高中数学 加练 专题3　第21练　三次函数的性质

第21练三次函数的性质(分值：40分)三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的性质(1)奇偶性：f(x)不可能为偶函数；当且仅当b=d=0时，f(x)是奇函数.(2)对称性：中心对称，且对称中心是-b3a，f-b3a.引申性质：若y=f(x)是可导函数.①若图象关于点(m，n)对称，则y=f'(x)的图象关于直线x=m对称；②若图象关于直线x=m对称，则y=f'(x)的图象关于点(m，0)对称；③奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.(3)根与系数的关系设ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1，x2，x3，则ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=ax3-a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x3x1)x-ax1x2x3.比较系数可得x1+x2+x3=-ba，x1x2+x2x3+x3x1=ca，x1x2x(4)三次函数切线条数设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在对称中心N-b3a，f-b3a处的切线为l，函数f(x)及l把坐标平面分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，如图1(a<0①当定点P在对称中心N或在Ⅰ和Ⅲ区域时，过点P的切线有且仅有一条；②当定点P在函数f(x)的图象上(除去对称中心)或在切线l上时，过点P的切线有两条；③当定点P在Ⅱ和Ⅳ区域时，过点P的切线有三条.一、单项选择题(每小题5分，共10分)1.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上单调，则实数a的取值范围是()A.(-∞，-3]∪[3，+∞B.[-3，C.(-∞，-3)∪(3，+∞D.(-3，答案B解析由f(x)=-x3+ax2-x-1，得f'(x)=-3x2+2ax-1，因为函数在R上单调，所以f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立，则Δ=4a2-12≤0⇒-3≤a≤3所以实数a的取值范围是[-3，32.过y轴上一点(0，a)可以作函数f(x)=x3+x2-x图象的3条切线，则a的取值范围是()A.-127C.-13答案A解析因为f(x)=x3+x2-x，所以f'(x)=3x2+2x-1，设切点为(x0，x03+x02则切线方程为y=(3x02+2x0-1)(x-x0)+x03+x而切线过点(0，a)，将(0，a)代入得a=-2x03令g(x)=-2x3-x2，g'(x)=-6x2-2x，令g'(x)<0，得x∈-∞，-13∪(0，+∞)，此时g(x)的单调递减区间为-∞，-令g'(x)>0，得x∈-13，0，此时g故g(x)有极小值g-13=-127，有极大值g(0)=0，由题意可知g(x)的图象与直线y=a有3个交点，则得到a的取值范围为-二、多项选择题(每小题6分，共12分)3.已知三次函数f(x)=x3+ax+2，下列叙述正确的是()A.当a=1时，函数f(x)无极值点B.函数f(x)的图象关于点(0，2)中心对称C.过点(0，2)的切线有两条D.当a<-3时，函数f(x)有3个零点答案ABD解析对于A，当a=1时，f(x)=x3+x+2，f'(x)=3x2+1>0，f(x)单调递增，无极值点，故A正确；对于B，因为f(x)+f(-x)=4，所以函数f(x)的图象关于点(0，2)中心对称，故B正确；对于C，设切点坐标为(x1，f(x1))，则切线方程为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)，因为切线过点(0，2)，所以2-f(x1)=f'(x1)(-x1)，即2-x13-ax1-2=-3x13-ax1，解得即只有一个切点，即只有一条切线，故C错误；对于D，f'(x)=3x2+a，当a<-3时，令f'(x)=0，得x=±-当x∈-∞，--a3时，f'(x)>0当x∈--a3，-a3时，f'(x)当x∈-a3，+∞时，f'(x)>0，f则f(x)的极大值f

--a3>f(0)=2>0，所以若函数f(x)有则f(x)的极小值f

-a3=2a3-a3+2<0，4.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，且方程f(x)=0有3个实数根，它们分别是α，β，2，则()A.c=0B.若(2，f(2))是f(x)图象的对称中心，则极小值是-12C.f(1)≥2D.|α-β|≥3答案ACD解析已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，所以在x=0处取得极大值，则f'(0)=0，由f'(x)=3x2+2bx+c，得f'(0)=c=0，所以A正确；方程f(x)=0有一个根是2，则f(2)=8+4b+d=0，由函数图象的对称中心是(2，0)，可得f(1)=-f(3)，代入得1+b+d=-(27+9b+d)，化简得5b+d+14=0，联立8+4b+则f(x)=x3-6x2+16，求导得f'(x)=3x2-12x，令f'(x)=3x2-12x=0，解得x=0或x=4，可知函数在(-∞，0)，(4，+∞)上单调递增，在(0，4)上单调递减，所以f(x)在x=4处取得极小值，则f(4)=43-6×42+16=-16，所以B错误；由f(x)=x3+bx2+d，可得f'(x)=3x2+2bx，因为f(x)在[0，2]上单调递减，所以f'(2)≤0，即12+4b≤0，解得b≤-3.由f(2)=8+4b+d=0，得d=-4b-8，则f(1)=1+b+d=-3b-7，由b≤-3，可得-3b-7≥2，所以f(1)≥2，所以C正确；因为方程f(x)=0有3个实数根α，β，2，所以设f(x)=(x-α)(x-β)(x-2)=x3-(α+β+2)x2-2αβ，所以α+β由f(2)=0，得d=-4b-8，由(α-β)2=(α+β)2-4αβ，得(α-β)2=(b+2)2+2d=b2-4b-12=(b-2)2-16，由选项C的分析知b≤-3，所以(b-2)2-16≥9，所以|α-β|≥3，所以D正确.三、填空题(共5分)5.已知三次函数y=f(x)有三个零点x1，x2，x3，且在点(xi，f(xi))处的切线的斜率为ki(i=1，2，3)，则1k1+1k2+答案0解析设f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(a≠0)，则f'(x)=a(x-x1)(x-x2)+a(x-x1)(x-x3)+a(x-x2)(x-x3)，由导数的几何意义可得k1=f'(x1)=a(x1-x2)(x1-x3)，k2=f'(x2)=a(x2-x1)(x2-x3)，k3=f'(x3)=a(x3-x1)(x3-x2)，所以1k1+1k2+1k3=1a(x四、解答题(共13分)6.(13分)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，给出定义：设f'(x)是函数y=f(x)的导数，f″(x)是f'(x)的导数，若方程f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数f(x)=13x3-m2x2+(1)当m=1时，求f

1100+f

2100+…+f

98100+f

99100的值；(2)若不等式2xlnx+f'(x)+3≥0恒成立，求实数m的取值范围.(7分)解(1)函数f(x)=13x3-m2x2当m=1时，f(x)=13x3-12x2∵f'(x)=x2-x，∴f″(x)=2x-1，令f″(x)=2x-1=0，解得x=1则对称中心的纵坐标为f

12=1，故对称中心为∴f(x)+f(1-x)=2，∴f

1100+f

99100=2，f

2100+f

98100=2，…，f

49100+f

51100=2则f

1100+f

2100+…+f

98100+f

99100(2)∵2xlnx+f'(x)+3≥0，f'(x)=x2-mx，即mx≤2xlnx+x2+3，又x>0，∴m≤2xlnx+x2+3x在x∈令t(x)=2xl