2026年高考数学一轮复习：二次函数与幂函数（附答案）

§2.6二次函数与嘉函数

【课标要求】1.通过具体实例.了解黑函数及其图象的变化规律2掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称

性、顶点、最值等).

・落实主干知识・

1.帚函数

(1)冢函数的定义

一般地.函数叫做基函数,其中■是白变量.a是常数.

(2)常见的五种寻函数的图象

⑶某函数的性质

①哥函数在(0,+8)上都有定义；

②当30时晶函数的图象都过点LLD和QQ1,且在(0,+8)上单调递增;

③当久＜0时,寻函数的图象都过点£1山,且在(0,+8)上单调递减；

④当久为奇数时,)，=力为宜通教；当«为偶数时,)，=片为假函数.

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：/€工)=d+++0(4#0).

顶点式：＞U)=a(x—+n(a#0),顶点坐标为(〃八〃).

零点式：7U)=a(x-x\)(不一X2)(aW0)可用为fix)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

4acb2(4ac—b2

值域1\4-a，+一刃

1<4a

b

对称轴x=—

-2a

/b4ac-b2y

顶点坐标

\2a14a)

奇偶性当b=（）时是偶函数，当hro时是非奇非偶函数

在（一8，-/］上单调递减；在（一8,-同上单调递增；

单调性

在卜力+8）上单调递增在卜枭+8）上单调递减

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“4”或“X”）

⑴函数.尸［蓝是幕函数.（X）

（2）若二次函数y=a.d+bx+c的图象恒在x轴下方，则且J<0.（4）

（3）二次函数了=。（工一1尸+2的单调递增区间是［1,+8）.（X）

（4）若幕函数y=U是偶函数.则a为偶数.（X）

2.已知帚函数./U）的图象过点（：,2）则,穴4）等于（）

A.OB.-C.--D.-2

22

答案B

解析设幕函数兀1）=之因为其图象过点G，2）,则G）"=2,即2f=2,

解得"=一1所以/W=xN则44）=；.

3.函数人处=2/一工一1（一1WxW1）的值域是（）

A.10,1］B.卜

C.［1,21D.［-^21

oJ

答案D

2

解析/A）=2A-2—x—I=2（x-—I，

因为一10<1,所以火X）在卜1用上单调递减，在G，l］上单调递增，且/6）=—:

又贝1)=2—1一1=0次-1)=2+1—1=2,

故段)=*一X-I在一KWl上的值域为

4.已知函数/U)=f+2(a—l)x+2在区间(一8,—3］上单调递减，则实数。的取值范围是.

答案(一8,可

解析由函数/U)=f+2(a-l)x+2在区间(-8,—3］上单调递减，

可得一f2一3,即〃W4,

故实数〃的取值范围是(-8,4］.

日微点提醒

1.基函数的性质

⑴当Q<0时晶函数在区间(0,+8)上单调递减.在第一象限内，当X从右边趋向原点时，图象在)，轴右方无限

地逼近)，轴正半轴，当X趋于+8时,图象在X轴上方无限地逼近X轴正半轴.

(2)任何暴函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何事函数的图象都不过第四象限.

⑶任何两个事函数的图象最多有三个公共点.除(1,1),(0,0),(—1,1),(—1,一1)外，其他任何一点都不是两个事函

数的公共点.

2.谨防三个易误点

m

(1)第函数儿〃互质)，当力为偶数时，函数为偶函数；当〃?为奇数,〃为偶数时，函数为非奇非偶函数;

(2)二次函数在区间单调，求参数取值范围时等号的处理；

(3)含有参数的二次函数定轴动区间和动轴定区间问题的讨论.

■探究核心题型.

题型一幕函数的图象与性质

例1(1)下列命题中正确的是()

A.当加=0时，函数)，=丁的图象是一条直线

B.募函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点

C.暴函数)，=丁的图象不可能在第四象限内

D.若暴函数)，=乂"为奇函数，则)，=产是定义域内的增函数

答案C

解析对于A,当〃z=0时，函数)，=./的图象是直线)，=1除去点(0,1),所以A项不正确；

对于B,幕函数的幕指数小于0时,图象不经过点(0,0),所以B项不正确；

对于C,幕函数y=/的图象不可能在第四象限内，所以C项正确；

对于D,当m=~\时,幕函数），=,、川为奇函数.但在定义域内不是增函数.所以D项不正确.

（2）如图所示，图中的曲线是寻函数尸/在第一象限的图象，已知〃取±2若四个值，则相对应曲线

GC2C3C4的〃依次为（）

A.-2,一器,2—2

C.一点一2,2,gD.2,p—2,—I

答案B

解析根据幕函数y=V的性质，在第一象限内的图象：

当心0时,〃越大,y=/递增速度越快，所以曲线G的〃=2C的〃=卜

当X）时川越大,曲线越陡峭.所以曲线G的，——C的〃=-2.

思维升华（1）对于幕函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x=1,y

=入所分区域.根据a<O,O<a<l,a=lQl的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.

⑵在比较幕值的大小时,必须结合幕值的特点，选择适当的函数.借助其单调性进行比较.

跟踪训练1（1闱函数於）=（〃72一加—1）”2+时3在（（）,+8）上单调递减,则实数〃?的值为（）

A.2或一1B.—1

C.2D.-2或一1

答案B

解析由题意可知,〃?-1=1,解得〃z=—1或机=2,

当m=—\时次x）=xM函数人©在（（）,+8）上单调递减，成立；

当=2日寸4x）=2.函数人丫）在（0,+8）上单调递增.不成立，

所以"?=-1.

（2）（多选）已知函数为常数），则下列说法正确的是（）

A.函数/U）的图象恒过定点（1,1）

B.当a=-1时，函数於）是减函数

C.当a=3时，函数J（x）是奇函数

D.当时，函数./U)的值域为(0,+8)

答案AC

解析y(l)=ia=l,A正确；

当a=-l时,/u)=：分别在(一8,0),(0,+8)上单调递减，在定义域上不单调.B错误；

当”=3时的定义域为R,巨人一用=(一的3=一『=一儿¥),所以函数人幻是奇函数,(：正确；

当。=料於)=代的值域为[0,+8)0错误.

题型二二次函数的解析式

例2已知二次函数满足＜2)=—1«-1)=一1,且人幻的最大值是8,试确定该二次函数的解析式.

解方法一(利用“一般式”解题)

设人工)=尔++C(4H0).

4a+2b+c=-1,

由题意得a-b+c=-1,

a=-4,

解得b=4,

c=7.

所以所求二次函数的解析式为

yU)=-4f+4x+7.

方法二(利用“顶点式”解题)

设JU)=〃(x—〃?)2+〃(aW0).

因为42)=五一1),

所以抛物线的对称轴为尸号"=

所以加=3

又根据题意,函数有最大值8,

所以〃=8,

所以义工)={%—]2+8.

因为义2)=—1,所以《2—习2+8=-1,

解得*7=—4,

所以久r)=—+8=—4f+4x+7.

方法三(利用“零点式”解题)

由已知得火幻+1=0的两根为X,=2A2=-I,

故可设7U)+1=。(工一2)(x+l)(aW0),

HPj[x)=cur-ax-2a—\.

又函数有最大值8,即4a(必一】)-1)2=8.

4a

解得“=-4.

故所求函数的解析式为«r)=-4f+4x+7.

思维升华求二次函数解析式的三个策略

(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式.

(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等.宜选用顶点式.

(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式.

跟踪训练2已知二次函数人工)的图象过点(0,3),对称轴为直线x=2,且方程/U)=0的两个根的平方和为

10,则氏I)的解析式为.

答案/(x)=,r—4x+3

解析依题意，设函数贡x)=a(x-2)2+6(aW0),

由二次函数./U)的图象过点(0,3),

得力))=3,

所以4〃+万=3,即h=3—4a,

所以J(x)=〃(x—2>+3—4a,

令.")=(),即心—2)2+3-4a=0,

所以,加一4四+3=0,

设方程的两根为X|K2,

3

则XI4-X2=4,XIX2=-

所以*+媛=(X|4-X2)2—2X\X2=16—，,

所以16—&=10,解得a=l,

a

所以JU)=f—4x+3.

题型三二次函数的图象与性质

命题点1二次函数的图象

例3(多选)函数.")=0?—2x+l与g(x)=f在同一直角坐标系中的图象不可能为()

答案BD

解析因为J(x)=ax2-2x+1,g(x)=d,

对于A,当a=—\时次工)二-W—2A+1.其图象开口向下,对称轴万程为x=-1第(幻=］一|=g,其图象关于原点

对称.且在(0,+8)上单调递减，故A满足要求；

对于B,当人工)=々/一2^+1的图象开口向上时心＞0,此时g(x)=f在(0,+8)上单调递增，故B不满足要求；

对于C,当。=决寸府)=#一2、+1,其图象开口向上.对称轴方程为尸2%)=/其图象在［0,+8)上单调递

增.且越来越缓、故C满足要求；

对于D,当於)=加一2丫+1的图象开口向上时Q0,此时其对称朝方程为尸一高二》(),故D不满足要求.

■微拓展•

一元二次方程根的分布

解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于

系数的不等式(组)进行求解.

(1)判别式/的符号.

对称轴与所给区间的位置关系.

(2)X=2a

(3)区间端点处函数值的符号.

典例已知关于x的一元二次方程.F+2〃?工+2〃?+1=0.

(1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(・1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求实数m的取值

范围；

(2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0,1)内，求实数，〃的取值范围.

解(1)依题意知，函数1x)=F+2〃a+2〃?+I的图象与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内，画出示

意图，

7[0)=2m+l<0m<--,

n?£R,

得《即《

/(I)=4m+2<0m<--

2

、

(/(2)=6m+5>0m>--5

6

解得..i

故实数，〃的取值范围为(一：，

(2)依题意知，函数./(X)=』+2/心+2〃?+I的图象与x轴的交点落在区间(0,1)内，画出示意图，

伙0)>0,

f⑴>0,

得，

Z1>0,

0<—m<1,

w,

M~7>1_

即《2解得

771>1+a或TH<1-V2,

1<m<0,

故实数的取值范围为（-j,1一&）.

命题点2二次函数的单调性与最值

例4（2025•福州模拟）已知二次函数«1）=以2—工+24—1.

⑴若/U）在区间［1,2］上单调递减，求。的取值范围；

⑵若。＞0,设函数段）在区间［1,2］上的最小值为g（a）,求鼠。）的表达式.

解（1）由题意知a关0.

当。＞0时段尸加一叶2。一1的图象开口向上,对称轴方程为k或，

所以JU）在区间［1,2|上单调递减需满足;22,

乙C4

又a＞0,所以0＜々忌；

4

当。＜0时段）=加一］+24-1的图象开口向下,对称轴方程为x=^＜0,

所以於）在区间［1,2］上单调递减恒成立.

综上,a的取值范围是（一8,o）u（0,；］.

（2）①当0v工W1,即工时，

2a2

火工）在区间nz上单调递增，

此时g（a）=/（l）=3a-2.

②当1〈白＜2,即:时，

za42

府）在区间［1以上单调递减.在区间吗,2］

上单调递增.此时g（a）=/O=2a-专一1.

③当,N2.即时、

2a4

./U）在区间H,2］上单调递减，

此时g（a）-/（2）—6〃-3.

（6a—3,aE（。,*

综上所述,&（〃）=卜。一专一l,aW仔3），

［3a-2,a6［|＞+00）-

思维升华二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种

类型.解题的关键都是对称轴与区间的位置关系、当含有参数时.要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨

论.

跟踪训练3(1)已知函数y=f—3x—4的定义域是[-值域为卜§,0],则用的取值范围是()

A.(0,4]B.[|,4]

C.MD.[|,+oo)

答案B

解析设於)=丁_3%_4=1_|)2一.£&

所以£r)的图象是开口向上的抛物线.其对称轴方程为如图所示，

一25寸1\工1/

所以N|)=一多易知火T)=a)=o,

由图可知.要使函数—3x—4的定义域是[―1值域为[-^,0],

则〃?的取值范围是修,41.

(2)函数/U)=f-4x+2在区间⑼上的值域为[一2,2],则b-a的取值范围是,

答案[2,4]

解析解方程—4x+2=2.得x=0或x=4.解方程凡0=«—4x+2=—2,得K=2,

由于函数人处在区间a句上的值域为[-2,2].

若函数小)在区间[凡切上单调厕[〃力]=[(),2]或此时人一〃取得最小值2；

若函数人幻在区间口,句上不单调.

且当万一〃取最大值时,m刈=[。,4],

所以万一〃的最大值为4,

所以b-a的取值范围是|2,4].

课时精练

［分值：100分］

知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.若某函数.八幻=f的图象经过第三象限，则a的值可以是（）

八一2B.2C.lD.i

答案D

解析当a=—2时次%）=/2为偶函数.图象在第一和第二象限，不经过第三象限,A不符合题意；

当a=2时,"）=/为偶函数、图象过原点，分布在第一和第二象限不经过第三象限.B不符合题意；

当。得时:"）=a0［0,+8）.图象过原点，分布在第一象限，不经过第三象限,c不符合题意；

当时,"）=/x£R,为奇函数，图象经过原点和第一、三象限,D符合题意.

«3

2.己知4=25/=3§£=255,则（）

A..b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<h

答案A

解析由题意得〃=3§<4三=2§=a,

421

a=2§=4§<4<5=25]=c,

所以b<a<c.

3函数yu）=1】的单调递减区间是（)

/X2-8X+15

A.(—8,3)B.(3,4]

C.(5,+8)D.(4,4-oo)

答案C

解析由yu）二i可得f-8x+15>0.解得x<3或.r>5,

X2-8X+15

由—8x+15图象的对称轴为.v=4,

则—8%+15在［4,+8）上单调递增,

故/*=i的单调递减区间为(5,+8).

JX2-8X+15

4.已知幕函数/U)=(〃F—5〃?+5)V厂2是R上的偶函数,且函数gQ)=/&)—(2a—6)x在区间[1,3]上单调递减，则

实数。的取值范围是()

A.(—8,4)B.(—8,4]

C.[6,+8)D.(—8,4]J[6,+8)

答案C

解析因为幕函数府)=(〃P—5〃d5)"i是R上的偶函数.

则〃F—5加+5=1,解得m=1或m=4,

当初=1时於)=3,该函数是定义域为｛#W0｝的奇函数.不符合题意；

当〃?=4时,该函数是定义域为R的偶函数.符合题意.

所以Kr)=P则g(x)=f—(2。-6)凡其对称轴方程为产〃一3,

因为式力在区间[1,3]上单调递减,则。-3/3.解得心6.

5.已知点(1―加田,(/〃,”),(〃z+lj3)都在二次函数—2K的图象上，则()

A.yi<V2<y3B.ys<V2<yi

C.yi-2Dj2<yi=yy

答案D

解析二次函数次X)=W—2Y=(X—1)2—1,

其图象的对称轴方程为x=l,

而(1—〃?)+(1+〃?)=2,

所以川一加)=火1+⑺，即y尸”,

当心>1时4工)单调递增、

因为加>1,所以〃?+1>m>1,

所以1即52<)与，

综上,上”》=》.

6.已知二次函数人力的图象的顶点坐标是(2,2),且截x轴所得线段的长度是4,将函数儿I)的图象向右平移2个

单位长度，得到抛物线y=g(©的图象，则抛物线)=g(x)的图象与y轴的交点坐标为()

A.(0,-8)B.(0,—6)

C.(0-2)D.(0,0)

答案B

解析因为二次函数凡0的图象的顶点坐标为(2,2),故/(x)的对称轴为直线x=2,

又人幻的图象截x轴所得线段的长度是4,

所以7U)的图象与x轴的交点坐标为(0,0)和(4,0),设46=。。-2)?+2(。工0),

将点(0,0)代入得〃(一2尸+2=0.解得a=~\,

所以」口)=一31-2)2+2,

因为g(x)的图象为凡丫)的图象向右平移2个单位长度得到的，所以g(x)=/U—2)=—2—2p+2=—

4)2+2,

令x=0,贝ij^(0)=-1X(0-4)2+2=-6,

所以观外的图象与y轴的交点坐标为(0,—6).

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.恭函数凡0=(2〃尸+加-2)/一3,加£叱,则下列结论正确的有()

A.m=1

B.函数,/U)在定义域内单调递减

C次-2)勺(3)

D.函数/U)的值域为(0,+8)

答案AD

解析由/(x)=(2〃P+/〃-2W"-3为幕函数可得2〃F+〃L2=1,解得m=1或〃?=—李又“PN；所以〃?=1.所

以於)=/=或，故A正确；

因为函数段)的定义域为(一8,0)U(0,+8),关于原点对称,由八一工)=鼻=三=其"知函数小)为偶函数，由

于一2<0.故,/U)=X2在区间(0,+8)上单调递减.根据偶函数性质知人幻=42在区间(—8,0)上单调递增.故B

错误；

4—2)=+=/=专=©,故C错误；

因为耻的定义域为(-8,0)50.+8),则『>0,所以,")=点的值域为(0,+8),故D正确.

8.如图是二次函数尸加+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线尸一1,且过点(一3,0),下列说法正确的是

A..abc<0

B2a~b=0

C.3a—c=0

D.若(一5ji),(3j2)是抛物线上两点，则

答案ABC

解析由图知该抛物线开口向上，故〃>0,；对称轴是直线％=-1,・・・一力=-1.故/2=200,即24—〃=0,故8

正确；

•・•抛物线与y轴的交点在X轴下方.二."。.故A正确；

由抛物线对称性得该函数图象必过点(1,0),可得〃+b+c=0,结合Q2认可得3〃+c=0,故C正确；

易知点(-5,y),(3,闻到对称轴距离相等，故)故D错误.

三、填空题(每小题5分，共10分)

9.(2024•南京模拟)已知函数+/叫若R/一工)=*+x),则rn=.

答案一2

解析因为VxfR仅1-x)=/(1+x)、

函数；U)的对称轴为直线％=1,

而由+〃?x=(x+£)—?可知其对称轴为直线尸一£,故一£=1,解得"?=-2.

10.如用为三个事函数尸)，=小,),=”3在其定义域上的局部图象,则实数0M从小到大的排列顺序

为.(请用连接)

答案。1<〃2<。3

解析对于y=%Qi,

由其图象可知«1<（）;

对于尸无。2,由其图象可知0<s<l；

对于1=产3,由其图象可知⑴，，

所以

四、解答题（共27分）

11.（13分）已知塞函数%）=（2攵-1）/2-2时3（小£M）为偶函数,且在（0,+8）上单调递减.

（1）求，〃和k的值；（6分）

（2）求满足（2。+1）-%：（3—2〃）一州的实数。的取值范围.（7分）

解⑴由函数危）=（2攵-1）”2-2时3为黑函数则24-1=],解得仁1.

由危）=”2-2m-3（m£N*）在（0,+8）上单调递减，得加2-2加一3<0,解得一1<加<3,

而，〃£N",故m=\或2,

当rn=1时次1）=14,定义域为国工夫）｝,

且./（幻为偶函数.符合题意；

当,〃=2时段）=”,定义域为｛小W0｝,函数为奇函数.不符合题意.

故m=l,k=1.

（2）由⑴得m=l,则（2。+1尸V（3一2尸,

即一二<二一,故2a+1>3—2a>0或0>2。+1>3—2。或2。+1<0<3—2a.

2a+l3-2a

解得$。<|或0或a<~\

故实数a的取值范围为（一8,-0UG，|）.

12.（14分）已知二次函数/U）的最小，直为1,且4））=逐2）=3.

（I）求心:）的解析式；（6分）

（2）当工引一1,1]时於>2]+2〃?+1恒成立，试确定实数m的取值范围.（8分）

解（1）由题意.函数贸幻是二次函数，

且10）=/（2）,可得函数人幻的对称轴为直线x=l,

又由最小值为1,可设贝x）=a（x—l）2+l（a>0）,

又逃0）=3,即。（0—1>+1=3,解得”=2,

所以函数的解析式为式幻=2。-1)二+1=21—41+3.

(2)因为当［一I』时风t)>2x+2m+1恒成立,

即当工£［-1』］时2F-4JC+3>2X+2M+1恒成立，

即当」正［-1,1］时，加M-3x+1恒成立，

设函数g(x)=.F—3x+1/£［—1』］,

则g。)在区间［—111上单调递减，

所以g(x)在区间［—1,1］上的最小值为g⑴=-1,

所以m<—\,

故实数m的取值范围为(-8,一1).

10能力拓展

13,14,16题每小题5分，15题6分，共21分

13.已知函数人为=^^的部分图象如图所示，则a+8+c等于()

A.3B.6

C.13D.1

答案A

解析令#(.i)=aF+bx+c',

则/U)=

由图可得方程g(x)=O的两根为2和4,

则gU)=«(x-2)(x-4),

又由图象知人3)=1,

即会=1厕g⑶=1，

所以，X(3—2)X(3-4)=1.解得a=-\

所以g(x)=—(x—2)(x—4)=—d+6x—8,

所以b=6,c=—8,

则a~\-b-\~c=—i+6—8=—3.

14.若函数凡0=.己2区+3。在区间［0,1］上的最大值为M,最小值为〃?，则M-〃?的值（）

A.与a无关,与b有关

B.与a有关，与b无关

C.与a有关，且与Z?有关

D.与a无关,且与b无关

答案A

解析函数/5）4-2笈+3。的图象开口向上，且对称轴为直线下人，

①当b>\时，危）在［0,1］上单调递减,则Af=/（0）=3a,KD=l-2b+3a,此时M-m=2b-l,故M-m的值与a

无关，与人有关；

②当辰0时，府）在［0,1］上单调递增，则加"3a,m=J（0）=3a,此时力,故M-〃7的值与a

无关，与〃有关；

③当0W0W1时，〃?=必）=34-/,

若，则川）利0）,有用于1）=1-2〃+3〃，.・・和〃『人2。+1,故M-〃?的值与。无关，与有关，若

@,

则川）力。），有wyo）=3a,

.\M-m=b2,故M-m的值与a无关，与〃有关，

综上，M-m的值与〃无关，与〃有关.

15.（多选）一般地，若函数段）在区间［a,句上的值域为囱,kb］,则称眼，物为,/U）的“〃倍跟随区间”，

若函数次X）在区间［〃,加上的值域为［〃・h］,则称,可为大外的“跟随区间”，下列结论正确的是（）

A.若［1,A为."）=f-2x+2的“跟A区间”，则b=2

B.函数於）=1号存在“跟随