江苏地区一轮复习模拟题汇编：平面向量及其应用-2025年高考数学核心考点突破（含答案）

江苏地区一轮复习模拟题汇编：平面向量及其应用-2025年高考数学核心

考点突破

一、单选题

1.（23・24•江苏徐州•模拟预测）已知向量”3=（2,），若向书在向量［时上的投影向量为

1-

4,则75=（）

A.-1B.-2C.2D.1

2.（23-24•江苏扬州・模拟预测）若"=（-2,5）,'=（］，〃）共线，则实数〃的值为（）

_5

A.0B.2C.-5D.5

3.（23-24•江苏连云港•模拟预测）已知G为V48C的重心，线段力8上一点N满足方=4丽，

AM_

CN与4G相交于点则行一（）

3J_3

A.2B.5C.3D.4

4.（23-24・江苏徐州•模拟预测）已知向量“=夜），"=（-3,2,0）,则在。上的投影向量为

（）

,333行555Vp

4,4，~4-

A.\/B.、

(33(23正］

D.

C.

5.（23-24•江苏无锡•专题练习）如图所示，在正方形48co中，E为48的中点，/为CE的中点,

B.

1/21

一

-AB+AD-3A—B+-1AD

C.2D.42

6.（2024・江苏扬州•模拟预测）在V力3c中，反=2而，"为线段力。的中点，过〃的直线分别

—2—

与线段力因力c交于用2,且"一V'^2=AJC，则义=（）

112

A.6B.3C.2D.3

_2_i（>/>o）

+=fl?的左、右焦点分别为片、人,直线

7.（23-24•江苏无锡•阶段练习）椭圆C：g

/:3缶+y+m=°过片且与椭圆交于力、8两点。在8左侧），若曲+片玛）然=°,则c的

离心率为（）

23

--

C77

B.D.

8.（23・24・江苏南京•阶段练习）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆

心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在

如图所示的勒洛三角形中，已知力8=2,P为弧4c（含端点）上的一点，则而•正的范围为

)

[0,273]C.口，2]D.@4]

二、多选题

9.（23-24•江苏南京•阶段练习）已知向量”（2，T））=G%2）,则下列结论正确的是（）

A.若则川=7B.若则/〃=1

C.若2|”,=卜+,，则加=]D.若不在公上的投影向量是公，则〃?=3

10.（23-24•江苏淮安・模拟预测）在空间直角坐标系必产中，°（0,0,0）,力（-2,-1,1）,仅3,4,5）,下

列结论正确的是（〉

2/21

A=>/66

——一在

B.向量次与夹角的余弦值为6

C.点A关于z轴的对称点坐标为

1刀

D.向量。豆在（方上的投影向量为一历“

11.（23-24・江苏泰州•阶段练习）定义两个平面向量的一种运算=困斗而"，〃为认石的夹

角，则对于两个平面向量下列结论正确的有（）

A.a^b=b^）a

B2G侈标）⑤B

（万丽）+（万研=同2柯

D.若g=a，M），B=&/2）,则再乃一七必।

三、填空题

12.（23-24•江苏连云港•模拟预测）在V/l8c中，点M,N满足

丽=丽=标，而•而=4,而.前=5,丽•就=8,贝J"'卜,AB~AC=

13.（23-24•江苏南京•阶段练习）已知矩形力88满足"8=2,8C=1,若「，0分别是线段

团。上的动点，且〃力。=45。，则衲质的最小值为.

14.（23-24•江苏宿迁•模拟预测）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》

一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直

角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图①），类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图

形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，其中

DF=2FA,则SMBC的值为设AD=2/18+pAC

3/21

aC

四、解答题

15.（23.24•江苏徐州•模拟预测）已知向量"二（-1刈），石=（-2，1）.

⑴若力+B与3共线，求实数小的值；

（2）若C=G7,26）,且展=32+篇，求实数l°g”的值；

（3）若卜小相”4,求实数m的值.

16.（23-24•江苏宿迁•模拟预测）已知在V/18C中，M是边AC的中点，N是边力4上的点，且

AN=2NBAB=a,AC=b

4/21

A

（1）用£,［表示向量丽;

且力MJ.CV,求/历/C的大小

.x-

m=2si咤,5/5(cos'+sin—,〃

17.（23-24•江苏徐州•模拟预测）已知向量24

且函数/（劝=而•万.

八兀12

为€°，彳fM=-

⑴若L2」，且3,求SH1X的值；

（2）若将函数"X）的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的5,再将所得图像向左平移

n

4个单位，得到双幻的图像，求函数g（x）单调增区间.

5/21

71

18.(23-24•江苏南京•阶段练习)设与马是夹角为3的两个单位向量，如果

AB-3ei-2e2,BC-4e,+e2,CD=8e)-9e2,

(1)求证：A,B,。三点共线；

(2)试确定义的值，使22。+S，和弓+鸡,共线；

(3)若%，与244%，的夹角为锐角，试求/I的取值范围.

19.(23-24•江苏徐州•期末)在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，对于任意

相邻三点都不共线的有序整点列掰〃)：4,4,4,…，4与例，。；BlB2Bn其

中〃23,若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②44“工8/川，其中i=l,

2,3,…,"则称与3(〃)互为正交点列.

⑴求“⑶：4(1。4(4-1),4(6,1)的正交点列"3)；

⑵判断44)：4(0,0),4(1,2),4(0,4),4(1,6)是否存在正交点列3(4)?并说明理由：

(3)证明：〃eN,都存在整点列掰〃)无正交点列.

6/21

7Z21

答案:

1.D

a-b_\

【分析】根据投影向量的概念列式，化简得到m『一、结合口、日的坐标建立关于/的方程，解出

/值，进而求出小6的值.

a-b万石=1

【详解】根据题意，可得I*1引—4“，可得102—4,

r_21_J_f—__L

因为小5=0X2+(-2)”=-2/,I歼=0+4=4,所以7=a,解得-2,可得d/=-2r=l.

故选：D.

2.B

【分析】由坐标形式的共线定理直接计算即可得解.

【详解】因为“二(-2,5),1=(1/)共线,

-2〃—5=0=>n=——

所以2.

故选：B.

3.B

AG=-JB+-AC

【分析】利用重心及向量的中线公式得到33结合条件通=4疝及向量共线的推

论,即可求出结果.

~AG=-JD

【详解】如图，因为G为v/8c的重心，所以G在中线力。上，旦3

JD=-(AB+AC)~AG=-JB+-7C

又2，所以33

一一2一

设而=丸而,(0<%<1),所以^^=彳/^+^/0

---4/t—z—

AM=-AN+-AC

又荔=4旃，所以33又C,〃,N三点共线,

42A,13AM3

——+—=I2=----=-

所以33，得到5,所以4G5,

8/21

故选：B.

4.B

【分析】首先求出5一$,9一"）"，同，再根据投影向量的定义计算可得.

【详解】因为"="（-3,2,0）,

所以"k6,0A(-320)=(4,-1,V2)

所以G-">"=lx4+lx(-l)+VIx近=5同=jF+、+3j=2

G-/；）G5

_/--a=-a=油,可牌斗）

所以1一B在万上的投影向量为时一

故选：B

5.D

【分析】根据图形结合向量的线性运算求解.

【详解】因为E为48的中点，厂为此的中点,

HU1liaULU、1/1ULUULUUUU\qULDiLUU

所以

故选：D.

6.R

~AD=-~AB+-7C

【分析】作出图形，由友=2丽,可推得33,利用条件将其化成

11,

2AM=JP+—Jd--1=1

3A，再运用平面向量基本定理得264,解之即得.

【详解】

—•2―­1—.

AD=-AB+-AC

如图，因元=2而,则"-=2{AD-48）抑33（*）,

---I——2—2翔=万+看而

AM=-ADAP=—44B,方方-

又2,3/40=/MC,代入(*)得,

'AM=-JP+—AQ力“、-+—=1A=­

即264,因己“，。三点共线，故26%解得，3.

故选：B.

9/21

7.A

【分析】利用平面向量数量积的运算律可得M用=内用卜2,根据直线斜率求出倾斜角的余弦值,

.3

再由降基公式可得出11]-4,作M为垂足，结合几何图形列齐次式可得离心率.

【详解】因为@+而）亚=°，

所以

则府=1稻=巴故|眼巾用=2c,

由椭圆的定义知，।阳=2"2C,

itn

设N/耳6=。（。＜。＜%），则tan夕=一3赦，故2V＜'

电叱=-36

COS〃j

sin*+cos*=l,解得c°s,一（正值舍去），

所以

如图，作斗力入，"为垂足，由|力用=内尸」，得M为"尸2的中点,

sin£=M=£z£=2。C2

所以网…。

则2|偿|2c4,故。=/弓.

故选：A

8.A

【分析】利用向量数量积的运算量，结合1P°同即可求解.

【详解】取4c中点为°,连接0°,显然।尸。性工6],

10/2I

A

则方•玩=（而+函.（间+玩）=（所+函•（间-函

=~P0-OB=PO-\^2]

故选:A.

9.AB

【分析】选项A：利用向量与向量平行求解即可，选项B：利用向量与向量垂直求解即可，选项

C：利用遇到向量的模即平方求解即可，选项D：利用投影向量的求法求解即可，

【详解】对于A,因为所以2X2=(T)X〃?，所以m=_4,A正确；

对于B,因痴力，所以2x‘〃+(T)x2=0,所以〃?=1,B正确；

对于C,因为卜M+4所以3/-10鼠B+3庐=0,整理得3*-20m+47=0,

此方程无实根，C错误；

bd^2m-2z_(4m-4-2m+2'

--Izl20-_5-('―)-1_5-，5__

对于D,〃在。上的投影向量为回'，,若人在。上的投影向量

2M-2,7

--------=1.m=—,

是a,贝IJ5则2则D错误.

故选：AB.

10.ABD

【分析】依次结合向显模公式，结合向品的夹角公式，根据点对称的性质，结合投影向量的公式即

可求解.

【详解】解：A.点°(0，0。，十2-」)，8(345),

则方=(-丽=(3,4,5),而=(5,5,4),

|刘卜石墓中=病，故A正确；

11/21

cos〈双丽>=匕丝=:5=4

B.\OA\\OB\76x5亚6,故B正确;

C.点A关于z轴的对称点坐标为（2』」），故C错误;

D.08在。力上的投影向量为：\0A\\OA\5010,故D正确.

故选：ABD.

11.ACD

【分析】根据不❷石的定义对选项逐一分析，由此判断出结论正确的选项.

【详解】对于A选项，".忖网,叫所以人选项结论正确;

对于B选项，等式左边—右边力那卜i叱其中〃是行与E的夹角,

故当,等式不成立，所以B选项结论错误.

对于C选项，等式左边巾小「领2。+混。）=同2.向2=右边，故C选项结论正确.

对于D选项，根据C的分析可知“响2向-3而

=6+KXV2+£）~（“/2+必出）2=-々乂）［

=|矶•阿sin8

而।।为非负数.

故a®b=\x,y2-x2y\

所以D选项结论正确.

故选：ACD

12.13

=JB+-~BC

【分析】根据条件，利用向量的线性运算得到3,

''-•’”一-2，——*2.一■13—29

AN=AB+-BC—,———,BC=9,4B・BC==-

3,AC=AB+BC,再结合条件，建立方程得到22,即

可求出结果.

【详解】如图，因为瓦0=加=配，所以“，N为8C的两个三等分点，且

BM=MN=NC==BC

3.

12/2I

......-1—-----—2—

AM=AB+-BCAN=AB+-BC

因为33,AC=AB+BCy

AB-7M=JB?+-ABAC=4

所以3①，

疯.而二函+；丽.（而+|丽二"+而灰+£册2=50

ANAC=（AB+^BC）-（AB+BC）=AB1+^ABBC+^BC1=S^

比2=义而碇=—3,而2=2

联立①②③，解得22,

13.4&-4

【分析】以A为坐标原点，分别为X,轴建立如图所示的平面直角坐标系，设

Z5/1P=a（ae[0°,45°]）

然后表示出点RQ的坐标，从而可表示出".7砂，化简后结合基本不

等式可求得结果.

TI

设'。=。（。«0冏），则/

PB

tanzf^JP=tanaAB,知/8tana=2tana,所以产仁二匕11。），

由

13/2I

n

tanZDjp=tan(450-a)=DQ=/IDtan:一aJ=Ian——a

知14

Qtan

所以I

it1-tancr

APAQ=(2,2tancr)-tan——a

14---------+tana

所以1+tana

-(1+tan«)+2/、

=2-----------——+(1+tana)-1

1+tana

o-_

=2-1+----------+(l+tan«)-l>2(242-2}=45/2-4

I+tana」,7

2.

=1+tana

当且仅当1+tana-------------,即rtana=12-l时，等号成立,

所以而而的最小值为4&-4.

故4a-4

关键点点睛：此题考查向量的数量积运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查基本不等式的

应用，解题的关键是根据题意建立平面直角坐标系，将数量枳用坐标表示，考查数形结合的思想和

计算能力，属于较难题.

412

14.1313

【分析】利用建系的方法，假设/尸=1,根据/力。4=120、利用余弦定理可得48长度，由正弦

S；9EF

定理求出大小正三角形的面积，即可求得的值；然后计算cosNQ力民sinND48,可得点。坐

标，最后根据点8，C坐标，可得结果.

［详解］由而=2万，设/尸=1,则40=3,80=力£=1,DF=2,

如图

14/2I

由题可知：/408=120。

由AB-=AD1+BD--2ADBD-cosZ.ADB

所以48=JT5,则力

S&DEF=-xDF2sin60=73

所以小三角形面积2,

一一|DF|=-|DJ|DF=-DA

因为。尸=2々，所以II3lI,即3

3.ABC=—AB'sin60=13

24

瓜4

°&DEF

<?

叵

又sin/BADsinZ.ADB~26~

cos/BAD=V1-sin2/.BAD=7y

所以26

所以8sZ.BAD,ADs\x\/BAD)

D

26

即

AD

所以

AC=

又/4D=24BIf.iAC

9_

2613

37397393

--------=-------Ll

所以26213

所以13

15/21

412

故13：13.

2

5(1)2

⑵3

⑶一2

【分析】(1)根据题意，由向量平行的坐标计算公式可得关于根的方程，即可得答案.

(2)根据题意，由向量的坐标计算公式可得之=2,加=8即可得答案；

(3)利用向量坐标的线性运算求4坐标，模长坐标公式列方程求参数值；

【详解】⑴因为*+'=2(-2,1)=(~4,+1)与B=(-2,1)共线，

1

所以T>d=-2(2，〃+D,所以〃‘三

(2)因为c=3a+4刃=3(—1,用)+4(—2,1)=(-3—24,3〃?+2)c=(-7,26)

ixri-7=-3-22,26=3m+2

可得2=2,加=8,log4w=log28=3

⑶由题知：W(Tm)-(-2,l)=(l,〃I),|[*"+(m-%

a+h=(-\,m)+(-2,1)=(-3,m+1),3y+(m+[>=J9+(m+1!

\a-b\=\a+b\^

•B-邛叩+邛

22

.l+(m-l)=9+(m+l)>gy4/w=-8>解得机=一2.

uuiririr

MN=-a--b

16.(1)62

ZBAC=-

⑵2

【分析】(1)根据平面向量基本定理结合已知条件求解即可；

__-------------------UUUUUU____________________Id1=武.IBI

(2)用。，人表示出4W,CN,再由4M1CN,得/M,CN=O化简结合2可求得结果.

16/21

【详解】（1）因为在VI4c中，"是边8c的中点，N是边上的点，且丽=2福,

UULTUlinHJLT21"1"

MN=AN-Ayf=-AB-i-AB+-AC)

所以3-22

Iim1ULU1rir

=-AB一一AC=-a一一b

6262.*

iwIr।rULIDtunim2rr

AM=-a+-b,C^=AN-AC=-a-b

(2)223

UULIUL1U___________

因为4M_LCN,所以4W1CN,即丽而=0,

阳+射][4㈤=0

故【22){3J

化简得：362

r痛rrr

|^|=—1/?|a2=±3b

因为2,所以2

I「，1「2ir2i3[21「2

—a・b=-a—b=­x—b-b=0

代入上式得632322

ZBAC=-

即"归=0,所以羽_L元,印2.

1+2」

17.(1)6.

kn冗,knI冗,AeZ

(2)136」

【分析】（1）利用向量的数量积运算结合三角函数恒等变换公式对函数化简变形可得

然后利用两隹和的正

弦公式可求得结果:

八,兀,'兀f九fr

/、2kn—«2xH—W2ATTH—,keZ

（2）利用三角函数图象变换规律求出第H，然后由262可求出其递增

区间.

X.XX

m-2sin—,cos—+sin—=cos—,sin——cos—

222))222)

【详解】（1）因为

17/21

71

=sinx-V3cosx=2sinx-L1I.

/(x)=2sinx-^2sin(x-y1

因为3)3所以3

71nn

xe0,—x——e

5

因为L2」，所以336

I-sin2[x-y

所以

7t7U(兀、.兀

sinx=sin++cosx——sin—

X-----3(3J3

所以3

112&61+2>/6

-X—+-----X----=----------

32326

1y2sinIlx--

<2）函数〃x）的图像」一的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的2,得13

7t

Itg(x)=2sin2(x+：J-=2sin2x+—

再将所得图像向左平移7个单位，得36

<2x+—<2^4--,^eZkn--<x<kn+—,keZ

令262,得36

所以g(x)的增区间为Ikn--3'kn+—6}kGZ

18.（1）证明见解析

+立

⑵2

【分析】（1）根据向量平行且有公共点得出三点共线:

（2）应用两个向量平行系数关系求参;

（3）把夹角为锐角转化为数量积大于零且向量不平行求参即可.

AB=3e—2e,BD=BC+CD=12e—8e

【详解】（1）因为1212

4万=而，可知方，丽共线，所以4&D三点共线.

（2）因为"4+6与q'6共线,

18/21

所以2痴+［（+花）可得”jl

=/2

17+正

2

即得

-••■■•*«■■

(3)因为q+”6与“0十%夹角为锐角，

2

所)仔+鸡^14+e,)=2e1+鸡~+0+1,/6=22+(分+l)xlxlx；>0

———•,

且义弓+e?与q+尤/不平行，

若鸡+02//6+/1(?2,可得/2=1,4=±1,则2邦1,

A<—2~5/3或-2+>/3<2<1ngA>1

所以2的范围为(f-2MM-2+Hl"，+8)

19⑴4(1,1)%(3,4),层(6,1)

(2)不存在，理由见解析

（3）证明见解析

【分析】（1）由正交点列的定义可知40'1）,鸟（61），设&（xj）,由正交点列的定义可知

瓦•瓦瓦=0,无可•瓦瓦=0,即可得出结论；

（2）设点列片，斗,居，凡是点列4,4,4,4的正交点列，则可设

用员=4(一单，员员=4(1,3),8384=4(-1,3),4,4,4cz,因为4与44