函数的零点与方程的解（讲义）-2027届高三数学一轮复习

2.9函数的零点与方程的解

课标要求考情分析

◎考点考法：高考命题常以基本初等函

1.结合学过的函数图象，了解函数零数及其图象为载体，考查函数零点是否

点与方程解的关系.存在、存在的区间及个数，利用零点的

2.理解函数零点存在定理，并能简单存在情况求参数是高考热点，常以选择

应用.题或填空题的形式出现.

3.了解二分法求方程的近似解.◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、直

观想象.

夯息固本主干知识整合'自主范•实

I体系构建I

函

数

的

零

函

点

数

的

零

点

与对于在区间［"」，］上图象连续不断11/(〃"⑹的函数B(x).通过不断地把它的零点

方

程所在区间一分为二,使所存区间的两个端点逐步逼近零点.进而得到零点近似值的

的定义方法叫做二分法

解―:---0---------------------------------------------------------------------------

⑴确定零点xM初始区间［",b］.验证<㈤•用)<o；

求函数零(2)求区间(*6)的4点c;定区间.找中点.

I点近似值(3)计算〃<•),并进一步确定零点所在的区间：中值计算两边看;

记

的步骤①益的此时MK).则r就是函数的零点；问号去,异号算.

②若/⑷•危)<0(此时(«.c)),则令6H;零点落在异号间;

ik

③若/(「)•/⑹《)(此时(c./>)),则令"h.周而加始怎么办"

(4)刊断是否达到精确度£：若1“-加<£.则得到零点近似值梢确度上来判断

“(或力；否则就复步骤(2)~(4)

牖恻结论］一

1.若连续不断的函数K6在定义域上是单调函数，则7U)至多有一个零点.

2.若y=y&)在闭区间［〃，句上的图象连续不断，且有贝a)/(b)V0,则函数y=/U),定有

零点.

3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.

B獭自如一

1.下列函数图象与A轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()

解析根据二分法的慨念可知选项A不能用二分法求零点.

答案A

2

2.函数7U)=lnx-7的零点所在区间是()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,e)D.(e,3)

2

解析因为函数7U)=lnx-：的图象在定义域(0,+8)内是一条连续不断的曲线，且12)

27

=ln2—1<0,Xe)=lne--V=1—-V>0,所以必存在.gE(2,e),使得凡m)=0.所以函数

2

=InX-7的零点所在的区间是(2,e),故选C.

人

答案C

W+x—2xWO

3.函数yu)=,,'的零点个数为()

1-\~\nx,A>0

A.3B.2

C.7D.0

xWO,f.v>0,

解析由彳.或|

［好十工一2=0［-1+lnx=0,

解得4=-2或4=6,故7U)有两个零点.

答案B

4.已知函数)，=；")的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表:

X123456

y124.433-7424.5-36.7-123.6

则函数y=y(x)在区间［1,6］上的零点至少有个.

解析依题意，42)>0,y(3)<0,^4)>0,,A5)<0;根据零点存在定理可知，危;在区

间(2,3),(3,4),(4,5)上均至少含有一个零点，故函数)=人幻在区间［I,6］上的零点至少

有3个.

答案3

5.若函数yU)=2af—工一1在(()，I)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是.

解析当a=0时，函数的零点是工=-1,不符合题意.当aWO时，若/>0,,/(6逃1)

<0,则.若4=0,即。=一介函数的零点是彳=一2,不符合题意，故实数。的取值范

围为(I,+8).

答案(1,+8)

去枕能之核心考点突破未能培优

考点一函数零点所在区间的判定基础考点自练自悟

1.函数次x)=lc&x+r—2的零点所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

解析方法一函数/U)=logK+x—2的定义域为(0,+8),并且於)在(0,十8)上是

增函数，图象是一条连续曲线.由题意知41)=一IVO,/(2)=k)g32>0,根据函数零点存在

定理可知，函数凡1)=1。83+工一2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内.

米《(*)Tog产

h(x)=-x+2

方法二函数八X)的零点所在的区间转化为函数g(»=k)g6,h(x)=-x+2图象交点的

横坐标所在的范围.作出对函数图象如图所示，可知/U)的零点所在的区间为(1,2).故选B.

答案B

2.(多选)函数,©)=e『一工一2在下列哪个区间内必有零点()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

解析/(-2)=i>o,y(-l)=1-l<0,y(o)=-l<o,/l)=e-3<0,X2)=e2-4>0,

VV

因为人一2)十一1)<。，次1)火2)<0,所以7U)在(一2,—1)和(1,2)内必存在零点.

答案AD

3.已知函数y(T)=lo匕x+x•—〃(〃>0,且〃W1).当2V〃V3V〃V4时.函数式r)的零点

的£(〃，/?+1),则〃=.

解析对于函数y=logd,当x=2时，可得yvl,当x=3时，可得了>1,如图，在同

一坐标系中画出函数1y=log,x,y=—x+b的图象,

判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内，所以函数人工)的零点均£(2,3),即〃=

2.

答案2

窈同曾圆

函数零点所在区间的判断方法及适用情形

(1)定理法：利用函数零点存在定理进行判断.适用于容易判断区间端点值所对应函数

值的正负的情形.

(2)图象法：画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.适

用于容易画出函数图象的情形.

考点二函数零点个数的判定重难考点师生共研

例⑴函数於)=/［：后°，的零点个数为()

［A-2+Inx,x>0

A.5B.4

C.3D.2

(2)已知函数/U)是定义在R上的偶函数，且/U—2)=/U),当OWxWl时，凡v)=),设

函数g(x)="r)—log7|x|,则函数g(x)的零点个数为()

A.6B.8

C.12D.14

［解析I(1)当xWO时，/-1=0,解得1=-1;

当心>0时，儿t)=x—2+lnx在(0,+8)上单调递增，并且川)=l—2+ln1=—1<0,

/(2)=2-2+ln2=ln2>0,即川次2)<0,

所以函数凡6在区间(I,2)内必有一个零点，

综上，函数人x)的零点个数为2.

(2)依题意可知，函数人工)是定义在R上的偶函数，且人工-2)=儿0,

所以J(x)=fi-x)=fi-x-2)=凡丫+2),

即函数/U)是以2为周期的偶函数，

令g(X)「人幻-log7Mh。，即a)=log7|x|,

在同一平面直角坐标系中分别作出y=/(x)和y=log：H的图象，如图所示.

2

-8-7-6-5-4-3-2-rO^l23456789x

由图象可知，两函数图象共有12个交点,

即函数双幻共有12个零点.

[答案](1)D(2)C

导I学

函数零点个数的判断方法

(1)直接求零点：令人。=0,有几个解就有几个零点.

(2)零点存在定理：首先确定函数人工)在区间m,加上是连续不断的曲线，且贝。次"vo,

再结合函数的图象与性质确定函数零点个数.

(3)利用图象文点个数：作出两函数图象，观察其文点个数印得零点个数.

F对点训练

1.函数yu)=3'iiog2R—i的零点个数为()

A.0B.I

C.2D.3

解析函数於)=3斗Og2X|一1的零点,即3斗OgzM—1=0的解,即|10g2%|=(；)的解，

即)，=|】ogzd与图象的交点，如图所示，

从函数图象可知，y=|iog2%l与y=G)有2个交点，即函数7U)的零点个数为2.

答案C

2.函数yU)=H36—Pcosx的零点个数为.

解析令36一炉20,解得一6WxW6,

所以人。的定义域为[-6,6].

令7(%)=。得36—A2=0或cosx=0,

由36—f=0得工=±6;

由cosx=0得工二^十女九，kGZ,

又x£[—6,6],

”.，，«j、,3兀7t7t371

所以X的取值为一万，一E，E，-y

故7U）共有6个零点.

答案6

考点三函数零点的应用多维探究发散思维

角度1根据零点的个数求参数

已知2£R，函数八丫）=L:，当2=2时，不等式人工）<0的解集是

x“一4x十3,x<x.

，若函数./U）恰有2个零点，则人的取值范围是

X—4,x，2,x22,

由於）<°引

[解析]①当％=2时，於）=<或

x-4<0

A<2,

,解得2Wx<4或la<2.所以不等式的解集为（1,4）.

A~—4A+3<0,

②函数y=x—4与丫=1—4x+3的图象如图所示.

结合图象可知，当2W1时，函数段）有1个零点；当1<2W3时，函数段）有2个零点;

当3OW4时函数凡r）有3个零点；当》4时函数/（幻有2个零点.所以当/5）有2个零点时,

%的取值范围是（1,3]U（4,+~）.

[答案I（I，4）（1,3]U（4,+8）

角度2根据函数的零点范围求参数

已知函数次幻=1空2。+1）—:+〃?在区间（1，3]上有零点，则实数机的取值范围

.1

B.(-8,--Ju(O,+8)

C.(-8,U(O,4-oo)

5

D-

-3

［解析］由于函数），=log2（x+l）,y=〃?一：在区间（1,3］上均单调递增，所以函数,儿r）在

人

.川)V0,

（1,3］上单调递增，由于函数凡r）=log2（x+l）—：+加在区间（1,3］上有零点，则，

人43)2(),

5

即4解得一£<〃?<0.因此实数〃？的取值范围-0）.故选D.

53

/什

，

->厂

、

案

塔D

题后导学

利用函数零点求参数（范围）的方法

数形结先对解柠式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图

|合法

象，然后数形结合求解

r对点训练

1.函数段)=2'+%—5的零点即W3—1,a),OWN",则。=()

A.1B.2

C.3D.4

解析函数儿r)=2'+%-5是连续增函数，12)=4+/—5=—3<0,；(3)=8+3—£=?

>0,所以函数yU）=2'+%-5的零点在（2,3）内，所以〃=3.故选C.

答案C

f+2x,启0,

2.已知函数yu）=/,、若曲线y=y（x）与直线y=ax恰有2个公共点,

In（1-A）,Owl,

则实数。的取值范围是,

解析当xWO时，人t）=f+2x,其在（一8,一1）上单调递减，在（-1,0）上单调递增,

且/(x)=2x+2,则/(0)=2;

当(Xxvl时，“r)=ln(l—力，/(劝=一±<0,其在(0,1)上单调递减，且/(0)=-1.

作出7U)的图象，如图，易知实数〃的取值范围是［-1,2).

答案［一1，2)

课时作业知能达标训练'巩固提升

A级基础过关

1.对于函数人x)，若八一1加3)<：0,贝i」()

A.方程兀6=0一定有实数解

B.方程“r)=0一定无实数解

C.方程£¥)=0一定有两实根

D.方程/(文)=0可能无实数解

解析因为函数yu)的图象在(一1,3)上未必连续，所以尽管«—1加3)<(),但方程八幻

=0在(一I,3)上可能无实数解.

答案D

2.设函数yu)=2'+；的零点为X0,则X0所在的区间是()

A.(-4,-2)B.(-2,-1)

C.(1,2)D.(2,4)

解析易知凡6在R上单调递增且./(X)的图象是连续不断的曲线，

12I1

/-2)=4-3<0,7(-1)=2_3>0，所以％()£(_2,-1).

答案B

3.已知函数人x)=lrlx-21+f与g(x)=4x,则两函数图象所有交点的横坐标之和为

()

A.0B.2

C.3D.4

解析原问题可以转化为求方程In卜一2|=4x—x2的所有根之和，易知y=ln|x-2|和y

=41一（的图象均关于直域x=2对称，且两个函数的图象有2个交点，故两个交点的横坐

标之和为4.

答案D

4.已知e是自然对数的底数，关于x的方程egl=）有两个不同的解即，=SV*），则

（）

A.Ai<l,X2>3B.X1>1>X2<3

C..n>l,X2>3D..n<l,X2<3

解析令/U）=eM2i-x,则函数/（©的图象在R上连续•・・7（l）=e-l>0,12）=1—2

=-1<0,y（3）=e-3<0,./（4）=e2—4>0,・••川加2）VO,求4）VO,・••函数府）在区间（1,

2）,（3,4）上各有一个零点，即1<的<2,3<X2<4,故选C.

答案C

log2（X_1）,x>2,

5.（多选）设函数“x）=L.八则以下结论正确的是（）

2—3,xW2,

A.yu）为R上的增函数

B.大幻有唯一零点X0,且IV沏V2

C.若｛〃?）=5,则机=33

D./U）的值域为R

解析作出函数7U）的图象如图所示.由图可知A错误；对于B,由图象可知，贝幻有

唯一零点血段）在（-8,2]上单调递增，且火1）<0,火2）>0,B正确；对于C,当xW2

时，2,3W1,故log2（〃？1）=5,解得〃?=33,C正确；对于D,7U）的值域为（0,I-）U（

3,I],即（一3,4-00）,D错误.故选BC.

答案BC

“v+a,x£a,

6.已知«>0,若函数凡r）=,I,有两个不同的零点，则a的取值范围为

Inx+2,x>a

解析令X+。=0,x=一则x=—。是函数7U）的一个零点；令lnx+2=0,解得

x=p,要使得7U）有两个不同的零点，则a£（0,p）.

答案.?）

7.若函数次助=丁+62+以+。是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的

函数：兀0=.

解析++为奇函数，故a=c=0,yCQMV+bxnNf+h)有三个不同

零点，：,b<0,.•J(x)=x3-x满足题意.

答案V-M答案不唯一)

8.己知函数儿0=/+历:+。的两个零点为2,3.若函数g(x)=/U)+〃比的两个零点分别

在区间(1,2),(2,4)内，则实数小的取值范围为.

解析V2,3为方程f+Ar+c=()的两根，

fi=2+3,4=—5,

<，4%)=x2—5x+6.

[e=2X3.、c=6.

:.g(x)=f+(m-5)x4-6,

p(D>o,

依题意<g(2)<0,解得一

L(4)>0,

故实数机的取值范围是(一/0)

答案(T°)

B级能力提升

9.定义在R上的奇函数人幻满足/u+i)=yq),则yu)在[-3,3]上的零点个数至少为

()

A.6B.7

C.12D.13

解析因为./U)是定义在R上的奇函数，所以10)=0,又由,/U+l)=凡丫)得贝X)的周期

为1,所以人-3)=4-2)=4-1)=A0)=/U)=/(2)=/(3)=0.又./Q)=/(—，,｛，=一｛一习,

因此G)=乂_，)=°，则乂-5)=乂-5)=乂-5)=乂5)=彳5)，(5)=0，故段)在L3,3]

上至少有13个零点，故送D.

答案D

\y[x—t,x20,

10.已知函数若7U)有两个零点为，K2(X1>X2)，则如一X2

12(x4-!)-/,x<0,

的最小值是()

A.1B.2

3

C-D

41-5

16

解析根据题意可得而一，=0,解得汨=产(/20),2(X2-Fl)-r=0,解得X2=/一1”

2),则.岩一无2=/2一3+1=(—：)+]|(0&<2),当/=：时，XLM取得最小值得

答案D

11.已知Q0,函数«E)=2'+X—5,g(x)=x2-^x~4,A(x)=log2x+x-3的零点分别为a,

b,c,则()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.b<c<a

解析因为./U)=2'+x—5单调递增，

且.6)=2L6—3.4=[⑵6)5-[(3.4)5=5/256-令454.35424Vo,

/2)=4+2-5=1>0,

由函数零点存在定理可知，人工)有唯一零点〃，且1.6<“<2;

因为ga)=f+x-4左(0,+8)上单调递增，且虱|)=一2<0,

月(1.6)=16—2.4=2.56—2.4>0,

由函数零点存在定理可知，gQ)有唯一零点儿且10<1.6;

因为力(%)=]og2x+x—3在(0,+8)上单调递增，且力(2)=1+2—3=0,

则/?(%)有唯一零点e=2,

所以b<a<c.故选C.

答案C

12.定义在R上的函数,/U)满足共一x)+/(x)=0,/x)=/U+2),且当x£[0,1]时，启)

=9一』+“，则方程<t)-x+2=0所有的根之和为()

A.6B.12

C.14D.10

解析囚为八一人)十yu)—o,八SR,

所以y(x)为奇函数.

又因为.A—x)={r+2),

所以yu)的图象关于直线x=i对称.

所以yu+2)=八一©=-j(x),

得人工+4)=-Ax+2)=-[一4叫=儿0,所以«r)的一个周期为4.

又因为xU[0,1]时,

f(x)=3.P-2x+1=3(x-(

所以«r)在［0,i］上单调递增，且j(o)=o,yu)=i.

由题意可得下图，

可得直线y=1(x—2)与y=flx)的交点的横坐标为方程Mx)—x+2=0的根,

可得在(-2,2)与(2,6)上均有两个交点，且关于(2,0)对称，加上(2,0)点，共5个交

点，

所以这5个交点的横坐标之和为2X2X2+2=10.故选D.

答案D

13.(多选)已知定义在R上的偶函数7U)满足Ki+4)=/U)+/(2),且在区间［0,2：上是

增函数，则下列说法正确的是()

A.函数人x)的一个周期为4

B.直线刀=-4是函数人用图象的一条对称轴

C.函数段)在［-6,一5)上单调递增,在［-5,一1)上单调递减

D.函数段)在［0,100］内有25个零点

解析令工=-2,得火-2:4)=大-2)斗12),即大-2)=0.由于函数尺0为偶函数，故

,A2)=A-2)=0,所以/U+4)=/(x),函数#幻是以4为周期的函数，故A正确；因为共一4

+x)=/4-A)=/(4-8-x)=/(-4-x),所以直线x=-4是函数图象的一条对称轴，故B正

确；结合函数在区间［0,2］上是增函数，画出函数./U)的大致图象如图所示，由图可知，函

数在［-6,—4)上单调递减，故C错误；根据图象可知，12)=火6)=/(10)=…=498)=0,

故共有25个零点.故D正确.

答案ABD

21X9彳21,

14.已知函数yu)=2,'：］那么欢4))=_______，若存在实数。，使得大。)

r-rx—I,x<1,

=AA«))，则。的