高中数学 加练 专题5　第48练　等和(高)线定理

第48练等和(高)线定理(分值：31分)等和(高)线定理(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若OP=λOA+μOB(λ，μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k，k∈R，使得OP'=kOP，则OP'=kOP=kλOA+kμOB，又OP'=xOA+yOB(x，y∈R)，∴x+y=kλ+kμ=k；反之也成立.(2)平面内一个基底{OA，OB}及任一向量OP'，OP'=λOA+μOB(λ，μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线①当等和线恰为直线AB时，k=1；②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，+∞)；④当等和线过O点时，k=0；⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；⑥定值k的绝对值与O点到等和线的距离成正比.一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，AN=λAB+μAC，则λ+μ的值为()A.12 B.13 C.14答案A解析方法一(常规方法)设BM=tBC，则AN=12AM=12(AB+BM)=12AB+t2BC=12∴λ=12-t2，μ=t2，∴λ+μ方法二(等和线法)如图，BC为值是1的等和线，过N作BC的平行线，设λ+μ=k，则k=|AN由N为AM的中点知，|AN||AM|=12，即λ+2.已知四边形ABCD是矩形，动点P在以C为圆心且与BD相切的圆上，若AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为()A.3 B.22 C.5 D.2答案A解析根据图形可知，当点P在圆上运动到与BD距离最大时，λ+μ有最大值，设圆C的半径为r，连接AP，交BD于Q，则λ+μ=APAQ，过P点作BD的平行线PM，过A点作PM，BD的垂线，如图所示，垂足分别为M，N，易知AN=r，AM=3r，则λ+μ=APAQ=AM3.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若AP=xAB+yAC，则2x+2y的最大值为()A.83 B.2 C.43 D答案A解析如图，作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设AP=λAE+μAF，则λ+μ=1，∵BC∥EF，∴设AEAB=AFAC=k，则k∈∴AE=kAB，AF=kAC，AP=λAE+μAF=λkAB+μkAC，∴x=λk，y=μk，∴2x+2y=2(λ+μ)k=2k≤834.如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABDC内的任一点(含边界)，且AP=λAB+μAC，则λ+μ的取值范围是()A.[0，1] B.[0，2] C.[0，3] D.[0，4]答案C解析如图，过点P作GH∥BC，分别交AC，AB的延长线于点G，H，设AP=xAG+yAH，则x+y=1，当点P位于点D时，G，H分别位于点C'、点B'，∵△BCD与△ABC的面积之比为2∶1，∴AC'=3AC，AB'=3AB，∴AP=xAC'+yAB'=3xAC+3yAB=λAB+μAC，∴λ=3y，μ=3x⇒λ+μ=3x+3y=3.当点P位于A点时，显然有λ+μ=0，综上，λ+μ的取值范围是[0，3].二、多项选择题(共6分)5.在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为AB上的一个动点，若OC=xOA+yOB，则3x+y的取值可以是()A.23 B.1 C.32 D答案BC解析如图，取点D使得OD=13OA，OC=xOA+yOB=3xOD+yOB，作一系列与BD平行的直线与圆弧相交，当点C与点B重合时，3x+y取得最小值1；当点C与点A重合时，3x+y取得最大值3，故3x+y的取值范围是[1，3三、填空题(共5分)6.在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设AP=αAB+βAF(α，β∈R)，则α+β的取值范围是.答案[3，4]解析如图，直线BF为k=1的等和线，当P在△C