北师大版数学七年级下册期末模拟测试卷（三）解析版

北师大版数学七年级下册期末模拟测试卷（三）

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确

的）

3a++...4-3a=3bx3bx•••x3b

1.若a,b是正整数，且满足-一，则a与b的关系正确的是（）

9个T相加9种相乘

A.a+2=b9B.a+2=9bC.2a-9=6D.2a=9b

【答案】B

3a+3。+…+3a=3bx3bx…x3b

【解析】【解答】解:****

9个3a相加9个心相乘

.••9x3。=3她，

A32x3a=3助,

...3。+2=3劝，

a+2=9b,

故答案为：B.

【分析】根据已知等式可得9x3。=3她，即可得到3。+2=3汕，利用底数相同，指数相等解答即可.

2.如图，直线a〃b,Zl=50°,Z3=100°,则N2的度数为（)

A.20°B.30°C.80°D.100°

【答案】B

【解析】【解答】解：如图,

,­,a\\bf

.­.=44=50°,

Z3=100°,

.•・Z2=180°-Z3-Z4=30°.

故答案为：B.

第1页

【分析】根据两直线平行，同位角相等得到乙1=44=50。,再根据三角形内角和定理解答即可.

3.共享经济已经进入人们的生活.小明收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服

务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）.现将这

四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取两张卡片，则小明抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共

享知识”的概率是（）

价

C.共享物品D.共享知识

1D.1

C.46

【答案】D

【解析】【解答】解：根据题意画树状图，如下:

由树状图可知，共有12种等可能出现的结果，其中抽到两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果有2

种,

所以P=,

故选：D.

【分析】利用树状图得到所有等可能的结果，找出抽到两张卡片恰好是“共享出行''和"共享知甜’的结果数,

根据概率公式计算即可二

4.如图所示，AP垂直于/ABC的平分线BP于点P,△BPC的面积为10cm2,则△ABC的面积为（）

A

2

C.25cm2D.30cm

【答案】B

【解析］【解答】解：如图，延长AP,交BC于点D.

A

P

BDC

第2页

TBP平分NABC,

AZADP=ZDDP.

又・.・AP_LBP,

AZAPB=ZDPB=90°.

在^ABP和^DBP中，

(Z-ABP=乙DBP

BP=BP

{/.APB=乙DPB

/.△ABP^ADBP(ASA),

••・AP=DP,即P是AD的中点.

AAABP^ADBP等底同高,故SAABP=SADBP；

△ACP与△DCP等底同高，故S/kACP=SZkDCP.

SAABC=SAABP+SAACP+SABPC=SADBP+SADCP+SABPC=SABPC+SABPC=2XSABPC.

VSABFC=10cm2,

SAABC=2X10=20cm2.

故答案为：B.

【分析】先通过角平分线和垂直的条件，构造全等三角形△ABP丝△DBP,得到P是AD的中点；再利用“等

底同高的三角形面积相等“，得出AABP与4DBP面积相等，△ACP与4DCP面积相等；最后将△ABC的

面积转化为2倍的△BPC的面积，代入SABPC=10cm2计算即可得到答案.

5.匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满.在注水过程中，容器内水面高度〃随时间/变化的大

致图象是()

0101

010t

【答案】C

【解析】【解答】解：观察图形,该容器有半径各不相同的三个圆柱组成，最下面的圆柱半径最小，故水面高

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度上升的最快；中间的圆柱半径最天，故水面高度上升最慢;

故容器内水而高度h随时间f变化的大致图象是：

屋

01

故答案为：C.

【分析】根据容器的组成可知最下面圆柱半径最小，中间圆柱半径最大，故注水过程水的高度变化速度先快

后慢再快，即可判断答案.

6.如图，在ZM8C中，BC=7,AB的垂直平分线分别交48、8c于点D、E,AC的垂直平分线分别交4C、

8c于点F、G,则△4EG的周长为（）

【答案】C

【解析】【解答】解：TDE垂直平分48,GF垂直平分4C,

：.AE=BE,AG=CG,

・•・△AEG的周长为4E+AG+EG=BE+CG+EG=BC=7,

故答案为：C.

【分析】利用垂直平分线的性质可得AE=BE,4G=CG,再利用三角形的周长公式及等量代换求出△AEG

的周长即可.

7.如图，在△ABC中，AB=2,ZABC=60°,ZACB=45°,D是BC的中点，直线1经过点D,AE_L1,

BF±1,垂足分别为E,F,则AE+BF的最大值为（）

2V2C.2V3D.3V2

【答案】A

【解析】【解答】解：如图，过点C作CK_L1于点K,过点A作AH_LBC于点H,

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VZABC=60°,AB=2,

・・・BH=1,AH=V3，

在RtZkAHC中，ZACB=45°,

・•・AC=JAM+CH?=J(¥)2+(后,=V6，

•・•点D为BC中点，

・・・BD=CD,

在41^口与4CKD中，

乙BFD=乙CKD=90°

乙BDF=Z.CDK,

BD=CD

••・△BFD^ACKD(AAS),

ABF=CK,

延长AE,过点C作CN_LAE于点N,

可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,

在RSACN中，AN<AC,

当直线1_LAC时;最大值为V6,

综上所述，AE+BF的最大值为V6.

故答案为：A.

【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可.

8.如图，在Rt△ABC中，^ACB=90°,ABC的角平分线AD,BE相交于点O,过点O作OF1

AD交BC的延长线于点E,交AC于点G,下列结论：

@LBOD=45°；②△BOA三△BOF；③80+AG=48。其中正确的结论是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

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【答案】D

【解析】【解答】解：①二•△ABC的角平分线AD、BE相交于点O,

二乙480=乙CB0=^ABC.乙BAO=2。AC=^BAC^

在ABC中，ZACB=90°,ZACB+ZABC+ZBAC=180°

・•・ZABC+ZBAC=180°-ZACB=1800-90°=900

二乙48。+JLBAO=^ABCAC

乙乙

1

-

2(乙ABC+乙BAC)

1

-

2X90°

=45°

AZBOD=ZABO+ZBAO=45°,故①正确;

(2)VZBOD+ZBOA=180°,ZBOD=45°,

・•・ZBOA=180°-ZBOD=180°-45°=135°

VOF1AD,

:.ZDOF=90°

；・ZBOF=ZBOD+ZDOF=45o+90o=135o

Z.ZBOA=ZBOF

在4BOA和^BOF中，

ZABO=Z.CBO

OB=OB

/.BOA=乙BOF

/.△BOA^ABOF(ASA),故②正确；

如图所示，延长FO交AB于H,

Z.ZAOG=ZAOH=90°

在^AOH>fllAAOG中，

(^HAO=LGAO

AO=AO

U10G=LAOH

.*.△AOH^AAOG(ASA),

.\AG=AH,OG=OH,

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・•・ZBOH=1800-ZBOD-ZDOF=45°

.,.ZDOII=ZBOD=45°

在4BOD和^BOH中,

(Z.OBH=乙OBD

BC=BO

(△BOH=乙BOD

・•・△BOD^ABOH(ASA),

ABD=BH,OH=OD,

/.AB=AH+BH=AG+BD,即BD+AG=AB,故③正确;

综上所述，其中正确的结论是①②③.

故答案为：D.

【分析】利用三角形的角平分线、三角形的内角和定理及其外角性质可判断①；推导出NBOA=NBOF可证

明^BOA^ABOF(ASA),进而可判断②；延长FO交AB于H,分别证明^AOH^AAOG(ASA)fll

△BOD^ABOH(ASA),利用全等三角形的对应边相等可判断③，进而可得答案.

二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

9.数学老师把分别写有“2026”、“中考”、“必胜”的3张除正面文字外其余相同的卡片，字面朝下随机放在桌

面上；你再把这3张卡片排成一行，字面朝上后从左到右恰好排成“2026中考必胜”的概率是.

【答案】|

【解析】【解答】解：将写有“2026”、“中考”、“必胜”的三张卡片分别记为4、B、C,

把三张卡片随机排成一行，所有等可能的结果为：ABC、ACB.BAC.BCA.CAB.CBA,共6种，

其中从左到右恰好排成“2026中考必胜”的结果只有1种，

故恰好排成“2026中考必胜”的概率是巳

O

故答案为：

【分析】直接列举出所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可.

10.如图，点F在△48C内，ZC=90°,FE14C于点E,FO18C于点D,且△AE尸，△80F,四边形

CDFE的面积分别为3,9,6,则的面积为.

A

CDB

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【答案】6

【解析】【解答】解：由题意可得：△4£尸的面枳=之力£・£r=3,△8。尸的面积=28。・0尸二9,四边形

C。/E的面积=CE，EF=CD・DF=CD・CE=6,

设CO=Q,CE=b,则4E=b,BD=3a,ab=6,

：.AC=AE+CE=2b,BC=BD+CD=4a,

•0械=鼻C・BC=4x2bx4a=4ab=24,

△/8F的面积为S—sc-S^AEF.LBDF-S四心形CO尸E=24-3-9-6=6.

故答案为6

【分析】

利用四边形CDFE为矩形，设出边长CD和CE,利用已知的小三角形面积，反推出AE和BD与CD,CE的

数量关系，进而求出大三角形△48C的面积，最后利用面积割补法即可求解.

11.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点D是BC的中点，点P、Q分别为AD、AC上的动点，贝U

【解析】【解答】解：连接8P，

••,AB=AC,点D是BC的中点，

・•・AD是^ABC的对称轴，点C关于AD的对称点为点B,

.\CP=BP,

；・CP+PQ=BP+PQ.

当B、P、Q三点共线且BQ1AC时，BP+PQ取最小值，即最小值为BQ的长.

在RtAABD中，AB=5,BD=1BC=3,

由勾股定理得：AD=>JAB2-BD2=52-32=4.

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VSAABc=ixBCxAD=lxACxBQ,

乙乙

/.ix6x4=lx5xBQ,

乙乙

解得：BQ=4.8

故答案为：4.8.

【分析】由AB=AC、D是BC中点可知AD是△ABC的对称轴，点C关于AD的对称点为B,故CP=BP；

根据垂线段最短，当B、P、Q共线且BQJLAC时，BP+PQ最小（即最小值为BQ）；利用△ABC的面积，分

别以BC、AC为底计算，结合勾股定理求出的AD,可解得BQ.

12.如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术根据图中的程序算法

过程，可得），与x之间的关系式是.

/输入支取相反数卜国♦同一切输出”

【答案】y=-3x4-2

【解析】【解答】解：由题意可得：

y=（-%）x3+2=-3%+2,

故答案为：y——3x+2.

【分析】根据程序框图列出式子，再化简即可.

13.如图，△ABC中，AB=AC,AD_LBC于点D,DE平分NADC,交AC与点E,EF_LAB于点

F,且交AD于点G,若AG=2,BCW2,则AF=.

【答案】|

【解析】【解答】解：・・・AB=AC,AD±BC

AZBAD=ZCAD,BD=CD=1BC=6

乙

VZC+ZCAD=90°,ZAGF+ZBAD=90°

.\ZAGF=ZC

VZDGE=ZAGF

/.ZC=ZDGE

〈DE平分NADC

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・•・ZEDG=ZEDC

DCE^ADGE(AAS)

DG=DC=6

AD=AG+DG=2+6=8

AC幻心+CD2=V62+82=10

连接BG,SAABG=*xAGxBD=IxABxFG,即［x2x6=Jx10xr(7

得FG],AF=^AG2-FG2=J22-(|)2=I

故答案为：I.

【分析】由等腰三角形的性质知NBAD=NCAD,由此得NC=NAGF得NC=NDGE,可证

△DCE^ADGE,得DG=DC=6,可得AB=AC=10,连接BG,由等面积法得5,加=乂X80=gx

ABxFG,由此得FG的长，由勾股定理得AF的长.

三、解答题(共7题；共61分)

14.小马与小虎两人共同计算(2x+a)(3x+b),小马抄错为(2x—a)(3x+b),得到的结果为6/-13x+

6,小虎抄错为(2x+Q)(x+b),得到的结果为2/一%一6。

(1)原算式中的Q力的值各是多少？

(2)请你计算出原题的正确答案。

【答案】(1),:(2x-a)(3%+b)=6x24-2bx-3ax-ab=6x2+(2b-3a)x-ab=6%2-13%+6,①

又•:(2x+a)(x+b)=2x24-2bx+ax+ab=2x2+(2b+a)x+ab=2x2—x—6»•••2b—3a=

-13o

*0•2b+Q=-1o(2)

所以由①②得心之二：3,,解得卜二；’「

⑵由(1)得1屋为

原式=(2x4-3)(3x-2)=6x2—4x4-9x—6=6x2+5x-6。

【解析】【分析】(1)把小马、小虎抄错后的整式展开合并，根据时应系数相等呢个得到2b-3a=-13,2b+a=-

1,解方程组即可求出a、b的值；

(2)把a、b的值代入原式，根据整式乘法法则解答即可.

第10页

15.已知如图，AB||DE,Z1=Z2.

(2)若力018。于点D,若AO平分48AC,4CEO=40。，求乙8的度数.

【答案】(1)解：AD||GF.理由如下：

*：AB||DE,

/.zl=Z.DABf

Vzl=z2,

Z.DAB=z2>

：.AD||GF.

(2)ABIIDE,

"CED=Z.BAC=40°,

•・・40平分/8AC,

：-Z-BAD=^BAC=20%

'：AD1BC,

=90°-/-BAD=70°

【解析】【分析】(1)根据两直线平行，内错角相等得到41=乙〃18,等量代换得到乙。力8=乙2,然后根据

同位角相等，两直线平行得到结论即可；

(2)根据两直线平行，同位角相等得到/G?D=/B4C=40。，艰据角平分线的定义得到乙8月。二；484。二

20°,然后根据直角三角形的两锐角互余解题即可.

16.2022年11月21日，卡塔尔足球世界杯正式开赛，本届世界杯口号是“此刻即所有(NowisAll)”.某校

为了了解学生对各类体育运动的喜爱程度，随机抽取部分学生进行问卷调查(每个被调查学生只能选择其中一

种项目)，对调查结果统计后，绘制了如下统计图：

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根据统计图提供的信息，回答下列问题：

（I）此次调查抽取的学生人数为人；

（2）补全条形统计图；

（3）学校准备从每一项运动中选择一位学生，并在他们中任意抽取两人进行体能测试，靖用画树状图或

列表的方法求正好抽到两人是喜爱“足球”和“乒乓球”运动的概率.

【答案】（1）100

（2）解：参加乒乓球的人数为：100-（10+40+20）=30（人）

补全条形统计图如下：

球球

（3）解：设足球、篮球、羽毛球和乒乓球运动分别记为A、B、C、D,

画树状图为：

开始

BCDACDABDARC

由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽到两人是喜爱“足球”和“乒乓球”运动的结果有2种，所以概率

2_1

从12=6°

【解析】【解答］解：（1）此次调查抽取的学生人数为：20-20%=100（人）

故答案为：100;

【分析】（1）根据羽毛球人数除以羽毛球占抽取学生人数的百分比，即可得出答案；

（2）从总人数里边减去其他各组的的人数，即可得出参加乒乓球的人数，并补全条形统计图即可；

（3）设足球、篮球、羽毛球和乒乓球运动分别记为A、B、C、D,然后化树状图进行分析，得出共有12种

等可能结果，其中抽到两人是喜爱“足球”和“乒乓球”运动的结果有2种，进而根据概率计算公式，即可得出

答案。

17.如图，学校位于河的南岸点A处，在河的对岸点A的正北方向点B处有一建筑物，李老师带领同学们

测量学校点A与建筑物点B之间的距离48.

测量学校点A与建筑物点B之间的距离力8

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测量

测量角度的仪器、皮尺等

工具

测量

第一小组第二小组

小组

8

B

测量上

;一差;

方案

DrA

小意

图CDE

E图2

图1

设计

如图1,在点A的正西方取点C,延长如图2,在84的延长线上取点C,在点C的正东方

方案

AC至点D,使4C=DC,在点D的正南取点D,使CD=4C,连接BD,在CD延长线上取点

及测

方取点E,使B,C,E三点共线，连接E,连接4E,使得=测得Z）E=50

量数

DE.米.

据

任务（1）在第一小组的方案中，测量出线段OE的长度，就可以得到点A与点B的距离A8,请说

明理由.

任务

（2）根据第二小组的方案和测量数据，求点A与点B的距离AB.

【答案】解：⑴理由如下：由作图知=乙ACB=£DCE（对顶角）,

•・•在点A的正西方取点C,延长4c至点D,使AC=DC,在点D的正南方取点E,

：,^BAC=乙EDC=90°.

：.LABC三△OEC(ASA),

：.AB=DE.

(2)在△4CE和△DC8中，

'：AC=DC,乙CAE=LCDB,乙ACE=^DCB(对顶角)，

/.△/ICE三△OCB(4"1),

：.CE=CB,

：.DE=CE-CD=CB-CA=AB,

■:DE=50米,

：.AB=50米.

【解析】【分析】

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(I)根据对顶角的性质得到乙4c8=乙DCE,根据方位角的定义得到乙84c=乙EDC=90。，再利用力SA证明

^ABC=^DEC,再根据全等二角形的性质可得AS=DE,解答即可；

(2)根据对顶角的性质得到乙4CE=/DCB,再利用ASA证明△ACE三△DCB,再根据全等三角形的性质可

得CE=CB,然后根据线段差计算得到。E=4B,解答即可.

18.如图，点D在AC边上，ZA=ZB,AE=BE,ZI=Z2.

(1)求证：△AEC^ABED；

(2)若Nl=45。,求NBDE的度数.

【答案】(1)证明：VZ1=Z2,Z2+ZBDE=ZADE=Z1+ZC,

.\ZBDE=ZC,

在^AEC^OABED中，

Z.A=Z.B

ZC=乙BDE

AE=BE

?.△AEC^ABED(AAS)

(2)解：VAAEC^ABED,

.\ED=EC,

:.ZC=ZEDC,

VZ1=45°,

・•・••Z.EDC="==5。

♦I'。”67

.\ZBDE=67.5°.

【解析】【分析】(l)先得到乙C=480E,然后根据AAS得到两三角形全等即可；

(2)根据全等三角形的对应边相等得到ED二EC,即可得到NONEDC,然后根据三角形的内角和定理解答

即可.

19.【问题提出】如图1,在四边形ABCD中，AB||DC,石是4。的中点，BE平分4/lBC,CE平分乙BCD,试

判断8C,CO和之间的数量关系.

【问题解决】小李为解决该问题画出了如下辅助线：如图2,延长BE,与CD的延长线相交于点F.

请你结合小李所画的辅助线，回答下面的问题，并将推理过程补充完整：

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BC,CO和48之间的数量关系为.理由如下:

【拓展延伸】如图3,已知力。是△ABC的中线，AB=AE,AC=AF,LBAE=Z.CAF=90°,试判断线段

4。与EF的数量关系，并加以证明.

图1图2

【答案】【问题解决】解：理由如下:

VAB//DC,

.\ZABE=ZF.

・・・E是AD中点,

/.AE=DE,

又NAEB=/DEF（对顶角相等）,

・•・△ABE^ADFE(AAS),

，AB=DF.

「BE平分NABC,

・・・NABE=NCBE.

又,:ZABE=ZF,

・•・ZCBE=ZF,

・・・BC=CF.

VCF=CD+DF,AB=DF,

ABC=CD+AB.

故答案为：BC=CD+CB.

【拓展延伸】数量关系：EF=2AD.

证明：延长AD至G,使DG=AD,连接CG.

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〈AD是中线，

・•・BD=CD.

又NADB=NGDC,

・•・△ABD^AGCD(SAS),

AAD=GD,AB=CG,ZBAD=ZG.

VAB=AE,

Z.AE=CG.

ZBAE=ZCAF=90",

.\ZEAF+ZBAC=180°.

VZBAD=ZG.

・・・AB〃CG,

AZBAC=ZGCA,

.*.ZEAF=ZGCA.

在^AEF和ACGA中，

(LEAF=Z.GCA.

AE=CG

AF=CA

・•・△AEF^ACGA(SAS),

AEF=AG.

VAD=GD,即AG=2AD,

Z.EF=2AD.

【解析】【分析】【问题解决】先根据平行线的性质和线段的中线，证明△ABE丝ADFE(AAS),进而求出

AB=DF；再根据角平分线的性质，得出/ABE=/CBE；接着通过角度的等量代换，得出/CBE=/F,从而

根据等角对等边，求出BC=CF；最后根据边的等量代换，即可证明BC=CD+CB.

【拓展延伸】先通过作辅助线，得HDG=AD,结合中线的性质，证明△ABD丝Z\GCD(SAS)；再根据全

等三角形的性质，得出AB=CG,NBAD=NG,并结合已知条件AB=AE,得出AE二CG；接着根据已知条件

ZBAE=ZCAF=90°,利用平行线的性质证明NEAF二NGCA,从而证明△AEF@Z\CGA(SAS),从而得出

EF=AG；最后通过边的等量代换，即可证明EF=2AD.

20.如图，在锐角三角形ABC中，AB<AC,AD是角平分线，DM,DN分别是△ABD,△ACD的

高，点E在DC上，且DE=DB,动点F在边AC上(不包括两端点)，连接FE,FD.

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A

（1）【问题感知】

填空：DMDN（填“>”，"=”或"v"）；

（2）【探究发现】

若NFEB二NB,小杰经过探究，得到结论：NAF