高中数学 加练 专题5　第49练　奔驰定理和四心问题

第49练奔驰定理和四心问题(分值：35分)1.奔驰定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·PA+S△PAC·PB+S△PAB·PC=0.2.奔驰定理与三角形四心(1)若O为△ABC的重心，则OA+OB+OC=0⇔S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=1∶1∶1；(2)若O为△ABC的外心，则sin2A·OA+sin2B·OB+sin2C·OC=0，且|OA|=|OB|=|OC|；(3)若O为△ABC的内心，则a·OA+b·OB+c·OC=0，或sinA·OA+sinB·OB+sinC·OC=0(a，b，c分别为角A，B，C的对边)；(4)若O为△ABC的垂心，则tanA·OA+tanB·OB+tanC·OC=0，且OA·OB=OB·OC=OC·OA.一、单项选择题(每小题5分，共25分)1.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3AM-AB-AC=0，则△ABM与△ABC的面积之比为()A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶5答案B解析方法一将3AM-AB-AC=0变形可得MA+MB+MC=0，则点M在△ABC内，根据奔驰定理可知S△BCM∶S△ACM∶S△ABM=1∶1∶1，则S△ABM∶S△ABC=1∶3.方法二如图，D为BC边的中点，则AD=12(AB+因为3AM-AB-AC=0，所以3AM=AB+AC=2AD，所以AM=23所以S△ABM=23S△ABD=13S△ABC，则S△ABM∶S△ABC=1∶2.已知O是△ABC内部一点，满足OA+2OB+mOC=0，且S△AOBS△ABC=47A.2 B.3 C.4 D.5答案C解析由奔驰定理得S△BOC·OA+S△AOC·OB+S△AOB·OC=0，又OA+2OB+mOC=0，∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶2∶m.∴S△AOBS△ABC=m1+2+3.已知△ABC的重心为G，AB=6，AC=8，BC=213，则△BGC的面积为()A.123 B.83 C.43 D.4答案C解析cosA=AB2+AC2-BC22AB·AC=36+64-522×6×∴S△ABC=12×6×8×sinπ3=12又G为△ABC的重心，∴GA+GB+GC=0，即S△AGB∶S△AGC∶S△BGC=1∶1∶1，∴S△BGC=13S△ABC=434.在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，O为△ABC的内心，若AO=λAB+μBC，则3λ+6μ的值为()A.1 B.2 C.3 D.7答案C解析AO=λAB+μBC可化为OA+λOB-λOA+μOC-μOB=0，整理得(1-λ)OA+(λ-μ)OB+μOC=0，所以(1-λ)∶(λ-μ)∶μ=4∶3∶2，解得λ=59，μ=2所以3λ+6μ=3×59+6×295.奔驰定理：已知点O是△ABC内的一点，若△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为S1，S2，S3，则S1·OA+S2·OB+S3·OC=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=0，则cosC等于()A.31010C.255答案B解析如图，延长CO交AB于点P，∵O是△ABC的垂心，∴OP⊥AB，∴S1∶S2=12·OC·BP=BP∶AP=(OPtan∠POB)∶(OPtan∠POA)=tan∠COB∶tan∠COA=tan(π-A)∶tan(π-B)=tanA∶tanB.同理可得S1∶S3=tanA∶tanC，∴S1∶S2∶S3=tanA∶tanB∶tanC.又S1·OA+S2·OB+S3·OC=0，∴tanA·OA+tanB·OB+tanC·OC=0.又OA+2OB+3OC=0，∴tanA∶tanB∶tanC=1∶2∶3.不妨设tanA=k，tanB=2k，tanC=3k，其中k≠0.∵tanA=-tan(B+C)=-tanB∴k=-2k+3k1-2k·3当k=-1时，tanA<0，tanB<0，tanC<0，则A，B，C都是钝角，不符合题意，舍去.故k=1，则tanC=3>0，故C为锐角，∴sinCcosC=3，sin二、填空题(每小题5分，共10分)6.已知点P是△ABC的外心，且PA+PB+λPC=0，C=5π12，则λ=答案6解析依题意得，sin2A∶sin2B∶sin2C=1∶1∶λ，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π(舍去)，∴A=B，又C=5π12，∴A=B=7π又sin2Bsin2C∴λ=sin2Csin2B=sin5π67.已知△ABC的内切圆的圆心为O，半径为2，且S△ABC=14，2OA+2OB+3OC=0，则△ABC的外接圆面积为.答案64π解析在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵2OA+2OB+3OC=0，且O为内心，∴a∶b∶c=2∶2∶3，令a=2k，则b=2k，c=3k，设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为