第1课时 平面与平面垂直的判定定理

8.6.3平面与平面垂直

第1课时平面与平面垂直的判定定理

【学习目标】1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单二面角的平面

角2掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和判定定理判定面面垂直.3.能利用面面垂直的判定定理解决

一些综合问题.

一、二面角的概念

问题1请举出两个平面相交的例子.

问题2我们通常说“把门开大一些”（动手演示教室的门），是指哪个角大一些？如何去刻画二面角的大

小呢？

问题3/AOS的大小与点。在楂/上的位置有关吗？

知识梳理

1.二面角

从一条直线出发的两个_________所组成的图形叫做二面角，这条

定义

直线叫做二面角的____________,这两个半平面叫做二面角的面

吗0

画法

平卧式直立式

二面角____________________或二面角________________或二面角

记法

P-1-Q或二面角____________

在一面角a-//的棱/上___________一点O,以点O为垂足，在

半平面a和夕内分别作垂直于棱/的射线0A和OB,则射线0A和

。8构成的___________叫做二面角的平面角，如图

二面角的平面角二

5、

二面角的平面角Q的取值范围

2.平面角是的二面角叫做直二面角.

例1已知四边形A6C。是正方形，PA_L平面A3CD,且尸A=A6.求:

(1)二百角8-PA-O的平面角的大小;

(2)二而角8-PA-C的平面角的大小;

(3)二面用A-PD-C'的平面角的大小.

反思感悟(1)确定二面角的平面角的方法

①定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.

②垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面相交产生两条射线，这两条射线

所成的角，即为二面角的平面角.

③垂线法：如果两个平面相交，有过一个平面内的一点且与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂

线，连接两个垂足，应用直线与平面垂直的判定定理可证明连线与棱垂直，找到二面角的平面角.

(2)求二面角大小的步骤

①找到(作出)二面角的平面角.

②证明这个角是二面角的平面角.

③在平面角所在的平面国形(多数是三角形)中，通过解三角形，孝出平面角，进而得到二面角的大小.

跟踪训练1如图，是。。的直径，PA垂直于。。所在的平面，C是圆周上的一点，且PA=AC,求

二面角P-BC-A的大小.

二、平面与平面垂直的定义及应用

问题4教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？这些二面角的大小是多少？

知识梳理平面与平面垂直的定义与画法

(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是宜二面角，就说这两个平面互相垂直，记

作：a邛.

⑵画怯:

4

例2如图所示，在四面体A-8CD中，BD=V2a,AB=AD=CB=CD=AC=a.ilE：平面48。J_平面ACO.

A

跟踪训练2如图，四边形ABC。为菱形，ZABC=120°,E,尸是平面A8CO同一侧的两点，8石_1_平

®ABCD,力/_L平面48cO,BE=2DF,AE±EC.

求证：平面AEC_L平面A/C

三、平面与平面垂直的判定定理及应用

问题5我们教室的建筑者是如何判断教室的墙面与地面是垂直的呢？

问题6请说出这种方法的数学原电

知识梳理面面垂直的判定定理

文字叙述如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直

图形表示

符号表示aua,ct邛na邛

简记线面垂直，则面面垂直

例3如图，四边形4BCO是正方形，MAJ_平面ABC/),PD//MA,G,产分别为夕3,PC的中点，点

E在上.求证：平面EFG_L平面PDC.

p

跟踪训练3如图，四棱锥P-A8CO的底面是正方形，PO_L底面A8CO,点石在棱P8匕求证：平面

AECI平面PDR.

■课堂小结•

1.知识清单：

（1）二面角以及二面角的平面角.

（2）平面与平面垂直的定义及应用.

（3）平面与平面垂直的判定定理及应用.

2.方法归纳：转化法.

3.常见误区：二面角的平面角找不到或者找错.

—随堂演练

1.下列命题中，错误的是（）

A.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交

B.平行于同一条直线的两个平面一定平行

C.如果一个平面不垂直于另一个平面，那么这个平面内一定不存在直线垂直于另一个平面

D.若直线/不平行于平面，且/不在平面内，则在平面内不存在与/平行的直线

2.已知直线a,。与平面a,小y,下面能使aJ_”成立的条件是（）

A.a±y,B.aO/?=67,bA-a,bu[5

C.a〃B，a//aD.a〃a,a_L/?

3.（多选）下列命题为真命题的是（）

A.两个相交平面组成的图形叫做二面角

B.异面直线a,〃分别和一个二面角的两个面垂直，则m人所成的角与这个二面角的平面角相等或互

补

C.二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角

D.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系

4.在正方体A8CO-ABO中，二面角的大小是()

A.3O0B.45°

C.60°D.90°

答案精析

问题I课桌的上表面与墙面、教室的墙面与地面等.

问题2指门与门框所成的二面角大一些.取二面角棱/上的一点。在二面角的面上分别作射线0A,。8与

二面角的棱垂直，得到N4。△可以刻画二面角.

问题3无关.

知识梳理

1.半平面棱a-l-pa-AB-fiP-AB-Q任取ZAOB

0°WaW180。

2.直角

例1解(1)・・・弘_1平面48。，

A8u平面ABC。，AOu平面4BCO.

：.ABLPAtAD1.PA.

，/胡D为二面角8-P4-。的平面角.

又四边形ABC。为正方形，

；・N8AD=90。，

・•・二面角8-P4D的平面角为90。.

(2)：PA_L平面ABCD,

48u平面ABCD,

ACu平面ABC。，

：.ABLPA,ACLPA.

・・・/8AC为二面角8-PA-C的平面角.

又四边形A3CQ为正方形，

；・NBAC=45°.

即二面角8-PA-C的平面角为45。.

(3)如图，取PQ,PC的中点分别为O,M,连接AO,M。，

丁24_1_平面A8cO,AD,CDu平面ABC。，

：.PALADtPALCDt

又PA=AB=AD,：,AOLPD.

VPA_LCD,又4OJLCO,

A。，PAu平面PAD,ADCiPA=A,

・・・CD1■平面PAD,

又PZ)u平面PAD,

：・CDLPD,又「OM〃CD,

：・OMtPD,OM_L平面PAO,

，OM_LQ4,

又・.・P。是二面角A-PD-C的棱，

・・・乙4。例为二面角A-PD-C的平面角，即为900.

跟踪训练1解由已知得

PA_L平面ABC,8Cu平面ABC,

：.PALBC.

〈AB是。。的直径，

且点。在圆周上，

：,ACLBC.

又PAQAC=A,

PAfACu平面PAC,

・・・8C_L平面PAC.

又PCu平面PAC,:.PCLBC.

又8c是二面角28cA的棱，

•••NPC4是二面角P-8C-A的平面角.

由尸A二AC知△尸AC是等腰直角三角形.

・・・NPCA=45。，故二面角P-BC-A的大小为45°.

问题4可以构成3个二面角，分别是两相邻墙面构成的二面隹，一个墙面与地面构成的二面角，另一个

墙面与地面构成的二面角.它们构成的二面角是直二面角，即二面角的度数为90。.

例2证明・；AB=AD=CB=CD=a,

：.IXABD与/\BCD是等腰三角形.

取8。的中点E,连接AE,CE,如图，

B'I)

则AELBD,

BDLCE.

・•・N4EC为二面角A-8D-C的平面角.

在RiZXABO中，

AB=a,

BE=WBD=[a,

22

：.AE=\/AB2-BE2=—a.

2

同理CE=^a.

在/XAEC中，AE=CE=1a,

AC=at

••・4C』A炉+5,

：.AELCEt即NAEC=90。，

即二面角A-8D-C的平面角为90。.

工平面平面BCD.

跟踪训练2证明如图，连接3。，交AC于点G,连接EG,FG,EE在菱形ABC。中,

不妨设GB=l.

由/43C=120。，

可得AG=GC=V3.

由8E_L平面ABCDtAB=BCf

可得AE=EC.

又A£_LEC,

所以EG=8,且EG_LAC.

同理可得/G_LAC,

所以NEGF为二面角E-AC-/的平面角，

在Rl/XEBG中，可得BE=yjEG2-BG2=yf2,

在Rt/XFDG中,

可得FG=y/DG2