2026年小升初数学专项讲义：因数与倍数（学生版+解析）

第一章：数的认识

专题03：因数与倍数

（5大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练）

⑥.考点导览

【考点一】因数和倍数的认识

【考点二】2、3、5的倍数特征

【考点三】偶数和偶数

【考点四】质数与合数

【考点五】最小公因数和最小公倍数

谊「知识点梳理

知识点01：因数和倍数的认识

1,因数和倍数的概念

在整数除法中，如果商是整数而没有余数（或者说余数为0）,我们就说除数是被除数的因

数，被除数是除数的倍数。

例如：12+2=6—2是12的因数，12是2的倍数。

2X6=12-2和6是12的因数，12是2和6的倍数。

【易错点拨】

（1）因数和倍数是相互依存的，不能单独存在，不能说谁是因数，也不能说谁是倍数，应该

说谁是谁的因数或谁是谁的倍数。

（2）倍数和因数都是自然数（一般不包括0）,不能是G数或分数。

2.因数和倍数的特征

（1）因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1,最小的因数是它本

身。

（2）倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最小的倍数。

3.找一个数的因数的方法

C）列除法算式找；根据因数的意义，有序地写出两个整数相除得此数的所有除法算式，算

式中的两个因数都是此数的因数。

（2）列除法算式找：用此数除以小于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无

余数，这些除数和商都是此数的因数。

4.找一个数的倍数的方法

（1）列除法算式找：用这个数依次与非0自然数相除，所得的积就是这个数的倍数。

（2）列除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。

知识点02：2、3、5的倍数特征因数和倍数的应用

1.单个数字的倍数特征

O自然数中个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。

（2）个位上是0或5的数都是5的倍数。

（3）一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

2.组合数字的倍数特征

（1）同时是2和3的倍数的特征：个位上是0,2,4,6,8,且各个数位上的数字之和是3

的倍数；

（2）同时是3和5的倍数的特征：个位上是0或5的数，各个数位上的数字之和是3的倍

数；

（3）同时是2和5的倍数的恃征：个位上是0的数；

（4）同时是2、3、5的倍数的特征：个位上是0,且各个数位上的数字之和是3的倍数。

知识点03：偶数和偶数

1.偶数和偶数的定义

自然数按是否是2的倍数，可以分为偶数和偶数两大类。

（1）偶数：是2的倍数的数叫偶数。

（2）偶数：不是2的倍数的数叫偶数。

【易错点拨】0是最小的偶数：1是最小的偶数。

2.奇偶性运算规律

偶数+偶数=偶数；偶数+偶数=偶数；偶数+偶数=偶数；

偶数X偶数=偶数；偶数X偶数=偶数；偶数X偶数=偶数。

知识点04：质数与合数

1.质数与合数的定义

C）一个数，如果只有1和它木身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数工

（2）一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。

【易错点拨】最小的质数是2；最小的合数是4；1既不是质数，也不是合数。

2.100以内的质数表（共25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、

47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

3.分解质因数

（1）质因数：每个合数都可以写成几个质数相除的形式。其中每个质数都是这个合数的因

数，叫做这个合数的质因数。

（2）分解质因数：把一个合数用质因数相除的形式表示出来，叫做分解质因数。

（3）常用方法：短除法。

知识点05：最小公因数和最小公倍数

1.最小公因数：几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。其中最小的那个叫作这几个数

的最小公因数。

2.最小公倍数：几个数公有的倍数，叫作这几个数的公皑数。其中最小的那个叫作这几个数

的最小公倍数。

3.求最小公因数和最小公倍数的核心方法：短除法

（1）用几个数的公有质因数依次去除，直到商只有公因数1（互质）为止；

（2）若求最小公因数，把所有的除数连除；

（3）若求最小公倍数，把所有的除数和最后的商连除。

逾「重难点题型讲解

考点1：因数和倍数的认识

【典型例题1】古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相减的

和,那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6,除本身6以外，还有1、

2、3三个因数，6=1+2+3,恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面数中是“完

全数”的是（）。

A.16B.20C.28D.36

【典型例题2】一个自然数与自身相除的结果称为“平方数”，甲、乙、丙三个人去买彩票，

结果一人中奖，且中奖号码的末三位是完全平方数，甲彩票的末三位数是3口7,乙彩票的末

三位数是4口1,丙木三位数是口35,则中奖的末三位数是（）o

【变式训练1】我国古典名著《水浒传》中，梁山好汉一共有108位。下面出现的数中不是

108的因数的是（）。

A.女性3位B.男性105位C.天罡星36位

【变式训练2】图书馆许老师要为每位同学制作一张借书证，借书证的规格如图所示。下面

各种规格的纸中，选用（）最合适。（在制作借书证时，纸张没有剩余）

8厘米

I卜厘米

A.长40厘米，宽35厘米B.长36厘米，宽24厘米

C.长30厘米，宽18厘米D.长20厘米，宽12厘米

考点2：2、3、5的倍数特征

【典型例题1】截止2024年12月，某县城投放的共享跑车已达3口6口辆，这个四位数既是2

的倍数，又是5的倍数，还有因数3。这个县城投放的共享单车最多有（）辆。

【典型例题2】数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策。如果我们换一个角度，

以退为进，从简单情况找规律，也许就柳暗花明了。

有24个同学站成一排做游戏，头上分别戴上编号1,2,3,…，24的帽子，他们从左往右按

1,2,1,2,1,2,依次报数，凡报到1的同学退出游戏，剩下的同学又从左往右继续

按1,2,1,2,1,2,依次报数，如此进行下去。

（1）当还剩下最后一人时，这个同学的帽子编号是几号？

（2）如果有200个同学做这样的游戏，当剩下最后一人时，这个同学的帽子编号是几号？请

找出其规律，并表示出来。

【变式训练1]一个四位数145口，口最小填（）就是3的倍数；□最小填（）

时，它既是2的倍数，又是3的倍数；当口填（）时，它既是3的倍数，又是5的倍

数。

【变式训练2】某小学开展劳动技能比赛，五年级四个班学生包饺子的数量情况如下（部分

数字被盖住），这四个班包饺子的总数一定是（）o

E(1)班五（2）班五（3）班五（4）班

*8“067031*7

A.2的倍数B.3的倍数C.5的倍数D.9的倍数

考点3：偶数和偶数

【典型例题1】"三月三节日期间，会展中心的无人机表演吸引了大批游客。一场表演中无人

机入场时的队列如图ogg§::::::g。表演时进行队列变换，下面（）图可能是无人机的

表演队列。

OOO

A.B.C.D.

【典型例题2】张壁古堡位于介休市龙凤镇张壁村，是中国现有较为完好的一座融军事、居

住、生产、星象、宗教活动为一体罕见的古代袖珍“城堡”，常有五湖四海的游客慕名而来。

一天，来了45名研学的小游客，讲解员将他们排成两路纵队，如果第一路纵队的人数为偶

数，那么第二路纵队的人数是偶数还是偶数？为什么？

【变式训练1】在三个连续的偶数中，最小的偶数是n,它们的和是（）;如果这三

个偶数的和是105,那么最小的偶数是（）0

【变式训练2】小猫今天钓上来1001条鱼，并将其从1—1001标上号后以标号的大小从小到

大进行排列，每天按照以下规律吃鱼：第一天，吃从左往右数第一条鱼；第二天，吃从左往

右数第二条鱼。即第〃天都吃当天从左往右数第〃条鱼。吃到最后，在剩下的鱼里面，偶数标

号的鱼占整体的比例为（）％。

考点4：质数与合数

【典型例题1】著名的哥德巴赫猜想：“任意一个小于2的偶数，一定能写成两个质数相减的

和”，该猜想成为数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠下面不不符合哥德巴

赫猜想的是（r

A.20=13+7B.100=29+71

C.44=33+11D.90=31+29

【典型例题2】杭州亚运会开幕式的日期很特别：表示月份的数是一位数中最小的合数；表

示E1子的数是一个两位数，十位上是最小的质数，个位上是3的最小倍数。开幕式的日期是

（）o

A.8月23日B.8月26日C.9月13日D.9月23日

【变式训练1］三个连续的非零自然数的积一定（）o

A.既是偶数又是合数。B.既是偶数又是质数。

C.既是偶数又是质数。D.既是偶数又是合数。

【变式训练2】数学上把相差2的两个质数叫作“季生质数”，如5和7都是质数，且5和7

相差2,那么5和7就是一对“李生质数”。下列是一对“季生质数”的是（）»

A.11和13B.13和15C.9和11D.2和3

考点5：最小公因数和最小公倍数

【典型例题1】小强把一块长为56厘米，宽42厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形纸

块，而没有剩余，问：能裁成最小的正方形纸块的边长是多少？共可以裁成几块？

【典型例题2】三个同学商议暑期去图书馆借书。小明说：“我每4天就去一次”，小华

说：“我每6天去一次”，小红说：“我每8天才能去一次。”如果三人7月5日上午9点

同时去图书馆借书，那么下一次他们二人会在几月儿F1上午9点同时在图书馆相遇？

【变式训练1】为让研学活动更有趣，老师准备用24米绿彩带和36米粉彩带制作研学通关

卡珪绳。若要把彩带剪成相同长度的小段且不浪费，每段彩带最长是（）米。

【变式训练2】有一个电子表，每走10小时亮一次灯，每走15小时报一次时。上午10时这

个电子表既亮灯又报时，那么至少再过（）小时这个电子表既亮灯又报时。

真题演练

一、选择题

1.一个质数和一个合数的最小公因数一定是1,要想说明上面这句话是错误的，可以用下面

（）作为例子进行反驳。

A.3和4B.6和8C.2和10D.5和7

2.625口是一个四位数，在口里填上一个数字，使这个四位数同时是2、3的倍数。方框里应

填（）o

A.1B.2C.3D.4

3.队列表演中，如果每8人一组或每10人一组，能刚好分完组，那么至少有（）名

同学参减表演。

A.18B.40C.80D.100

4.从（）、1、4、5这四个数字中选择三个不同的数字，组成既是3的倍数，又是2的倍数的

三位数，有（）种不同的组法。

A.3B.4C.5D.6

5.秦始皇陵兵马俑是世界八大奇迹之一。二号坑第一单元阵心由八路面东的190个蹲跪式弩

兵组成，壮壮用下面的方法数这些弩兵俑，不能正好数完的是（）。

A.2个2个地数B.3个3个地数C.5个5个地数D.10个10个地数

6.如果a是一个合数，b是一个质数，那么下面（）的结果肯定是合数。

A.a+bB.a-bC.axbD.a：b

7.一个自然数的最小倍数是36,这个数的因数有（）个。

A.7B.8C.9D.10

8.小芳在做手工时，需要将两根分别为24米和18米的彩带剪成同样长的小段，最少一共剪

成（）段。

A.4B.5C.6D.7

9.已知2个不同的一位数4，□和两位数13,这3个数的除积是三位数二二那么等于

（）o

A.7B.8C.9D.10

二、填空题

10.在叵］臼目目®这些数字卡片中，质数有（）个。从这些卡片中选择

3张组成一个既是偶数又是3的倍数的三位数，这个三位数最小是（）0

11.一个九位数，最高位上是最小的一位数，千万位上是2和3的最小公倍数，十万位上是

最小的合数，其余各位上都是0,这个数写作（），省略亿后面的尾数约是

（）o

12.把一些梨平均分给小朋友，5个人来分和6个人来分都刚好剩1个，这些梨至少有

（）个。

13.把数字1,2,3,6,7分别写在五张卡片上，从中任取2张卡片拼成两位数，写6的卡

片也可以当9用。在这些两位数中，质数的个数是（）个。

14.a,b都是小于0的自然数，如果a=7b,那么a和b的最小公因数是（）,最小

公倍数是（）。

15.5月22日是“杂交水稻之父”袁隆平爷爷逝世纪念日。世界第一株杂交水稻南优2号研制

成功的年份数是一个四位数，根据下列信息判断，南优2号是在（）年研制成功

的。

①千位上的数既不是质数，也不是合数；

②百位上是一个合数，也是一个偶数；

③十位上的数比最小的质数大5：

④个位上的数比最小的合数小lo

16.斐波那契数列为：（），1,1,2,3,5,8…这个数列中第12个数应是（）。这个

数列中的第100个数是（）数。（奇或偶）

17.若a—b=1（a、b是非零自然数），那么a和b的最小公因数是（），最小公倍数

是（）o

18.四位数7口8口是2、3、5的公倍数，个位只能是（）,百位上最小是（）。

19.把数字1,2,3,6,7分别写在五张卡片上，从中任取2张卡片拼成两位数，写6的卡

片也可以当9用。在这些两位数中，质数的个数是（）个。

2（）,笑笑在猜数游戏中提出：一个数的最小倍数和它的最小因数的和是45,这个数是

（），它共有（）个因数。

21.育才小学六（1）班同学做广播操，体育委员在前面领操，其他学生排成每行12人或每

行16人都正好是整行，这班至少有学生（）人。

22.李阿姨从果园里摘了一些苹果，个数在90个以内。如果每12个装一盒，还剩2个；如

果每16个装一盒，也剩2个。这些苹果至少有（）个。

23.有一类四位数，除以5余2,除以7余5,除以11余10。这类四位数中最小的一个是

（）o

24.一个两位数的偶数，十位上的数字和个位上的数字的积是18,则这个两位数是

（）o

25.爱心超市每月一次给社区清洁工人发放爱心小礼包，每次超市会准备72个面包、180袋

小饼干，打包成若干份，要求每份里面的面包个数相同，小饼干袋数也相同。爱心超市每次

最多能发放给（）位社区清洁工人，每位社区清洁工人会收到（）个面

包、（）袋小饼干。

26.红军小学第14届少代会参会人数在50〜90人之间，其中男、女生人数的比是3:4,参减

本届少代会代表人数共有（）人。

27.3〃40表示一个四位整数，那么3。40=3x1000+（）+4x10；如果3〃40是3的倍

数，那么。=（）。

28.有一种长方形纸片，长15厘米，宽12厘米，至少需要（）张这样的纸片才能

拼成一个正方形c

29.幼儿园的老师把一堆苹果分给几个小朋友，每人6个还多5个，每人5个还多8个。一

共有（）个苹果，有（）个小朋友。

三、解答题

30.“馨香”花店用18朵康乃馨和27朵勿忘我做花束，顾客要求每个花束里面的康乃馨朵数

相等，勿忘我的朵数也相等，最多能做多少束？每个花束里有多少朵花？

31.从古至今，数学上有一种许多人为之疯狂的数，叫完美数，如6的因数有1、2、3、6,

这几个因数有这样的关系：1+2+3=6,像6这样的数，称作完美数。请你判断28是不是完

美数，写出你的想法。

32.探究与运用。

（1）探究：请你举出“两个相邻偶数相除的例子”，再观察它们所得积末尾数字的特征。（例

子要包含积末尾数字不同的情况）

（2）发现：两个相邻偶数相除，积末尾数字一定是（）和（）o

（3）运用：下面三个数中，只有一个数是两个相邻偶数的积，它是（）o

A.337B.1661C.3363

（4）这两个偶数分别是（）和（）。

33.我们学过很多解决问题的方法，比如：画图、列表尝试、列式计算、列方程等。请你选

择一种方法试一试，看看到底有多少位客人用餐。

求碗问题

今有妇人河上荡杯，津吏问口：杯何以多？妇人口：家有宴。津吏口：客几何？妇人口：

二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？

——出自《孙子算经》

上文大概意思是：有人看到一位妇女在河边洗碗，就问她：“怎么这么多碗？‘'妇女回答：

“家里请人吃饭。'‘又问她：',有多少客人啊？“妇女回答：“吃饭的时候，两个人共用一个饭

碗，三个人共用一个汤碗，四个人共用一个肉碗，一共用了六十五个碗，不知道有多少位

客人？”

34,设某个N位自然数的N个数字是｛1,2,3,N｝的一个排列，如果它的前K个数字

所组成的整数能被K整除，其中K=l,2,3,N,那么就称这个N位数为一个“好数”,

例如三位数321就是一个“好数”,因为1|3,2|32,3|321（2|32表示2被32整除）。求六位

“好数”共有多少个？

第一章：数的认识

专题03：因数与倍数

（5大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练）

逾/考点导

【考点一】因数和倍数的认识

【考点二】2、3、5的倍数特征

【考点三】偶数和偶数

【考点四】质数与合数

【考点五】最小公因数和最小公倍数

知识点梳

知识点01：因数和倍数的认识

1,因数和倍数的概念

在整数除法中，如果商是整数而没有余数（或者说余数为0）,我们就说除数是被除数的因

数，被除数是除数的倍数。

例如：12+2=6f2是12的因数，12是2的倍数。

2X6=12-2和6是12的因数，12是2和6的倍数。

【易错点拨】

（1）因数和倍数是相互依存的，不能单独存在，不能说谁是因数，也不能说谁是倍数，应该

说谁是谁的因数或谁是谁的倍数。

（2）倍数和因数都是自然数（一般不包括0）,不能是小数或分数。

2.因数和倍数的特征

O因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1,最小的因数是它本

身。

（2）倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最小的倍数。

3.找一个数的因数的方法

-1-

（1）列除法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相除得此数的所有除法算式，算

式中的两个因数都是此数的因数。

（2）列除法算式找：用此数除以小于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无

余数，这些除数和商都是此数的因数。

4.找一个数的倍数的方法

（1）列除法算式找：用这个数依次与非0自然数相除，所得的积就是这个数的倍数。

（2）列除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。

知识点02：2、3、5的倍数特征因数和倍数的应用

1.单个数字的倍数特征

（1）自然数中个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。

（2）个位上是0或5的数都是5的倍数。

（3）一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

2.组合数字的倍数特征

（1）同时是2和3的倍数的特征：个位上是0,2,4,6,8,且各个数位上的数字之和是3

的倍数；

（2）同时是3和5的倍数的恃征：个位上是0或5的数，各个数位上的数字之和是3的倍

数；

（3）同时是2和5的倍数的特征：个位上是0的数；

（4）同时是2、3、5的倍数的特征：个位上是0,且各个数位上的数字之和是3的倍数。

知识点03：偶数和偶数

1.偶数和偶数的定义

自然数按是否是2的倍数，可以分为偶数和偶数两大类。

C）偶数：是2的倍数的数叫偶数。

（2）偶数：不是2的倍数的数叫偶数0

【易错点拨】0是最小的偶数；1是最小的偶数。

2.奇偶性运算规律

偶数+偶数=偶数；偶数+偶数=偶数；偶数+偶数=偶数；

偶数X偶数=偶数；偶数X偶数=偶数；偶数X偶数=偶数。

知识点04：质数与合数

1.质数与合数的定义

-2-

（1）一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。

（2）一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。

【易错点拨】最小的质数是2；最小的合数是4；1既不是质数，也不是合数。

2.100以内的质数表（共25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、

47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

3.分解质因数

（1）质因数：每个合数都可以写成几个质数相除的形式。其中每个质数都是这个合数的因

数，叫做这个合数的质因数。

（2）分解质因数：把一个合数用质因数相除的形式表示出来，叫做分解质因数。

（3）常用方法：短除法。

知识点05：最小公因数和最小公倍数

1.最小公因数：几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。其中最小的那个叫作这几个数

的最小公因数。

2.最小公倍数：几个数公有的倍数，叫作这几个数的公皑数。其中最小的那个叫作这几个数

的最小公倍数。

3.求最小公因数和最小公倍数的核心方法：短除法

（1）用几个数的公有质因数依次去除，直到商只有公因数1（互质）为止；

（2）若求最小公因数，把所有的除数连除；

（3）若求最小公倍数，把所有的除数和最后的商连除。

胞/重难点题型讲解

考点1：因数和倍数的认识

【典型例题1】古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相减的

和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6,除本身6以外，还有1、

2、3三个因数，6=1+2+3,恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数:下面数中是“完

全数”的是（）o

A.16B.20C.28D.36

【答案】A

-3-

【分析】根据“完全数''的概念，先找出选项中数的所有因数，再将除了本身之外的因数相

减，和本身比较即可。

【详解】A.16所有的因数为1、2、4、8、16,除本身16以外，还有1、2、4、8四个因

数，1+2+4+8=15,所以16不是完全数。

B.20所有的因数为1、2、4、5、10、20,除本身20以外，还有1、2、4、5、10五个因

数，1+2+4+5+10=22,所以20不是完全数。

C.28所有的因数为1、2、4、7、14、28,除本身28以外，还有1、2、4、7、14五个因

数，1+2+4+7+14=28,所以28是完全数。

D.36所有的因数为1、2、3、4、6、9、12、18、36,除本身36以外，还有1、2、3、4、

6、9、12、18八个因数，1+2+3+4+6+9+12+18=35,所以36不是完全数。

故答案为：C

【典型例题2】一个自然数与自身相除的结果称为“平方数”，甲、乙、丙三个人去买彩票，

结果一人中奖，且中奖号码的末三位是完全平方数，甲彩票的末三位数是3口7,乙彩票的末

三位数是4口1,丙末三位数是口35,则中奖的末三位数是（）<>

【答案】441

【分析】根据“完仝平方数”的特征：完仝平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9；可排除

甲彩票；

由“完全平方数”末位数的特征，初步判定乙彩票可能是“平方数”，结合乙彩票百位上的数字

是4,列举出此区间平方数百位上是4的结果，再对比，即可判断；

根据“完全平方数”的特征：末位是5,则末两位数字一定是25,可排除丙彩票。

【详解】完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9；

甲彩票的木三位数是3口7,木位是7,不不符合“完全平方数”的特征，所以3口7不是中奖的木

三位数；

乙彩票的末三位数4口1,末位是1,可能是“完全平方数”；4口1的百位是4,列举出202到222

的结果，202=400、212=441、222=484,441不符合4口1模式，所以441是中奖的末三位

数；

丙彩票的末三位数是口35,末位是5,则末两位数字一定是25（如152=225、252=625）,而

-4-

□35的末两位是35,不不符合“完全平方数”的特征，所以口35不是中奖的末三位数；

综上所述，中奖的末三位数是441。

【变式训练1】我国古典名著《水浒传》中，梁山好汉一共有108位。下而出现的数中不是

108的因数的是（）。

A.女性3位B.男性105位C.天罡星36位

【答案】B

【分析】在除法算式a：b=c（a、b、c均为非。的自然数）中，b、c就是a的因数，a就是

b、c的倍数，据此分析。

【详解】A.108+3=36,3是108的因数;

B.105不是108的因数：

C.108+36=3,36是108的因数。

出现的数中不是108的因数的是男性105位。

故答案为：B

【变式训练2】图书馆许老师要为每位同学制作一张借书证，借书证的规格如图所示。下面

各种规格的纸中，选用（）最合适。（在制作借书证时，纸张没有剩余）

8厘米

I卜厘米

A.长40厘米，宽35厘米B.长36厘米，宽24厘米

C.长30厘米，宽18厘米D.长20厘米，宽12厘米

【答案】B

【分析】由题意，要想剪时没有剩余，则纸的长、宽必须是8、6的倍数，据此逐项分析即可

得解。

【详解】A.长40厘米，宽35厘米，35不是6的倍数，不合适；

B.长36厘米，宽24厘米，36是6的倍数，24是8的倍数，合适；

C.长30厘米，宽18厘米，30不是8的倍数、36是6的倍数，不合适：

-5-

D.长20厘米，宽12厘米，20不是8的倍数，不合适。

故答案为：B

考点2：2、3、5的倍数特征

【典型例题1】截止2024年12月，某县城投放的共享跑车已达3口6口辆，这个四位数既是2

的倍数，又是5的倍数，还有因数3。这个县城投放的共享单车最多有（）辆。

【答案】4790

【分析】根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；根据5的

倍数的特征，一个数的个位是0或5,这个数就是5的倍数；根据3的倍数的特征，各个数

位的数字之和是3的倍数。据此分析解答。

【详解】这个数是2和5的倍数，说明个位上的数是0

3+6+0=9

根据3的倍数的特点9+9=18,百位上最小是9,各个数位的数字之和是3的倍数。

所以，截止2024年12月，某县城投放的共享单车已达3口6口辆，这个四位数既是2的倍数，

又是5的倍数，还有因数3。这个县城投放的共享单车最多有4790辆。

【典型例题2】数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策。如果我们换一个角度，

以退为进，从简单情况找规律，也许就柳喑花明了。

有24个同学站成一排做游戏，头上分别戴上编号1,2,3,…，24的帽子，他们从左往右按

1,2,1,2,1,2,…，依次报数，凡报到1的同学退出游戏，剩下的同学又从左往右继续

按1,2,1,2,1,2,…，依次报数，如此进行下去。

（1）当还剩下最后一人时，这个同学的帽子编号是几号？

（2）如果有200个同学做这样的游戏，当剩下最后一人时，这个同学的帽子编号是几号？请

-6-

找出其规律，并表示出来。

【答案】（1）16号

（2）128号；规律见详解

【分析】（1）24个同学第一轮报数：报1的同学退出，剩下的是编号为2,4,6,24

（即2的倍数）的同学。

第二轮报数：剩下的同学从左往右按1,2报数，报1的退出，剩下的是编号为4,8,

12,…，24（即4的倍数）的同学。

第三轮报数：剩下的同学继续报数，报1的退出，剩下的是编号为8,16,24（即8的倍

数）的同学一

第四轮报数：剩下的同学报数，报1的退出，最后剩下的是编号为16的同学。

（2）200个同学的情况:先找2的倍数，小于等于200的2的倍数有2,4,6,20（）。再

从这些数中找4的倍数，有4,8,12,200o接着找8的倍数，有8,16,32.

192。然后找16的倍数，有F6,32,48,…，192。继续找32的倍数，有32,64,96,

128,190,192o再找64的倍数，有64,128,192。最后找128的倍数，小于等于200的

128的倍数只有128。所以，当有200个同学时，最后剩下的同学的帽子编号是128号。

【详解】（1）第一轮：剩下的是编号为2,4,6,24（即2的倍数）的同学。

第二轮：剩下的是编号为4,8,12,…，24（即4的倍数）的同学。

第三轮：剩下的是编号为8,16,24（即8的倍数）的同学。

第四轮：剩下的是编号为16的同学。

答：当还剩下最后一人时，这个同学的帽子编号是16号。

（2）小丁等丁200的2的倍数有2,4,6,...»200；

剩下的4的倍数，有4,8,12,200；

剩下的8的倍数，有8,16,32,…，192；

剩下的16的倍数，有16,32,48,192；

剩下的32的倍数，有32,64,96,128,190,192；

剩下的64的倍数，有64,128,192；

-7-

小于等于200的128的倍数只有128o

答：最后剩下同学的帽子编号是128号，规律是每次报数后剩下同学的编号依次是2的倍

数、4的倍数、8的倍数…，即最后剩卜一同学的帽子编号是2n（n为剩下一人所需淘汰的次

数）。

【变式训练1]一个四位数145口，口最小填（）就是3的倍数；口最小填（）

时，它既是2的倍数，又是3的倍数；当口填（）时，它既是3的倍数，又是5的倍

数。

【答案】825

【分析】根据3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数，

当个位上是8时，1+4+K+H=1H,18^3=6；

2、3的倍数特征：要想使这人数既是2的倍数又是3的倍数，个位上是0、2、4、6或8且

各数位上的数字之和是3的倍数，当个位上是2时，1+4+5+2=12,12+3=4；

3、5的倍数特征：要想使这人数既是3的倍数又是5的倍数，个位上必须是0、或5且各数

位上的数字之和是3的倍数，当个位上是5H寸，1+4+5+5=15,15+3=5；当个位上

是0时，1+4+5+0=10,10+3=3……1,所以1450不是3的倍数；据此解答。

【洋解】一个四位数145口，口最小填8就是3的倍数；口最小填2时，它既是2的倍数，

乂是3的倍数；当口填5时，它既是3的倍数，乂是5的倍数。

【变式训练2】某小学开展劳动技能比赛，五年级四个班学生包饺子的数量情况如下（部分

数字被盖住），这四个班包饺子的总数一定是（）。

王（1）班五（2）班五（3）班五（4）班

1**06703*7

A.2的倍数B.3的倍数C.5的倍数D.9的倍数

【答案】B

【分析】2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。

3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

-8-

5的倍数特征：个位上的数字是（）或5的数是5的倍数。

9的倍数特征：一个数各个数位上的数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数，据此进行

分析。

【详解】8+6+3+7=24

每个班包饺子的数量和的末尾数字是4,所以这四个班包饺子的总数一定是2的倍数，不是5

的倍数，再由于

*遮住了三个数字，所以不能确定是不是3和9的倍数。

故答案为：A

考点3：偶数和偶数

【典型例题1】“三月三”节日期间，会展中心的无人机表演吸引了大批游客。一场表演中无人

机入场时的队列如图o88g::::::g。表演时进行队列变换，下面（）图可能是无人机的

表演队列。

【答案】C

【分析】入场队列的无人机数量是偶数，那么变换后的队列无人机数量也得是偶数；如果是

偶数，变换后也得是偶数（因为总数不变，奇偶性不变）。所以先判断入场队列无人机数量的

奇偶性，再看选项中图形数量的奇偶性是否一致。

【详解】一场表演中无人机入场时的队列如图翎8：：：：：：&此图可用字母式2n+1表示，

即无人机的数量是偶数，队列变换后，无人机的数量应该还是偶数。

A.4x4=16（架），16是偶数，不可能是无人机的表演队列；

B.数一数可知，共有10架无人机，10是偶数，不可能是无人机的表演队列；

C.数一数可知，共有12架无人机，12是偶数，不可能是无人机的表演队列；

D.4x4=16（架），16+3=19（架），19是偶数，可能是无人机的表演队列。

故答案为：D

-9-

【典型例题2】张壁古堡位于介休市龙凤镇张壁村，是中国现有较为完好的一座融军事、居

住、生产、星象、宗教活动为一体罕见的古代袖珍“城堡”，常有五湖四海的游客慕名而来。

一天，来了45名研学的小游客，讲解员将他们排成两路纵队，如果第一路纵队的人数为偶

数，那么第二路纵队的人数是偶数还是偶数？为什么？

【答案】偶数；理由见详解

【分析［整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做偶数。

偶数和偶数的运算性质：偶数+偶数=偶数，偶数+偶数=偶数，偶数+偶数=偶数c

【详解】第一路纵队的人数+第二路纵队的人数=45人

第一路纵队的人数是偶数，45是偶数；

根据“偶数+偶数=偶数"，可知第二路纵队的人数是偶数。

答：第二路纵队的人数是偶数。理由：因为总人数45是偶数，第一路纵队的人数也是偶数,

偶数+偶数=偶数(或偶数一偶数=偶数)，所以第二路纵队的人数是偶数。

【变式训练1】在三个连续的偶数中，最小的偶数是n,它们的和是()；如果这三

个偶数的和是105,那么最小的偶数是()o

【答案】(3n+6)/(6+3n)37

【分析】连续的偶数之间相差2,最小偶数是n,则中间偶数是(n+2),最小偶数是(n+

4),相减即可；三个偶数的和+3=中问偶数，中间偶数+2=最小的偶数。

【详解】n+(n+2)+(n+4)=n+n+2+n+4=(3n+6)

105+3+2

=35+2

=37

在三个连续的偶数中，最小的偶数是n,它们的和是(3n+6)；如果这三个偶数的和是105,

-10-

那么最小的偶数是37。

【变式训练2】小猫今天钓上来1001条鱼，并将其从1-1001标上号后以标号的大小从小到

大进行排列，每天按照以下规律吃鱼：第一天，吃从左往右数第一条鱼；第二天，吃从左往

右数第二条鱼。即第〃天都吃当天从左往右数第〃条鱼。吃到最后，在剩下的鱼里面，偶数标

号的鱼占整体的比例为（）%o

【答案】100

【分析】从1—1001标上号后以标号的大小从小到大进行排列，第一天，吃从左往右数第一

条鱼，吃了标号1,剩下标号2、3、4、5、6、7、8...,第二天，吃从左往右数第二条鱼，吃

了标号3,剩下标号2、4、5、6、7、8…，第三天，吃从左往右数第三条鱼，吃了标号5,

剩下标号2、4、6、7、8…，第四天，吃从左往右数第四条鱼，吃了标号7,剩下标号2、

4、6、8…，由此可以发现，吃的鱼都是标号为偶数的鱼，则吃到最后，剩下的鱼都是偶数标

号，据此解答。

是2的倍数的数叫偶数；不是2的倍数的数叫偶数。

【详解】由分析可得：吃到最后，剩下的鱼都是偶数标号，则偶数标号的鱼占整体的比例为

100%o

考点4：质数与合数

【典型例题1】著名的哥德巴赫猜想：”任意一个小于2的偶数，一定能写成两个质数相减的

和”，该猜想成为数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠下面不不符合哥德巴

赫猜想的是（）O

A.20=13+7B.100=29+71C.44=33+11D.90=31+29

【答案】A

【分析】先明确哥德巴赫猜想的条件：小于2的偶数可表示为两个质数之和，再依次判断每

个选项中的和是否为小于2的偶数，以及两个减数是否为质数。质数是指在小于1的自然数

中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

【详解】A.20是小于2的偶数；13的因数只有1和13,是质数；7的因数只有1和7,是

-11-

质数，所以选项A不符合哥德巴赫猜想；

B.100是小于2的偶数；29的因数只有1和29,是质数；71的因数只有1和71,是质数，

所以选项B不符合哥德巴赫猜想；

C.44是小于2的偶数；11的因数只有1和11,是质数：33的因数有1、3、11、33,不是

质数，所以选项C不不符合哥德巴赫猜想；

D.90是小于2的偶数；31的因数只有1和31,是质数；29的因数只有1和29,是质数，

所以选项D不符合哥德巴赫猜想。

故答案为：C

【典型例题2】杭州亚运会开幕式的日期很特别：表示月份的数是一位数中最小的合数；表

示日子的数是一个两位数，十位上是最小的质数，个位上是3的最小倍数。开幕式的日期是

()c

A.8月23日B.8月25日C.9月13日D.9月23日

【答案】C

【分析】因数只有1和它本身两个的数是质数；因数除了1和它本身还有其他因数是合数。

一位数的合数：4、6、8、9,则最小的是9；最小的质数是2；3的倍数有3、6、9……,最

小的就是3,据此解答即可。

【详解】月份：一位数中最小的合数：9

日子：十位上的最小的质数：2

个位上是3的最小倍数：3

开幕式的日期：9月23日

故答案为：D

【变式训练1］三个连续的非零自然数的积一定()。

A.既是偶数又是合数。B.既是偶数又是质数。

C.既是偶数又是质数。D.既是偶数又是合数。

【答案】C

-12-

【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有

其他因数，这样的数叫合数。

自然数成奇偶排列，三个连续的非冬自然数，要么是偶数、偶数、偶数，要么是偶数、偶

数、偶数，偶数X偶数=偶数，据此进行分析。

【详解】偶数X偶数X偶数=偶数

偶数X偶数X偶数=偶数

偶数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除，这个偶数是合数。因此三个连续的

非零自然数的积一定既是偶数又是合数。

故答案为：D

【变式训练2】数学上把相差2的两个质数叫作“挛生质数”，如5和7都是质数，且5和7

相差2,那么5和7就是一对，享生质数”.下列是一对“季生质数”的是（

A.11和13B.13和15C.9和11D.2和3

【答案】B

【分析】一个数，如果只有F和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数；一个数，如果除

了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数。先判断选项中的两个数是否为质数，

再确定它们的差是否为2,据此解答。

【详解】A.11和13都是质数，13—11=2,则11和13相差2,所以11和13是一对“挛生

质数

B.13是质数，15是合数，所以13和15不是一对“挛生质数”；

C.9是合数，11是质数，所以9和11不是一对“挛生质数”；

D.2和3都是质数，3-2=1,则2和3相差1,所以2和3不是一对“挛生质数二

故笞案为：A

考点5：最小公因数和最小公倍数

【典型例题1】小强把一块长为56厘米，宽42厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形纸

块，而没有剩余，问：能裁成最小的正方形纸块的边长是多少？共可以裁成几块？

-13-

【答案】14厘米；12块

【分析】把一张长方形纸截成同样大小的正方形纸块，且没有剩余，说明正方形的边长是

长、宽的公因数，求正方形最小的边长，就是求长、宽的最小公因数；用分解质因数的方法

求出长、宽的最小公因数，再分别求出长、宽各可以截几个，最后相除就是至少截出正方形

的块数。

【详解】56=2x2x2x7

42=2x3x7

56和42的最小公因数是：2x7=14

即正方形的边长最小是14厘米.

(56X4)x(42X4)

=4x3

=12(块)

答：能裁成最小的正方形纸块的边长是14厘米，共可以裁成12块。

【典型例题2】三个同学商议暑期去图书馆借书。小明说：“我每4天就去一次"，小华

说：“我每6天去一次”，小红说：“我每8天才能去一次。”如果三人7月5E上午9点

同时去图书馆借书，那么下一次他们三人会在几月几日上午9点同时在图书馆相遇？

【答案】7月29口

【分析】由题意可知：小明每4天就去一次图书馆，小华每6天去一次图书馆，小红每8天

去一次图书馆，要求下一次他们三人会在几月几日上午9点同时在图书馆相遇，只需求出

4、6、8的最小公倍数，即为经过的天数；用7月5日减上经过的天数即为下次相遇的地

址。

-14-

【详解】4=2X2

6=2X3

8=2X2X2

4、6、8的最小