电场强度矢量叠加的几种特殊方法（复习讲义）-2027年高考物理一轮复习解析版

--------考点精讲•靶向突破--------

——拆解核心考点，归纳解题范式

A考点一叠加法求电场强度＜

A核心知识•解构

一、核心原理

1.核心原理：电场强度是矢量，满足矢量叠加原理：空间中多个点电荷单独存在时，各自在某点产生的场强

互不干扰；该点总场强等于各个点电荷单独在该处产生场强的矢量和。

2.基础公式：单个点电荷在距离，•处产生场强大小：Ej=&方向：正电荷场强背离自身，负电荷场强指向自

•7

身。

3.适用范围：仅适用于分立、有限个点电荷组成的电场系统，是微元法、对称法、补偿法的底层基础。

二、标准解题步骤

1.分场强单独计算：分别算出每个点电荷在待求点的场强大小，标出每一个分场强的矢量方向。

2.建立坐标系正交分解：将所有分场强沿x、y轴分解，得到各分量：Eix=EiCosO,&尸与sin。。

3.分量分别代数求和：+…：E=Eiy+E2y+...a同向相加、反向相减.

4.合成总场强：总场强大小：E=滴呜,总场强方向：tana=|尚|。

A易错辨析・AI命题

I.多个点电荷在某点的合场强，等于各点电荷场强大小直接相加。（x）

2.每个点电荷产生的电场不会因为空间存在其他点电荷而改变。（＜）

3.等量异种点电荷连线中点处，两个电荷的场强方向相同，可以直接代数相加。（\）

A热点考向•破译

考向叠加法求电场强度国

题］如图所示，在％Oy平面内有一以O点为中心的正六边形力8CDEG其边长为心在此正六边形的顶点A、

B、C、D、£上依次固定电荷量为2q、-q、q、q、夕（q>0）的五个点电荷。静电力常量为上则。点的

A.E吟,方向由。指向EB.E=第,方向由。指向8

C.E=0D.E=詈，方向由。指向。

【答案】B

【详解】由题意可知，各点到。点处的距离均为3如图所示

B、E两点的电荷在O点处的合场强方向由E指向B,大小为瓦=等

4、。两点的电荷在O点处的合场强方向由4指向0,大小为Ez=整

C点的电荷在。点处的场强方向由C指向产，大小为己3=整

%和邑夹角120。，合成方向与％反向，其大小为为3=接

故。点处的电场强度大小E=邑-殳3=粤

E的方向由。指向B。故选B。

【变式训练1・1】如图所示，正三角形A5c的顶点A、8分别固定有电荷量相等的正点电荷+q、+q,三角形

中心。点处的电场强度大小为耳;若在顶点C处再固定一个等量的负点电荷-q,三角形中心。点处的电场强

度大小为%。则善为（)

+q

Bc

A.—B.-C.-D.—

2324

【答案】C

【详解】设。点到三个电荷的距离为r，顶点力、8分别固定有电荷量相等的止点电荷+依+q,两个电荷在

。处产生的电场的电场强度大小均为&）=口且夹角为120。，则邑二詈；若在顶点C处再固定一个等量的负

点电荷-q，三个电荷在0处产生的电场的电场强度大小均为埒=詈，根据对称性和儿何知识得知，两个+q

在0处产生的电场的合电场强度&再与一q在。处产生的电场合成，得到。点的合电场强度殳=E0+

J=%,则菅=p故选Co

【变式训练1・2】如图所示，真空中正四面体的棱长为。，在底面三个顶点8、C、。处分别固定一个带电量

为Q的正点电荷。已知静电力常量为3则顶点A处电场强度的大小为（）

A.当B.CaQD.

a2嘤•3a2警

【答案】D

【详解】由几何关系知，正四面体的高为/1=乎如每个正电荷在A点产生的场强大小均为尻=上?

对三个场强进行矢量合成，水平方向合场强为0,竖直方向分量均为E'=&,2=k3J

aa

所以合场强大小5=3星=华

az

故选D。

A考点二对称法求电场强度4

A核心知识•解构

一、核心原理及类型

1.核心原理：依托电荷分布的几何对称性，根据场强叠加原理，成对对称电荷元在目标点产生的场强垂直对

称轴的分量大小相等、方向相反，相互抵消；仅保留沿对称轴同向叠加的分量，大幅简化矢量运算。

本质：利用对称抵消无效分量，减少叠加计算量，建立在叠加法基础上。

2.适用范围：电荷规则均匀分布、具备明显几何对称的完整带电体，常搭配叠加法、微元法使用；残缺带电

体不可直接用，需先补偿再用对称法。

3.常见对称类型

（1）轴对称：均匀带电圆环、细圆弧、无限长带电直导线；对称轴上各点场强仅•沿轴线，垂直轴线分量全

部抵消。

（2）球对称：均匀带电球面、球体；球内/球外同半径处场强大小处处相等，方向沿径向。

（3）中心对称：正方形、正多边形顶点等量点电荷，对称两点电荷场强反向抵消。

（4）面对称：无限大均匀带电平板，两侧场强垂直板面、大小为匀。

二、标准解题步骤

1.判断带电体属于轴对称/球对称/中心对称/面对称，确定对称轴/对称中心；

2.任取一对位置对称的电荷或电荷元，分别画出二者在待求点的分场强；

3.将分场强分解为平行对称轴、垂直对称轴两组分量；

4.垂直分量两两抵消，只计算平行对称轴的分量；

5.所1T剩余分量同向代数相加，直接得到总场强，无需复杂矢量合成。

I►易错辨析・AI命题

1.均匀带电完整圆环圆心处，利用对称性可知合场强为Oo（\）

2.只要带电体形状对称，不考虑电荷均匀分布，就能用对称法抵消场强分量。（x）

3.军量同种电荷连线中点，由中心对称可得该点合场强等于零。（4）

A热点考向•破译

考向对称法求电场强度

酗如图甲所示，四个四分之一绝缘圆弧所带电荷量大小相等，且电荷均匀分布。已知这四个带电绝缘圆

弧在坐标原点。处产生的电场强度大小为b则如图乙所示的两个带电绝缘圆弧在坐标原点。处产生的电

场强度大小为（）

【答案】A

【详解】根据对称性可知，题图甲中第一象限内的圆弧在坐标原点。处产生的电场强度方向与％轴负方向

的夹角为45。,设其大小为尻,则有E=2•2%sin45。=2/场

题图乙所示的两个带电绝绥圆弧在坐标原点0处产生的电场强度大小E'=V2E0=J故选Ao

【变式训练2-1•变考法】如图所示，0为半径为R的正六边形外接圆的圆心，在正六边形的两个顶点放置•

带电荷量为+q的点电荷，其余顶点分别放置带电荷量均为-q的点电荷。则圆心。处的场强大小为（）

【答案】B

【详解】如图所示

根据对称性可知E3、良大小相等，方向相反，合场强为0；

£/、金为两组等量异种电荷的合场强，根据点电荷电场公式有必=%=2k焉

由于%的夹角为120。，根据矢量合成法则可知。点电场为E=2k2故选B”

【变式训练2・2•变考法】下列各图中的绝缘直杆粗细不计、长度相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均

匀分布，各直杆间彼此绝缘。坐标原点O处电场强度最大的是图（）

【答案】B

【详解】根据电场强度的定义以及对称性可知，题中四个选项里，可以设每个电荷均匀分布的带电直杆在

中心点处产生的场强大小都为£»则选项A中，。点的场强大小为E,方向与），轴正方向成45。角斜向左上；

选项B中，叠加后。点的场强大小为鱼E,方向沿y轴正方向；选项C中两根正电直杆在。点产生的电场

强度刚好抵消，只有一根带负电的直杆对。点的场强有影响，与A选项中的场强一致，也为E,方向与y

轴正方向成45。角斜向左上；选项D中，中心点场强抵消为0。故选B。

A考点三补偿法求电场强度＜

A核心知识•解构

一、核心原理

I.核心原理：依托场强矢量叠加原理，将残缺、不规则带电体，补加一小块带电体，补齐为几何对称、可直

接用对称法求解的完整规则带电体。

⑴矢量公式：E残缺=E完整-E补修

（2）本质等效：残缺带电体=完整带电体+等量异种补偿带电体

2.适用范围

具有对称性的残缺带电体，高中高频题型:

（1）带缺口均匀带电圆环、带电圆弧

（2）内部挖去小球的均匀带电球体/球壳

（3）挖去小块的无限大带电平板、残缺球面

备注：无法直接用对称法、叠加法求解的残缺模型，首选补偿法。

二、标准解题步骤

1.补齐模型：给残缺带电体补上缺失部分，构造完整均匀对称带电体：

2.求完整场强：利用对■称法，求出完整带电体在目标点的合场强E完整；

3.求补偿块场强：补上的小块体积极小，可直接视为点电荷，用点电荷场强公式计算场强元补偿;

4.矢量相减求解：根据矢量方向，代入公式计算残缺物体实际场强。

A易错辨析・AI命题

1.补偿法公式：E残缺=E完整-鸟卜偿，场强运算需遵循矢量规则。3）

2.带缺口圆环圆心处，完整圆环场强为0,缺口处场强与补偿小段场强大小相等、方向相同。（X）

3.只有残缺带电体补齐后为标准对称几何体，才适合使用补偿法。（4）

A热点考向•破译

考向补偿法求电场强度

瓯］均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面

上均匀分布着总电荷量为q的正电荷，球面半径为R,CD为通过半球顶点与球心。的轴线，在轴线上有M、

N两点，OM=0N=3R,已知M点的电场强度大小为E,静电力常量为k,则N点的电场强度大小为（）

C迎+ED

J2产十t-第一七

【答案】A

【详解】右边补齐半球面，电荷量为%的球型在N点产生的电场强度大小为七=磊=煞

（3R）9R2

由于对称性可得，N点实际的电场强度大小珠=第一E故选A。

【变式训练3・1•变考法】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处的点电荷产生的电

场。如图所示，在绝缘球:球面44当8上均匀分布正电荷，总电荷量为小在剩余:球面上均匀分布负电

•5J

荷，总电荷量是;q。球半径为R,球心为O,C。为手求面力力用记的对称轴，在轴线上有M、N两点，且。M=

ON=2R,AXA=ArA||\\CD.已知?求面4在M点的场强大小为E,静电力常量为匕则N点

的场强大小为（）

A.EB.2EC.篇-2目D.券+E

【答案】C

【详解】将AB部分补上，使球壳变成一个均匀带正电的完整的球壳，完整球壳带电荷量为Q=|q

为保证电荷量不变，球面4B带负电荷量为小则该球壳带正电的部分在M点产生的场强为EM=悬=骁

根据对称性可知：①带正电的部分完整球壳在N点产生的场强大小EN=鹄

②球面48带负电荷量为在N点产生的场强大小为2E,两者方向相反；

则N点的场强大小为E'N=|学-2E

故选C。

【变式训练3・2•变考法】均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生

的电场相同。如图所示，半径为R的球体上均匀分布着正电荷，在过球心。的直线上有4、8、C三个点，0B=

BA=R,CO=2R,若以。8为直径在球内挖一球形空腔，球的体积公式为，=［兀〃，则4、。两点的电场强

度大小之比为（）

A.9:25B.25:9

C.175:207D.207:175

【答案】C

【详解】设原来半径为R的整个均匀带电球体的电荷量为Q,由于均匀带电，可知被挖的球形空腔部分的电

荷量为Q'=?Q=翳Q=《Q

可知以08为直径在球内挖一球形空腔后;A、C两点的电场强度等于整个均匀带电球体在A、C两点的电场强

度减去被挖的球形在4、C两点的电场强度，则有&=赢-氤=含&=彘一券=能可得

普二尖，C正确，ABD错误；故选C。

Ec207

A考点四微元法求电场强度＜

।►核心知识•解构

一、核心原理

1.核心原理：基于场强叠加原理，将连续带电体（带电杆、圆弧、圆环、球面等）分割为无数个极小的电荷

微元白，每一个电荷微元均可等效为点电荷；先求单个微元场强，再结合对称性叠加，求出带电体总场强。

（1）微元场强公式：dE=k'2

（2）本质：叠加法的延伸，是连续化的矢量叠加

2.适用范围：均匀连续带电体，无法直接用叠加法、对称法快速求解的模型。

（1）带电直细杆、带电圆弧、部分带电圆环

（2）均匀带电球面、柱面、不规则连续带电体

（3）无完美对称、无法补偿的带电模型

二、标准解题步骤

1.取微元：在带电体上选取极小电荷元市结合电荷密度表示电荷量：线带电囱=〃/、面带电dq=odS；

2.求微元场强：把微元看作点电荷，写出微元场强dE大小，标注场强方向；

3.正交分解：将分解为垂直对称轴、平行对称轴两个分量；

4.对称抵消：成对微元的垂直分量大小相等、方向相反，相互抵消；

5.叠加求和：剩余同向分量全部叠加，计算合场强。

A易错辨析・AI命题

1.微元法把连续带电体拆分为无数而，每个电荷微元可等效为点电荷。（4）

2.使用微元法时，所有微元产生的可以直接代数相加，无需分解。（x）

3.微元法本质是连续形式的场强叠加法。（〈）

A热点考向•破译

考向微元法求电场强度

丽如图所示,有一半径为R的均匀带电绝缘环固定在离地足够高处（平行于地面），一带电小球恰静止

在圆环中心正上方高为日R处，小球与地面碰撞后速度可认为变为零，则下列说法正确的是（）

A.在圆环中心正上方还存在另一位置，小球移至该处仍可保持平衡

B.将小球移至距圆环中心正上方面为0.5R处由静止释放，小球一定向下运动

C.将小球移至距圆环中心正上方高为R处由静止释放，小球一定向上运动

D.将小球移至距圆环中心正上方高为2A处由静止释放，小球运动过程中电势能一直增大

【答案】B

【详解】A.设大圆环的电荷量为。，小球电荷量为小由题可知环对球的电场力合力向上，对于环上微小

的一段，设电荷量为Qi,小球距圆环中心上方的距离为力，此时微小的这段环对小球的作用力与水平方向

夹角为6,微小环给小球的竖直分力有为尸i-sinJ=左磊•熹成

环上所有小段叠加后的总电量为。，因此竖直方向上的合力为F=k磊•疝镰=kQq•菽不

将F对力求导，得到F'（h）=AQq,生竺可知在九二£/?取极大值，所以由此可知在此处绝缘带电环对小球

（R2+九2K2

的电场力最大，由题可知此位置电场力与小球重力等大反向，其他时候电场力都小于重力，故平衡位置只

有该处，故A错误；

BC.从圆环中心正上方高为0.5R、R、2R处释放时，所受电场力均小于重力，故小球一直向下运动，故B

正确，C错误；

D.小球向下运动过程中会穿过圆环落到地面上，电场力先做负功，后做正功，电势能一定先增大后减小，

故D错误。故选Bo

【变式训练4・1】半径为&的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为。的正

电荷。点、A、B、。将圆环三等分，取走A、8处两段弧长均为AL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于。C延

长线上距。点为2R的。点，。点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，,为（）

B

A.正电荷，4二怨B.正电荷，q=亘譬

**TTRrnR

C.负电荷，q="D.负电荷，勺=空警

1TK1TK

【答案】C

【详解】取走4、B处两段弧长均为AL的小圆弧上的电荷，根据对称性可知，圆环在。点产生的电场强度

为与A在同一.直径上的A/和与B在同一宣径上的々产生的电场强度的矢量和，如图所示，因为两段弧长非

常小，故可看成点电荷，则有瓦=攵需=攵聋。由图可知，两场强的夹角为120。，则两者的合场强为E=

E「k翳,根据。点的合场强为0,则放在。点的点电荷带负电，大小为&=E=k篝根据□二k卷

联立解得q=吟故选Co

【变式训练4-2】如图所示，半径为R的导体环的顶端有一宽为，的小狭缝4且满足!远远小于R,在导体环

上均匀分布着总电荷量为q的负电荷。已知静电力常量为K则下列说法正确的是()

A.导体环在圆心。处产生的场强大小为母，方向由4指向0

B.导体环在圆心。处产生的场强大小为鬻，方向由。指向力

C.导体环在圆心。处产生的场强大小为石谷嬴，方向由。指向4

D.导体环在圆心。处产生的场强大小为。方向由4指向。

(2nR-l)R£

【答案】D

【详解】该导体环可认为是从封闭的导体环上取下宽为2的一小段后的部分，对宽为1的一小段导分析，由于

1远远小「凡因此可视为点电荷，其在圆心。处产生的场强大小为E=与$N=k判蒜又因为宽为।的一小

段导体带负电荷，故场强方向由。指向4。据对称性知，封闭的导体环在圆心。处产生的合场强为0,所以宽

为，的一小段导体在圆心。处产生的场强与该导体环在圆心。处产生的场强大小相等、方向相反，则导体环在

圆心。处产生的场强大小为，：方向由A指向。，故ABC错误，D正确。故选D。

(2nR-l)R^

真题溯源•考向感知

——溯源真题逻辑，感知高考考向

1.（2024•贵州•高考真题）如图，,4、B、C