2026届高三数学二轮复习讲义：专项突破（六）第3节 导数与单调性、极值和最值（含解析）

第3讲导数与单调性、极值和最值

—探究真题明确方向」

1.(2023•新课标II卷，T6)已知函数/U)=〃eJlnx在区间(1,2)上单调递增，则。的最小值为()

A.e2B.eC.e-1D.e2

2.(2022•全国乙卷，文T11)函数/W=cosx+(x+l)sinx+1在区间[0,2汨的最小值、最大值分别为()

A.1,5B.-斗，三CfD.-F,%2

3.(多选)(2025•全国II卷，T10)己知_/U)是定义在R上的奇函数，且当心>0时，,以)=。2_3兄、+2,则()

A<0尸0B.当x<0时，/x)=-(x2-3)ex-2

CJU)22当且仅当x>V3D.x=-\是/U)的吸大值点

4.(2024•新课标H卷,T16)已知函数Jlx)=ev-ca-a\

(1)当。=1时，求曲线>子>)在点(I,五1))处的切线方程；

(2)若儿丫)有极小值，且极小值小于0,求。的取值范围.

命题热度：

本讲是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，具有一定的难度，三种题型都有所考查，分值约为

11〜26分.

考查方向：

考查重点一是判断函数的单调性以及单调性应用，如求参数范围、比较大小、解不等式等，二是函数极值,

主要是求函数的极值，由极值求参数的值、范围等，三是函数的最值以及最值的应用.

1答案C

解析依题可知，八彳)=〃。3、0在(1,2)上恒成立，显然a>0,

所以疣2在(1,2)上恒成立，

a

设g(K)=xe\xG(l,2),

所以义。)=(X+1把、0,

所以我力在(1,2)上单调递增，

g(x)〉g(D=e,故

即〃。匕丁，即。的最小值为5.

e

2.答案D

解析/(x)=cosx+(.v+1)sinx+1,x£[0,2n]t则/(x)=-sinx+sinx+(x+l>cosx=(x+1)cosx,x£[0,2n].

令/⑶=0,解得x=-l(舍去)，x=]或卡

僧卜。，学管+1领受号，

又/O)=cos0+(0+l)sin0+1=2,

/27i)=cos2兀+(27t+l)sin2兀+1=2,

所以jV)rnax=/Q)=2+p

A-V),nin=/修)二号.故选D.

3.答案ABD

解析对于A,因为凡r)是定义在R上的奇函数，则4))=0,故A正确；

对于B,当x<0时，-Q0,则力0=力孑)={(幻故B正确;

对于C,1)=(1-3)e-2=2(e-l)>2,故C错误;

对于D,当x<0时，大幻二。-%2)]2则八外=⑶/比人乜江心，-2%〃)^,

令人:)=0,解得户-1或43(舍去)，

当了£(-8,-])时，八])>0,此时九0单调递增,

当n0)时，八工)<0,此时大幻单调递减,

则产-1是./U)的极大值点，故D正确.

4.解(1)当4=1时,则危)=1*1,

/(x)=ev-l,

可得川尸e-2,f(l)=e-l,

即切点坐标为(1,e-2),

切线斜率上e-1,

所以切线方程为>,-(e-2)=(e-1)(.r-1),

即(e-l)x-y-l=0.

(2)方法一因为yu)的定义域为R.

且/V)=e%,

若〃W0,则八用>0对任意x£R恒成立，

可知汽灯在R上单调递增，

无极值，不符合题意；

若。>0,令/(x)>0,解得Qlna,

令/V)<0,解得xvlna,

可知人幻在(-8,Ina)上单调递减,

在(Ina,+8)上单调递增,

则/U)有极小值/(Ina)=a-a\na-a3,无极大值，

由题意可得,fi\na)=a-a\na-a3<0,

即i?+lna-l>0,

令g3)=/+lna-\,a>0,

则g'g)=2a+90,

可知g(a)在(0,+8)上单调递增，

且g⑴二0，

不等式a2+\na-l>0等价于g(a)>g(l),

解得47>1,

所以“的取值范围为(1,+°°).

方法二因为y(x)的定义域为R,

且『⑴二e”,

若/U)有极小值，

则/(/)=&%有零点，

令/(.v)=ev-«=0,可得er=a,

可知y=ex与y=a有交点，则a>0,

令/(K)>0,解得x>lna；

令/W<0，解得x<lna,

可知«v)在(-8,Ina)上单调递减,

在(Ina,+8)上单调递增,

则.")有极小值川na)=a-alna-a3,

无极大值，符合题意，

由题意可得，./(Ina)=a-alna-ay<0,

即rr+lna-l>0,

令g{a}=cr-\-\na-\,a>0,

因为尸〃2,)=InaJ在(0,+8)上均单调递增，

所以式a)在(0,+8)上单调递增，

且g⑴=0,

不等式a2+lna-1>0等价于g(a)>g(1),

解得<7>1,

所以〃的取值范围为(1,+8).

考点一利用导数研究函数的单调性

考向1利用导数求函数的单调区间

例1已知函数於)=(x-2把吟d-ar,讨论函数段)的单调性.

解由题意得函数7U)的定义域为R,

/(x)=(x-1)er+fl(x-1)=(x-1)(er+«).

①当aDO时,

若工£(-8,1),则/(幻<0,

所以人工)在(-8,1)上单调递减;

若x£(l,+8),则八幻>0,

所以式幻在(1,十8)上单调递增.

②当K<。<0时，In(</)<1,

若x£(—8,ln(-fl))U(l,+oo),则人工)>0,

所以乂力在(-8,in(・a)),(1,+8)上单调递增;

若x£(ln(-«),1),则八x)v(),

所以JU)在(ln(-a),I)上单调递减.

③当<7=-e时，ln(-a)=1,

对Vx£R,八处20,所以儿0在R上单调递增.

④当a<-e时，ln(-a)>l,

若x£(-8,1)U(ln(-«),+8),则八x)>0,

所以凡。在(-8,1),(In(-a),+8)上单调递增;

若x£(l,ln(-a)),则/V)v0,

所以JU)在(1,In(-a))上单调递减.

综上所述，当时，/U)在(-8,])上单调递减，在(1,+8)上单调递增；

当-e<”0时，./U)在(-8,m(-a)),(1,+8)上单调递增,在(皿也)，1)上单调递减;

当«=-e时，儿丫)在R上单调递增；

当a<-e时，./U)在(-8,1),(ln(-a),+8)上单调递增，在(1,ln(-a))上单调递减.

考向2单调性的应用

例2(1)若函数7U)=lnx+or2-2在区间G，1)内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是()

A.(-8,B.(一(，+8)

C.(-2,+8)D.(-8,+8)

答案A

解析由/x)=Inx+ajc-2可得，/(万=120r.

因为函数40=lnx+以2-2在区间6，1)内存在单调递减区间，

所以f(x)<0在xwQ,1)时有解，即兴-点在1)时有解.

设g(K尸一点,工仁6,1)，

显然式用在G，1)上单调递增，所以gQ)<g(x)<g(l).

所以依g(l)=悔，故实数〃的取值范围是(一8,

(2)(2025・长沙模拟)已知产信)是定义在(1,+8)上的连续可导函数，其导函数为)可口)，若加工)勺"),

且次3)=6,则不等式./(Inx)>21nx的解集为()

A.(H3)B.(3,e2)

C.(1,e3)D.(e,e3)

答案D

解析令g(x尸%Q>1),

则g«尸

X2

因为0(丫)勺&),则0Xx)-/(x)<O,

所以g'(x)<0,

则ga)=停在区间(1，+8)上单调递减，又<3)=6，由y(Mx)>2lnx,lnx>l,

彳导管>2=*即俨皿>g(3),

(inx>1,llnx>1,

所以l<lnx<3,解得e<v<c3,

故原不等式的解集为(e,e)

［规律方法］(1)讨论函数的单调性一般可以归结为参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(2)函数人丫)在区间。上单调递增(或递减)，可转化为八x)20(或/V)WO)在上恒成立.

(3)若函数,守(X)在区间m,份上不逡调，则转化为人力二0在(a,b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).

(4)函数八人)在区间。上存在单调递增(或递减)区间，可转化为/1)>0(或/(©vO)在人丘。上有解.

跟踪演练1(1)(2025南泽模拟)已知函数於)二(4/1好6-。»工是R上的增函数，则()

A..a=bB.«=7b

C.6r=lnbD.a二e"

答案C

解析由J(x)=(x-a-1)eA-(|—a)bx,

得f\y)=(x-a)e'-bx+ab=(x-a)(e'-b),

因为汽幻是R上的增函数，则Fa)20对x£R恒成立,即a・a)e・b)20对x£R恒成立,

当Z?W0时，ex-/?>0,此时上《2()对工WR不恒成立，不满足题意；

当>>0时，等价于a-〃)a-lnb)20对x£R恒成立,a=\nb.

(2)(2025・张掖模拟)已知a=9eln2,b=18,c=4eln3,则a,b,c的大小关系为()

A..h>a>cB.a>c>b

C.a>b>cD.b>c>a

答案A

解析令火x尸等，xe(l,e),

则TV尸注竺>o对任意的工£(1，e)恒成立，

所以函数人力在(1,e)上单调递增，

所以此)习(2)》1)=0,

gP->—>0,故2>eln2>0,

e2

所以9eln2<9X2=18,即〃幼,

又因为6t=9eln2=eln29=eln512>cln8l=cln34=4chi3=c,即a>c,因此b>a>c.

考点二利用导数研究函数的极值

例3（2025•郑州模拟）已知函数yU）=xhi（4x）（a^0）.

（1）若直线产」与曲线产/W相切，求。的值；

e

（2）若及丫）有极大值，且极大值大于1,求a的取值范围.

解⑴设直线尸吊与曲线.产心）的切点为（出，一J,则属血断户-,①

/（x）=ln（av）+l,贝《In（.）+1=（）.②

由①②解得%o',a=\.

e

⑵当AO时，段）的定义域为（0,+8）,/（x）=］n（ax）+l是增函数.

令ln（ax）+l=O,解得广工.

ae

当x£（°，£）时，八x）<0，

当工£仁，+8）时，&）>o,

所以K0在（0,上单调递减，在仁,+8）上单调递增，则/（X）有极小值，没有极大值，不符合题意，

所以qvo；

因为“<o,所以«r）的定义域为（-8,0）.

当在（-8,J时，「（种0,

当°）时，八用<仇

所以©在（一8,J上单调递增，在仁，O）上单调递减，则曲有极大值/J,没有极小意

因为JU）的极大值大于1,

所以J（机）=2>1，解得-，<a<。.

故a的取值范围为（一10）.

［规律方法］/（Xo）=O是可导函数启）在x=xo处取得极值的必要不充分条件，即f（x）的变号零点才是/X）的极

值点，所以判断/U）的极值点时，除了找八的=0的实数根的外，还需判断其丫）在为左侧和右侧的单调性.

跟踪演练2（1）（多选）（2025・重庆模拟）已知函数/（幻，x^［-a,a］的图象是一条连续不断的曲线，设其导

数为1（幻，函数ga）=a\nra）的图象如图，则下列说法正确的是（）

Z^\a

A./U）在x=-l处取极大值

B.x=l是«Y）的极大值点

CJ（x）没有极小值点

D.x=I可能不是导函数八x）的极大值点

答案ACD

解析由题图知,

X-1)(-1，0)(0,1)(1，

g。)4--+-

++-4-

人力+---

・・・八)在(也，・1让单调递增.在(-1,G上单调递减.

・・JU)在户-1处取得极大值，无极小值点，故A,C正确，B错误；

又当0<x<1,1<xWa时,/(x)<0,^(1)=0,

当户1时，所以八1)不一定等于0,

当八1)=0时，x=l是导函数人%)的极大值点，

当八l)W0时，％=1不是导函数八灯的极大值点，故D正确.

(2)(2025•哈尔滨模拟)若函数,")二.rlnx-("7-l)ln2工存在唯一极值点，则实数m的取值范围是()

A.(l,+8)B.[l,4-00)

C.{l-±]u[l,+oo)D,[l-^,+oo)

答案B

解析由y(x)=xlnx-(//7-l)ln2xA>0,求导可得/(x)=lnx+1-巴」,

tX

由题意得函数八x)存在唯一变号零点，

令/U)=0得,m-\=xlnx+x,

令g(/)=xlnx+x,x>0,求导可得g‘2=Inx+2,由g'(%)=0,解得x=5,

当0<六4时，短(幻<。；当x=时，g'a)>o，

ee

所以函数g(x)在(0，上单调递减，在G，+8)上单调递增，则g(x)min=g(3二专

画出函数g(X)的大致图象如图所示，

由图知，当心"专即-专时，下专为八幻的不变号零点，不符合题意；故”120,即心1,故实数

加的取值范围是[1,+OO).

考点三利用导数研究函数的最值

例4⑴(2022•全国甲卷)当x=1时，函数yU)=alnx+$取得最大值-2,则八2)等于()

A.」B-I《DJ

答案B

解析因为函数;(x)的定义域为(0,+8),

所以依题意可知|"1)=一2,

［八1)=0，

而

所以F=-2'即［”一2,

(a-b=0,(b=-2,

所以

因此函数y(x)在(o,i)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,

当户1时取最大值，满足题意.

所以f(2)=-l6=4.

(2)(2025・石家庄模拟)如图所示，圆锥的内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则该圆锥体积的最小

值为()

A.4nB-T

C.5兀D•等

答案B

解析设圆锥的高为/?,底面半径为4竹1),则圆锥内接的圆柱上面的小圆锥的高为小2,

4

由图易知黑二篝,

UDC

日口九一2h..2r

.Jl=——,

PP-1-=-r,r—1

J该圆锥的体积丫二成户力二

33y(r—1)

mil丫，=2方2(2一3)

刈V3(1)2，

令V'=0,则/"=1，

当l<y|时，VkO；当r>|时，V>0,

即丫在(1,|)上单调递减，在(|,+8)上单调递增,

当尸:时，V取得最小值为;.

［规律方法］求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，一般要根据函数的单调性和极值画出函数的大致图象,

借助图象求解.求最值时不能想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较再下结论，图象上最高点和最低

点的函数值即为函数的最大值和最小值.

跟踪演练3(2025・长沙模拟)J知函数、/U)=3--21n1+(〃-1)］+3在区间(1,2)上有最小值，则实数a的取

值范围是()

49

A.«>-3B.--<a<-10

3

49

C.--<a<-3D.-10<a<-3

答案D

解析函数yU)=3f-21nA+(«-1)A+3,求导得/(A)=6A-|+«-1二竺+(?1)%-2,

由凡¥)=3/-21nx+(a-l)x+3在区间(1,2)上有最小值,

得/")在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，

令//(A)=6x2+(t7-1)x-2,/?(0)=-2<0,则〃(幻在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，

M=(a-l)2+4x6x2>0,

因此，九(1)=6+。-1-2V0,

U(2)=6x4+2(a-1)-2>0,

解得“0<〃<-3,

所以实数。的取值范围是-10<a<-3.

专题强化练

［分值：90分］

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

1.函数“r)=f-lnx-x的单调递减区间是()

A®,1)B&+8)

C.((),1)D.(l,+8)

答案C

解析由题意可得/(X)=2A+1=2/：T=3+?(I),X>0,

令八_v)=0,得ml,

所以当x£(0,1)时，八x)〈0,函数凡i)单调递减，所以函数./U)才-lnx-x的单调递减区间是(0,1).

2.设函数/(.r)=七，若/U)的极小值为正，则。等于()

A.--B.-C.-D.2

222

答案B

解析由已知得，八力二平黑々xW-a),

令八/)=0,有x=\-a,

当x<\-a且x^-a时，/(x)<0,

当x>\-a时，r(x)>。，

所以©在尸1处取得极小值川-a)=e包近，所以1-6t=1,得<7=1.

3.若函数Ar尸也的单调递减区间为(1,+8),则〃等于()

A.-B.lC.eD.e2

e

答案B

m

解A,n析+r-/(X)\=—a-(a*ln一x+l)-=—fl-l-a—lnx,

因为久丫)的单调递减区间为(1,+8),而/(x)的定义域为(0,4-00),

所以久1)的一个极值点为1,

所以/(1)=等二0，解得1.

所以五工尸3

令人/)<(),即要<0,解得Q1,

所以.心)的单调递减区间为(1,+8),符合题意，综上，4=1.

4.函数/U)的大致图象如图所示，设A丫)的导函数为八幻，则八X次x)>0的解集为()

A.(-8,O)U(1,3)B.(l,3)

C.(0,1)U(3,+8)D.(-8,0)U(3,+8)

答案C

解析由函数JU)的图象可知，

当XE(-8,0)U(3,+8)时，段)<o；

当xG(0,3)时,危)>0；

又由图可知，当X£(-8,1)时，函数./U)单调递增，则八外>0；

当x£(l,+8)时,函数人用单调递减，则F(x)<0,

所以的解集为(o.i)u(3.+8).

5.(2025・齐齐哈尔模拟)已知函数八/)=*F+句nx在广2处有最小值，且最小值为l-21n2,贝ija+〃的值为()

1Q

A.3B.-C.--D.-3

22

答案C

解析函数火x)或nX的定义域为(0,+8),且f(x)=ax+^t

由于函数凡丫)在x=2有最小值，则函数於)在x=2处取极小值，则f(2)=2a+^b=0,

所以b=-4a,

又/U)min=y(2)=2a+blii2=2a-4a\n2,

所以2a-4aln2=l-21n2,解得t/=1,

所以b=-2,

经检验，当它，加=-2时，函数人力与^Inx在户2处有最小值，且最小值为l-21n2,故a+仁点

6.(2025•遵义模拟)已知函数段)=*-lnxd(a>0),若Vx>0,危)20,则的最大值是()

112

A.-B.-C.-D.1

2ee

答案A

解析由题意知，若Vx>0,./(x)20,

即/?<-ar-lnx,

2

1少

令Ag。)二产「1nx,x>0,

令g(x)=0,解得x=f,

当时，g'(x)<。，g(x)单调递减；

当时，g'(x)>0,g(x)单调递增；

所以gWmin=g(Y)=|+|ln小

即b^-+-\n”，

22

所以纭白磐

a2a2a

则力S)=黑,

由/f(a)=0得«=1,

所以当0<〃<1时，》3)>0,单调递增；

当a>\时，〃'3)<0,/?(〃)单调递减，

所以力，即的最大值为

2a2

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.(2025・邯郸模拟)已知函数«t)=(F3把'，则下列结论正确的是()

A.lim3^=3

x-*0X

B.函数,")在(-1,1)上单调递减

C.函数./U)有极大值6e，

D.函数/W在［-4,・2］上的最小值为尺4)

答案BC

解析由题意得，/(A)=(A2+2A-3)CV=(A+3)(X-1)CV,

因为10)=3,则盘号金盘弋”。)力0尸_3,故A不正确；

由/V)>0得，x<-3或x>\,

由/U)<0得，

则7U)在(-8,-3)和(1,+8)上单调递增，在(-3,1)上单调递减，

所以JU)在八=3处取得极大值为代3)=67,故B,C正确；

因为氏4)噌次-2尸。则函数於)在［-4,-2］上的最小值为尺2),故D不正确•

8.(2025•厦门模拟)已知段)=V+a占展2,不等式段)<2的解集为{小<1且xH-2},则下列说法中正确的是

()

A.函数/(x)的极大值点为1

B.函数./U)的一个对称中心为点(-1,0)

C.当-2a<2时，12计1)>-2

D.过点(-3,-2)且与曲线.y=/&)相切的直线有2条

答案BCD

解析对于A,因为不等式/U)<2的解集为{也<1且x/-2},

即不等式丁+加+法-水。的解集为{x\x<I且xW-2},

所以方程x3+«A2+Z>.r-4=0的根为x=1和x=-2(二重根)，

得(x+2)2(x-1)=0,即,必+3/-4=0,

所以'则危尸/+3f-2,

力=0,

得/(A)=3X2+6X=3X(X+2),

令人K)<0得・2<i<0,

令/。)>。得x<-2或x>0,

所以函数7U)在(-2,0)上单调递减，在(-8,_2),(0,+8)上单调递增，

所以m-2是火幻的极大值点，故A错误；

对于B,由A知，X-r)=^+^-2,

则/(-2-x)=(-2-x)3+3(-2-%)2-2=A-3f+2,

所以j［-2-x)t/U)=。，

即/U)的一个对称中心为点(-1,0),故B正确；

对于C,令〃=2什1,当-2<x<a时，则-3<〃<0,

则要满足人2什1)>-2,只需使人〃)>-2,

而4〃)+2=/+3〃2=〃2(〃+3),由-3<〃<0,

得/(〃+3)>0,即加)>2所以12什1)>-2,故C正确；

对于D,由A知，f(x)=3j^+bx,

设在点(即，舄+3/-2)处的切线方程为>'-(%o+3%o-2)=(3XQ+6X())(X-XO),

由切线经过点(-3,-2)得，-2-(盼+3就-2)=(3焉+6加(-3-向)，

整理#%o+6%o+9A-()=0,

即XO(XQ+6AO+9)=XO(XO+3)2=0,

解得上0=-3或M)=O,此时存在2条切线满足题意，故D正确.

三、填空题(每小题5分，共10分)

9.(2025•全国II卷)若x=2是函数,/W=(x-l)a-2)a-a)的极值点，贝!负0)=

答案-4

解析由题意有/U)=(X-1)(x-2)(x-a),

所以jp(x)=(x-2)(x-tz)+(x-l)(x-«)+(x-l)(x-2),

因为户2是函数/U)的极值点，所以八2)=2-。=0,得〃=2.

当。=2时，/(X)=2(X-2)(X-1)+(X-2)2=(X-2)(3X-4),令/(X)=0,得X=2或

当工£(一8,g)时，f(X)>0,/U)单调递增；当XWG，2)时，［(x)<0,ZU)单调递减;

当x£(2,+8)时，/(x)>o,ZU)单调递增，

所以x=2是函数凡。=(1-1)(x-2)(x-a)的极小值点，符合题意，故〃=2.

所以40)=1X(-2)X(-2)=4.

10.(2025•郑州模拟)若直线下为曲线产泮9的一条切线，贝哈的最小值为

答案-1

解析产ae"叫

设直线尸X与曲线y=e，x+b相切于点(X,X),

则x=e^b'且讹皿+占1,

解得e"也所以x=2,

aa

从而所以"券

设四)=甘^>0)，

^a-(-l-lna)\na

g'(a)=-J......................-----

令g’(a)<0得»0<。<1;令g'(。)>0得,a>\,

所以其幻在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以g(a)min=g(1)=-1,即，的最小值为-1.

四、解答题(共28分)

11.(13分)(2025•哈尔滨模拟)已知函数,/W=(』+l)e-\g(x)=ax+b,其中小b^R.

(1)若曲线月⑶在点(0,/0))处的切线与直线产g(x)垂直,且40)=趴0),求。，6的值；(5分)

(2)若函数/?(x)=〃r)-g(x)在区间(0,+8)上存在极大值，求a的取值范围.(8分)

解⑴因为/WNd+De、

所以r(x)=29'-a2+1)e"=(2f2-1)e",

所以f(O)=-l,依题意，JXa=J,得

又旭)=1,g(0)=瓦且/0)=g(0),

所以b=l,所以a=b=l.

(2)由题意，”(x尸(f+l)e、-ax・b,

所以力。)=(2jv-f-1Q%,

令^(x)=(2x-A^-l)ex,

则(p*(X)=(2-ZV-2A+X2+l)ev=(x2-4x+3)eA,

令夕”)=0,则f-4x+3=0,解得41或x=3.

当0<x<l时，，(x)>0,所以e(x)在(0,1)上单调递增；

当l<x<3时，9。)<0,所以8。)在(1,3)上单调递减；

当x>3时，，(力>0,所以8(x)在(3,+8)上单调递增.

则灰力在x=\处取得极大值矶1)=0,在x=3处取得极小值s(3)=-4c‘.

因为％(x)在区间(0,+8)上存在极大值，

所以尸9(幻与尸。的图象在(0,+8)上有交点，

且在交点左侧/[(X)的导数大于0,交点右侧力(x)的导数小于0,

所以。的取值范围是(Ye"0).

12.(15分)(2025•重庆模拟)已知函数,/U)=ox-lnx+a2(a£R).

(1)若/U)在(1,e)上不单调，求实数4的取值范围；(7分)

(2)当。>0时，求证：Kr)231n々+2.(8分)

(1)解函数/U)=aY-lnx+a2的定义域为(0,+°°),

求导得/(幻二。+，

当々W0时，八x)〈0在(0,+8)上恒成立，函数人幻在(0,+8)上单调递减，不符合题意;

当心o时，由八幻<(),得o^q,

由八：•)>(),得第/，

函数JU)在(0,?上单调递减，在6，+8)上单调递增，

故idve,解得L〃<1,

2e

所以实数〃的取值范围为G，i).

(2)证明由(1)知，当。>0时，危)的最小值为/O=l+a2+lna,

则l+^+lna-(31na+2)=a2-21na-\,

设g(x)=f-21nx-1,A>0,

求导得gU)=2哈^半吗

当()4<1时，g'a)v();当x>l时，g'(x)>0,

因此函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增,g(x)2g⑴=0,即g(〃)20,

贝!〃231n〃+2,

所以加)231n〃+2.

ID思维创新

(每小题5