm,AC=8cm,

4T2t

a——=—,

48

解得，E=2；

当丝=超时，△APQ^AACB,

ACAB

0AB-4cm,AC=8cm,

4-t2t

0——=—

84

4

解得，

J

4

故答案为：2或

知识点总结

1.相似三角形判定与性质：需掌握A4（两角对应相等）、SAS（两边对应成比例且夹角相等）、SSS（三边

对应成比例）判定定理，以及相似三角形对应边成比例、对应知相等的性质，这是列比例式的基础。

2.动点运动规律：明确动点的起点、终点、速度，用含时间/的弋数式表示线段长度，注意运动过程中线

段长度的变化及取值范围，避免漏解。

解题技巧

1.分类讨论图形位置：动点移动会导致三角形顶点位置变化，需按相似三角形的不同对应关系分类（如

不同顶点对应），分别列出比例方程，避免只考虑一种情况。

2.验证解的合理性：求出/的值后，需代入线段长度表达式，检查是否符合图形实际（如线段长度非负、

动点未超出运动范围，排除不合理的解。

【变式11】？24-25九年级上•四川内江•期中）在中，NC=900「16cm,12cm.现有

动点尸从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段8向点3方向运动.如果

点P的速度是4cm/s,点Q的速度是女m/s,它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，

设运动的时间为is.当/=秒时，以C、P、。为顶点的三角形与V48C相似？

【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，应分两种情况：当R^CPQsRfCAB时，根据g=坐，可

将时间，求出;当RtQQsRMBA时,根据若=詈,可求出时间

【详解】解：由题意得4尸=4/cm,CQ=3zcm,则CP=（16—4i）cm,

VAC=16cm.BC=12cm,

，当时，—=^,

CACB

即3U=解得1=2：

1612

当RIACPQ^RQCBA时，土=丝,

CBCA

口“16—4/3twn64

即丫=记‘解得"升

Ad.

因此，=2秒或/二£秒时，以点C、P、。为顶点的三角形与VABC相似,

故答案为：2或黑64.

【变式1-2］（23-24八年级上•四川宜宾•期末）如图，在VA8C中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8,点。

为BC边上一动点，点。从点8出发，以1个单位每秒的速度沿8c向点。运动，到达点C时停止运动.设

运动时间为/秒，则当"秒时，ZADC=2ZC.

【分析】本题考查相似三角形，勾股定理.根据题意由勾股定理求得BC=10,再由△84£s2X8C4的性质

求出3£AE的长，在8C上取点尸，使得AE=b,可得NAq=2NC,再利用等腰三角形判定及性质得

AADF为等腰三角形，在4AEF'卜应用勾股定理即可得到本题答案.

【详解】解：在VA8C中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8,

，BC=10,

过点A作A£_L8C,并在BC上取一点F,使得CF=4F,则NAF6=2NC,

•・•设运动时间为/秒,

**.BD=t,

•：-ABAC=-BCAE,g|Jix6x8=lx!0AE,

2222

24

解得：AE=—

1Q

在△ABE中应用勾股定理：BE=-,

当乙M>C=2NC时，ZADC=ZAFB,

:.AD=AF=CF,

*/AE1.DF,

1QIQIQ14

，DE=EF=BE-BD=——t,AF=CF=BC-BE-EF=\0----(一—t)=—+t,

5555

在AAE尸中应用勾股定理：AE2EF2=AF2

(£T)2+(g)2=(g+/)2,解得：t=2.2»

当点。与点尸重合时，ZADC=2ZC,

ADE=EF=则5尸=口+2+[=5,

555555

，当5秒时，ZADC=2ZC,

故答案为：2.2或5.

【变式1-3](24-25九年级上•江西南昌•期末)如图，在矩形"C。中，AQ=4cm,/W=3C〃7,动点P以Icm/s

的速度沿着折线/W,运动到点C时停止.已知与△A4O关于直线PQ对称，连接A4'.设运动

时间为令，连接8A,若△A34是直角三角形，，的值为.

【答案】1或16-；"或7或3+"

【分析】分三种情况：当NA4'8=90。时，当484=90°时，当N84A=90°时，分别利用相似三角形的判

定和性质以及勾股定理即可求得答案.

【详解】解：连接AH,如图,

根据轴对称可得NAE尸=90。，AE=A'E,

当乙44/=90。时,

则NAA7?=NAEP=90°,

:.DP//AB,

：；Es.N、

AP_AE

~AB~~AA~2

13

/.AP=-AI3=-cm,

22

3

2

当乙ABA=90°时，如图,

由题意得人尸=人/=/cm,PB=(3-f)cm,

NAED=NZMB=N3=90°,

/.Z4PP+ADAE=NZM石+NB4A'=90°,

：.ZADP=ABAA,

：.^ADP^^BAA,,

型=",即色，

ABAD34

/.AB=-t,

4

•.冶+A'B2=A'P2,

(3—/)"+

解得“¥或「产（舍去）;

当NW=90°时,如图,

BC(P)

,/4A关于OP对称,

与点C重合

当ZABA'=90°时，点4在BC的延长线上，连接AP,

•・•四边形44co是矩形，

・•・AD//BC,

・•・ZAPD=ZADP^

VAA'关于。P对称，

:,ZADP=ZADP,A,D=AD=4cm.

,ZAPD=ZADP,

,,

・•・AP=AD=4cnit

在心“VCD中，4'。="^="，

，BP=BC+A，C-A，P=4+@-4=y/icm,

A/=3+V7

综上所述，当△A84是直角三角形时，Z的值为:或16—4.或7或3+".

23

故答案为：g或16一；6或7或3+77.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质

等，运用分类讨论的思想解决问题是解题关键.

题型二：相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）

例2.如图，为△ABC中，ZC=90°,47=4,BC=3,点P、。分别为A3、8c上的动点，将沿

。。折叠，使点8对应点。恰好落在边AC上，当△APO与VAKC相似时，则”的长为.

A

【答案】?25或一20

【知识点】折叠问题、相似三角形的判定与性质综合

【分析】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定，折叠的性质，熟练掌握这些性质是解题的关

键，注意△APD与VABC相似要分情况讨论.根据直角三角形的性质可得48=5,当△AP。与V48C相似

时，设=则。8=尸。=5-x,分两种情况：®Z\APD^ABC,②分别列方程求

解即可.

【详解】解：•.•RtAABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,

AB=V32+42=5»

当△APO与VA3C相似时，

•••点。始终在边4c上，

根据折叠用=P£>,

设AP=x,贝UP8=PO=5—x,

二.分两种情况：

①AAPDs公ABC,

此时ZADP=ZACB=90°,

PDAP5-xx

一=——，即nri----=-,

BCAB35

解得尸学，

O

AP=—

8t

@^APD^>^ACB,

此时ZAPD=ZACB=90°,

PDAP.5-xx

即Mr----=-

~BC~~AC34

解得户亍,

综上，AP的长为—或—,

故答案为：三25或号20.

知识点总结

1.相似三角形的判定与对应关系：需熟练运用AA、SAS、SSS判定定理，明确动点移动中三角形可能形成

的不同对应顶点组合，因对应关系不同，线段比例式也会不同，这是产生多解的核心原因。

2.用变量表示线段长度：根据动点速度和时间，用含/的代数式表示相关线段，同时明确动点运动的范围

（如线段端点、边界位置），确定变量的取值限制，为后续计算凫供依据。

解题技巧

1.按对应顶点分类列比例：根据动点位置变化，列举所有可能的相似对应方式（如顶点A对应。或E）,

分别列出不同比例式，避免遗漏对应关系导致的漏解。

2.结合图形验证线段合理性：求出线段长度后，结合动点运动轨迹，检查线段是否符合图形逻辑（如长

度为E未超出原线段范围），排除因计算或对应错误产生的不合理解。

【变式22］（24-25八军级下•甘肃定西二期末）在矩形A8=9；/V）=12；点E在边COE,且CE=4,

P是直线8C上的一个动点.若VAPE1是直角三角形，则CP的长为.

【答案】:或苧或6

【分析】通过直角三角形未确定直角分三种情况进行讨论，利用互余关系，得到三角形相似，得到边长比

例关系进行求解即可.

【详解】解：VAPE是直角三角形，有以下3种情况：

①如图1,Z4EP=90°,

•・•矩形A8CD,

/.ZC=ZD=90°,

・•・/.CEPINC"=90。，

：.^AED=^CPE,

/XADEsAECP,

.ADDE129-4

'''CE~~CP~^~~CP

②如图2,NPAE=90。，

:^DAE+NBAE=ZBAE+ZBAP=90°.

同理得至△八4产，

.ADDEn5

,・诟一诟一5一而‘

/.BP=—,CP=BP+BC=—；

44

③如图3,ZAPE=90°,设8P=R,则尸C=12—X,

图3

同理得：AABPs^pcE.

.ABBP9x

••===,

PCCE\2-x4

百=七=6,

・•・CP=BC-BP=6；

综上”的长是g或苧或6,

34

故答案为：。或黑或6.

34

【点睛】本题考查直角三角形的相似问题，矩形的性质，在不确定直角的情况卜.需要分类讨论计算，灵活

利用相似三角形的判定和性质是解题的关键.

【变式2-2］（24-25九年级上•河南周口・期末）如图，等边VABC的边长为8,。为BC上的一点，DC=3BD,

P是线段AO上的一动点（点尸不与点A,。重合）.若点。和V48C中的一个顶点的连线与P。的夹角为60。，

则DP的长为.

【分析】过点。作于点例，利用勾股定理和等边三角形的性质求出入。=疗；根据题意，分两种

情况讨论，即/82。=60。或NC包）=60。，进而证明与△CPDsdCO,利用相似三角形的

性质列出避雷线即可求出P。的长.

【详解】解：如下图，过点。作广点M,

A

BD

•••等边V/WC的边长为8,CD=3BD,

;.BD=2,CD=6,NB=/C=60。,

NBDM=30。,

..BM=-BD=\,

AM=AB-BM=7,DM=』BD：-BM?=6

：.AD=dAM。DM?=2VB，

分两种情况：①如下图，连接8尸，若N8尸。=60。,

/BPD=/ABD=60°,NBOP=/ADB,

BD

.△BPDS&ABD,

PDBDPD_2

..茄=布’即〒二月忙解得月

②如下图，连接CP,若NCPD=60°,

4CPD=ZACD=60°,4CDP=ZADC.

BD

:ACPDSAACD，

PDCDPD_6।

..而=而‘即T=砺'解向

综上所述，PD的长为名叵或更姮

故答案为：岖或电叵.

1313

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，

勾股定理，熟练掌握三角形相似的证明及性质的使用是解决本题的关键.

【变式2-3］（2025•河南驻马店•三模）如图，菱形/WC。中，点P为对角线8。上一动点，作关于AP

的对称图形，得到aAQ尸，点。的对应点为点Q,射线PQ与菱形A8C。的边交于点M.若AB=5,BD=6,

则当点P为B。的三等分点时，P例的长为.（温馨提示：38=1444）

■田“.■6834

【答案】E或r五

【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质，根

据P是8。上的一个三等分点，可分成两种情况求解，先根据对祢性得到边长，然后根据三角形相似以及直

角三角形的勾股定理可求得结果.解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

【详解】解：如图，连接AC,交8。于点0，

•.•四边形为菱形，

\OD=OB=gBD=3,ZAOD=403=90。，

22

/.AO=JAB2-OB-=V5-3=4,

分两种情况：①当。=2时，OP=OD-DP=\,

如图，连接AQ，AP,AQ与8。交于点N,

由对称性可知，DP=PQ=2,ZAQP=ZADB=ZABD,ZPNQ=ZANB,

丛PNQs丛ANB,

■小一AB5

'~PN~~PQ~2，

设加=2x,则AN=5x,

二ON=NP-OP=2x-\,

在Rt~4NO中，AN2=AO2+ON2,

即(5X)2=42+(2X-1)2,

17

解得：用=-1(含去)，x2=—

S4

:.PN=—,

21

•/ZPQA=4DBC=ZADB,^NPQ=4MPN,

△PNQ^fMB,

PMPN

~PB~~PQ'

PNPB68

PM

PQ~2\'

2

②当。。=产=4时，连接AQ,AP,

由对称性可知，AQ=AD=5tPQ=DP=4,"DP=ZAQP="BD,ZAPD=ZAPM,

过点A作ANJL尸Q广点N,如图,

ZAQM=/PBMZAMQ=ABMP,

.加BP2

一而=而=歹

设EF=2x,则A"=5x,

在△APO和△AN尸中，

ZAPO=ZAPN

•/AOP=NANP=90。，

AP=AP

：.A4P0gzMPN(AAS),

:.OP=PN=\,

..NM=2x-[,AN=AO=4,

在RSANM中，AM2=AN2+NM1,

即(5x)2=4?+(21)2,

解得：x,=-l(舍)，9=[，

34

:.PM=2x=—,

21

综上，PM的长为抑或青

故答案为：II或

【变式2-4］（2026.江西.模拟预测）如图，等腰三角形ABC中，AH=AC=5,AC=8,点M是4c边上一

动点，连接八M,当图中存在直角三角形时（不添加其他线段）：的长为一.

【答案】4或一25或;7

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握分类讨论的数

学思想.

根据题意求出等腰三角形A8C底力上的高，然后分三种情况讨论，然后利用等腰三角形的性质和相似三角

形的判定和性质进行求解即可.

【详解】解：根据题意求出等腰三角形A8C底边上的高.

如图（1）,过点A作8c于点儿

VAB=AC=5,BC=8,

：,BH=CH=4.

图⑴

根据直角三角形的直角不确定，分情况求解.

①当NAM8=90。时，点M与点”重合，此时均为直角三角形，BM=BH=4；

②当N84M=90。时，为直角三角形，如图（2）,

•.­NB-NB,NRAM-ZBHA-90°.

^BAMS^BHA，

二空=也，即3=BM

BHBA45

25

解得口

95

；“i/CAAf=90。时，为直角三角形，如图(3),同理②可得CM二一

4

BM=S--=-

44

?57

综上所述，府的长为4或z叱.

757

故答案为：4或亍或“

题型三：相似三角形动点中求线段及线段和最值问题

例3.如图，在矩形A3CQ中，AB=2,8C=3,E为A8的中点，〃为8c上的一点，连接P。、PE,当PE+2PD

的值最小时，BP=.

【答案】2

【知识点、】根据矩形的性质求线段长、证明四边形是矩形、相似三角形的判定与性质综合

【分析】本题考查了矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；在4C的延长线上截取b=28=4,

过点尸作尸GJL。尸，使得PG=2PD,则△ZX/S“)PG得出NPGO=NPED,即可证明△尸IBAG。/7,进

而得出NPC£>=NGfD=90。，则点G在与。尸垂直的尸G上运动，当EGJ_R7时，即NPG/=90。时，

PE+2P。最小，进而得出四边形£>PG〃是矩形，证明△DC—"'。。，得出。。=],即可求解.

【详解】解：在矩形A8CD中，AB=2,BC=3,

0CD=AB=2,NDC8=90°,

nr1

如图所示，在8c的延长线上截取。'-2C£>-4,则k==,过点。作PG_LOP,使得

G

DCDP

0----=——

CFPG

又仅NDCF=ZDPG=90°

^^DCF^DPG

DPDG

E4GD=/PFD,■1

DCDE

DPDC

虫"DC=4GDF,=---

DGDF

中APDCS^JDF

⑦"CD=NGFD=90。

（3点G在与。产垂直的AG上运动，

当正：+2电）的值最小时，〃在£G上，最小值为EG的长

回当EGJ_/G时，即NPG『=90。时，EG最小

此时如图,

0ZDPG=4PGF=ZDFG=90°

回四边形OPG尸是矩形，

0ZPDF=9O0

⑦"DC=90。-NFDC=/DFC

又NDCP=/FCD=90。

醍DCPs4FCD

"CPC

FCCD

2PC

0—=——

42

解得：PC=\

国PB=BC—PC=3—1=2

故答案为：2.

知识点总结

1.脑披!扁形性质与动态线段表达：利用相似三角形对应边成比例的性质，结合动点速度、时间，用含变

量的代数式表示相关线段长度，明确变量的取值范围（受动点运动边界限制）。

2.最值求解相关定理：涉及垂线段最短、两点之间线段最短（如将军饮马模型），以及二次函数顶点最值

（当线段表达式为二次函数时，利用顶点坐标求最值）。

解题技巧

1.转化线段表达式：通过相似比将所求线段或线段和转化为含单变量的代数式，若为二次函数形式，利用

配方法或顶点公式求最值；若为一次函数，结合变量范围找端点值。

2.结合几何模型构造对称点：对于线段和最值，若涉及定点与动点，可通过构造对称点，将折线转化为直

线，利用“两点之间线段最短“求解，再结合相似关系确定动点位置及对应线段长。

【变式37］（2025•四川泸州•三模）如图，。是等边三角形48c的边AC工的动点，连接。3,将DB绕点D

逆时针旋转120。，得到。连接E4,EC,若BC=2,则E4+EC的最小值为.

【答案】2G

【分析】延长AC到尸，使C"=8C,根据等边三角形的性质和旋转的性质得出N£ZM=N/，C3=120。，

BD=ED,根据如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似可

得公EDB-AFCB，根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例可得黑=鬟，推得

oCifr

NDBC3F‘黑嘴,根据如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等，那么这两

个三角形相似可得根据相似三角形的对应角相等得出/DCB=NEFB=旗）。.得出点E在

ZBFE的边FE上运动，根据三角形的外角性质和等边对等角得HNCFB=NC8/=30。，求得/EFC=30。，

ZFBA=90°,作点。关于FE的对称点C,连接C'E,根据轴对称的性质得出N£FC=NEFC=3（）。，

EC=EC,根据垂线段最短和两点之间，线段最短得出满足A,E,C'三点共线，且ACJ_C户时，EA+EC

的值最小，根据二个角是直角的四边形是矩形得出四边形AWP是矩形，根据矩形的对边相等和勾股定理

求出R•'的值，即可求解.

【详解】解：延长AC到广，使C/=4C.如图：

VVABC为等边三角形，08绕点。逆时针旋转120°得到DE,

：./EDB=NFCB=120°,BD=ED,

DEBD

•:/EDB=/FCB,~FC~~BC

：.^EDBs/CB,

BDBE

，＜DBE=NCBF,

~BC~而,

*/4DBE+NEBC=NCBF+NEBC,

：.1DBC=/EBF,

由也殷可得旦生，

BCBFBEBF

△EBF'sADBC,

：./DCB=/EFB="。,

•••点E在4FE的边FE上运动，

•:CF=BC,ZAC3=600.

・•・工CFB=NCBF=3U,

故/£FC=30。，ZFBA=90°,

作点C关于左的对称点C',连接C'E,

则NEFC=N£FC=30°,EC=EC',

故NC77J-90。，

当A,E,C三点共线时，EA+EC=AC,

当AC_LUF时，AC的值最小，

故满足A,E,C三点共线，且ACJ■。口时，E4+EC的值最小,

VACA.CF,

・•・四边形A8R7是矩形，

•*-AC=BF=ylAF2-AB2=V42-22=2V5，

故E4+EC最小值为2G.

故答案为：26

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等

边对等角，轴对称的性质，垂线段最短，两点之间，线段最短，矩形的判定和性质，勾股定理等.熟练掌

握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

【变式3-2］（2025・陕西•模拟预测）如图，在矩形ABC。中，AB=2,BC=4,。是对角线AC的中点，E

是边8C上的动点，连接OE.以。E为斜边作直角三角形OFE,使点尸在OE的左侧，旦NOEF=ZACB,

连接8尸，则8户的最小值为.

【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，取中点M，连接MF,过

3作交直线”产于N,则NA8C=NOMC=9()。，

1OFOF

CM==二AC=2,再证明.0庄s^M/C,得到­=二，NFOE=NMOC，即可证明△FOM^EOC,

2OMOC

得到/OM/=NMCO,确定点尸的运动轨迹为定直线MN,当F运动到点N时，BF=BN最小,最后证明

△BMNs^CAB,得到婴=驾，代入计算即可.

BCAC

【详解】解：取8C中，点:M,连接0W,MF,过。作物V_LMF交直线”〃于N,

,AC7AB2+BC?=也+42=26，ZABC=90°,

•••。是对角线AC的中点，

:.OM是V48c的中位线，

：.0M=-AB=[,OC=LAC=亚,CM=BM=-BC=2,OM//AB,

222

Z4BC=ZOMC=90°,

•••以OE为斜边作直角三角形O尸E,使点尸在OE的左侧，且N0EF=4CB,

；・Z0FE=Z0MC=9()0,

・•・QFES&0MC,

OFOF

••7777==，4F0E=4M0C,

OMOC

工/FOE-/MOE=/MOC-4M0E,ZFOM=ZCOE,

:•肝OMs&EOC,

・•・COMF=4MC0,

•・•点M和NMCO固定不变，

:.点F的运动轨迹为定直线MN,

・•・当尸运动到点N时，BF=BN坡小,

*：20MF=AMCO,NOMF+/BMN=90。,NNBM+NBMN=巩)。，

/.AOMF=ZMCO=4NBM,

•・•ZACB=NNBM,ZABC=4BNM=90。，

:.4BMNsACAB,

.BNBM

~BC=~AC，

BN2

'丁"丽，

・•・BN=—,

5

，分,的最小值为BF=BN=—,

5

故答案为：史.

5

【变式3-3］（2025・陕西西安•二模）如图，已知矩形八BCD,AB=2,4）=4,E,尸分别为AD,8C边上的

动点，且研=2AE,将四边形AB在:沿EF翻折到四边形EH7G,则C”的最小值为.

G

【答案】4夜一4/T+4及

【分析】延长BAHS交F点。，则△Q4Es/\o8尸，那么（M=2A3=4,在Rt408。中，由勾股定理得

OC=yiOB2+BC2=472»在中，由三边关系即川-求解.

【详解】解：延长84,"G交于点。，连接。区OC、CH

由沿打翻折可知直线石户经过点。，

•••四边形"CD是矩形，

AAD//BC,Z4BC=9O°,

，AOAE^OBF，

,OAAE]

•.—=—=一,

OBBF2

：.OB=2OA,

/.()I3=2AI3=4,

••・在RtaOBC中，odk+BC。=4五,

由诩折得到：OH=OB=4,

:・CHNOC-OH=4丘-4,

:.当点。,CH三点共线时，CH取得最小值为4&-4，

故答案为：40-4.

【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是

解题的关键

题型四：相似三角形中的动点问题与函数图像问题

例4.如图1所示，在矩形A3C。中，动点。从点8出发，沿6->Cf£>的路径运动，当点户到达点。时

停止运动.过点户作P。交A。于点Q,设点尸运动的路程为x,DQ=y,已知y关于x的函数

【答案】B

【知识点】动点问题的函数图象、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合

【分析】本题考查动点的函数图象问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，由图象可知8c=3,6=2,

分点尸在8c上和点尸在CO上，两种情况进行讨论求解即可.

【详解】解：由图象可知，当点?与点3重合时，此时点。与点A重合，DQ=AD=3,

当点尸与点C重合时，此时点。与点。重合，此时x=3,y=0,即：8c=3,

当点尸与点。重:合时，x=5,故CQ=5-BC=2,

①当点产在用C_L时，此时四边形c»QF为矩形，

团"2=CP,

回当y时，即：DQ=CP=g,

JJ

|Q

团x=BP=BC-CP=3—上=2,

33

②当点2在。。上时，如图：

则：ZC=ZD=90°,

团PQ_L3P,

团NBPQ=90。，

0/BPC=NPQD=90°-4DPQ,

回△8C7>s/。。，

CPBC

团---=---,

DQPD

0BCDQ=CPPD,

^CP=x-BC=x-3,

^DP=CD—CP=5—x,

国当尸L即:OQ」时，3xl=(x-3)(5-x),

333

解得：%=々=4；

故选B.

知识点总结

1.相似三角形的判定与性质：需掌握AA、SAS、SSS等判定定理，以及相似三角形对应边成比例、对应高

的比等于相似比等性质，为建立线段关系提供依据。

2.函数表达式的构建与图像特征：根据动点运动规律，用含时间，的代数式表示线段长度，结合相似关系

转化为函数解析式（如一次函数、二次函数），并理解函数图像的增减性、顶点等特征。

解题技巧

1.分段分析运动过程：动点在不同阶段可能形成不同的相似三角形，需按运动临界位置分段，分别列出

对应函数表达式，避免因过程遗漏导致图像错误。

2.结合函数性质求关键点：根据相似关系确定函数定义域，利月函数图像的顶点、端点等关键点，对应

动点位置，解决与图像趋势、最值相关的问题。______________________________________________________

［变式4一1］（202》新疆乌鲁木齐•模拟预测）如图I,矩形A月面虱区£）为其对角线，一动点P从。出发，

沿着Of8fC的路径行进，过点〃作尸Q_L6,垂足为Q.设点尸的运动路程为x,PQ-DQ为丫,丁与

x的函数图象如图2,当CT=2时，x的值为

图1图2

【答案】0,4或匹

5

【分析】本题主要考查了矩形和函数图象的结合，动点路径问题，圆的垂径定理，勾股定理，利用一元二

次方程解决几何问题等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并结合图形获取正确信息.

以点。为圆心，C。长为半径画圆，交BDT•点、交8c广点鸟，过点C作CMLBD交BDT点M,结合

图形和函数图象求出直角三角形的三边，然后分情况进行讨论，惜助于圆的性质和解直角三角形即可求解.

【详解】解：如图，以点。为圆心，。。长为半径画圆，交BDT点、R,交BC「点、P2,过点。作CM_L8O交

BD广点M，

根据题意，结合图形可知，CD=2,

由图2点（40）可得，假设4。长为〃，由勾股定理得,

BD2=BC2+CD2

即d2=（4-«+2）2+22

解得。

BD=TBC=4-T+2=I

:x2

根据等面积法可得CM=笔2=^-=7

DL）又3

T

由勾股定理得DM=y/CD2-CM2=

根据垂径定理得。R=2DM=浮

即此时工=①

5

vCE=CD=2,

结合图形可得此时x=4；

当点p与点。重合时，a=a>=2,此时x=o；

综上，x=0或x=4或工=52^11

5

故答案为：0,4或坦.

5

【变式4-2］（2025・湖北•中考真题）如图1,在VA8C中，ZC=90°.BC=4cm,AB=ncm.动点P,。均以

lcm/s的速度从点C同时出发，点尸沿折线Cf8fA向点A运动，点。沿边CA向点A运动.当点。运动

到点A时，两点都停止运动.△PCQ的面积S（单位：cm?）与运动时间，（单位：s）的关系如图2所示.（1）

【分析】本题考查动点的函数图象，相似三角形的判定和性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的

关键：

（1）观察图象可知，当f=4时，点P与点8重合，得到CP=G2=4,利用直角三角形的面积公式进行计算，

求出机的值即可；

（2）根据图象当f=10时，5=10,此时CQ=10,8P=10—8C=6,过点P作PO_LAC,根据面积公式求

出PD的长，证明AAOPSAACB,列出比例式求出的长，进而求出4B的长即可.

【详解】解：（1）观察图象可知，当，=4时，点尸与点〃重合，

•・•动点P,Q均以lcm/s的速度从点C同时出发，

：.CB=CP=CQ=4cm,

*/ZC=90°,

・・・"i=gcPCQ=gx4x4=8；

故答案为：8；

（2）由图象可知,当1=10时,5=10,此时CQ=1。,叱=1。-8。=6,

过点尸作PD_LACF点。，如图：则：NPDA=90。.

工PD=2,

•//PDA=ZC=90°,NA=NA,

••4ADP^^^ACB,

.AP_PD_2_\

"~AB=~BC=4=2

：.AP=-AB,

/.『为AB的中点，

/.AB=2BP=12;

故答案为：12.

【变式4-3](2024・四川南充•一模)如图1,在VA8C中，N8AC=72。，动点。从点A出发,沿折线Af3fC

匀速运动至点C停止.若点尸的运动速度为Qcm/s,设点P的运动时间为f(s),4尸的长度为y(cm),)，与1

的函数图象如图2所示，当AP恰好平分/B/AC时/的值为s.

【分析】本题主要考查了图形与函数图象间的关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识点，

正确理解两种图形间的关联信息是解题的关键.根据函数图象可得A8=8C=6cm，作NBA。的平分线AP,

/%。=72。可得/8=/%。=36。，进而得到△APCsZi8AC,由相似求出8尸的长即可.

【详解】如图，当AP恰好平分N84C时，连接心，

3

由图2可得AB=BC=4x—=6cm,

•.•N84C=72。，AB=BC,

:"BAC=NC=M.

.*.ZB=36°,

A尸平分N84C,

...NBAP=APAC=NB=36°,

：.AP=BP,ZAPC=72o=NC,

AP—AC=BP,

VAPAC=ZB,ZC=ZC,

.^SPC^BAC,

AP-pc

AP2=ABPC=6（6-AP）,

解得AP=3石-3（负值舍去）,

，BP=3后-3,

，一处军2=2+26（s）

»•

2

故答案为：2+26.

题型五：相似三角形中的动点问题与几何综合问题

例5.如图，正方形人BC。的边长为5,点E是边A。上的一个动点，连接Cf,将线段CE绕点E按逆时针

方问旋转90。得到线段所，连接断交CE于点P.

图1图2

⑴如图1,求证：NDEF=NDCE；

(2)如图2,当跖经过点。时，求证：点石是AO的中点;

np

⑶当=时，求方二的值.

PF

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3糕的值为9或会

【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性

质综合

【分析】(1)由旋转性质可知ZCEF=90°，则NOEP+NCEDnW,又四边形ABCD是正方形，则？090?,

故有ZDCE+ZCED=90°,然后通过同角的余角相等即可求证;

（2）作/G_LA力交八。的延长线于点G,证明aC。入△EG"（AAS）,则有反；=C。，FG=ED,又四边

形ABCD是正方形，所以AB=CD=AD,NA=90。，然后有/FDG=NOFG=NADB=45。，故FG=QG=££>,

最后由线段和差即可求证；

（3）过点/作分别交8C,A£>的延长线于点，，Q,则N8//=90°,证明四边形6Q”是矩

形，则。。=C〃，同理可得AC。回△E0F（AAS）,则EQ=CD=A。，故有OQ=AE,设OQ=AE=x,

贝lJDQ=C"=x,BH=5+x,FQ=5-x,FH=lO-x,在Rt△尸“5中，BH2+PH2=HF2，

（5+x）2+（io_x）2=（3jB『，解得$=1,修=4,作BT_LCE于点7,然后分两种情况求解即可.

【详解】（1）证明：由旋转性质可知/CEF=90。，

^ZDEF+ZCED=90°,

回四边形ABC。是正方形，

回？D90?,

^ZDCE+ZCED=90°,

EZDEF=/DCE；

（2）证明：作/G_LAO交A。的延长线于点G,

图2

由(1)得NDEF=NDCE,

^FGIAD,

0ZFGE=9O°,

0Z4DC=9O°,

同NFGE=NADC,

^CE=EF,

HACD£^AEGF(AAS),

0EG=CD,FG=ED,

团四边形ABC。是正方形，

^A13=CD=AD,ZA=90°,

0£G=AD,ZADB=45°,

^^FDG=ADFG=ZADB=45°,

0FG=DG=ED,

◎AD=EG=ED+DG=2ED,

⑦点E是AD的中点;

(3)解：如图，过点尸作F”_LBC分别交8C,4。的延长线于点〃，Q,则"”产=90。,

^AB=CD=AD,AD//BC,ZADC="CD=90°,

@ZACF=ZBHF=9()°,

0NBHF=ZLDCH=Z.CDQ=90°,

回四边形8。”是矩形，

^]DQ=CH,

同理可得：ACDE^EQF(AAS),

团EQ-CD=AD,

回EQ—ED=AD—ED,

^IJQ=AEt

DQ=AE=x,plljDQ=CH=x,BH=5+x,FQ=5-x,FH=\0-x,

在RlAJT汨中，BH2+FH2=BF2^(5+x)2+(10-x)2=(3x/i3)\解得耳=1,电=4,

作B7J_CE于点T,

当R=1时，DE=4,则CEny/DE-Cb2=,42+52=屈，

0ZBCT+ZECD=9()0,ZDEC+ZECD=90°,

田ZBCT=/DEC,

0ZCTC=Z£DC=9O°,

△CDES^BTC,

BTBC

0=——,

CDCE

BT5

0T=W,

0Br=—VJT,

41

同理“J得Z\BPTSAFPE,

25rrr

回叽更二五”=”，

~PF~~EF~>/41-41

当二=4时，DE=I>也CE=JDE2+CD，=\/l2+52=>/26»

同理△COESQJJTC,

BTBC

0-—=-—,

CDCE

BT5

『裙

0^r=—V26,

26

同理可得ABPTS^FPE,

255Z

团?887=26二25,

~PF~~EF~V26-26

，