高中数学 加练 专题8　第75练　抛物线

第75练抛物线(分值：40分)一、单项选择题(每小题5分，共10分)1.已知点N(1，1)，抛物线C：x2=4y的焦点为F，P是C上的动点，则|PN|+|PF|的最小值为()A.32 B.2 C.5答案B解析过点P作PQ垂直抛物线C的准线l：y=-1于点Q，由抛物线定义可得|PQ|=|PF|，则|PN|+|PF|=|PN|+|PQ|≥|NQ|，当且仅当N，P，Q三点共线，NQ垂直抛物线C的准线，即xP=1时，|PN|+|PQ|有最小值2.2.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线上有一点M，过点M的直线交抛物线的准线于点N，若MF⊥NF，|MF|=2|NF|=5，则p等于()A.14 B.12答案D解析如图，过M作MM1⊥l于M1，由抛物线的定义知|MM1|=|MF|=5，又MF⊥NF，则Rt△MNF≌Rt△MNM1，设∠FMN=α，则∠M1MN=α，因为|MF|=2|NF|=5，则|MN|=|MF|2+所以sinα=|NF||MN|=15，由于MM1∥所以∠MFx=∠M1MF=2α，则cos∠MFx=cos2α=1-2sin2α=35则|MF|cos∠MFx=3，所以|MM1|=p+3=5，则p=2.二、多项选择题(每小题6分，共12分)3.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，则下列结论正确的是()A.若直线l⊥x轴，则|AB|=2B.x1x2=1C.y1y2=-4D.∠A1FB1=π答案CD解析由题意知，抛物线C的焦点为F(1，0)，准线方程为x=-1，显然l不垂直于y轴，设l的方程为x=my+1，由x=my+1，y2=4x，得y2-4my若直线l⊥x轴，则m=0，x=1，则|AB|=4，故选项A错误；∵y1y2=-4，则x1x2=y124·y224=(如图，由抛物线的定义知|AF|=|A1A|，∴∠AA1F=∠AFA1，又AA1∥x轴，∴∠AA1F=∠A1FO，∴∠AFA1=∠A1FO=12∠AFO同理可得∠BFB1=∠B1FO=12∠BFO∴∠A1FB1=∠A1FO+∠B1FO=12(∠AFO+∠BFO)=π2，故选项D4.抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，直线l：y=2交C于A，B两点，且OA⊥OB，已知点M(0，4)，圆M与直线l相切，则()A.p=1B.圆M的方程为x2+(y-4)2=2C.过点F作圆M的切线，切点所在的直线方程为y=20D.抛物线上的点G与圆M上的点的最小距离为2答案AC解析对于A选项，设点A(m，2)，B(-m，2)，m>0，由OA⊥OB，得-m2+4=0，即m2=4，即m=2，所以点A(2，2)，B(-2，2)，4=4p，即p=1，故A正确；对于B选项，易知圆M的半径为2，故圆M的方程为x2+(y-4)2=4，故B错误；对于C选项，由A选项知，点F的坐标为0，12，过点F作圆M的切线，则切点在以FM为直径的圆x2+y2-92y+2=0上，又切点也在圆M上，所以切点在直线y=对于D选项，设抛物线上的点G(x0，y0)与圆M上点的距离为d，d=x0=x02+=(y0-3)2当且仅当y0=3时取等号，故D错误.三、填空题(共5分)5.过抛物线C：y2=8x的焦点F且斜率为3的直线交抛物线C于点M(M在x轴上方)，直线l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为.答案43解析设直线l交x轴于点A，则|AF|=4，因为直线MF的斜率为3，则该直线的倾斜角为π3由抛物线的定义可得|MN|=|MF|，易知MN∥x轴，则∠NMF=π3故△MNF是等边三角形，则∠AFN=∠MNF=π3所以|FN|=|AF|cosπ因此M到直线NF的距离为8sinπ3=43四、解答题(共13分)6.(13分)已知圆C：x2+y2=2x，动点P在y轴的右侧，P到y轴的距离比它到圆心C的距离小1.(1)求动点P的轨迹E的方程；(4分)(2)过圆心C作直线l与轨迹E和圆C交于四个点，自上而下依次为A，M，N，B，若|AM|，|MN|，|NB|成等差数列，求|AB|及直线l的方程.(9分)解(1)圆C的方程x2+y2=2x化为标准方程为(x-1)2+y2=1，可得半径r=1，圆心C(1，0)，因为动点P在y轴的右侧，P到y轴的距离比它到圆心C的距离小1，所以点P到定点C(1，0)的距离与到定直线x=-1的距离相等，所以由抛物线的定义得，P(x，y)的轨迹E的方程为y2=4x(x>0).(2)如图，由圆C的半径为1，可得|MN|=2，因为|AM|，|MN|，|NB|成等差数列，所以|AM|+|NB|=2|MN|=4.又|AM|+|NB|=|AB|-|MN|=2|MN|，所以|AB|=3|MN|=6，当直线l的斜率为0时，直线l与抛物线只有1个交点，不符合题意；所以直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为x=my+1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知m≠0，联立