高中数学 加练 专题10　第101练　数列递推关系在概率中的应用

第101练数列递推关系在概率中的应用(分值：30分)概率之间的关系如果是数列的前后项之间的关系，即递推关系，就可以从概率问题自然地过渡到数列问题，再用数列的方法解决.已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(n≥2，x≠0)：(1)当出现an=an-1+m时，构造等差数列；(2)当出现an=xan-1+y时，构造等比数列；(3)当出现an=an-1+f(n)时，用累加法求解；(4)当出现anan-1=f(1.(13分)遗传学在培育作物新品种中有着重要的应用.已知某种农作物植株有AA，Aa，aa三种基因型，根据遗传学定律可知，AA个体自交产生的子代全部为AA个体，aa个体自交产生的子代全部为aa个体，Aa个体自交产生的子代中，AA，Aa，aa个体均有，且其数量比为1∶2∶1.假设每个植株自交产生的子代数量相等，且所有个体均能正常存活.(1)现取个数比为2∶4∶1的AA，Aa，aa植株个体进行自交，从其子代所有植株中任选一株，已知该植株的基因型为aa，求该植株是由aa个体自交得到的概率；(4分)(2)已知基因型为AA的植株具备某种优良性状且能保持该优良性状的稳定遗传，是理想的作物新品种.农科院研究人员为了获得更多的AA植株用于农业生产，将通过诱变育种获得的Aa植株进行第一次自交，根据植株表现型的差异将其子代中的aa个体人工淘汰掉后，再将剩余子代植株全部进行第二次自交，再将第二次自交后代中的aa个体人工淘汰掉后，再将剩余子代植株全部进行第三次自交……以此类推，不断地重复此操作，从第n次自交产生的子代中任选一植株，该植株的基因型恰为AA的概率记为Pn(n≥2且n∈N*).①证明：数列1+2Pn1-Pn②求P10，并根据P10的值解释该育种方案的可行性.(3分)(1)解由题意得，若对Aa植株进行自交，产生AA，Aa，aa的概率比为1∶2∶1，故在个数比为2∶4∶1的AA，Aa，aa植株个体进行自交时，其亲代AA，Aa，aa的概率比为27∶47∶故所求概率为1747(2)①证明记在不筛选出aa的情况下，第n代AA的概率为Bn，B1=12×12=B2=12×12+12×1故可递推出Bn=14+18+116+…+12n易得Pn=Bn1-B令Sn=1+2Pn1-Pn=2n，而Sn+1=2n故数列1+2Pn②解由①知P10=210-1210+2=10231026，且当n→+∞时，2.(17分)如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作A，B1，P，B2，C1，Q1，C2，Q，C3.一个机器人从区域P出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域(有公共边的区域)，且到不同相邻区域的概率相等.(1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域；(3分)(2)求经过2秒机器人位于区域Q的概率；(4分)(3)求经过n秒机器人位于区域Q的概率.(10分)解(1)经过2秒机器人可能位于的区域为P，Q1，Q，经过3秒机器人可能位于的区域为A，B1，B2，C1，C2，C3.(2)若经过2秒机器人位于区域Q，则经过1秒时，机器人必定位于B2，P有三个相邻区域，故由P→B2的概率为p1=13，B2有两个相邻区域，故由B2→Q的概率p2=12，则经过2秒机器人位于区域p1p2=13×12=(3)机器人的运动路径为P→A∪B1∪B2→P∪Q1∪Q→A∪B1∪B2∪C1∪C2∪C3→P∪Q1∪Q→A∪B1∪B2∪C1∪C2∪C3→P∪Q1∪Q→…，设经过n秒机器人位于区域Q的概率为Pn，则当n为奇数时，Pn=0，当n为偶数时，由(2)知，P2=16经过n秒机器人位于区域Q的概率与位于区域Q1的概率相等，亦为Pn，故经过n秒机器人位于区域P的概率为1-2Pn，若第n秒机器人位于区域P，则第(n+2)秒机器人位于区域Q的概率为16若第n秒机器人位于区域Q1，则第(n+2)秒机器人位于区域Q的概率为16若第n秒机器人位于区域Q，则第(n+2)秒机器人位于区域Q的概率为1-2×16=2则有Pn+2=23Pn+16Pn+16(1-2P即Pn+2=16+12P令Pn+2+λ=12(Pn+λ)即Pn+2=12Pn-12λ，有λ=-即有Pn+2-13=1又P2-13=16-13故当n≥2且n为偶数时，数列Pn-13是首项