高中数学 加练 专题7　阶段滚动练(四)

阶段滚动练(四)(分值：80分)一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知集合A={x|x2-2x-3≤0}，B={x|log2(x2-x)>1}，则A∩B等于()A.(2，3) B.(2，3]C.(-3，-2) D.[-3，-2)答案B解析由集合A中不等式变形得(x-3)(x+1)≤0，解得-1≤x≤3，即A=[-1，3]，由log2(x2-x)>1，得到x2-x-2>0，即x<-1或x>2，所以B=(-∞，-1)∪(2，+∞)，则A∩B=(2，3].2.已知i为虚数单位，复数z=3+i1+i，则(A.z的虚部为-iB.z=2-iC.|z|=3D.z在复平面内对应的点在第四象限答案D解析z=3+i1+i=(3+i)(1-i)(1+i)(1-i)=4-2i则z的虚部为-1，z=2+i，|z|=22+(-1)2=5，z在复平面内对应的点为(2，-1)，位于第四象限，故A，B，C3.若f(x)=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值，则函数f(x)的单调递增区间是()A.(0，1) B.(2，+∞)C.(1，2) D.1答案C解析因为f(x)=alnx+bx2+x，x>0，所以f'(x)=ax+2bx+1由已知得a+2b所以f(x)=-23lnx-16x2+x，所以f'(x)=-23x-1由f'(x)>0，解得1<x<2，所以函数f(x)的单调递增区间是(1，2).4.若α∈0，π2，且cos2α+cosπ2+2α=310A.12 B.13 C.14答案B解析若α∈0，π2，且cos2α+cosπ2+2α=310，则cos2α-sin2α=310(∴710cos2α-310sin2α-2sinαcosα=0，即3tan2α+20tanα解得tanα=13或tanα=-7(舍去)5.金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要用保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度h与其采摘后的时间t(天)满足的函数关系式为h=mln(t+a)(a>0).若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%；采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.现在金针菇失去的新鲜度为60%，则采摘后的天数约为(结果保留一位小数，2≈1.41)()A.1.5 B.1.8 C.2.0 D.2.1答案B解析由题可得mln(1+a)=0.4，则ln(3+a)=2ln(1+a)，3+a=(1+a)2，∵a>0，解得a=1，设t天后金针菇失去的新鲜度为60%，则mln(t+1)=0.6，又mln(1+1)=0.4，∴ln(t+1)ln2=32，2ln(t+1)=3ln2，(t+1)2=23=8，t+1=22≈2×1.则t≈2.82-1=1.82≈1.8.6.若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，f(2-x)=f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)=1-x2，则函数H(x)=|xex|-f(x)在区间[-5，1]上的零点个数为(A.4 B.6 C.8 D.10答案B解析依题意，得函数H(x)=|xex|-f(x)在区间[-5，1]上的零点个数，即y=|xex|与y=f(x)的图象在区间[-5，1]上的交点个数，定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，f(2-x)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数，且函数的图象关于直线x=1对称，故当x∈[0，1]时，f(x)=1-x2，满足x2+y2=1(y≥0故函数f(x)是单位圆的14，利用周期性和对称性可得函数图象设g(x)=xex，其定义域为R，g'(x)=ex+xex=(x+1)ex，令g'(x)=0，得x=-1，且当x<-1时g'(x)<0，当x>-1时g'(x)>0，故函数g(x)=xex的单调递减区间为(-∞，-1)，单调递增区间为(-1，+∞)，当x=-1时，函数g(x)=xex取得极小值为g(-1)=-1e，且当x<0时，g(x)<0，当x>0时，g(x)>0，故函数g(x)=xex的图象如图1图1将x轴下方的图象对称到x轴上方，即得y=|xex|的图象，y=|xex|与y=f(x)在区间[-5，1]上的图象如图2所示，图2结合图象可知，y=|xex|与y=f(x)的图象在区间[-5，1]上有6个交点，故函数H(x)=|xex|-f(x)在区间[-5，1]上有6个零点.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.已知a>0，b>0，且a，ab，b成等差数列，则下列结论中正确的是()A.1a+1B.若2a=3b=m，则m=6C.ab的最大值是1D.a+2b的最小值是22答案AB解析∵a，ab，b成等差数列，∴a+b=2ab，∴1a+1b=a+b∵2a=3b=m，∴a=log2m，b=log3m，∴1a+1b=logm2+logm3=logm6=2，解得m=6，故∵a>0，b>0，∴a+b=2ab≥2ab，解得ab≥1，当且仅当a=b=1时，等号成立，故ab的最小值是1，故C错误；a+2b=12(a+2b)1a+1b=122ba+ab+32≥12×22ba·ab+32=2+32，当且仅当2b8.已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为3的等边三角形，侧棱与底面垂直，其外接球的表面积为16π，则下列说法正确的是()A.三棱柱ABC-A1B1C1的体积是9B.三棱柱ABC-A1B1C1的表面积是18C.直线AB1与直线A1C1所成角的余弦值是3D.点A到平面A1BC的距离是13答案AC解析三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为3的等边三角形，侧棱与底面垂直，其外接球的表面积为16π，如图所示，对于A，设外接球的半径为R，则4πR2=16π，解得R=2.设三棱柱的高为h，所以球心O到△ABC的中心的距离为h2△ABC的中心到点A的距离r=23×32-322=3，由h22+r故V=12×3×3×32×2=93对于B，S表=2×12×3×3×32+3×3×2=932对于C，在三棱柱ABC-A1B1C1的一侧构造一个完全一样的三棱柱ABD-A1B1D1，所以异面直线AB1与直线A1C1所成的角即为AB1与直线D1B1所成的角，连接AD1，在△AD1B1中，由于D1B1=3，AB1=AD1=32+2则cos∠AB1D1=A=13+9-132×13×3对于D，连接A1B和A1C，设点A到平面A1BC的距离为d，由VA-A得13S△A1BC·d=1解得d=6343≠132，故三、填空题(每小题5分，共10分)9.已知向量a，b的夹角的余弦值为13，a=1，且(3a-b)·b=-2，则b=答案2解析由题意，(3a-b)·b=3a·b-b2=3×a×b×13-b|2=b解得b=2或b=-1(舍去).10.已知数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，若an+Sn=1000，则当Tn取得最大值时，n的值为.答案9解析an+Sn=1000， ①当n=1时，a1+S1=1000，即a1=500；当n≥2时，an-1+Sn-1=1000， ②①-②得an-an-1+an=0，即an=12an-1故数列{an}是首项为500，公比为12则an=500×12所以Tn=a1·a2·…·an=500n×121+2+…+n-1而Tn+1Tn=an+1又128=1256，1故当1≤n≤8时，Tn+1>Tn；当n≥9时，Tn+1<Tn，即T1<T2<…<T9>T10>T11>…，所以当Tn取得最大值时，n的值为9.四、解答题(共28分)11.(13分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2a-bc=(1)求角C的值；(5分)(2)若c=1，2tanA=3tanB，求△ABC的面积.(8分)解(1)根据题意，由正弦定理可得2sinA-sinBsinC整理可得2sinA-sinB=2cosBsinC，即2sin(B+C)-sinB=2cosBsinC，所以2sinBcosC+2cosBsinC-sinB=2cosBsinC，可得2sinBcosC=sinB，又sinB≠0，所以cosC=22，又C∈(0，π)，因此C=π(2)由三角形内角关系可得tanC=tan(π-B-A)=-tan(B+A)=-tanA+tan由2tanA=3tanB可得-32tanB+tanB1-32tan2B=1当tanB=-13时，tanA=-12，又A，B∈(0，π因此tanB=2，tanA=3.又tanB=sinBcosB=2，可得sinB同理sinA=310由正弦定理可得asinA=可得a=2sinA=35同理b=2sinB=210因此△ABC的面积为S=12absinC=312.(15分)如图所示，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，直线AC与平面PBC所成的角为60°，PC=AC=2.(1)当CD⊥PB时，求直线CD到平面PAB的距离；(7分)(2)若BC=CD，点E是线段AP上一动点，平面PAC与平面CDE夹角的余弦值为21919，求DE的长.(8解(1)∵PC⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PC.又∵CD⊥PB，PC∩PB=P，PC，PB⊂平面PBC，∴CD⊥平面PBC，∵BC⊂平面PBC，∴CD⊥BC.∵AB⊥BC，∴CD∥AB，∴AB⊥平面PBC，又∵CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CD∥平面PAB，∴直线CD到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离.过点C作CF⊥PB于点F.∵AB⊥平面PBC，CF⊂平面PBC，∴AB⊥CF，∵AB∩PB=B，AB，PB⊂平面PAB，∴CF⊥平面PAB，则CF的长度即为点C到平面PAB的距离.∵AB⊥平面PBC，∴BC就是直线AC在平面PBC内的射影，∴∠ACB就是直线AC与平面PBC所成的角，∴∠ACB=60°，∵PC=AC=2，∴BC=1，BP=5，∴CF=2×15∴直线CD到平面PAB的距离为25(2)以D为坐标原点，DC，DA所在直线分别为x轴、y轴，过点D且与CP平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易证AB⊥平面PBC，则∠ACB=60°，BC=CD=1，得P(1，0，2)，A(0，3，0)，C(1，0，0)，D(0，0，0).DC=(1，0，0)，AC=(1，-3，0)，CP=(0，0，2)，PA=(-1，3，-2)，设PE=λPA=(-λ，3λ，-2λ)(0≤λ≤1)，∴E(1