第三章 圆锥曲线的方程（思维导图+知识清单）-2024-2025学年高二数学（人教A版选择性必修第一册）

第三章圆锥曲线的方程（思维导图+知识清单）

【人教A版（2019）］

定义，平面内、两个定点E.F的加博的和等广常数（人广居/•一）的点的轨迹叫作桶网.

这两个定点叫作椭演的焦点.两焦点间的即国叫作网圈的鲂曲.

椭圆及其标宸啊图方程的求解：⑴定义法；（:）待定系眈去

方程

能点三角形同哀：（1）集点三角元周长向裴；C）焦点三角形面用向差

嘴黄的范围：干究懦国的范围勃罡讲完椭圆上虎的横.纵坐标的取值砥

嗡国力对称性：（1）从形的角度存：禽西既是挺对际晶形，又是中心对称图形；（2）从数BS角度右：在惭否的标;隹方

程中以-）代电，方程并不改交

胡圆的面单几嘴理的顶点与长岫.短细

何住质

嘴芭的知心率：（1）离心率的定戈：祠园的焦距与长轴长的比标为椭芭的勒心率，月e表示;

（2）离心率的范国：0小1；

（3谭I四商。本的W义：悌四高心率的变化刻画了佛圆的扁平程度

点与惭ESOOM关系：成立横25%、点在言国上、点rr精国外

直浅与精圆的位宣关系：相商、相切、相交

直线与楠圆的

位置关系嘴国的茏长：（D定义：直线与构至的交点间的法段W作概为约死；（2成长公式

平央精圆中点弦问罚的两种方法：（D根与系敢的关系法；（2）点差法

双曲线的定义，干向内与两个定点八.£的即肉的茶的绝对值等J•『专常数（小I尸/：|）的点的

轨也叫作双曲伐.这两个定点叫作双曲拽的保点.两处点间的密寓叫作双曲线的短距.

双由线及其标

准方程双曲浅方程的求第：（I）定义法；（2）待定系数法

曲

线双曲找的几何性展：（DTEffi：xxrft匕”CR（终点©MO;（2）对称性：关于EL｝铀对存，关于SK点E心对存

双曲线的简单

的几何性质双曲戏的离心率：（1）定义：双由统的焦更与实融长的比，叫作双曲浅的毫，注；Q）双在茂离日的磁：Q1

双曲线

方

直浅与双国法的位置关系：相文、相切,相焉

程

弦K公式，木践产生柏。双侏线郴交所得的弦Kd=vT^Flx,-r..|

巨线与双曲线

的位置关系

中点弦间度：“设而不求”法解决中点弦问题

双曲统的第二定义

定义：平面内（5―4定时0一景文巨浅：（.不修1加的距离相等的点的机迩叫作物指疾

地物法及其标_f

地物统标灌方程的求婚：待定期裁法

准方程I

如物统的几何性质：顶点、对标轴、集点、准送.离心率、开□方向、集半径.范围

抛物线的简单沏物统与惭国.双曲浅几何性辰的差餐

抛物线几何瞳

与附物袋有关的最值问题的求焦方法：⑴几何法；Q戏数法

直送与加扬法的位置关系：相交、相切、相高

亘线与抛物线II物线的弦txi\+A:XATI_Jf»>2=S+A‘-V(M+*IF—4

的位置关系

地物线的焦点弦，糕点弦长为加"+以,3.口分别为MX的相当标）

〉知识清单

3.1椭圆及其标准方程

【知识点1椭圆的定义】

1.椭圆的定义

⑴定义|：平面内与两个定点居,尸2的距离的和等于常数(大于尸产2|)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫

作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.

(2)椭圆定义的集合表示P={M\MFl+MF2=2a,2«>|F,F2|).

【知识点2椭圆的标准方程】

1.椭圆的标准方程

椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：

2.椭圆方程的求解

⑴用定义法求椭圆的标准方程

根据椭圆的定义，确定病,〃的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.

⑵用待定系数法求椭圆的标准方程

①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆•定是标准形式，就可以利用待

定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的。，人的值，从而确定方程(注意焦点的

位置).

②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点

在工轴上和焦点在白，轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方

程为4r2+=再解答.

【知识点3椭圆的焦点三角形】

1.椭圆的焦点三角形

(1)焦点三角形的概念

设M是椭圆上一点，月,尸2为椭圆的焦点，当点M居,「2不在同一条直线上时，它们构成一个三角形焦

点三角形，如图所示.

(2)焦点三角形的常用公式

①焦点三角形的周长L=2a+2c.

222

②在△A/QF2中，由氽弦定理可得|*&|=\MFy\+|A/r2|-2|M*||M&l•cos/*MF,.

③设"(xo,'。)，乙F\MFz=a,则小“尸筋=。T)'ol=〃.tan^.

乙

3.2椭圆的简单几何性质

【知识点1椭圆的范围】

1.椭圆的范围

设椭圆的标准方程为「+若=1(＞o),研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横.纵坐标的取值范

围.

⑵卜数的角度,利用方程研究，易知方=1-5■沙故案■$1，即“0&T；5■=1-方次，故方W1，

即-区附.

【知识点2椭圆的对称性】

1.椭圆的对称性

(I)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.

(2)卜数的角度，：在椭圆的标准方程£+*—1中以寸代替y,方程并不改变，这说明当点

尸(xj)在椭圆上时，它关于x轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x,

方程也不改变，所以椭圆关于y粕对称；以-x代替”,以・y代替户方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.

坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心.

【知识点3椭圆的顶点、长短轴与离心率】

1.椭圆的顶点与长轴、短轴

，V2

以椭圆的标准方程r+k=1(〃＞力＞0)为例.

a~b~

⑴顶点

令x=0,得尸土6令产0,得下土a

这说明4(-40)，430)是椭圆与x轴的两个交点，8。-圾82(00是椭圆与)，轴的两个交点.因为1轴、

y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.

(2)长轴、短轴

线段|44|，国西』分别叫作椭圆的长轴和短轴.

长轴长1441=2〃，短轴长|84|=2〃，〃和〃分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.

2.椭圆的离心率

⑴离心率的定R：椭圆的焦距与长轴长的比色称为椭圆的离心率.用e表示，即e=£.

(2)修心率的范围：0<e<l.

(3)惭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.

当。越接近于1时，c越接近于。，从而打夜匚不越小，因此椭圆越扁：当“越接近于。时，c越接

近于0,从而加"越接近于a,因此椭圆越接近于圆；当且仅当。%时，c=0,这时两个焦点重合，

图形变为圆，它的方程为M+V=〃2

3.求椭圆离心率或其范围的方法

解题的关键是借助图形建立关于4Ac的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：

(1)直接求出。,小利用离心率公式e=?求解.

(2)由。与b的关系求离心率，利用变形公式e=｛一号求解.

(3)构造a,c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值，而是得出。与c的关系，从而求得

3.3直线与椭圆的位置关系

【知识点1点与椭圆的位置关系】

1.点与椭圆的位置关系

(1)点与椭圆的位置关系：

点在懦囿内点在怖⑶上点在椭外

(2)对于点P(x0,%)与椭圆的位置关系，有如下结论：

点尸(见,为)在椭圆外一条+患>1；

点P(xo,%)在椭圆内—r+V7<1；

点尸Go,%）在椭圆上

【知识点2直线与椭圆的位置关系】

1.直线与椭圆的位置关系

（1）直线与椭圆的三种位置关系

类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示.

（2）利用方程讨论直线与椭圆的位置关系|：

A>0一直线与椭圆相交O有两个公共点；

△=0=直线与椭圆相切=有且只有一个公共点；

△<0=直线与椭圆相离=无公共点.

【知识点3弦长与“中点弦问题”】

1.弦长问题

（1）定义|：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.

（2）弦长公，：设直线l\y=kx^m交椭圆]+（。冷0）于尸】（莺,乂），尸2（右㈤两点，

则用P2I=W+代E—41或IP\21=J1+5I凹-%].

2.“中点弦问题”

⑴解决椭圆中点弦问题的两种方法

①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根

与系数的关系以及中点坐标公式解决.

②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中

点坐标和斜率的关系.

设力4（工2,为），代入椭圆方程+方=1

呼+善工①

得

乎+居=1,②'

（2+4）*1一必）1（由+»2）（乂一92）一

①-②可得

b2

设线段A8的中点为尸（见,泗）,当为#必时，有潦+=。

因为FGo/。）为弦4B的中点,从而转化为中点25。,则）与直线48的斜率之间的关系，这就是处理弦

中点轨迹问题的常用方法.

（2）弦的中点与直线的斜率的关系

线段A8是椭圆奈+营=1（口泌>0）的一条弦，当弦A3所在直线的斜率存在时，弦46的中点M的坐标

为Go/。），则弦AB所在直线的斜率为-空，即心“•38=-4.

。y（）a

3.4双曲线的标准方程和性质

【知识点1双曲线的标准方程】

1.双曲线的定义

双曲线的定义：平面内与两个定点人,尸2的距离的差的绝对直等于非零常数（小于出AI）的点的轨迹叫

作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.

2.双曲线的标准方程

双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：

3.双曲线方程的求解

（1）用定义法求双曲线的标准方程

根据双曲线的定义，确定标,/的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.

（2）用待定系数法求双曲线的标准方程

用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在X轴还是），轴上，设出标准方程，再由条件确定

”2,序的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，氏将双曲线的方程设为2—5=2（/1芋0）

或加x?—〃y2=i（"〃7>0）,再根据条件求解.

【知识点2双曲线的简单几何性质】

1.双曲线的简单几何性质

双曲线的一些几何性质：

)

图形7

■^2-~^2=13>0,6>。)

标准方程

范围x>a或烂Ry>a或R

对称性关于K轴、y轴对称，关于原点中心对称

顶点4(-。,0),42(。,0)AI(0,-«)42(0,a)

半轴长实半轴长为a虚半轴长为〃

离心率e="e>l)

a

渐近线方程广士9y=±-^x

2.双曲线的离心率

(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比§,叫作双曲线的离心率.

(2)极曲线离心率的范围：e>\.

(3)离心率的意必：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.

因为“=口，所以。越大，“越大，则双曲线的开口越大.

a\aa

(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=g.

3.求双曲线离心率或其取值范围的方法

(1)直接求出〃,c的值，利用离心率公式直接求解.

(2)列出含有•的齐次方程(或不等式)，借助于〃=/一°2消去〃，转化为含有e的方程(或不等式)

求解.

4.双曲线中的最值问题

求解此类问题一般有以下两种思路：

(1)几何法|：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是

几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解..

(2)代数汹：若题FI中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立FI标函数，将目标变量表示

为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以

及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.

3.5直线与双曲线的位置关系

【知识点1直线与双曲线的位置关系】

1.直线与双曲线的位置关系

(1)研究直线与双曲线的位置关系：

y=kx+"?,①

丫2.,2

一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组《if②的解的个数进行判断.

①代入②得(〃一a2k2”一la2mkx-a2nr-a2h2=0.

当/-即左=±5时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点.

当产一02k2于0,即存土』时,^=(-2a2mkx)2-4(b2-a2k2)^-a2m2-a2b2).

△>0O直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交；

△=0j>直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切；

△<00直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离.

(2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论：

A>0

汨+.丫2>0；

x>0

{2

(A>0

②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件J%]+上<0；

③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件

【知识点2弦长与“中点弦问题”]

1.弦长问题

d弦长公J：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d=VTTe\Xi-x2\=J1+表|凹一乃|.

②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.

③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直

线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.

④双曲线的通径：

过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还

是在y轴上，双曲线的通径总等于等.

2.“中点弦问题”

“设而不求''法解决中点弦问鄢

①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的

这类问题中，则不能确定.要注意检验.

②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将

切力转化为能用韦达定理直接代换的M+垂直关系有时，书向量的数量关系来刻画，要注意转化.

3.双曲线的第二定义

平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线.1二)的距离之比是常数c=?(e>l)时,

这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.

3.6抛物线的标准方程和性质

【知识点1抛物线的标准方程】

1.抛物线的定义

(1)定义|：平面内与一个定点F和一条定宜线/(/不经过点门的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点尸叫

作抛物线的焦点，直线/叫作抛物线的准线.

(2)集合语言表示

设点是抛物线上任意一点，点M到直线/的距离为d,则抛物线就是点的集合P={M\\MF]=d}.

2.抛物线的标准方程

抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：

图形标准方程焦点坐标准线方程

F(刎7

1y2=2px(p>0)

卜x=

-2'°)2

)2—2/7A(/7>0)

x2=2py(p>0)

_\Fy=~2

3.抛物线标准方程的求解

待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方

程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数〃，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.

【知识点2抛物线的简单几何性质】

1.抛物线的几何性质

抛物线的简单几何性质：

标准

)2=2p.i(p>0)尸=-2〃1(〃>0)声20，（/?＞。）x2=-2py(p>0)

方程

/1)

6一J

图形卜

T二IT

顶点(00)(0,0)

轴对称轴y=0对称轴x=0

F(<

焦点F加）2)

准线丁一Ppy=P

X~~2X=2y=-2y2

离心率e=le=l

开口开口向右开口向左开口向上开口向下

焦半径

|MF|=如+3\MF\=-x0+^|M尸|=%+§1用尸1=一珈+与

范围x>0烂0y>0><0

2.抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异

抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：

①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线乂是中心对称图形;

②顶点个数不同，椭