吉林省长春市经开区2025-2026学年上学期期末九年级数学试卷 （含答案）

长春经开区2025-2026学年度第一学期期末质量调研九年级数学试卷

本试卷包括四道大题，共24小题，共6页.全卷满分120分.考试时间为120分钟.

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

I.计算（2&y所得的结果是（）

A.2B.4C.6D.8

2.袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋

子中摸出3个球，下列事件是必然事件的是（）

A.至少有一个黑球B.至少有一个白球C.至少有两个黑球D.至少有两个白球

3.一元二次方程/=9的解为（）

A.x}=x2=3B.再=-3,x2=3

C.X1=x2=>/3D.X1=-V3,x2=

4.在比例尺为1:40000的地图上，量得两地的距离是15cm,则两地间的实际距离是（）

A.60000mB.6000mC.600mD.600ktn

ABC=30°,点。在C8延长线上，且BD=L/iB,连接力。，则tan/D4c的

5.如图，△48C中，ZC=90°

2

值为（）

A.I+V3B.2+百C.3D.3^3

二、多项选择题（每小题3分，共9分）

6.下列式子中，不是最简二次根式的有（）

1

A.6B.C.，300D-旃

7.我们规定：若一个三角形中的某一个内角是另一个内角的2倍，那么我们把这个三角形叫作“7-三角形卜列

各组数据中，能作为一个“7-三角形”三边长的一组有（）

A.1,2,3B.1,1,V2C.1,2,6D.1,2,M

8.如图，在△/8C中，AB=AC,4=90。，正方形MNPQ的顶点M、N均在边上，顶点2、。分别在边力C、

力B上,△力8C的面积为18.则下列语句中，正确的有（）

C.^ABQAfD.SMNC=4

三、填空题（每小题3分，共18分）

9.请任意写出一个能使万而有意义的〃，值:

10.从1到9的连续自然数中任取一个，是偶数的概率是.

11.已知一元二次方程.d-6x+c=0有一个根为2,则另一个根为

12.cos60。的值等于,

3如图'在平行四边形"。中‘点人"分别为边4。和对角线如上的点"EF〃通若DE*E1,

4

点尸（〃八6）在第二象限内.若。0与x轴负半轴的夹角。的正切值为:，则〃?的值

为.

四、解答题（本大题10小题，共78分）

15.已知甲袋有3张分别标示1、2、3的号码牌，乙袋有3张分别标示6、7、8的号码牌，榕榕分别从甲、乙两袋

中各抽出一张号码牌.每张号码牌被抽出的机会相等，请借助列表或树状图，求她抽空网张号码牌上数字乘枳为3

的倍数的概率.

16.解一元二次方程：X2-3X+5=0.

17.判析如的值在哪两个连续整数之间，并简要写出推理过程.

18.如图，矩形48CO中，点E在边BC上，连接。E,4F上DE于点、F,AB=24,AD=\5,BE=8.

（1）求证：AAEDs^DCE.

（2）求力尸的长.

19.一家小超市1月份的利润是50000元，3月份的利润达到60500元，求这两个月的利润平均月增氏的百分率.

20.有长度分别为3、5、6、9的四条线段，不采用树状图与列表的方法，求任取其中三条线段能构成三角形的概

率，并加以说明.

21.如图，小李在森林公园瞭望塔的点力处，测算塔下方的一棵树的高度.观测到点力处到地面的距离48为20米，

树顶。处的俯角为44。，塔底8到这棵树的距离为12米.求这棵树的高度.（结果精确到0.1米）（参考数据：

sin44°=0.69,cos44°=0.72,tan44c=0.97）

B

22.如图，正方形48co的边长为6,点E在CO边上，连接/E,/D4E=30。，点〃为力上的中点，线段。。过

点〃交力。、8C于点P、Q,PQLAE.求PM、的长.

23.【问题探究】如图①，△4%中，点。、E分别为边4C、48的中点，若ND4C=40。，ZDJ^=70°,AD=3,

求AC的长.

nr\I

【方法拓展】如图②，MB。中，点D为8c边上的一点，—若/D4C=120°,ND48=30。，力。=3,求

力。的长.

图①图②

24.我们规定：若一条线段的两个端点都在一个三角形的边上（不与端点重合），且这条线段截得的小三角形与原

三角形相似，相似比为则把这条线段叫做这个三角形的“半似位线

(1)等边三角形的“半似位线”的条数为条.

(2)一个三角形的“半似位线”把三角形分成的两部分图形的面积之比是.

(3)若一个三角形的三边长之比为1:2:石，则这个三角形的“半似位线”的条数为条.

(4)如图，在△48C中，/B=90。,AB=40,8C=30.点P从点片出发，以每秒5个单位长度的速度，沿月8向终

点3运动；在点。出发的同时，点。从点力出发，以每秒。个单位长度的速度，沿折线4C—C8向终点8运动.设

运动时旬为f秒.

①用含/的代数式表示PB的长为.

②当PQ为△人BC的“半似位线”时，直接写出。的值.

参考答案

1.D

解：(2及y=22x(0)2=4x2=8.

故选：D.

2.A

A、是必然事件，故本选项符合题意；

R、是随机事件，故本选项不符合题意:

C、是随机事件，故本选项不符合题意;

D、是随机事件，故本选项不符合题意,

故选：A.

3.B

解：X2=9,

/.x=±3,

=3,x2=-3.

故选：B.

4.B

解：设两地间的实际距离是'em,

15:x=1:40000,

Ax=600000,

••・600000cm=6000m,

・•・两地间的实际距离为6000m,

故选：B.

5.A

解：在△ABC中，ZC=90°,ZJ5C=30°,

，AB=2AC，

设4C=x,则/8=2x,8C=口82—4(72=&•，

•?BD=-AB,

2

••・BD=x,则CO=3C+4O=百X+T=(W+1)x,

•DC(囱+l)x

••tanZDAC=--=--------=0+1，

ACx

故选：A.

6.BCD

解：A.右为最简二次根式；

B.被开方数;含分母，故不是最简二次根式；

V33

c.而可简化为ioG，故不是最简二次根式；

D.喘分母中含有根号，故不是最简二次根式；

故选：BCD.

7.BC

解：A、1+2=3,不能构成三角形，不符合题意；

B.12+12=(^)\该三角形为等腰直角三角形，三个角分别是90。,45。,45。的直角三角形，其中，90。+45。=2,符

合“7-三角形”的定义，符合题意；

C.12+(>/3)2=22,该三角形为直角三角形，最小的角的正弦为g,则最小的角为30。，

则三个的分别是30,60,,90,其中60。：30。=2,符合“7-三角形”的定义，符合题意.

D、12+22=(6)、是直角三角形，但是不满足某一个内角是另一个内角的2倍，不符合题意；

故选：BC.

8.ABD

解：:AB=AC,ZJ=90°,

Zfi=ZC=45°,

•.•正方形MVP0,

:.QP\\MN,QM1BC,PNIBC,

&BMQ和△PNC是等腰直角三角形，

/.QP=MN=QM=BM=PN=NC,

:.BC=BM+MN+NC=3PN,故B选项符合题意；

•・,QPIIMN,

AAQPsAABC,

.g丝」，

ABBC3

：.AB=3AQ,

BQ=2AQ,故A选项符合题意；

又•：QP〃MN,

AAQP=NB=45°,ZAPQ=ZC=45°,

：MQP和△M08是等腰直角三角形，QP=QM=6AQ,

:."QPs^MQB,

AQAQAQ_V2

"~QM=~QP=41AQ=T

SAA@I2J2

•.S.BQM=2s“PQ,故c选项不符合题意：

,,Sa80M=与GAPQ»则SaPNC=SdBQM=苞/也，

S正方形=XsBMQ~铝40P，

：,S"BC=S“Qp+S^BQM+SJNC+S正方形北丫段二18,

即5SQPC+&aNPC+2SGNPC=18，

解得'YPC=4,故D选项符合题意.

9.2（答案不唯一）

解：要使，3-〃?有意义,需满足3-620,

解得〃?《3.

因此，任意取小43的■个值即可，例如m=2.

故答案为：2（答案不唯一）.

l0-I

解:从1到9的自然数中，偶数包括2,4,6,8,共4个，总数为9个,

因此任取一个数是偶数的概率为］4.

4

故答案为：

11.4

解：设方程的另一个根为“，

由根与系数的关系可得小+2=6,

/."7=4,

・•・方程的另一个根为4,

故答案为;4.

12.-##0.5

2

解：根据特殊角的三角函数值可知，

cos6（）。的值为/,

故答案为：.

25

解：・・・DE=；E4,

/.AD=AE+DE=?力£,

4

.AD5

••=一，

AE4

,四边形/BCD是平行四边形，

：.CD\\ABt

,:EF/!AB,

：.EF\\CDt

：・AADCS"EF,

.DCAD=5

,•甘・力£―4，

EF=5,

DC5

.・・。。=与，

4

♦:四边形ABCD是平行四边形,

25

AAB=CD=--.

4

故答案为：V

4

9

14.-T

•—---=—

m3

-4m=3x6,

-4m=18,

9

9

故答案为：-Q

解：运川列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下,

共有9种等可能结果，其中乘积为3的倍数有5种：（1,6）、（2,6）、（3,6）、（3,7）、（3,8）,

・•・抽出两张号码牌上数字乘积为3的倍数的概率为［.

16.无实数根

解：在一元二次方程一一34+5=0中，。=11=-3,°=5,

/.A=（-3）2-4xlx5=-ll<0,

・••方程无实数根.

17.在24和25之间,见解析

解：Vl5xV40=>/600,

242=576，25—625,

24<V600<25，

24<x/15x5/40<25.

18.（1）见解析

72

⑵肝=不

（1）证明：•・•四边形44CO是矩形，

AZ^C=ZC=90°,

JZADF+ZCDE=ZCDE+ZCED=90°,

ZADF=/DEC,

VAFIDE,

：.ZAFD=ZC=900,

・•・"FDS^DCE；

（2）解：根据题意，AD=BC=\5,AB=CD=24,

:.CE-BC-BE-15-8—7,

,DE=>JCD2+CE2=V242+72=25»

•・•“FDs^DCE,

,AFADAF15

..——=——，H即I1——=一,

CDDE2425

72

解得，JF=y.

19.10%

解：设这两个月的利润平均月增长的百分率是x，

根据题意得：50000（1+x）2=60500,

解得：$=0.1=10%,七二-2.1（不合题意，舍去）.

答：这两个月的利润平均月增长的百分率是10%.

20.《

解：从长度分别为3,5,6,9的四条线段中任取三条，共有（3,5,6）、（3,5,9）、（3,6,9）、（5,6,

9）四种等可能结果，

其中能组成三角形的有（3,5,6）、（5,6,9）两种等可能结果，

所以能组成三角形的概率（2=；1

21.8.4米

如图，作CEJ.48于E,则四边形E5OC为矩形，

BD

AP

在Rt^AEC中，tanZACE=——，

EC

贝ij4E=EC-tanZ/1C£=12x0.97=11.64,

CD=BE=AB-AE=8.36。8.4米，

答：这棵树的高度约为8.4米.

22.PM=2、M0=4方-2

解：在正方形ABC。中，ZD=90°,ZDAE=30°,AD=AB=BC=CD=6,

AAE=2DE,

AD2+DE2=AE2，

••・62+DE2=（2DE）",

:・DE=2出（负值舍去），力石=46,

•・•点/为4?的中点，

Z.AM=EM=-AE=2y[3,

2

VPQ1AE,

AZ/4AfP=90°,且/尸力M=30°,

JAP=2PM

VPM2+AM2-AP2

：.PM2+AM2=（2PM）2,

:・AM=»PM=26，

/.PM=2,力尸=2尸.”=4,

AZ）P=JD-JP=6-4=2,则QP=MP=2,

如图所示，连接PENCE。，

/.Z.D=Z.PME=90。,PE=PE,PD=PM,

RSPDEWRIAPME（UL）,

DE=ME=26,

:・CE=CD-DE=6-26

•・•点〃为力E的中点，PQA.AE,

•••。。是线段力石的垂直平分线，则42=E。，

设C0=x,则8。=8。一。0=6-x,

在MA/8。中,AQ2=AB2+BQ2=62+（6-x）2,

在RsCE。中,EQ2=CE2+CQ2=（6-2>/3）?+x2,

AQ2=EQ2,

/.62+（6-X）2=（6-2^）2+?,

解得，x=2石+2,

Je2=62+(6-2^-2)2=64-16^,

在中，

MQ=^AQ2-AM2

=V64-16X/3-12

=752-1673

=^(4^3)2-2x2x475

=M§-2)2

=4>/3-2；

，PM=2,A/0=4百-2.

23.问题探究：AC=6；方法拓展：AC=9

解；问题探究•.•/)、E分别为边8C、的中点

DE(iAC,DE=-AC

2

：.ZDAC=^ADE=40°

vZDAB=70°

:ZED=180°-ZDAB-/ADE=70°

/.Z.DAE=ZAED=70°

AD=DE=3(cm)

JC=2D£=6(cm)

方法拓展：如图，过8作〃4C,交力。延长线于E,

A

vBE//AC,

就一、疝C

E

NE=ND4c=120。，

vZD/i5=30°,

.•Z8E=30。，

/.AE=3E,

BE/!AC,

.'.ABED^^CAD,

.Bl)DE_HE_\

"~CD~^4D~^4C~2,

:.AC=2BE,AD=IDE

vJD=3(cm),

3

DE=—(cm),

39

=JE=-+3=-(cm),

22

/.AC=9(cm).

24.(1)3条

(2)1:3

(3)4条

(4)①40-5/；②律■或4或竽或12

44

(1)解：如图，在等边△48。中，取各边中点。，E,F,连接OE,EF,DF.

•・•点D尸分别是48,4C的中点，

/.DF//BC,DF=、BC,

2

DFI

：.“DFS.ARC,相似比为器=5，

・•・。尸是等边△力8c三角形的“半似位线”.

同理可得DE,EF是等边AABC三角形的“半似位线”.

••・等边三角形的“半似位线”的条数为3条.

故答案为：3.

(2)解:如图，OE是△力8C的“半似位线”，

:.AADEsAABC,且相似比为上,

.反皿/1]_1

S“BC12)，

.S“DE-1

•・q_q,

“四边彩8cmJ

・•・•个三角形的“半似位线”把三角形分成的两部分图形的面枳之比是1:3.

故答案为：1:3.

(3)解：•・•一个三角形的三边长之比为1:2:6,

・•・如图，不妨设4B=k,BC=2k,AC=4ik(A>0)

取各边的中点DE,F,连接OE,EF,DF,

：,DF/7AC,DF=-AC,

2

：.△BDFsABAC,且相似比为空=:，

AC2

・•・DF是LABC的“半似位线”,

同理可得，DE,EF是△48。的“半似位线

如图，若G〃是的“半似位线"，豆△"BGs4*

：.BH=-AB=-kBG=-BC=-x2k=k,

222f2

此时8G=48,点G与点力重合，

不符合，半似位线”的定义，即G”不是△48C的“半似位线”.

如图，若"N是△力8c的“半似位线"，且△/M/Vs△48C,

AMAN\

贝Ml|lJ——=——=-

ABAC2

:.AN=-AC=-xy/5k=—k»

222

此时4V点N不在边力4上，

不符合“半似位线”的定义，即A/N不是△相。的“半似位线”.

如图，若。。是△/8C的“半似位线”，且△0PCs”8C,

A

皿PCQCI

贝I」一=—=-

BCAC2

:・PC《BC=k,℃=g/c=；x&=当，

符合畔似位线”的定义，即P。是的“半似位线”.

综上所述，这个三角形的“半似位线”的条数为4条.

故答案为:4.

(4)解：①当运动/秒时，AP=5t,

••・PB=AB-AP=40-5t.

故答案为：40-5/.

②：在Rlz2\/i6CH』，AB=40,6c=30,

'AC=y/AB2+BC2=50-

(I)