2026年高考数学一轮复习对数与对数函数（专练+相遇试题）原卷版+解析

第06讲对数与对数函数

A夯实基础B相遇高考C素养提升

A夯实基础

一、单选题

1.（2025•山西临汾•三模）已知2*=3,嚏55'=2,则（）

A.3B.1C.-1D.-3

2.（2025•山东临沂•二模）已知实数满足唾2（唾31）=唾3（唯2力=1，则工+2=

（）

A.11B.12C.16D.17

21

3.（24-25高三下•河北沧州•阶段练习）假定风力等级与风速的关系满足方程：lg〃=]lgv+茄

（其中丫为风速，单位：m/s,〃为风力等级），2025年4月12日，河北省气象部门发布大

风预瞥，某地区风速达到10m/s,则该地区此次大风的风力等级约为（注：10。〃2ss5）

（）

A.2级B.3级C.4级D.5级

4.（2024•四川攀枝花•一噗）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神

经网络为出发点的，在神经网络优化中指数衰减的学习率模型为£=其中心表示每

一轮优化时使用的学习率，4表示初始学习率，。表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，伍

表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8,衰减速度为12,且当

训练选代轮数为12时，学习率衰减为0.5.则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训

练选代轮数至少为（参考数据：怆2。0.301）（）

A.34B.35C.36D.37

5.（2025•天津红桥•二模）若3。=5'=15,则-+7=（）

ab

A.1B.log35

C.Iog53D.2

6.（2025,天津,,一模）已知a=log.：=bg«3,c=（0J，则（）

A.b>c>aB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c

]+r

7.（24-25高三下•天津南开•阶段练习）关于函数〃x）=ln丁一,下列说法正确的是（）

1-X

A../（X）在上单调递增，旦曲线），=〃x）存在对称轴

B.7(x)在上单调递增,且曲线y=/(x)存在对称中心

c./(x)在(-1/)上单调递减，且曲线y=/(x)存在对称轴

D./5)在(T1)上单调递减，且曲线y=/(x)存在对称中心

二、多选题

8.(25-26高一上•全国•课后作业)已知实数a,6满足lg(3a)+lgb=lg(2a+b),则》+26的

可能取值是()

A.9B.3C.2D.6

9.(24-25高一下•湖南•期中)已知/(x)=ln(x+l),g(x)=ln(lr),令

F(x)=/(x)-g(x),则下列结论正确的是()

A.一(力的定义域是(-1J)

B./(x)>g(x)的解集为(01)

C./(%)是奇函数

D./(x)在区间(7,0)上单调递增，在区间(0J)上单调递减

三、填空题

10.(2025•安徽•三模)已知Mog25=l,则5、+25-'=.

11.(2025•湖南长沙一模)已知y二后鲁三十号为奇函数，则实数。的值是.

四、解答题

12.(24-25高一下•山西大同•阶段练习)化简下列各式：

(I)4lg2+3lg5-lg1；

⑵MJ'图'("-厂

13.(22-23高一上•陕西商洛•期末)(1)求”一6峪3+{(6-2>.logSlogsd的值;

(2)若Ig3=a,lg5=b,用人表示log/.

14.(24-25高一下•江西•期中)己知函数/(x)=log2(a2+2r+/)(aeR)是偶函数.

⑴求/(。)的值；

(2)若关于x的不等式/("之：+〃?在[1,2]上有解，求实数机的取值范围.

B相遇高考

1.(2024•新课标I卷•高考真题)已知函数/(%)=卜：::如二:"r)在R上单调递增，则

ex+ln(x+l),x>0

。的取值范围是()

A.(-8,0]B.[-1,0]C.[-U]D.[0,+<»)

115

2.(2024,全国甲卷•高考真题)已知。*且1--------：―T=-T,则〃=

log*log/2

3.(2023•北京•高考真题)已知函数/(x)=4'+log,x,则/|^|=.

C素养提升

1.（天津市河西区2024-2025学年高三下学期总复习质量调查（三）数学试题）设

a=-,b=204,c=ln『则。也。的大小关系为（）

⑴2

A.b<c<aB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

2.（24-25高一下•云南昆明•期中）Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的

实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为

L=横，其中心表示每一轮优化时使用的学习率，4表示初始学习率，。表示衰减系数,

G表示训练迭代轮数，a表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为

0.6,衰减速度为20,且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3,则学习率衰减到0.2

以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（）

（参考数据：他2。0.3,1g3^0.477）

A.14B.15C.16D.17

1/y_l_1\

3.（24-25高一上・安徽合肥•阶段练习）已知函数/（x）=、+log2--

3kX-I；

⑴求/（》）的定义域；

⑵当XC（L+8）,

①求证：〃X）在区间（1,+动上是减函数；

②求使关系式/（，〃-2）>/（2机-1）成立的实数机的取值范围.

/、t\—,x<0

4.（24-25高一下•湖北•期中）已知函数/（x）=log2（2'+l）,g（x）=R9；

log2（4'+l）,x>0

⑴若/。）=加，/（2）=〃，求k）g212和Iog3l5（结果用加，〃表示）.

（2）求不等式g卜）<3的解集.

（3）若立40,2],都有g（”-/（x）T>0成立，求实数，的取值范围.

5.（24-25而一下・陕西西安•期中）已知函数/。）=1唱（/-。二+1）.

⑴当。=1时，求/（x）的最小值；

（2）若/（力为偶函数,求。的值；

⑶设g（"=4X-2,若对于任意再存在电。卜可,使得不等式/>）*&）成立,

求。的取值范围.

第06讲对数与对数函数

A夯实基础B相遇高考C素养提升

A夯实基础

一、单选题

1.（2U25•山西临汾•三模）已知2—=3,logs5=2,则（）

A.3B.1C.-1D.-3

【答案】B

【知识点】指数幕的运算、对数的运算

【分析】根据指数，对数的运算性质即可求解.

【详解】由2*=3,1。&5"=2可得2啕a=4=3,1%5'=方=2,

则a-6=1,

故选：B

2.（2025•山东临沂•二模）已知实数x，y满足唾2（四31）二唾3（噬2歹）=1，则x+J'=

（）

A.11B.12C.16D.17

【答案】D

【知识点】指数式与对数式的力化

【分析】由指对互化公式即可求解.

【详解】因为Iog2（log3x）=log3（log2y）=l，所以x+y=3?'+2'=9+8=17.

故选：D.

21

3.（24-25高三下•河北沧州•阶段练习）假定风力等级与风速的关系满足方程：lg//=^lgP+—

（其中V为风速，单位：m/s,〃为风力等级），2025年4月12日，河北省气象部门发布大

风预瞥，某地区风速达到10m/s,则该地区此次大风的风力等级约为（注：10。72。5）

（）

A.2级B.3级C.4级D.5级

【答案】D

【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算

【分析】代入》=10,根据指对互化即可求解.

【详解】将"10代入公式lg〃=£lgv+L得lg〃=3glO+L=2

32032060

所以〃=10联片10。.72°5，即该地区此次大风的风力等级约为5级，

故选:D.

4.（2024•四川攀枝花•一噗）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神

经网络为出发点的，在神经网络优化中指数衰减的学习率模型为L其中心表示每

一轮优化时使用的学习率，4表示初始学习率，。表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G。

表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8,衰减速度为12,且当

训练选代轮数为12时，学习率衰减为0.5.则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训

练选代轮数至少为（参考数据：怆2ao.301）（）

A.34B.35C.36D.37

【答案】C

【知识点】对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2〉、指数式与对数式的互化、

运用换底公式化简计算

G

【分析】根据已知条件列方程，可得。=£,再由0.8x（?］立<0.2,结合指对数关系和对数

函数的性质求解即司;

GG

【详解】由于£=4旅，所以L=0.8x加，

依题意0.5=0.8x滞,则〃=5，

O

GG

由L=0.8x[J<0.2，即《丫<；,

所以G>“廿詈翳晚苦舒的,

所以所需的训练迭代轮数至少为36次.

故选：C.

5.（2。25・天津红桥•二模）若3“=5~5,则%"（）

A.1B.log35

C.logs3D.2

【答案】A

【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用

【分析】根据指数对数转化，再应用对数运算律计算求解.

【详解】因为3a=5=15,

所以a=log315,b=log515,

则l+l=log153+logI55=log1515=l.

故选：A.

6.(2025・天津•一模)己知Q=log；，@=k)g«3,c=CJ，贝I(

)

A.b>c>aB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c

【答案】A

【知识点】比较指数嘉的大小、比较对数式的大小

【分析】化简式子，然后借用中间值0和1来进行比较即可.

【详解】a=log3=log33=——♦

32

b=log有3==210g53=log59＞log55=1

lg5y51g5

所以,

故选：A

7.(24-25高三下•天津南开•阶段练习)关于函数/(x)=ln「，下列说法正确的是()

A./(另在(-3)上单调递增，且曲线歹=/(力存在对称轴

B./(X)在上单调递增，且曲线N=/(x)存在对称中心

c./(X)在(T1)上单调递减，且曲线v=/(x)存在对称轴

D./(X)在(-1,1)上单调递减，且曲线N=/(x)存在对称中心

【答案】B

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性、求对数函数的定义域

【分析】根据复合函数的单调性、函数的奇偶性等知识确定正确答案.

【详解】令二＞。，得(Z)(1)＜。，解得―可知小)的定义域是㈠J),

因为/(X)=In户=In2?」一')

I-xI-x

7

且y1在(-1』)上单调递增，y=lnx在(0,+e)上单调递增,

1-X

根据复合函数单调性同增异减可知/(X)在(-1，1)上是增函数，

又因为/(x)+/(-x)=ln¥+1nF=lnl=0,即/(x)=-/(-x),

所以/(X)是奇函数，曲线y=/(x)存在对称中心，即B选项正确.

故选：B.

二、多选题

8.(25-26高一上•全国•课后作业)已知实数a,方满足电(3。)+电/)=怆(2。+/)),则。+2〃的

可能取值是()

A.9B.3C.2D.6

【答案】ABD

【知识点】对数的运算性质的应用

【详解】由lg(3a)+励=lg(2a+4)得3ab=2a+b,

12_.(\2Y_._2b2。、=_12b2a八

变形得一+工=3.因J为-+-(t/+2A)x=5+—+—>5+2-----=9,

abb)ab、ab

当且仅当竺=半，即〃=力=1时，等号成立，所以〃+2心3.

ab

9.(24-25高一下•湖南•期中)己知/(x)=ln(x+l),g(x)=ln(l-x),令

F(x)=/(x)-g(x),则下列结论正确的是()

A.尸(x)的定义域是(f】)

B./(x)〉g(x)的解集为(。/)

C.尸(x)是奇函数

D./(x)在区间(-1,0)上单调递增，在区间(0J)上单调递减

【答案】ABC

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、时数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义

域、山对数函数的单调性解不等式

【分析】A选项，根据真数大于0得到不等式，求出定义域；B选项，根据函数单调性和定

义域得到不等式，求出不等式解集；C选项，先求出函数定义域，再得到尸(%)+尸(-，=0,

C正确;D选项,/(X)在上单调递增,g(x)在(-U)上单调递减,从而得到D错误.

/\7\/\fx+1>0

【详解】A选项，由已知，F(x)=In(x+l)-ln(l-x),故〈

解得-Ivxvl,所以尸(M的定义域为(TJ),A正确;

x+1>0,

B选项，由ln(x+l)>ln(l-x),得<17>0,解得0<x<lB正确:

X+1>1-X,

c选项，Q尸(X)的定义域为(-1,1),

又F(.r)+F(-x)=1n(x+l)-ln(l-x)+ln(-x+l)-ln(l+j)=0,

・•,尸(x)为奇函数,C正确;

D选项,D/卜)在上单调递增,g(x)在(-1,1)上单调递减,

・••万。)在(-11)上单调递增,D错误.

故选：ABC

三、填空题

10.(2025・安徽•三模)已知Wog25=l,则夕+25七=,

9

【答案】7

4

【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算

【分析】根据对数的运算公式，解对数方程，依据对数的性质求答案.

【详解】由题意得，工=JrfogQ,故5、+25-'=5峭2+25,°叼=5啕2+25喝9=2.

9

故答案为：-

11.(2025•湖南长沙•一模)已知y=ln

【答案】4

【知识点】求对数函数的定义域、由奇偶性求参数

【分析】由奇函数的定义域关于原点对称得出。，再检验即可求解.

【详解】由题意知‘二+1=得(.2)(/2)>0,

x-2x-2

令(x-2)(x+a-2)=0,解得x=2或x=2-”，

又该函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称，

、(4、t+2

所以2+(2-〃)=0,解得〃=4,即y=ln-----+1=ln:--,

\x-2)x-2

令/a)=ln±=,其定义域为(-8,-2)52,+力)，

x-2

/(—x)=ln士|=_lnT=—/(力，满足题意，

-X—2x-2

故答案为：4.

四、解答题

12.（24-25高一下•山西大同•阶段练习）化简下列各式：

（I）41g2+31g5-lg1；

（2）8支⑶+借）4-（员1:

【答案】⑴4

8

【知识点】指数哥的化简、求值、对数的运算性质的应用

【分析】（1）根据对数的运算分析求解；

（2）根据指数塞运算分析求解.

【详解】⑴原式=吆1fLM2r5"）=3。'=4

5

（2）根据分数指数辕的定义，得

.二（2相2-，出"=4,偌『=倒4©彳，

原式=4-4+§27-1=?19.

88

13.（22-23高一上•陕西商洛・期末）（1）求8§-6*3+&方"^F-log51ogs4的值:

（2）若Ig3=a,lg5=b,用。,b表示10/2.

【答案】（1）1-百；（2）二•.

【知识点】运用换底公式化简计算、指数易的化简、求值、对数的运算性质的应用

【分析】（1）根据指数及对数的运算性质，即可求值；

（2）根据对数的运算和换底公式，即可求解.

8A32

【详解】（1）8^-6'°+7（V3-2）-log,5-log54

川匕+i）常震

=22-3+2-73-^

电2

=4-3+2-V3-2=l->/3

,]0

（2）通2=型1=上=0°一3=上^

IglSlg（V5）Ig^+1g5a+h

14.（24-25高一下•江西•期中）已知函数/"）=1。82（。2'+27+/）（。£1<）是偶函数.

（1）求/⑼的值;

⑵若关于x的不等式/（耳2,+加在［1,2］上有解，求实数，〃的取值范围.

X

【答案】⑴1

⑵18,log?33-T

【知识点】由奇偶性求参数、函数不等式能成立（有解）问题、对数型复合函数的单调性、

对数函数最值与不等式的综合问题

【分析】（1）根据偶函教的性质/（-4）=/（x）求出参数。的值，即可得到函数解析式，再

代入计算可得；

（2）依题意关于x的不等式10氏（2*+2一，+/）—在［1,2］上有解，令

〃3=2，+2-，+/,xe［l,2］,利用作差法证明函数的单调性,即可得到g（x）在［1,2］上的

单调性，从而求出g"）皿，，即可得解.

【详解】（1）因为函数/⑺为偶函数，所以/（T）=/（X）,

即log,♦2、+2r+（-x）2'=log?•2、+2-r+x2）,

所以。2*+2』2=〃・2工+2-+丁,整理得（。―1）（2，-2-*）=0恒成立，

所以4—1=0,解得0=1,所以/（x）=k>g2（2'+2r+/）,故/（0）=10&2=1.

（2）由（1）可得，关于x的不等式1。氏（2,+2-r/）」之〃?在［1,2］上有解，

X

4,h（x）=2'+2'+x2,xe［l,2］,取

则〃（七）一力（》2）=2演+2一“+x；-（2'：+2-"+x；）=（2*_2，11-2：々）+（为一9）（再+x2）.

因为14玉<心42,所以司一x,<0,.V］+x,>0,2占<24，Jr<l，

所以（2=211-嬴）<（）,（x,-x2）（xl+x2）<0,即力（占）-〃（巧）<0,

所以“x）在［1,2］上单调递增，

又y=log4在定义域上单调递增，因此/（x）在［1,2］上单调递增.

令g（x）=k）g2（2'+2-+/）-Lxe［\,2］,

X

因为函数/（X）与函数y=-L在［1,2］上均单调递增，

所以g(x)在[1,2]上单调递增，且g(x)3=雇2)=10氏5-51=10&33-s1

所以〃2410g?33-g,故实数根的取值范围为18,log?33-g.

B相遇高考

-Y"-2/ZY-/7Y<0

X,‘八’八在R上单调递增，则

{e+ln(x+l),x^0

a的取值范围是()

A.(-8,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+a))

【答案】B

【知识点】判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数

【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.

【详解】因为/(x)在R上单调递增,且kNO时，/(x)=e'+ln(x+l)单调递增，

则需满足J2x(—1),解得TSawO,

-a<e°+Ini

即。的范围是[T,0].

故选：B.

I15

2.(2024・全国甲卷•高考真题)已知且六一-：­T=--,则〃=

log*1限42

【答案】64

【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算

【分析】将logs。，log”4利用换底公式转化成log2a来表示即可求解.

1131,5

【详解】由题------：7=1-------loga=--,整理得(zlog-51og,a-6=0,

2v172

log"log_4log2a22

=>log2a=-l«£log2a=6,又a>l,

所以log2a=6=log22'、，故a=26=64

故答案为：64.

3.(2023•北京・高考真题)已知函数/*)=4'+k)g2X，则.

【答案】1

【知识点】求函数值、指数暴的运算、对数的运算

【分析】根据给定条件，把X=；代入，利用指数、对数运算计算作答.

【详解】函数/（x）=4'+bg2x,所以/（]）=42+嚏2]=2-1=1.

故答案为：1

c素养提升

1.（天津市河西区2024-2025学年高三下学期总复习质量调查（三）数学试题）设

<।、-0.33

a=-,b=20-4,c=ln-,则a,4。的大小关系为（）

⑴2

A.h<c<aB.a<c<hC.c<a<hD.c<b<a

【答案】D

【知识点】比较指数昂的大小、比较对数式的大小

【分析】“°>少°，结合指数函数单调性得到。>力>1，又CY1,得到结论.

【详解】4=f=3°3>|,/；=204>1,

"。=3'=27,〃°=24=16,故所以

c=In—<Ine=1,所以c〈b<o.

2

故选：D

2.（24-25高一下•云南昆明•期中）Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的

实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为

L=L°D/，其中心表示每一轮优化时使用的学习率，4表示初始学习率，。表示衰减系数,

G表示训练迭代轮数，伉表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为

0.6,衰减速度为20,且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3,则学习率衰减到0.2

以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（）

（参考数据：lg2ao.3,lg3«0.477）

A.14B.15C.16D.17

【答案】C

【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2）

.G

【分析】根据已知条件列方程，可得。=（，再由£=0.6x（；）元<0.2,结合指对数关系和

对数函数的性质求解即可.

【详解】由于人人湍，所以£=0.6x湍，

依题息0,3=0.6x则D=；，

3由L=0.6x(fv0.2,

则L=0.6x

4>

即G>2吃>。噫3=10备@答

所以,=159,

所以所需的训练迭代轮数至少为16次.

故选：C.

3.（24-25JSJ上・安徽合肥•阶段练习）已知函数/（x）=1+log2心+1、

⑴求/（X）的定义域；

⑵当X£（l,+8）,

①求证：/（x）在区间（1,+句上是减函数；

②求使关系式/（〃?-2）>/（2加-1）成立的实数〃?的取值范围.

【答案】⑴（YO,-1）U（1,+00）；

⑵①证明见解析；②〃?>3.

【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求对数型复合函数的定义域、根据函数的单调

性解不等式

【分析】（1）根据对数的性质求函数的定义域；

（2）①由单调性的定义证明区间单调性即可；②利用函数单调性解不等式求参数范围.

【详解】（1）由=Y4>.10,得x<-1或x>l,所以函数/（X）的定义域为（y,-l）U（l,+功，

X-1

x,Olo>O

（2）①设1<再<x2，）-f（2）=g2^4-gz=g：

玉一1x2-1（X,-1）（.¥,+1）

,X.Xy+X,-X-1

=l°g2~~~~：,

x}x2+玉_-1

+XX

因为1<X]，贝！J（X[X22~\-1）一（再42+^I-X2-1）=2（X2-XI）>0,

所以玉工2+x2-X]-1>X]X2+X）-x,-1=（X1-l）（x2+1）>0.

xx+X,-A]-1

所以}20,所以/&)>/(：),

mq+r(-r2-1

故/（%）在区间―）上是减函数.

②由①知/⑴在区间（1，+8）上是减函数，

由/。〃-2）>/（25-1）,可得1<5一2<2〃1,解得〃>3.

/|、x+l

/、/、-,x<0

4.（24-25高一下•湖北•期中）已知函数/（》）=1。82（2'+1）,双X）=八力

K

log2（4+l）,x>0

⑴若/()=〃?，/(2)=〃，求1。氏12和log315(结果用加，〃表示).

(2)求不等式g(x)<3的解集.

⑶若VX€[0、2],都有g(“-/(工)->0成立，求实数/的取值范围.

n

【答案】⑴logJ2=〃?+2,R)g315=l+—；

m

(2)f-|jog47j

(3)(-oo,0)

【知识点】运用换底公式化简计算、解分段函数不等式、函数不等式恒成立问题

【分析】(1)利用对数的运算性质可得.

(2)解分段函数不等式，先利用指数和对数的性质分段求解，最后求并集；

(3)参变分离,现设力(x)=g(x)-〃X),求%nOY%n(x).

【详解】(1)已知/(x)=log2(2v+l),所以"?=/⑴=够3,〃=/(2)=log25,

所以1"212=噫3+噫4=m+2,

皿5,n

log315=log33+log35=l+=1+—

噫3m

(2)当x<0时，(2)=所以X+1>-5，解得工>一5，所以一5Vx<0；

当xNO时，log2(4'+l)<3=log28,所以4'+1<8,解得x<log$7,所以OVxvlog/；

练上可得，不等式g(x)<3的解集为，弓,10以71

(3)Q.ve[0,2],所以g(x)=k)g2(4'+l),设6(x)=g(x)-/(x),

r

则=iog2(4+l)-log,(2'+1)=log,j-,令。=2'+1e[2,5],

则4'+1=优)2+l=(a-l)2+l=/-2q+2,

即y=