高二数学开学摸底考试卷01（考试范围：人教A版必修第一册+必修第二册）解析版

2024.2025学年高二数学开学摸底考试卷01

（考试时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填

写在答题卡上；

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；

4.测试范围：必修第一册+必修第二册全册；

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（23-24高二下•湖南长沙•开学考试）已知集合力={1,2,3,4},AUB={1,2,3,4,5},A（\B={1,2},

则6=（）

A.{1,2,3}B.{1,2,4}

C.{1,2,5}D.{2,3,5}

【解题思路】由于得1,2WB,同时力U8={1,2,345},且50A,得出5£5,即可求解8.

【解答过程】由已知：集合4={1,2,3,4},4UB={1,2,3,4,5},且An8={l,2},

且可得：1,2,5WB,且3,4£8,

所以8={1,2,5}.

故选：C.

2.（5分）（23-24高二下•辽宁万溪•开学考试）若复数z满足/=i,则复数z的虚部为（）

3+2Z

3333

A.一：B.一mC.：D.去

【解题思路】

利用复数的四则运算，求出复数2,得复数的虚部.

【解答过程】

由忌"贝物=3i+2iz,即2=^=^^^=.+）其虚部为*

故选：c.

3.（5分）（23-24高二下.安徽六安•开学考试）设Q>0,b>0,则“噂26”是“痴二6”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】

根据基本不等式以及必要不充分条件的定义求解.

【解答过程】Va>o,b>0,当且仅当Q=b时等号成立，

若、领>6时，手>>[ab>6,则>6=>乎>6,

即，，?>6”是“房>6”的必要不充分条件，

而等之6无法推出房26,

所以，誓>6”是“房>6”的必要不充分条件.

故选：B.

4.（5分）（23-24高二下.四川雅安.开学考试）某学校开展关于“饮食民俗”的选修课程，课程内容分为日

常食俗，节日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6个模块，甲、乙两名学生准备从中各选

择2个模块学习，则甲、乙选修的模块中至少有1个模块相同的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

3355

【解题思路】记6个模块分别为A8,C,D,E,尸，求出总的基本事件数，然后求出甲、乙选择都不同的基本事

件数，利用间接法求概率.

【解答过程】记6个模块分别为4B,C,D,E,A

则甲从中选择2个共有4B,AC,/W,AEMF,BC,8D,8E,BF,CD,CE,CF,DE,。居E尸共15种不同的选择，

而甲每种的选择中乙与甲都不同有6种，

所以甲、乙各选2个共有15x15种不同选择，而甲、乙选择都不同有15x6种不同选择，

所以甲、乙选修的模块中至少有1个相同的概率尸=1一奥二三

故选:C.

5.（5分）（23-24高二下•湖南长沙•开学考试）设函数/（¥）=2042%一9+方则下列叙述正确的是（）

A.f（x）的最小正周期为27r

B./(%)的图象关于直线无=点对称

c./1(%)在E，n]上的最小值为-V5+]

D./(%)的图象关于点对称

【解题思路】根据正弦型函数的周期性、对称性、值域逐项判断即可得结论.

【解答过程】对于AJQ)的最小正周期为:=71，故人错误；

对于B,vsin(2x-^-^=-^±l,所以直线％不是/'(%)的图象的对称轴，故B错误；

对于C,当时,2%-ge停浮»•••sin(2x—€一'2sin9%-?W卜+.

.・./(幻在片T上的最小值为一“放c错误；

对于D,=2sin(2xg—f+★”/(%)的图象关于点传,习对称，故D正确.

故选：D.

6.(5分)(23-24高一下•天津•开学考试)已知△力BC三个内角4,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说

法正确的有()

①若△是锐角三角形，贝Usin/>cosF

②若acos/1=bcosB,则448。是等腰三角形

③若bcosC+ccosB=b,则4是等腰三角形

④若A/IBC是等边三角形，则七二一^二三

cos/lcosBcosC

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解题思路】利用诱导公式及正弦函数的性质可判断①，由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判

断②，由正弦定埋化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断③，利用等边三角形性质可判断④.

Bn

A+>-

2

nnn

4则oA

o<<-<--<<-

【解答过程】对于①，因为aABC是锐角三角形，所以222

n

o<oc<-

2

又V=sinx•在(0,；)上单调递增，所以sin/>sinQ-B),即sirU>cosB,故①正确;

对于②，因为acosA=bcosB,由正弦定理可得sim4cos力=sinBcosB,

即sin2A=sin28,又A,BW(0m),则2428e(0,2n),

所以24=28或24+28=m所以力=B或A4-B=-,

所以△力是等腰三角形或直角三角形，故②错误；

对于③，因为bcosC+ccosB=b,由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinB,

即sin(8+C)=sin8,所以sin(ir-4)=sinB,即sinA=sinB,

因为4BW(0,TT),所以4=B或A+B=TT(舍去)，所以△4BC是等腰三角形，故③正确;

对于④，由△4BC是等边三角形，所以力=8=C=g,a=b=c,

所以急=忌=短故④正确.

故选：C.

7.(5分)(23-24高一下.浙江温州.开学考试)已知函数/l(X)是定义在R上的奇函数，若Va/6[0,+8),

且a工b,都有如若改<0成立，则不等式tf(£2)一的+1)f(t+2)<0的解集为()

A.(-oo,-l)U(2,+oo)B.(-1,0)U(2,+oo)

C.(-1,2)D.(-oo,-l)u(0,+co)

【解题思路】

利用构造函数法，根据函数的单调性、奇偶性来对不等式进行求解，从而确定正确答案.

【解答过程】设g(x)=x/a),由于函数/(%)是定义在/?上的奇函数，

所以g(-幻=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以g(x)是偶函数，

由于Va,bW[0,+8),且axb,都有"(?二；/("<0成立,

所以g(x)在[0,+8)上单调递减，则g(x)在(-8,0)上单调递增，

由£/(严)一《+1)/(£+2)<0可知£工0,

①当£>0时，有尸/•(£2)一(£+2)/«+2)<0,尸八尸)vQ+2)/(£+2),

即gQ2)Vg(t+2),而£2>0,t+2>0，

所以/>t+2,t2-t-2=(t-2)(t+1)>0,解得t>2.

②当C<0时，有12f(产)一«+2)/«+2)>o,t2f(t2)>(t+ZVCt+Z),

即g(£2)>g(t+2),所以

\VU

即「或代北尸

不等式组f+2<-t2的解集为空集，

不等式组的解集为(一1,0).

综上所述，t的取值范围是（一1,0）U（2,+8）.

故选:B.

8.（5分）（23-24高一下•天津南开•开学考试）如图所示，正方体的棱长为1,线段8也上

有两个动点E,凡且EF=%则下列结论中正确的有（）

1BE；

②三棱锥A-8E"的体积为定值；

③A4E尸的面积与△BE尸的面积相等；

④二面角/-EF-4的正切值为夜.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解题思路】要判断4C1BE,转化为判断4cl平面BB1D3,即可判断①，根据题意公式，判断底面积和

高是否为定值，判断②，直接判断点4和8到直线的距离，即可判断③，首先构造二面角的平面角，再利

用几何关系，即可.求解正切值.

【解答过程】①如图，连结力C,BD,交于点。，因为4718。，8反，平面A8C。,

ACu平面48CZ）,所以BBilAC,BDCBBLB,且8。,8区u平面班。］。,

所以4cl平面BEu平面所以力C1BE,故①正确；

GB\

②由以上证明可知，点A到平面BBWW的距离为力0=去的面积为*人叫=；,所以三棱锥A—

BEF的体积为；x；x$=S故②正确;

34224

③如图，&GCiBiDi=M,连结.4名,4。1，AB1=ADlf则AM_L/。：则点A到EF的距离是HM=

j囹+12吗

④二面角4-EF-&,即为二面角力一当。1一4,

由41Mla。1，力MlBiDi，则N4MAi是二面角力一%。1-4的平面角，

tan乙4MAi==V2,故④正确.

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

9.（5分）（23-24高二下•湖南长沙•开学考试）在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000

人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100

分）作为样本进行统计，样本容量为“按照[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]的分

组作出频率分布直方图如图所示，其中，成绩落在区间[50,60）内的人数为16.则（）

A.图中x=0.016

B.样本容量九=1000

C.估计该市全体学生成绩的平均分为71.6分

D.该市要对成绩前25%的学生授予“优秀学生”称号，则授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为

77.25分

【解题思路】根据频率之和等于1，即可判断A；根据频率，频数和样本容量之间的关系即可判断B；根据

频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C；根据题意算出25%分位数，再根据频率分布直方图的性质,

即可判断D.

【解答过程】对于A,因为（x+（L030+0.040+0.010+0.004）x10=1,解得第=0.016,故A正确；

对于B,因为成绩落在区间[50,60）内的人数为16,

所以样本容量兀=16+（0.016x10）=100,故B不正确；

对于C,学生成绩平均分为0.016x10x55+0.030x10x65+0.040x10x75+0.010x10x85+

0.004x10x95=70.6,故C不正确；

对于D,设授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为y,

由于[90,100）的频率为0.004x10=0.04,[80,90）的频率为0.010x10=0.10,[70,80）的频率为0.040X

10=0.40,

则C.04+0.10=0.14<0.25,0.04+0.10+0.40=0.54>0.25,所以y6[70,80）,

则10x（0.004+0.010）+（80-y）x0.040=0.25,解得y=77,25,

所以大约成绩至少为77.25的学生能得到此称号，故D正确.

故选：AD.

10.（5分）（23-24高一下•黑龙江大庆•开学考试）已知关于x的不等式Q%2+b%+c>0的解集为{x|x<-2

或x>3},则下列说法正确的是（）

A.a>0B.关于x的不等式bx+c>0的解集是{x|xV-6}

C.a+b+c>0D.关于x的不等式c/一bx+av0的解集为卜卜v或

【解题思路】根据一元二次不等式的解集可确定a>0,可判断A；用一元二次方程根与系数的关系，用a表

示匕，c,代入不等式，从而判断BCD.

【解答过程】由关于x的不等式以2+必+（；>0的解集为卜|工<一2或%>3},

知一2和3是方程a/+以+c=0的两个实根，且Q>0,故A正确；

根据根与系数的关系知：-2=-2+3=1>0,£=-2x3=-6V0,

aa

所以b=—a,c——6a,a>0,

选项B：不等式+c>0化简为4+6V0,解得：x<—6,

即不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6},故B正确：

选项C：由于a>0,故a+b+c=a—a-6a=-6aV0,故C不正确；

选项D：不等式ex?-bx+aV0化简为：6x2—x—1>0,

解得：工6卜卜〈一]或%>m，故D正确;

故选：ABD.

11.(5分)(23-24高二上•黑龙江大庆•开学考试)设函数/(x)的定义域为R,/(%+1)为奇函数，f(x+2)为

偶函数，当％e[1,2]时,/(X)=ax2+b.若/(0)+/(3)=6,则下列关于/(%)的说法正确的有()

A./(%)的一个周期为4B.%=6是函数的一条对称轴

C.xe[1,2]时，fW=2x2-2D./(甯=1

【解题思路】由/Q+1)为奇函数，/。+2)为偶函数，可求得了(无)的周期为4,即可判断函数/(幻的对称

性，由f(x+l)为奇函数，可得/(1)=0,结合/(0)+/(3)=6,可求得a,b的值，从而得到工€[1,2]时，

f(x)的解析式，再利用周期性从而求出/(等)的值.

【解答过程】对于A,7f(x+1)为奇函数，f(1)=0,且/(%+1)=-/(-x+1),函数“外美于点(1,0),

•.•/•(>+2)偶函数，「./'(尤+2)=,晨一工十2),函数/'(X)关于直线工=2对称，

.・./[(X+1)+1]=-/[-(X+1)+1]=-/(-x),

即/(%+2)=一/(一吗，二f(r+2)=f(x+2)=-/(-X),

令t=-x,则/(£+2)=-/«),,••f(t+4)=-f(t+2)=f(t),

f(x+4)=/(%)>故/(x)的一个周期为4,故A正确；

对于B,则直线x=6是函数/(%)的一个对称轴，故B正确；

对于C、D,,・•当％W[1,2]时，/(x)=ax24-b,

:./(0)=/(-1+1)=—/(2)=—4a-b,/⑶=/(I4-2)=/(-1+2)=/(I)=a+b=a+b,

又/(0)+f(3)=6,.3a=6,解得a=-2,

/(I)=a+b=0,•-b=-a=2,

二当xw[1,2]时，f(x)=-2x2+2,故C不正确；

...f管)=屋)=-/(j)=-[-2x(|)2+2]号故D正确.

故选：ABD.

12.(5分)(23-24高三下•山东•开学考试)在四棱锥S-力BCO中，.4BCD是矩形，力。1SD/SDC=120。,§。=

CD=2BC=2,P为棱SB上一点,则下列结论正确的是()

A.点C到平面必。的距离为V5

B.若SP=PB,则过点4。,P的平面。截此四楂锥所得截面的面积为弓

C.四棱锥外接球的表面枳为1711

D.直线4P与平面SCD所成角的正切值的最大值为日

【解题思路】对于A,首先证明AD1面SDC,由此即可进一步通过解三角形验算；对于B,准确画出截面,

得截面四边形4PQD是以AD为下底、PQ为上底，DQ为高的直角喇形，由此即可验算；对于C,得出r=2,

其中SCD外接圆半径，结合R=卜+(学可得外接球半径，进而即可验算；对于D,由曲，面SDC,

即可判断.

【解答过程】如图，

对于A,因为力。15。,4。1。。，又5£)口。。=/),5。,。。匚面5。。，

所以4D1面SDC,

所以点4到平面SOC的距离为4D=BC=1,

又因为2S0C=120。,SO=CO=2,

所以点C到平面S40的距离为当X2=6,故A正确；

对于B,因为SP=P8,所以点P为棱SB的中点，

取SC中点为Q,连接PQ,DQ,可得平面力PQ。即平面a截此四棱桂所得截面,

且由于Q是SC的中点，点P为棱S8的中点，

所以在△SBC中，PQ是ASBC的中位线，则PQ=T8C=%PQi/BC,

又因为四边形4BCD是矩形，则BC〃AD,所以PQ/4D,

因为40面SOC,

AD(XffiSDC,QCu面SOC,

所以四边形4PQ0是以为下底、PQ为上底，DQ为高的直角梯形，

因为S0=C0=2,在等腰三角形SCO中，QD1BC,且Q0平分N/WC,

则Q0=CD-cos^DC=2x1=1,

则平面a截此四楂锥所得截面的面积为；x(1+0x1=^,故B错误；

对于C,又因为乙SOC=120°,SD=CZ）=2,所以SC=2cos30°+2cos30°=2百，

所以2r=等=%即r=2,其中r为△SCD外接圆半径，

Sinz-SDCv3

2

因为力。1面SDC,

所以四棱锥S-”8外接球的半径为A=卜+（3y=卜+（丁=当，

所以四棱锥S-48CD外接球的表面积为17m故C正确；

对于D,因为面SDC,所以当点P与点S重合时，直线”与平面SCD所成角的正切值的最大值白=金

V33

故D正确.

故选:ACD.

第n卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）（23-24高一下•四川成都•开学考试）若（2-i）-z=3i,则z的共枕复数为一1一少.

Ob

【解题思路】化简复数Z,可得2的共桅复数.

【解答过程】依题意，2=/=^h=-|+力

所以Z的共规复数为一：一自.

故答案为:-1-^i.

14.（5分）（23-24高二下•河南信陌开学考试）已知sin一§+V3costz=贝Usin（2a+3）的值为一：.

【解题思路】

由两角和差的正弦公式及辅助角、二倍角公式进行化简求值即可.

【解答过程】因为sin（a-f+6cosa=/化简得sin（a+9=：

所以sin（2a+'）=sin12（a+—3=—cos2（a+=­[1—2sir»2（a+g）]=­1—2Q）=—

故答案为：

15.（5分）（23・24高二下.河北.开学考试）已知函数f（x）=W，若S=f（O）+f（募）+f（W）+…

+/（短）+/⑵，则S=品.

【解题思路】由解析式推出/（%）+f（2-x）=l,再倒序相加即可.

【解答过程】因为/（x）=忌，所以“2—幻二忌二岛

所以/（%）+f（2-x）=1,

由S=/（0）+/岛）+f（急）+•••+f（翳）+，（2），

则S=f⑵+f（翳）+/（翳）+…+f岛）+f（°），

所以25=4049x1,贝1"=等

故答案为：竽

16.（5分）（23-24高三下.上海•开学考试）海边近似平直的海岸线上有两处码头4、氏且48=3.23km.

现有一观光艇由B出发，同时在A处有一小艇出发向观光艇补充物资，经测量其速度为观光艇的2.13倍，在

M处成功拦截观光艇，完成补给.若两船都做匀速直线运动，观光艇行驶向海洋的方向任意的情况下，小艇

总可以设定合适的出发角度，使得行驶距离最小，则拦截点M距离海岸线的最远距离为1.95m.（结果保

根据给定条件，利用余弦定理求出cos4再借助函数模型求出最大值即得.

【解答过程】

设8M=x,则AM=2.13BM=2.13%,从而1.13%V3.23V3.13%,即经VxV三,

313113

22（）2

设=则cosJ=3.23+X-2.13X32335369x

2X3.23x200%64600

2

因此xsin。=Vx（l-cos^）=J/-绘-黑守=J12509661614117884187104329

————%4+-—X72———-

4173160000646000040000

上一、八胃加后A7MM-日、@27463357382092000074633573820921865839345523.八

有一次函数、复合函数性质，将仁一161624828。。】2。。。。一16】624828。。12-4。4。62。7。。。3代入一一^一

1250966161A,17884187104329

--------X4+-------X29-------

4173160000646000043000

计算得%sin。«1.95m,

所以拦截点M距离海岸线的最远距离为1.95m.

故答案为：1.95m.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17.（10分）（23-24高一下•河北衡水•开学考试）已知集合4=（x\2a-l<x<a+1],B={xI-1<x<2].

（1）若a=-1,求AUB；

（2）若“xe8”是“％e4'成立的必要条件，求实数a的取值范围.

【解题思路】（1）根据集合的并集运算直接得结果；

（2）根据必要条件可得集合ABF勺关系，对集合A分类讨论即可得结论.

【解答过程】（I）因为当。二-1时，A=（xl-3<x<0）,B={xl-l<x<2）,

所以4U8={x|-3<xW2}.

（2）因为七G是“xG4”成立的必要条件,所以4cB,

当力=0时，2Q-1NQ+1,a>2,满足力q8：

当力H0时，aV2,

a<2

因为4cB,所以一1工2Q—1，解得0<a<1；

,2>a+1

综上，实数。的取值范围为0W。&1或。之2.

18.（12分）（23-24高一下•广东湛江•开学考试）在△力8C中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,

QacosB+bcosA_V3（a2+b2-c2）

c2absinC"

⑴求c；

（2）若b=3,c=求△力8c的面积.

【解题思路】（1）由余弦定理得到吧竺±*=叵*，再由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到

csine

tanC=V3,即可求解；

（2）由（1）及b=3,c=A,利用余弦定理，列出方程求得a的值，结合三角形的面积公式，即可求解.

【解答过程】⑴解：由余弦定理得安=cosC,

acosB+AcosN_b(a2+b2s2)acosB+bcosA百COSC

c7nhKinC'c.yinC

百

又由正弦定理得sir>4cosB+sinBcos4sin(4+B)_cosC

sinCsinCsinC

即当=怨£,可得百，又因为Cw（0m）,可得C=J.

sinCsinC3

（2）解：由（1）知C=~由余弦定理知cosC==

32ab2

将6=3,c=VT5,代入化简得/一3a-4=0,解出a=4或a=-1（舍去），

所以△ABC的面枳S=-ab-sinC=-x4x3x—=36.

19.（12分）（23-24高一上.山东青岛.期末）已知函数/（%）=sin（3X+0）（3>0,<；）的最小正周期

为2,f。）的一个零点是"

（1）求/'（%）的解析式；

（2）当之£[0,771]0>0）0寸，f（%）的最小值为一/求m的取值范围.

【解题思路】

（1）根据题设中周期求得3,再由零点条件可求3,即得函数解析式；

（2）由工的范围求出整体角心一：的范围卜5m一部结合正弦函数的图象，依题意须使irm—三詈，解

之即得m的取值范围.

【解答过程】(1)由题知7=e=2,所以3=iT.

又因为/(J=sing+0)=0,所以、+0=/nr,kWZ,即：(p=—+kn,ZcGZ

又一3V0V；，则0=一3，

所以f(%)=sin(TTX-J

因为/(%)=sin(nx—J,xG[0,m],令t=TCX-江卜加

因为y=sint在卜,nm一,（6>0）上的最小值为一手如图,

可知须使—解得mW；,

663

所以m的取值范围是（0彳].

20.（12分）（2024高三・全国•专题练习）某工厂对生产的一批零件的尺寸进行测量，共计测量2000（）个,

测量所得数据如下频率分布直方图所示：

（1）求图中a的值以及尺寸在［70,80）内的零件数量;

（2）求这批零件尺寸的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中间值代替，结果精确到0.1）；

（3）现采用分层抽样的方法，从尺寸在［40,50）和［70,80）内的零件中随机抽取6个，再从这6个零件中任取2

个，求至少有1个零件的尺寸在［40,50）内的概率.

【解题思路】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程求得a=0.020,进而求得尺寸在［70,80）内的零件

数量;

（2）根据频率分布直方图的平均数和中位数的计算公式，即可求解;

（3）根据题意，得到尺寸在［40,50）内的有2个，记为48,尺寸在［70,80）内的有4个，利用列举法求得基

本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典撷型的概率计算公式，即可求解.

【解答过程】

解：由频率分布直方图的性质，可得:

(0.005+0.010+0.015+0.030+a+0.015+0.005)x10=1,解得a=0.020,

所以尺寸在［70,80）内的零件数量为20000x0.020=4000.

（2）解：由题意得，这批产品尺寸的平均数为:

%=35X0.05+45x0.1+55X0.15+65X0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=66.5,

由频率分布直方图，可得前三个小矩形的面积和为(0.005+0.010+0.015)X10=0.3,

前四个小矩形的面积之和为(0.005+0.010+0.015+0.0.030)x10=0.6,

所以数据的中位数为60+乎10x66.7.

（3）解:由题意得,尺寸在［40,50）内的有2个,记为4B,尺寸在［70,80）内的有4个,

记为C,D,E,F,任选2个,

所有的情况为B),(4C),Q4,D),(4E),(A,F),(3,C),(8,D),(8,£),(8,F),

(C,D),(C,E),(C,尸),(D,E),(D,尸),(瓦F),共15种,

其中满足条件的为(4B),(4C),其D),(A,E),(4,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),共9种，

根据古典撷型的概率计算公式，可得所求概率p=v='

21.(12分)(23-24高二下•浙江杭州•期末)如图，在三棱柱48C-4名的中，所有棱长均为2/4/4C=60°,

A^B=V6.

B

（1）证明：平面4遇CG1平面A8C.

⑵求平面84祖与平面的夹角的正弦值.

【解题思路】（1）取4c中点M,证明41M_LBM,再利用线面垂直、面面垂直的判定推理作答.

（2）利用（1）中信息作出平面8&当与平面48c所成二面角的平面角，再借助直角三角形求解作答.

【解答过程】（1）三棱柱48。一481G的所有棱长均为2,取/1C中点M,连接力iM,BM,则8M_L4C,

由AA^AC=60%得A/I/C为等边三角形，则

显然4M=BM=A/5,而4B=乃，则4M2+BM2=&B2,有18M,

又HCn8M=M,AC,BMu平面ABC,于是J