人教A版必修第二册高一数学下册：复数的乘、除运算

7.2.2复数的乘、除运算

【学习目标】1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算2理解复数乘法的交换律、结合律和乘

法对加法的分配律.

知识梳理

知识点一复数乘法的运算法则和运算律

1.复数的乘法法则

设zi=a+〃i,Z2=c+di(a,b,c,dWR)是任意两个复数,则ziz=3+bi)(c+"i)=3c—bd)

+(ad+/?c)i.

2.复数乘法的运算律

对任意复数Z|,Z2,Z3GC,有

交换律Z|Z2=31

结合律(Z|Z2)Z3=Z1J[Z2Z3)

乘法对加法的分配律Z1⑵+Z3)=Z"2+Z]Z3

思考|z『=z2,正确吗？

答案不正确.例如,|i|2=l,而P=T.

知识点二复数除法的法则

设Z[=a+bi,Z2=c+di(〃，b,c,d£R,且c+l#。)是任意两个复数,

.，田aIbiacIbd,bc-ad..................

则&*())•

自我检测

l.(l+i)(2+i)=.

答案l+3i

解析依题意得(l+i)(2+i)=2+i2+3i=l+3i.

2.i是虚数单位，复数＞=________.

1—I

答案2-i

1-3(l-3i)(l+i)4-2i_

解析I=(lT)(l+i)=2=2-1.

3.复数z=i(-2-i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在第象限.

答案四

解析因为z=i(—2—i)=l—2i,

所以复数z对应的点在第四象限.

4.已知复数z五(i是虚数单位)，则|z|=.

答案小

解析团=7+^=③=|i+2|=小.

题型探究

一、复数代数形式的乘法运算

例1”算下列各题.

(l)(l-i)(l+i)+(-l+i)；

(2)(2-i)(-I+5i)(3-4i)+2i.

解(l)(l-i)(l4-i)4-(-14-i)=l-i2-14-i=l+i.

(2)(2-i)(-l+5i)(3-4i)+2i

=(-2+lOi+i—5i2)(3-4i)+2i

=(3+lli)(3-4i)+2i

=(9-12i+33i-44i2)+2i

=53+21i+2i=53+23i.

反思感悟(1)两个复数代数形式乘法的一般方法

①首先按多项式的乘法展开.

②再将i?换成一1.

③然后再进行复数的加、戒运算.

(2)常用公式

①(。+历)2="一"+2i/历(%(WR).

®{a+hi)(a-/?i)=d2+b\a,〃£R).

③(l±i)2=±2i.

跟踪训练1(1)计算：(l-i/一(2-3i)(2+3i)等于()

A.2-13iB.13+2i

C.I3-13iD.-13-2i

答案D

解析(l-i)2-(2-3i)(2+3i)=1-2i+i2-(4-9i2)=一13—2i.

(2)若兔数(l-i)(a+i)在兔平面内对应的点在第二象限，则实数〃的取值范围是()

A.(-8,|)B.(-8,—1)

C.(l,+8)D.(-L+8)

答案B

解析因为z=(l—i)(〃+i)=a+1+(l—a)i,

所以它在复平面内对应的点为(a十1,1—〃)，

又此点在第二象限,

〃+1<0,

所以解得〃＜一1.

l-d>0,

二、复数代数形式的除法运算

例2(1)如图，在复平面内，复数ZI，Z2对应的向量分别是后，OB,则复数”对应的点位

于()

A.第一象限B.第二象限

C.第二.象限D.第四象限

答案B

解析由复数的几何意义知，Z[=-2—i,Z2=i,

所以U=『=T+2i,

对应的点在第二象限.

⑺在管(1+01,(|-0：(3-4i)(2+2i)^

⑵”算：1+1+i4+3i,

工人....l+i,..l-i8(3-4i)(l+i)3.,8-2i(l+i)

解原式=[(l+i)2户口+[(1—4产币—'(3_hJ,=(2i)3.i+(一公)3.(—i)——_L

=8+8-16-16i=-16i.

反思感悟(1)两个复数代数形式的除法运算步骤

①首先将除式写为分式.

②再将分子、分母同乘以分母的共振复数.

③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.

(2)常用公式

®[=­i：

跟踪训练2(I)设复数z满足==i,则|z|等于()

1Z

A.lB，V2C.^3D.2

答案A

解析由产=1得1+2=«—2),

加-1+i(-l+i)(Li)—(1一讲.「一

即z一-n「(i+i)(i)=-2_一】,|Z|=L

⑵计算：修磊U平生

5,、7+i(7+i)(3-4i)25-25i

解①3+4i=(3+4i)(3—4i)=25-=1-L

小(-l+i)(2+i)-3+i(-3+i),i

-==—I—3i.

—i—i—i-i

三、在复数范围内解方程

例3在复数范围内解方程,F+6x+10=0.

解因为f+6x+10=f+6x+9+1=(x+3)2+1,

所以。+3)2=-1,

又因为i?=-1,

所以(%+3)2=i2,

所以x+3=±i,

即x=-3±i.

反思感悟当一元二次方程中/vO时，在复数范围内有两根且互为共税复数.

跟踪训练3已知1+i是方程f+bx+c=O(〃，c为实数)的一个根.

⑴求〃，c的值；

(2)试判断l-i是不是方程的根.

解(l)：l+i是方程/+班+。=0的根，且〃，。为实数，

・・.(l+i)2+〃(l+i)+c=0,即A+c+S+2)i=0,

》+。=0.b=-2,

解得

2+力=0,c=2.

(2)由(1)知方程为f—2x+2=0,

把l-i代入方程左边得(1一8一2(1-i)+2=0=右边,

即方程式成立.

，1—i是方程的根.

随堂练习

1.若“，i为虚数单位，且(a+i)i=b+i,则()

A.q=l,b=IB.«=­I,b=\

C.a=—1»b=-1D.a=l,b=—\

答案D

解析•.•(a+i)i=4i—1=b+i,

••a=\,b=—\.

2.复数(l+i)2(2+3i)的值为()

A.6—4iB.-6-41

C.6+4iD.-6+4i

答案D

解析(l+i)2(2+3i)=2i(2+3i)=-6+4i.

3.在复平面内，复数由+(1+小i＞对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案B

解析7^-+(l+V3i)2=|i+|+1-3+2^31

=一升(}+2⑹i,对应点在第二象限.

4.(1+i)2-1^4=.

答案-"3掌14

解析(1+产一会

3,14.

=-5+TL

5.方程f+3=0在复数范围内的解为x=.

答案±73i

小结

1.知识清单：

(I)复数的乘法及运算律.

⑵复数的除法运算.

(3)复数的综合运算.

⑷在复数范围内解方程.

2.方法归纳：分母实数化：配方法解方程：求根公式法.

3.常见误区：分母实数化时忽视i2=-l造成运算错误.

对点训练

基础巩固

1.复平面内表示复数z=i(—2+i)的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

解析z=i(-2+i)=-2i4-i2=-l-2i,

故复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于第三象限.

2.若z(l+i)=2i,则z等于()

A.-1-iB.-1+i

C.l-iD.l+i

答案D

短垢2i2i(-i)

解析z_14-i-(H-i)(l-i)-1+L

3.设2=言，则团等于()

A.2B.小C.^2D.1

答案C

翻新_3-i_(3-i)(l-2i)_l7.

解祈z」+2i—(]+2i)(|—2i)—G5h

所以|z|=，l

4.(l+i产一(1一讲°的值是()

A.-l024B.l024C.OD.512

答案C

解析・・・(l+i)2=2i,・・・(l+i)4=-4,

又(1—i)2=—2i,・・・(1—i»=—4,

.,.(14-i)20-(l-i)20=(-4)5-(-4)5=0.

5.若Z+3=6,z・T=10,则z等于()

A.l±3iB.3±i

C3+iD.3-i

答案B

解析设z=〃+砥a,〃£R),则z=〃-bi,

2a=6,

由题意得解得

/+/=10,b=\

・・・z=3±i.

6.设复数z=l+，ii,则z2—2z=.

答案一3

解析z2—2z=(I+也i)2-2(l+&i)

=1+(62+2的-2-2信=一3.

7.兔数串i为虚数单位)的实部等于.

答案一3

解析由题意可得2~p'=-3—i,—3—i的实部为-3.

8.已知关于x的方程加+工+。=0(〃，c£R)的一个根是2+3i,则“一。=

答案3

解析由题意，得a(2+3i)2+(2+3i)+c=0,

即一5a+2+c+(12a+3)i=0.

—5〃+2+c=0,

由复数相等的充要条件，得

12。+3=0,

所以a-c=3.

9.计算：

(~l+i)(2+i)

(1)JF；

(l+2i)2+3(l-i)

(一)；

⑶冏+^a

W…(―l+i)(2+i)-3+i

斛(1)--------p--------=J=一

(1+2讲+3(1—i)-3+4i+3—3i

(2)TH2+i

_i2.

-2+i-5十针

⑶筒+集济号卜喷&

=i6+i=-l+i.

,石皿(1—i)2+3(l+i)

10.已知复数z=1—片」-

⑴求复数z；

（2）若^+四+人=1—i,求实数。，〃的值.

一2i+3+3i3+i

解(l)z=-=2ri

_(3+i)(2+i)

5

=1+i.

⑵把z=I+i代入z24-«z+/?=1—i,

得(1+i>+a(l+i)+Z?=1—i,

整理得a+b+(2+a)i=l—i,

a+b=l,ci——3,

所以解得

2+a=-ib=4.

综合运用

11.若复数二^的实部与虚部分别为a,b,则点4（/3a）必在下列哪个函数的图象上（）

J1

x+1

A.），=2'B.y=—

C.y=|x|D.y=—2r—1

答案D

解析因为一：_i=（_3，i）（一1+i）=~2+^

所以〃=一|,力==所以A&—|），

把点A的坐标分别代入选项，只有D选项满足.

l+2i———

12.已知i为虚数单位，若复数z==,z的共物复数为z,则z・z等于（）

?525

A.lB.—1CjD.一/

答案A

解析依题意,得z-QT）Q+i）t

所以z=—i,所以z-z=i(—i)=l.

13.设复数z=-2+i,若复数z+：的虚部为江则〃=.

4

答案5

解析因为z=-2+i,所以z+J=-2+i+T7

z—2十1

-2—i21

=T+i+（_2+i）（—2—广一2+一二手

—12.4

一5十5八

4

所以b=j

「4口1+i-1

14.定义一种运算：/="/一儿.则复数

LcJj_23i.

的共挽复数是.

答案一l-3i

「1+i—I

解析,:'〜=3iU+i）+2=—l+3i,

L23iJ

・••其共独复数为一l-3i.

拓展探究

15.若一个复数