流体力学 课件 第1、2章 绪论、流体静力学

流体力学（B）第1章绪论目录第2章流体静力学第3章流体运动学与动力学基础第4章管流损失和水力计算第5章相似原理和量纲分析第1章绪论§1.1

流体力学发展史简述§1.2

流体力学的研究内容、研究方法及应用§1.3

流体的特征连续介质模型§1.4

流体的主要物理性质§1.5

作用在流体上的力返回目录人类对流体力学的认识最早从治水、灌溉、航行等方面开始。中国古代提水灌溉所用风车大禹治水§1.1

流体力学发展简述

都江堰李冰（302-235BC）§1.1

流体力学发展简述§1.1

流体力学发展简述

发现了物体在流体中所受浮力的基本原理——阿基米德原理。Archimedes

(285-212BC)欧美诸国历史上有记载的最早从事流体力学现象研究的是古希腊学者阿基米德。§1.1

流体力学发展简述LeonardodaVinci(1452-1519)系统地研究了物体的沉浮、孔口出流、物体的运动阻力以及管道、明渠中水流等问题。文艺复兴时期（14世纪到16世纪）之后，流体力学得到长足发展。§1.1

流体力学发展简述Galileo(1564-1642)在流体静力学中应用了虚位移原理，并首先提出运动物体的阻力随着介质密度的增大和速度的提高而增大。§1.1

流体力学发展简述

提出了密闭流体能传递压强的原理——帕斯卡原理。B.Pascal

(1623-1662)§1.1

流体力学发展简述I.Newton(1642-1727)建立了牛顿内摩擦定律，为粘性流体力学初步奠定了理论基础，并讨论了波浪运动等问题。§1.1

流体力学发展简述D.Bernoulli(1700-1782)建立了流体位势能、压强使能和动能之间的能量转换关系——伯努利方程。§1.1

流体力学发展简述从18世纪中叶工业革命开始，流体力学的研究逐渐沿着理论流体力学和应用流体力学两个方向发展。

经典流体力学的奠基人，涡轮机理论的奠基人。提出连续介质模型建立连续性微分方程建立理想流体的运动微分方程提出研究流体运动的两种方法提出速度势概念L.Euler

(1707-1783)§1.1

流体力学发展简述提出了新的流体动力学微分方程，使流体动力学的解析方法有了进一步发展。J.–L.Lagrange

(1736-1813)§1.1

流体力学发展简述C.-L.–M.–H.Navier

(1785-1836)G.G.Stokes

(1819-1905)纳维第一个提出了不可压缩粘性流体的运动微分方程组。斯托克斯又严格地到导出了不可压缩粘性流体的运动微分方程组。N-S方程§1.1

流体力学发展简述19世纪末开始，针对复杂的流体力学问题，理论分析和实验研究逐渐密切结合起来。

1883年用实验验证了粘性流体的两种流动状态——层流和紊流的客观存在，找到了实验研究粘性流体运动规律的相似准则——雷诺数，以及判别层流和紊流的临界雷诺数。O.Reynolds

(1842-1912)§1.1

流体力学发展简述L.Prandtl(1875-1953)建立边界层理论，解释了阻力产生的机制针对紊流边界层，提出混合长度理论§1.1

流体力学发展简述儒科夫斯基H.E.(1847-1921)找到了翼型升力和绕翼型的环流之间的关系，建立了二维升力理论的数学基础，为近代高效能飞机设计奠定了基础。§1.1

流体力学发展简述提出了分析带旋涡尾流及其所产生的阻力的理论——卡门涡街提出了计算紊流粗糙管阻力系数的理论公式T.vonKarman

(1881-1963)§1.1

流体力学发展简述主要从事物理学的基础理论中难度最大的两个方面，即爱因斯坦广义相对论引力论和流体力学中的湍流理论的研究与教学并取得出色成果。在动力、制导、气动力、结构、材料、计算机、质量控制和科技管理等领域具有丰富知识，为中国火箭导弹和航天事业的创建与发展作出了杰出的贡献。周培源（1902－1993)

钱学森（1911－）§1.2

流体力学研究的研究内容、研究方法及应用1.

流体力学研究流体在外力作用下宏观的平衡及运动规律以及流体与固体间的相互作用，即流体机械运动的规律以及应用这些规律解决工程实际问题的一门学科。2.

流体力学的研究内容流体平衡的条件及压强分布规律流体运动的基本规律流体绕流某物体或通过某通道时的速度分布、压强分布、能量损失以及流体与固体间的相互作用§1.2

流体力学研究的研究内容、研究方法及应用3.

流体力学的研究方法研究方法进行步骤优点缺点理论分析建立理论模型→建立方程组与定解条件→求解析解→算例验证普适性好数学难度大，分析解有限实验研究建立实验模型并选取实验介质→测定有关物理量→拟合实验数据找出准则方程式发现新现象、新原理，验证其它方法得到的结论普适性差数值计算建立理论模型→建立方程组与定解条件→编制计算程序→计算并分析答案应用面广泛，结果直观——数值实验近似性、不稳定性理论分析、实验研究和数值计算相结合。三个方面是互相补充和验证，但又不能互相取代的关系。§1.2

流体力学研究的对象和应用卡门涡街实验研究（PIV）数值计算

四个环节：归纳模型：对实际问题进行科学抽象（分清主次）

力学模型建立数学方程

三大守恒定律三大方程解方程组（微分方程）实验验证

§1.2

流体力学研究的研究内容、研究方法及应用§1.2

流体力学研究的对象和应用4.

流体力学在工程中的应用流体力学航空航天气象生物环境机械冶金石油化工交通土建采矿水利§1.2

流体力学研究的对象和应用航空航天§1.2

流体力学研究的对象和应用水利§1.2

流体力学研究的对象和应用采矿通风§1.2

流体力学研究的对象和应用交通土建§1.2

流体力学研究的对象和应用石油化工§1.2

流体力学研究的对象和应用机械冶金§1.2

流体力学研究的对象和应用环境§1.2

流体力学研究的对象和应用气象§1.2

流体力学研究的对象和应用生物1.

流体力学研究的对象流体，包括气体和液体。2.

流体的定义通常说能够流动的物质为流体；若按照力学术语定义，则在任何微小剪切力的作用下都能发生连续变形的物质称为流体。流体的特征流体不能承受拉力，即流体内部永远不存在抵抗拉伸变形的拉应力；例：水---冰流体在宏观平衡状态下不能承受剪切力，即在很小剪切力的作用下也将流动（变形）不止；流体具有可压缩性；液体可压缩性小，水受压从1个大气压增加至100个大气压时，体积仅减小0.5%；气体可压缩性大；流体具有明显的流动性。§1.3

流体的特征连续介质模型§1.2

流体力学研究的对象和应用固体、液体、气体的区别状态有无固定体积是否容易被压缩固体有否液体有否气体无是流体呈现易流动性？

固体是否§1.3

流体的特征连续介质模型§1.3

流体的特征连续介质模型1.

问题的提出从微观上看，由于构成流体的无数分子之间存在间隙，流体不连续。从宏观上看，流体力学并不研究流体的微观分子运动，而只研究流体的宏观机械运动。当所讨论问题的特征尺寸远大于流体的分子平均自由程时，可将流体视为在时间和空间连续分布的函数。

0C，1mm3水含3.4×1019个分子气体含2.7×1016个分子如此大量的分子，容易取得它们共同作用的有代表性的统计平均值2.

流体质点是研究流体的机械运动中所取的最小流体微元是体积无限小而又包含大量分子的流体微团从宏观看，和流动所涉及的物体的特征长度相比，该微团的尺度充分小，在数学上可以作为一个点来处理从微观看，和分子的平均自由行程相比，该微团的尺度又充分的大，包含有足够多的分子，使得这些分子的共同物理属性的统计平均值有意义流体分子流体微团§1.3

流体的特征连续介质模型流体质点的特征体积流体分子流体微团§1.3

流体的特征连续介质模型§1.3

流体的特征连续介质模型3.

连续介质模型不必去研究流体的微观分子运动，而只研究描述流体运动的宏观物理属性（如密度、压强、速度、温度、粘度、热力学能等）不考虑分子间存在的间隙，而把流体视为由无数连续分布的流体微团组成的连续介质按照连续介质模型，流体的密度、压强、速度、温度等物理量一般在时间和空间上都是连续分布，是空间坐标和时间的单值连续可微函数，这样可以用解析函数的诸多数学工具去研究流体的平衡和运动规律，为流体力学的研究提供了很大的方便。连续介质模型：流体是由无穷多个流体质点组成，流体质点间彼此相邻、无间隙、无孔洞、连续分布在流体占据的几何空间内§1.3

连续介质模型例外情况超声速气流中出现激波在空气非常稀薄的高空中运动的飞行器解析函数不适用分子的平均自由行程和飞行器的特征尺寸相比拟§1.4

作用在流体上的力1.

质量力：作用在流体的每一个质点上，和质量成正比常见的质量力有：单位质量力：某种力场作用在单位质量流体上的质量力。注意：惯性力是根据达朗贝尔原理虚加在做加速运动物理上的力重力惯性力xyza对于如图所示竖直向下做加速运动的容器，单位质量力三个坐标轴方向的质量力分布为：为了研究流场中流体平衡和运动的规律，必须分析作用在流体上的力。作用在流体上的力按其性质（作用方式）的不同，可分为：表面力：流体分离体以外的物体作用在分离体上的力质量力：某种力场作用在全部质点上的力§1.4

作用在流体上的力2.

表面力：作用在流体的表面，与受力流体的表面积成正比tnFFtFn

A作用在分离体表面上的表面应力为：法向应力和切向应力分别为：pn与n的方位不一致，其大小和点的坐标、时间以及作用面的方位有关，即：pn=f(x,y,z,n,t)§1.5

流体的主要物理性质1.

流体的密度表征流体的质量在空间的密集程度，单位为kg/m3。均质流体式中，m为流体的质量，V为流体的体积。非均质流体式中，δV为在空间某点取的流体体积，流体的质量为δm。这里数学上的δV→0，从物理上应理解为体积缩小到前面所讲的流体质点。注意4℃水的密度ρ=1000kg/m30℃水银的密度ρ=13600kg/m30℃空气的密度ρ=1.29kg/m3常用流体的密度值§1.5

流体的主要物理性质2.

流体的比体积单位质量流体占有的体积，即密度的倒数，单位m3/kg。3.

流体的压缩性流体在一定温度下，压强增高，体积缩小。体积压缩率在一定温度下单位压强增量引起的体积变化率，单位Pa-1。为了保证压缩率为正，故加上负号“-”可见，对于同样的压强增量，κ值大的流体体积变化率大，容易压缩；κ值小的流体体积变化率小，不容易压缩。式中，δp为压强增量，δV为体积的变化量。§1.5

流体的主要物理性质体积弹性模量为压缩率的倒数，单位为Pa。可见，K值大的流体压缩性小，K值小的流体压缩性大。4.

流体的膨胀性温度升高，体积膨胀体胀系数在一定压强下单位温升引起的体积变化率，单位1/k或1/

C。式中，δT为温度的增量。§1.5

流体的主要物理性质通常情况下，水和其它液体可视为不可压缩流体，而将气体视为密度可变的可压缩流体特例：水下爆炸、水击、热水采暖需考虑水的压缩性和膨胀性；当气体流速比声速小很多时，也可视为不可压缩流体。流体的压缩性和膨胀性§1.5

流体的主要物理性质5.

流体的粘性是流体抵抗变形的能力，是流体的固有属性，是运动流体产生机械能损失的根源。流体的粘性UF’Fxyoyh牛顿粘性应力公式牛顿发现：并且F与流体的种类有关即：式中，μ为流体的动力粘度，与流体的种类、温度、压强有关，在一定的温度压强下为常数，单位Pa·S；

U/h为速度梯度，表示在速度的垂直方向上单位长度的速度增量，单位S-1；A为两平板的接触面积。§1.5

流体的主要物理性质切向应力是指流层间单位面积上的内摩擦力，即：xy

x+

x

x

yyo当流动为二维非线性速度分布时，牛顿粘性应力公式可表示为：各流层间的切向应力和速度梯度成正比§1.5

流体的主要物理性质流体流动的速度梯度与流体微团的角变形速度的关系为：牛顿粘性应力公式用流体微团的角变形速度可表示为：各流层间的切向应力和流体微团的角变形速度成正比

y

x

t

在流体力学中还常遇到动力粘度与密度的比值，即运动粘度，单位为m2/s§1.5

流体的主要物理性质流体粘性的形成因素通常情况下形成流体粘性的因素有两个方面：一是流体分子间的引力在流体微团相对运动时形成的粘性；二是流体分子的热运动在不同流速流层间的动量交换所形成的粘性。当温度升高时：气体的粘性增大，液体的粘性减小。对于气体，形成粘性的主要因素是分子的热运动对于液体，形成粘性的主要因素是分子间的引力§1.5

流体的主要物理性质例题1如图所示，转轴直径d=0.36m，轴承长度l=1m，轴与轴承之间的间隙

=0.2mm，其中充满动力粘度=0.72Pa·s的油，如果轴的转速n=200r/min，求克服油的粘性阻力所消耗的功率。d

n解：油层与轴承接触面上的速度为零，与接触面上的速度等于轴面上的线速度：轴表面上的切向力为：克服摩擦所消耗的功率为：§1.5

流体的主要物理性质例题2如图所示，上下两平行圆盘的直径为d，两盘之间的间隙为，间隙中流体的动力粘度为，若下盘不动，上盘以角速度旋转，不记空气的摩擦力，求所需力矩M的表达式。

d

rdr解：假设两盘之间流体的速度为直线分布，上盘半径r处的切向应力为：所需力矩为：§1.5

流体的主要物理性质6.

理想流体没有粘性的流体，即

=0。理想流体是假想的流体模型，客观上并不存在。实际流体都是有粘性的。可以把实际流体看成理想流体的情况：实际流体的粘性显现不出来，如静止的流体、等速直线运动的流体等粘性不起主导作用采用理想流体假设可以大大简化理论分析过程。§1.5

流体的主要物理性质7.

牛顿流体和非牛顿流体牛顿流体切向应力和流体的速度梯度成正比的流体，即满足牛顿粘性应力公式的流体。非牛顿流体不满足牛顿粘性应力公式的流体。其一般表示式为：式中，

为流体的表观粘度，k为常数，n为指数。DACB

0τoA：理想流体，如水和空气B：理想塑性体，如牙膏C：拟塑性体，如粘土浆和纸浆D：胀流型流体，如面糊§1.5

流体的主要物理性质8.

液体的表面性质当出现液体的自由表面时，液体的表面性质必须考虑，主要是液体的表面张力以及由表面张力引起的毛细现象。在液体的表面存在一种使外表面收缩的作用现象。从微观角度看，液体表面这种作用存在于一个厚度约为分子有效作用距离（约米数量级）的薄层上，称这一薄层为表面层。表面张力设在一薄层液膜的表面上取一截线，线两边的液面存在相互作用的拉力，其方向与截线垂直并位于液面内，称这种力为液体的表面张力，记为T液体分子间存在吸引力，当液体与固壁接触时，液体分子和固体分子间也存在作用力，称为附着力。当吸引力小于附着力时，液体能湿润固体§1.5

流体的主要物理性质当吸引力大于附着力时，液体不润湿固体（疏水性）。作业P25:4,5，9,10,11第一章绪论第2章流体静力学§2.1

流体静压强及其特性§2.2

流体平衡微分方程式§2.3

重力场中流体的平衡§2.4

液体的相对平衡§2.5

液体对壁面的作用力§2.6

浮力返回目录研究流体平衡的条件及压强分布规律研究流体与固体间的相互作用及其工程应用静止或平衡状态：相对静止或相对平衡平衡状态：流体相对于地球没有运动流体相对于非惯性坐标系没有运动流体静力学研究的是流体平衡的规律在研究流体平衡时，通常将地球选作惯性坐标系当流体处于静止或相对静止状态时，流层及流体与固体之间无相对运动，流体的粘性表现不出来，所以流体静力学得出的结论对于理想流体和粘性流体都适用。§2.1

流体静压强及其特性1.

流体静压强当流体处于静止或相对静止状态时，作用在流体上的力只有法向应力，没有切向应力。此时的法向应力就是演作用面内法线方向的静压强。用符号p表示，单位为Pa。2.

流体静压强的特性特性一：流体静压强的方向沿作用面的内法线方向§2.1

流体静压强及其特性特性二：静止流体中任一点流体静压强的大小与作用面在空间的方位无关，是点的坐标的连续可微函数xyzpxpzpypn

x

y

zABCD如图所示，在静止流体中的点A取一微元四面体，与坐标轴相重合的边长分别为

x、y、z，三角形BCD的面积设为S，各微小平面中心点上的压强分别为px、py、pz，单位质量力在三个坐标轴方向上的投影分别为fx、fy、fz。由于流体静止，微元四面体处于平衡状态。则作用在四面体上的力平衡，即：§2.1

流体静压强及其特性以x坐标轴方向为例，作用在四面体上的力在x方向上的平衡方程为：因为：故上式简化为：让四面体无限缩小到点A，上式第二项为无穷小，可以略去，故得：同理：即：可见，在静止流体中任一点上任意方向的压强相等，是空间坐标的连续函数，即：§2.2

流体平衡微分方程式1.

流体平衡微分方程式在静止流体中取一边长分别为

x、y、z的微小立方体，中心点为a（x,y,z），该点的密度为

，静压强为p。abcxzy

x

y

zfx作用在立方体上的力在x方向的平衡方程为:§2.2

流体平衡微分方程式以微小立方体的质量

xyz除以上式，得a点在x方向的平衡方程：写成矢量形式：上式即为流体平衡微分方程，又称为欧拉平衡微分方程。该式的物理意义为：在静止流体内的任一点上，作用在单位质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡。该方程对不可压缩流体和可压缩流体的静止和相对静止状态都适用，是流体力学的基本方程。§2.2

流体平衡微分方程式2.

压强差公式和等压面等压面将流体平衡微分方程的两端分别乘以dx、dy、dz，然后相加，得：即：在流场中压强相等的点组成的面，dp=0，p(x,y,z)=const。压强差公式，表明流体静压强的增量取决于单位质量力和坐标增量。等压面的微分方程，表明在静止的流体中作用于任一点的质量力垂直于经过该点的等压面。写成矢量形式：§2.3

重力场中流体的平衡1.

流体静力学基本方程式xyzz2z1p1p212p0o在重力场中，单位质量力只有重力，即：

代入压力差公式得：

积分得：

方程两边同除以

g，得：如图所示，上式可写成：流体静力学基本方程式，适用于重力作用下静止的不可压缩流体。§2.3

重力场中流体的平衡2.

流体静力学基本方程式的物理意义z——单位重量流体的位置势能p/(g)

——单位重量流体的压强势能z+p/(g)

——单位重量流体的总势能

方程的物理意义是：在重力作用下，静止的不可压缩流体中单位重量流体的总势能保持不变。xzzhpapp0hob如图所示，玻璃管上端抽真空，对于a点和b点，流体力学基本方程式为：即a点与真空的压强差对单位重量流体做的功变成了单位重量流体的位置势能。计示静水头线§2.3

重力场中流体的平衡3.

流体静力学基本方程式的几何意义水头单位重量流体的势能具有长度的单位，可以用液柱高度来表示。z——位置水头p/(g)——压强水头z+p/(g)——静水头z1z2AA1p1p22p0z1z2A’A’1p1p22p0pa完全真空静水头线§2.3

重力场中流体的平衡积分常数根据自由表面上的边界条件确定：

4.

重力作用下静止液体内的静压强分布在重力场中，单位质量力只有重力，即：

代入压力差公式积分得：xyzz0zp0oh所以任意坐标z处的压强为：在重力作用下静止有自由表面的不可压缩流体中，静压强由两部分组成：自由表面上的压强p0淹没深度为h、密度为

的流体柱产生的压强

gh帕斯卡原理：自由液面上的压强将以同样的大小传递到液体内部的任意点上§2.3

重力场中流体的平衡5.

静压强的计算标准与计量单位绝对压强以完全真空为基准计量的压强，如p=pa+gh

中的p。计示压强（相对压强）以当地大气压强为基准计量的压强，如pe=p-pa=gh

中的pe。真空当流体的绝对压强低于大气压强时，该区域处于真空。计示压强为负值时，负计示压强用真空度表示，即：pv=-pe=pa-p真空度a.与应力单位相同：Pa，MPa，GPa；b.液柱高：mH2O，mmHg（实验）;c.大气压：1atm=1.013*105Pa=760mmHg=10.34mH2O计量单位ppepvppp=0pap<pap>pa计示压强为负值时，负计示压强用真空度表示，即：pv=-pe=pa-p真空度6.静止液体中的等压面在重力场中，静止液体中位于同一淹没深度的各点静压强相等，这些点组成的面是等压面。这说明：静止重力流体的等压面是水平面；静止重力流体中互不混杂的交界面是等压面；§2.3

重力场中流体的平衡连通器原理：同一水平面，连通部分是一种液体时为等压面注意：a.看相连通的一面是否为一种液体；

b.水平面；

c.与连通器的形式无关。举例说明§2.3

重力场中流体的平衡7.静压强分布图表示各点静压强的大小和方向。步骤：a.绘出端点的静压强值；b.依次连接各端点；注意：静压强的方向是垂直于受压面。举例说明§2.3

重力场中流体的平衡6.

液柱式测压计测压管是一种最简单的液柱式测压计。为了减少毛细现象所造成的误差，采用一根内径为10mm左右的直玻璃管。测量时，将测压管的下端与装有液体的容器连接，上端开口与大气相通。测压管hp0p

pahpap

§2.3

重力场中流体的平衡U形管测压计这种测压计是一个装在刻度板上两端开口的U形玻璃管。测量时，管的一端与被测容器相接，另一端与大气相通，U形管内装有密度ρ2大于被测流体密度ρ1的液体工作介质，如酒精、水、四氯化碳和水银等。一定要注意，工作介质不能与被测流体相互掺混。h1h2pap

112

2由于1和2点在同一流体的等压面上，故：故有：其中：被测液体的压强高于大气压强§2.3

重力场中流体的平衡被测液体的压强低于大气压强h1h2pap

112

2§2.3

重力场中流体的平衡U形管压差计hh2h1B

1

1A

212由于1、2两点在同一等压面上，故有：A、B两点的压强差为：若被测流体为气体，由于气体的密度很小，

1gh可以忽略不计。§2.3

重力场中流体的平衡倾斜式微压计用于测量气体的压强，测量精度较高，可测较微小的压强和压强差。A2A1paph

hl00

两液面的高度差为：所测的压强差为：§2.3

重力场中流体的平衡例题1h1h2h3h4h511223344BBA

1

1

2

3已知h1=600mm，h2=250mm，h3=200mm，h4=300mm，h5=500mm，

1=1000kg/m3，2=800kg/m3，3=13598kg/m3，求A、B两点的压强差。解：图中1-1、2-2、3-3均为等压面，可以逐个写出有关点的静压强为：联立求解得：A、B两点的压强差为：§2.3

重力场中流体的平衡F2F1hped1d2aa例题2两圆筒用管子连接，内充水银。第一个圆筒直径d1=45cm，活塞上受力F1=3197N，密封气体的计示压强pe=9810Pa；第二圆筒直径d2=30cm，活塞上受力F2=4945.5N，开口通大气。若不计活塞质量，求平衡状态时两活塞的高度差h。（已知水银密度

=13600kg/m3)。解：在F1、F2作用下，活塞底面产生的压强分别为：图中a-a为等压面，第一圆筒上部是计示压强，第二圆筒上部的大气压强不必计入，故有：§2.4

液体的相对平衡1.

水平等加速直线运动容器中液体的相对平衡单位质量液体上的质量力沿坐标轴的分量为：代入压强差公式得：积分上式得：根据边界条件：x=0，y=0，z=0时p=p0，代入上式得积分常数C=p0，故有：水平等加速直线运动容器中液体静压强的分布规律流体静压强的分布规律ayz

p0xg-afo

§2.4

液体的相对平衡等压面方程以（xs，ys，zs）表示自由液面上点的坐标，由于在自由液面上的任意一点都有p=p0，所以由静压强的分布规律可得自由液面的方程为：将质量力代入等压面方程得：积分上式得：等压面方程，不同的积分常数C1代表不同的等压面。等压面与水平面之间的夹角为：§2.4

液体的相对平衡如果y坐标都相同，对于液面内任意一点，有：将上式代入静压强分布规律得：ayz

p0xo

h等加速直线运动容器中，液体内任一点的静压强仍然是液面上的压强p0与淹没深度为h密度为的液柱产生的压强gh之和。§2.4

液体的相对平衡2.

等角速旋转容器中液体的相对平衡作用在半径为r处的液体质点上的单位质量力沿坐标轴的分量为：流体静压强的分布规律代入压强差公式得：积分上式得：yxyoo

2r

2y

2xhz

p0

r§2.4

液体的相对平衡根据边界条件：r=0，z=0时p=p0，代入上式得积分常数C=p0，故有：等角速旋转容器中液体静压强的分布规律等压面方程将质量力代入等压面方程得：积分上式得：等压面方程，是以z轴为旋转轴的旋转抛物面方程，不同的积分常数C1代表不同的等压面。§2.4

液体的相对平衡以下标s表示自由液面上点的坐标，由于在自由液面上的任意一点都有p=p0，所以由静压强的分布规律可得自由液面的方程为：如果考察的是相同半径r处的情况，则由上式得液面下任一点处：将上式代入静压强分布规律得：上式表明，等角速旋转容器中液体相对平衡时，液体内任一点的静压强仍然是液面上的压强p0与淹没深度为h密度为的液柱产生的压强gh之和。§2.4

液体的相对平衡3.

两个特例特例一：顶盖中心开口的旋转容器zoRpa代入压强差公式并积分得：根据边界条件：r=0，z=0时p=pa，代入上式得积分常数C=pa，故有：作用在顶盖上的计示压强为：§2.4

液体的相对平衡特例二：顶盖边缘开口的旋转容器代入压强差公式并积分得：根据边界条件：r=R，z=0时p=pa，代入上式得C=pa-

2R2/2，故有：作用在顶盖上的真空度为：zoRpa§2.4

液体的相对平衡例题1h2h1Lazyo汽车上有一与水平运动方向平行放置的内充液体的U形管，已知L=0.5m，加速度a=0.5m/s2，试求U形管外侧的液面高度差。解：质量力在坐标轴方向的分量为：代入压强差公式并积分得：在y=0，z=0处，p=pa求得C=pa，即：在y=-L，z=h1-h2处，p=pa，代入上式得：即：§2.4

液体的相对平衡例题2圆筒形容器的直径d=300mm，高H=500mm，容器内水深h1=300mm，容器绕中心轴等角速旋转，试确定（1）水正好不溢出时的转速n1；（2）旋转抛物面的顶点恰好触及底部时的转速n2；（3）容器停止旋转后静水的深度。dh2h1Hz

解：设坐标原点始终位于凹液面的最低点。当水恰好触及容器口时，自由液面所包容的体积等于原来无水部分的体积，即：其中：所以：§2.4

液体的相对平衡当自由液面形成的抛物面恰好触及容器底部时，抛物面所包容的体积正好为容器体积的一半，此时：当容器停止转动时容器中水的高度为：§2.5

液体对壁面的作用力1.

静止液体作用在平面上的总压力液体作用在平面上的总压力是作用于平面各点上的平行力系的合力。通常情况下要研究的工程设备都处于大气环境中，壁面两侧都受到大气压强的作用，因此只需按静止液体的计示压强去计算总压力。xypao

hhChDdFpdFxxCxDdACDA总压力的大小和方向在平面上取一微元面积dA，其中心的淹没深度为h，到oy轴的距离为x，液体作用在该微元面积上的微元总压力为：在平面上积分上式，可得液体作用在平面上的总压力：§2.5

液体对壁面的作用力上式中，为平面对oy轴的面积矩，xc为平面形心的x坐标，故：液体作用在平面上的总压力等于以该平面为底、平面形心的淹没深度为高的柱体内液体的重量，并垂直指向平面。四个容器底面上的总压力相等§2.5

液体对壁面的作用力总压力的作用点总压力Fp对oy轴的力矩等于各微元总压力对oy轴的力矩的代数和，即：式中，为面积A对oy轴的惯性矩，故有：根据惯性矩平行移轴定理Iy=Icy+xc2A(Icy为面积A对通过其形心并平行于oy轴的坐标轴的惯性矩），代入上式，得：§2.5

液体对壁面的作用力同理可求得压力中心的y坐标：若通过形心的坐标系中有任何一轴是平面的对称轴，则Icxy=0，yD=yc，压力中心便在通过平面形心平行于x轴的直线上。式中，yc为平面形心的y坐标，Ixy、Icxy分别为平面对oxy坐标系和通过平面形心并平行于oxy的坐标系的惯性积。由于Icy/(xcA)恒为正值，故xD>xc,即压力中心永远在平面形心的下方。§2.5

液体对壁面的作用力例题一矩形闸门宽度为b，两侧均受到密度为的液体的作用，两侧液体深度分别为h1、h2，试求作用在闸门上的液体总压力和压力中心。h1h2xDxD1xD2F2F1Foyxb解：对于闸门左侧同理，对于闸门右侧§2.5

液体对壁面的作用力两侧总压力的合力为：方向向右。设合力F的作用点的淹没深度为xD，根据合力矩定理，对oy轴取矩，有：合力作用点的y坐标为b/2。§2.5

液体对壁面的作用力2.

静止液体作用在曲面上的总压力总压力的大小作用在曲面不同点的静压强的大小和方向都不同，组成一空间力系。在静止液体中有一二维曲面，面积为A，它的母线与oy轴平行，它在oxz平面上的投影为曲线ab。在淹没深度为h的地方取一微元面积dA，则液体作用在该微元面积上的微元总压力为：abdAAxAzxzhcxhopadFp

dFpxdFpdFpzdAdAxdAz微元总压力在坐标轴上的投影为：§2.5

液体对壁面的作用力总压力的水平分力式中，为投影面积Ax对