现代信号处理教程（第三版）课件 第16、15章 模拟-信息转换及CS的应用、压缩感知的基础理论-2

第16章模拟/信息转换及CS的应用

16.1模拟/信息转换的基本概念16.2Shannon抽样定理及其扩展16.3基于随机解调的模拟/信息转换方案16.4基于调制宽带转换器的模拟/信息转换方案16.5基于Xampling的模拟/信息转换方案简介16.6压缩感知的应用16.1模拟/信息转换的基本概念CS的基本公式待“抽样”（重建）信号；未知，可能是模拟，可能是数字测量（已知）信号；它总是数字的。测量矩阵，长方阵由第15章讨论的问题由第16章要讨论的AIC问题Shannon抽样定理成立的基本要求是待抽样信号是有限带宽的，从而有

，而基于CS的模拟/信息转换（AIC）的基本要求是信号是稀疏的，或可压缩的。信号经过变换（如DFT、DCT、WT，或其它合适的字典）后，在变换域容易做到稀疏，即其频谱虽然还是带限的，但是大部分区域是空的（即基本为零）。因此，充分利用信号的稀疏性是以远低于奈奎斯特率的频率进行抽样得到测量的关键。

在15.1节我们曾提出了一个问题：能否直接“感知”信号

中重要的成分而对其采集、对不重要的成分而不采集呢？这实际上是不可能的，因为在对将要到来的信号采集时我们无法事先知道其那一部分重要，那一部分不重要。因此，合理的做法是对信号进行随机抽样，或随机测量。因果性15.7节指出，如果是随机矩阵，那么和以大概率具有RIP性质，从而保证了由对重建的唯一性。随机矩阵可选择高斯分布，或伯努利（Bernoulli）分布，或亚高斯分布等。显然，选择为随机矩阵，那么测量不再是的均匀间隔（）上的点，而是信号的元素经随机加权后得到的个点。即是在上的随机投影。

将上述理论用于实际信号的抽样时，一方面，必须考虑硬件的实现问题，另一方面，面对的是模拟信号。这时，基于离散形式的CS的基本公式必须做出改变。显然，要实现上式，需要做如下工作：

每一项都有其限制和难度，首先，我们无法用硬件产生复函数的

，而复函数是很多变换里所必须的，如DFT，其次，个相关器/积分器是并行工作的，其成本和体积都是不可忽视的。

人们为解决上述问题做出了很大的努力，特别是在构造测量函数

方面。最简单的，也是提出最早的是选择

式中的表示在时间段内的个位置。设想，如果这个点代表的抽样速度小于，那么，为使保留在时间段内的完整信息，将不能是在时间段内的均匀抽样，而应该是非均匀抽样。

已提出的A/IC方案：

（1）随机抽样

；

（2）随机滤波器

；

（3）随机卷积

；

（4）随机解调（randomdemodulator，RD）

；

（5）多陪集（Multi-coset）抽样

；

（6）调制宽带转换器（modulatedwideband~，MWC）

（7）“Xampling”方案；

（8）分段压缩感知

等。上述多数方案离实际的工程应用还有相当的距离。主要讨论：RD；MWC；Xampling注意：前四个都带有“随机”二字上述AIC方案和经典的Shannon抽样定理及其扩展有着密切的联系，如扩展内容中的带通信号抽样、多通道抽样及非均匀抽样等。因此，在讨论AIC方案之前，我们在下面先介绍一下Shannon抽样定理及其扩展，然后重点讨论模拟/信息转换中两个值得关注的方案，一个是随机解调（RD）方案，另一个是调制宽带转换器（MWC）方案。最后简单介绍一下在MWC方案基础上发展起来的“Xampling”方案及自2015年后至今AIC的一些新进展。在AIC方案中，“随机”，“非均匀”，“带通”，“多带”等等，都经常遇到，它们是针对的信号模型，或抽样策略。如在介绍RD方案时，我们会发现前述的将变成一个由组成的伪随机序列。RD方案针对的是纯正弦信号，即频谱为线谱，是各种方案中最简单的一种。

Shannon抽样定理：

设

是有限带宽的，抽样频率

至少要是其最高频率

的两倍，才能由抽样后的离散信号

精确地恢复（或重建）出

。如何重建？1.D/A；2.重建公式：

16.2Shannon抽样定理及其扩展[Sha49]ShannonC.E.Communicationinthepresenceofnoise.Proc.IRE,（37）,10–21，1949(又见：Proc.IEEE.86（2），447–457，1998)E.T.WhittakerJ.M.WhittakerV.A.Kotel’nikov早期对抽样定理有贡献文献上：Shannon抽样定理又称Whittaker－Kotel’nikov－Shannon（WKS）抽样定理

Shannon为了肯定H.Nyquist在通信理论中的重要贡献

，将

称为Nyquist频率，简称为Nyquist率。NyquistH.Certaintopicsintelegraphtransmissiontheory.Trans.Amer.Inst.Elect.Eng.,vol.47,617–644,1928.

按Shannon抽样定理，在通信和雷达等领域的抽样频率都过高，以致给A/D和后处理都带来极大的挑战。例如，在最近十多年发展起来的认知无线电（cognitiveradio）中，若按此来抽样，抽样频率可高达几个GHz。

物理信号的频谱多具有稀疏性：虽然其最高频率为

，但并不是都填满空间

，中间会有许多为零和接近为零的频带，如带通信号和多带信号。因此，不考虑频谱的稀疏性而一律采用

来抽样似不够合理。1949年提出后，人们对该领域继续给以了很大的关注，并对其进行了多方面的扩展。

文献：JerriA.J.TheShannonsamplingtheorem—Itsvariousextensionsandapplications:Atutorialreview，Proc.IEEE，65（11），1565–1596，1977.（1）多变量信号（即

维信号）的抽样；

（2）非均匀抽样；

（3）非带限信号的抽样；

（4）隐抽样（implicitsampling）；

（5）随机过程抽样；

（6）带通信号的抽样；

（7）基于广义函数（generilizedfunctions）的抽样

详细讨论了Shannon抽样定理，介绍了1949－1977年近30年间Shannon抽样定理的扩展：是全面讨论Shannon抽样定理的又一篇重要论文，特别是补充了1977－2000年间Shannon抽样定理的新扩展：

（1）基于小波理论的抽样；

（2）多通道抽样；

（3）基于有限元（FiniteElements）的抽样

（4）基于多小波（Multiwavelets）的抽样；

（5）基于标架理论的抽样。

文献：UnserM.Sampling—50yearsafterShannon.Proc.IEEE,88（4），569–587，2000.（1）不单是带限信号模型；

（2）使用。扩展的目的：under-Nyquist频率

sub-Nyquist频率16.2.1带通信号的抽样?带通信号的抽样定理：设信号

是一带通信号，中心频率为

，带宽为

，且

，若保证可由

准确重建出

。1953年提出局限：需要先知道中心频率；不适用于多带信号。16.2.2基于解调的多带信号的抽样多带信号载波信号，正交载波频率，不影响频谱的形状，只影响频谱中心的位置“信息”信号，包含了的的全部信息。FM/PM调制的过程：目的是把低通信号移到高频处，发射。在接收端，需要完成对多带信号

的抽样。?

降低的一个有效的方法是对接收到的信号的各个分量

逐一解调，然后再抽样。正交分量解调器如果

有

个带，且每个带的带宽都不超过

，那么，基于上述解调的方法对

抽样的频率为

，它应该远小于

的Nyquist频率

。

局限：如同带通信号的抽样一样，实施上述基于解调的多带信号抽样，同样事先要知道

中各个分量的中心频率和带宽。16.2.3多通道抽样Shannon在文献[Sha49]中指出：若带限信号

及其一阶、二阶直至

阶导数已知，通过对

及其导数分别用

的速率抽样，那么，由抽样后的离散信号也可以准确重建

。这样，对每一个分量的抽样频率减少了

倍，从而减轻了A/D的压力。当然，整个的抽样频率仍然是

。A.Papoulis扩展上述概念，提出利用

个LSI系统实现sub-Nyquist抽样的方案

。对A/IC产生了重要的影响。

“多通道抽样”的概念。“广义抽样定理（GeneralizedSamplingTheorem）”待求：16.2.4非均匀抽样

至今我们所讨论的抽样策略都是均匀抽样，即离散信号

各点之间的间隔都是

。非均匀抽样的各抽样点之间的间隔是不相等的，即非均匀的。非均匀抽样时抽样间隔的确定有两种方法，即随机抽样和伪随机抽样。随机抽样中每个抽样点的选择是完全随机的，这是一种理想化的非均匀抽样，而伪随机抽样中每个抽样点的选择是经过挑选的伪随机数。

非均匀抽样的一个突出优点是其抗混叠的能力。例如，欧洲成立了一个名称为“EURODASP”的工作组，致力于发展抗混叠信号处理（DigitalAlias-freeSignalProcessing，DASP）技术，其核心技术之一即是非均匀抽样。有关非均匀抽样的内容非常丰富，除了抽样理论和重建算法外，还要发展适应非均匀间隔的傅里叶变换和Z变换理论。文献[Eur01]是EURODASP工作组的一篇应用报告。对非均匀抽样进行了较为详细的讨论。

上述4种扩展方案有共同特点：（1）信号模型：带通信号或多通带信号，频谱稀疏，

有降低抽样率的可能；（2）把用单个A/D的抽样改为多个通道并行的抽样，

降低每个通道的抽样率

；（3）都需事先知道频谱的信息，即中心频率和带宽；（4）这些抽样方案都没有违反Shannon抽样定理，只

是针对稀疏谱信号的特殊改进方案；（5）它们对下面的模拟/信息转换有着直接的影响。16.3基于随机解调的A/IC方案（RD）三个部分：解调、模拟低通滤波和低速率A/D抽样

RD是有关A/IC的第一个方案，论文首发在2006年，信号模型是纯音（puretone）信号，或多音频信号（multitone），即信号的频谱是线谱

稀疏

“切普序列（chippingsequence）”，其幅值在

之间交替跳变，跳变的频率要大于或至少等于

最高频率的两倍，即其

，在每一个跳变周期内取连续值，所以，它是一个跳变的方波。

低通滤波器，抗混叠。实际上是理想积分器。

信号的调制。RD却称之为解调。文献[Bar13]解释说：

再通过后面的积分器等效于做相关，而在通信领域中，相关器又常称为解调器。

16.3.1的作用宽带谱；线谱，或多个线谱；频域卷积，结果是将

的宽带谱平移到了一个个线谱的位置，然后叠加。观察

的低频段，可推知这一低频小段原本在

频谱中所处位置，从而推知

的频谱在卷积的过程中平移了多少。该过程类似通信中的扩频（spreadspectrum，SP）技术。总之，

保留了频谱平移的信息，它们可用作编解码的标识。再低通滤波，可得到这些信息。等效于在抽样前就对信号实现了模拟压缩，降低了带宽。右边三个图分别是左边三个图的频谱经

谱线移位后，移到低频的

的频谱近似正交或者说，移到各个线谱位置的宽带谱是不相关的，通过低通滤波，可得到这些标识（signature）信息，达到压缩带宽、从而降低抽样率的目的。16.3.2RD抽样系统的时域分析双求和，可写成矩阵形式：

部分DFT矩阵，每一行有

个非零元素。其元素都是切普序列的值，因此，该矩阵是随机矩阵。例如：16.3.3RD抽样系统的硬件实现

（略）16.3.4RD抽样系统的性能仿真频域是稀疏的，如保证文献[Tro10]的仿真结果：则可以大概率由测量

重建出以奈奎斯特率抽样得到的离散信号

，或

。文献[Las07]的仿真结果：？调幅，信号频率100MHz，载波频率200MHz16.4基于调制宽带转换器的模拟/信息转换方案

（modulatedwidebandconverter，MWC）信号模型：多带信号比RD的多音频信号模型有更实际意义。当信号的谱线过多时（变大），需要的抽样频率将迅速增加。对实际的物理信号，需要过多的谐波才能近似。

MWC系统组成：将送入个通道，在每一个通道，和相乘，再通过理想滤波器，然后以低速率抽样，得个，最后要由它们合成为。

周期信号，其周期是

，且

和：后者以不低于

的速度在

之间跳变，前者一个周期内做

跳变。作用都是模拟压缩。

上述问题的分析，见教材。此处省略。在MWC系统中，有如下问题要解决：1.系统中的参数如何选择？：每一条支路的抽样频率；：，的基波频率；：在内跳变次数；：通道数；2.如何识别的支撑（每一个频率中心和带宽）？3.如何由每一个支路的输出重建出？

文献[Mis10b]对MWC的性能，如稳定性、对噪声的灵敏性以及计算复杂性等问题进行了研究，并给出了仿真结果。其中一个结论是有关通道数的估计，即仿真信号：试验信号：文献[Mis10b]在设计的MWC抽样系统中，令

一个周期内的转换次数

，。仿真时，信噪比由－20dB～30dB变化，通道数由20～100之间变化。仿真结果表明，在高的信噪比情况下，当通道数大于35时，信号频谱的支撑（即每一个带的频率中心和带宽）可以准确识别，这时，整个系统的抽样频率是

的18％，使用的最小通道数（35）和由（16.4.22）式估计出的

基本接近。说明MWC方案基本可行。16.5基于Xampling的A/IC方案简介XamplingCS＋Sampling模拟信号的压缩感知压缩＋SamplingM.MishaliY.C.Eldar在自己的MWC方案的基础上，于2009年提出Xampling不是一具体的抽样方案，而是提出了一个统一而且可行的A/IC方案所应遵循的准则。这些准则是：X1：信号模型。Xampling：实用的A/IC系统应可应用于更广泛的信号，即不论信号频谱的内容如何改变，都不需要改变已设计好的系统的硬件和软件。X2：抽样率。抽样频率应运低于

。X3：用商用器件有效实现，数字域的计算负担要小；X4：基带（baseband）处理能力。以低于

的抽样，

须将信号在抽样前进行模拟压缩，以降低其谱带。低频信息信号实现低于

的抽样的方法最好是能对“信息信号”直接抽样，这就是“基带处理能力”的含意。X1X2涉及低抽样率系统的理论问题；X3X4涉及低抽样率系统的实现问题；一个Xampling系统一般应包含下面四个模块：（1）模拟预处理模块：抽样前先压缩模拟信号的带宽。（2）抽样模块，用商用的A/D进行低速抽样；（3）子空间检测模块：利用算法在数字域实现其各个

频带（中心频率及边缘频率）的检测。（4）标准的DSP算法和D/AC算法。RDMWCXampling目前提出的三个主要的A/IC方案。由于它们的历史较短，因此还不成熟，离实际应用还有很大距离。此处对它们的介绍也是粗略的，很不够深入。请大家继续关注这一领域的进展！

本章上述有关AIC的内容完成于2015年，到现在的2025年，已经十年。笔者再次查找有关AIC的文献，发现这一领域仍然持续得到人们的关注，相关的文献也很多。除了提出新的算法或对原来算法的改进外，更多的是有关硬件实现的方案，下面对此给以极其简单的介绍。

文献[Mic19]针对射频信号，提出了一个将小波变换、非均匀抽样和CS相结合的AIC方案。我们知道，AIC工作的基本要求是信号在频域是稀疏的，而小波具有频域定位及带宽伸缩的功能，因此二者的结合是合理的。方案的基本思路是将要采集的射频信号和选择的小波相乘，然后积分，再以低速率的A/D进行抽样，从而降低了抽样率。

文献[Fab16]提出了一个针对生物医学信号抽样的算法和硬件协同设计的AIC方案。方案采用随机调制予积分（RandomModulationPre-Integration，RMPI)结构，该结构类似于图16.4.1（a）的MWC，只不过后面不是用

个A/D，而是用一个A/D，通过开关切换实现对路信号的抽样。

方案在算法上的创新之处是不但利用了信号具有稀疏性的特点，而且利用了生物医学信号的频域能量往往集中在一个较小的频率范围这一特点，如心电、肌电、心音等。信号的这一特点又称为“可定位（localized）”性。

文献[Byk22]报道了一个利用逐次逼近（SuccessiveApproximationRegister）A/D和非均匀抽样实现AIC的硬件实现方案，其仿真结果表明，该方案能够利用采集到的500个样本恢复带宽高达20MHz的信号。

文献利用LabVIEW和MATLAB建立了一个基于RD的AIC仿真系统。系统由6个模块组成：（1）输入信号

发生器;（2）chipping序列

发生器（3）模拟乘法器，实现;（4）低通滤波器，对滤波；得到

加上了标识（signature）的低通信号；（5）对滤波后的信号以远低于的频率抽样。得到

测量；（6）基于CS理论由重建出；该文献先是利用一个500Hz的正弦作为输入信号，然后利用三个正弦（300Hz，420Hz，500Hz）作为输入信号进行了仿真，在压缩比为4，即用的频率抽样时，可以准确重建输入信号。该文献的目标是为智能生活环境（smartlivingenvironments）提供高性能、低功耗、体积小的生命监护系统。因此，该仿真系统又用心电作为输入信号，同样取得了好的重建效果。文献[Mar17]提出了一个基于Xampling框架和混沌序列相结合的方案实现了一个AIC实验系统。我们知道，CS的基本公式中的是随机矩阵，而随机序列的产生、存储和传输都是费时和高成本的，因此该文献提出利用混沌序列来代替随机序列。整个实验系统的硬件由FPGA构建，实验信号也是三个正弦的和，使用的抽样频率是的61.2%。文献[Abi20]和[Jos21]是两篇较新的文献，它们都是用FPGA构建硬件平台，前者讨论视频图像的AIC，后者讨论遥感超高谱信号的AIC。16.6压缩感知的应用CS资源的网站

/cs有大量有关CS应用的论文图像压缩医学成像计算生物学地球物理超光谱成像压缩雷达成像天文学通信遥感计算机工程表面计量学CS可应用于一切需要由某些线性测量的结果来重建信号和图像的领域，特别是当完备的测量的获得是昂贵的，长时间的，困难的，危险的，不完备的，或者是不可能的场合。CS的应用：模拟/信息转换，最期待；数字域，信号和图像16.6.1单像素相机1996年：80万像素；现在，普通：千万像素，瑞士的Seitz6x17Digital：1.6亿像素；MIT的Pan-STARRS天文相机：高达14亿像素！

为什么要单像素相机？基于CCD的数码相机只能对可见光成像，对红外等不可见光无法成像。红外成像有广泛应用：军事，车辆、飞机及船舶的夜视，晚上及雾天的监控，人体内窥镜等。但红外成像设备昂贵，普及困难。受CS理论的驱动，试图开发出一种新的成像模式。RICE大学单像素相机的原理图（1）两个凸透镜；（2）一数字微镜阵列（DMD）；（3）一个光敏二极管：光电转换器；（4）一个A/D；（5）图像重建算法。系统组成

成像原理：关键部件是DMD，它由一系列细菌大小的静电驱动的微小镜片阵列组成，每个镜片固定在铰链上，通过RNG控制每个微镜片的方向，使它们可依水平面做+12°、−12°的偏转。+12°偏转对应图像被反射到光敏二极管上；−12°对应图像没有被反射到。每一个微镜片连接着一个独立的SRAM。DMD实际上是一空间光调制器（SLM），根据控制信号来调制光的强度，即通过微镜片的偏转实现这一调制。图中是TI的DMD1100，其微镜阵列为768×1024。其大小限制了该单像素相机的分辨率。目前市场上有更高分辨率的DMD供选择。的元素＝1，定义为做+12°方向的偏转＝0，定义为做−12°的偏转

被拍照物体的反射光通过透镜1聚焦在DMD上，在RNG的控制下，DMD的部分微镜片做+12°偏转，再通过透镜2聚焦在光敏二极管上，于是就产生一电压信号，实现光/电转换。A/D转换后得到一个测量

。记所要拍摄的图像为

，假定它是一个

维的向量，即原图像有

个像素，则第个镜片做−12°偏转

显然，是DMD的第行中所有做+12°方向的偏转的微镜片和对应的原图像中的像素相乘并相加后得到的总的结果，这和目前以CCD为基础的相机成像原理截然不同。CCD相机是对原图像的像素逐个成像。

将上述过程重复

次，可得到

维的测量向量

。重建算法利用CS的理论由

重建出所要拍摄的图像

。单像素相机中一个关键的技术是如何控制DMD的微镜片的偏转。单像素相机样机的实验研究原图像成像单像素相机尚不实用：成像时间过长测量数大；矩阵巨大；重建算法（BP，OMP）复杂测量时图像必须静止，上图约5分钟

16.6.2数据分离数据分离问题可表述为：若已知信号能否由分离出？

按数学概念，这是不可能的，因为只有一个已知量但却要解出两个未知量。数据分离问题有着实际的意义。如天文学家希望能从天体图像的细状物中分离出星体或星系团；音频信号处理时，希望能由短的峰值分离出谐波成分。基于压缩感知的数据分离方法可简单表述如下：选择两个

正交阵，希望：都是稀疏这一假设引导出求欠定线性方程组等效求解显然，如果稀疏向量

能被恢复，那么，可求出实现了数据分离上述分离过程要求

在形态上要有明显区别，这一要求又隐含地要求矩阵

是不相干的。

文献[Kut13]指出，数据分离问题可看作是CS的起源：早在2001年，Donoho就讨论了数据分离问题。

是正弦信号的叠加，

是脉冲信号（Dirac函数）的叠加，二者有不同的形态。文献[Don01]给出了分离原理16.6.3CS在医疗保健中的应用

健康是每一个人的希望和追求。要有一个健康的身体，除了自身的因素（好的生活习惯、好的饮食习惯、好的心态及积极锻炼）和社会因素（好的空气、饮水、物质较为丰富，无战乱等）外，较高的医疗水平也是健康的必要条件。

医疗水平:医学教育水平、疾病检查水平、诊断水平、治疗水平及康复水平等。为保证对疾病的精准检查、诊断和治疗，除了需要经验丰富的医生外，医疗仪器更起到了关键性的作用。在各个大中型医院里，心电图机、脑电图机、X-ray透视、计算机断层扫描（CT）、磁共振成像（MRI）、超声成像及生化分析仪器等都成了标配。医疗仪器产业已成为国民经济的支柱产业，以其为主要内容的新学科--生物医学工程也应运而生。

随着互联网、移动通信、可穿戴传感器及远程医疗的飞速发展，面向个人的健康监护（Health-Monitoring），或医疗保健（Healthcare）也在飞速发展中。在此基础上，一个新名词“无处不在的医疗保健（UbiquitousHealthcare）”也出现在文献中。U-Healthcare系统可以帮助有需要的人在家里将自己身上的生理信号通过无线的方式传送到医疗机构，那儿的医生可以及时给出诊断及治疗建议。

人体有丰富的生理信号，心电（ECG）、脑电（EEG）、眼电（EOG）、胃电（EGG）、心音（PCG）等。ECG在临床上应用最广泛，是检查心脏疾病的第一道程序，也是普通体检必查项目。除了门诊检查、病房监护要用到心电图外，可佩戴，即可行走性的心电记录仪已广泛应用。该仪器又称心电Holter，它可记录佩戴者24小时的心电，然后在医院回放，并由心电自动分析软件给出对24小时心电的统计分析。

在心电的远程监护或

Holter系统中，主要问题是按

抽样时获得的数据量太大，从而增加了存储和传输的负担，这也给电池供电带来了挑战。除了心电图外，在临床上广泛应用的还有CT及MRI两种成像设备。和CT相比，MRI具有更好的软组织对比度，可实现多参数成像，因而在临床医学诊断中得到广泛应用。CT和MRI都获得了诺贝尔生理学或医学奖。CT的问题是X-ray对人体有伤害，因此人们希望在保证成像质量的前提下尽量减少剂量的强度和扫描时间。MRI的问题是扫描时间过长，约15~90min，随扫描部位的不同而不同。扫描时，受试者要躺在一个较为封闭的空间，身体尽可能的保持不动。扫描时噪声较大，戴着耳塞仍然可听得到。所有这些，都使受试者有一种不舒服，甚至是恐惧感。

压缩感知的最大优势是对稀疏信号，或可压缩信号能以远低于

的频率抽样，然后在数字域实现信号的准确重建。因此，CS的理论在2006年提出后，马上在ECG、MRI及CT等领域获得了应用，目的就是为了解决上述它们各自存在的问题。有关这方面的论文很多。对ECG来说，其方案包括了模拟前端的信号调理、和随机序列的模拟乘（如RD，MWC）、低抽样率的A/D和信号重建等环节。文献[Mah20]和[Nil19]是CS在U-Healthcare应用的新书，它们分别是系列丛书《AdvancesinUbiquitousSensingApplicationsforHealthcare》的第11卷和第5卷。这两本书较为详细地系统的介绍了CS在ECG、EEG、CT及MRI等领域的应用，其各章后面的参考文献基本上包含了从2006年以来这些领域的方法与成果。限于篇幅，本书不再进一步讨论。16.6.4CS在时频分析中的应用

本书第一篇的标题是“时频分析”，最后一篇是“压缩感知”，当二者相遇会产生什么？毫无疑问，时频分析将是压缩感知重要的应用领域，当然，压缩感知也为时频分析提供了强大的理论工具。实际上，从2006年压缩感知提出后不久，人们就已经关注二者的结合问题。

时频分析针对的主要是非平稳信号，或多分量信号。物理世界的信号都是随机的，而且都是非平稳的，即其频率内容随时间变化，因此，需要将时间和频率结合起来去研究所关心的信号。这样做的优点固然很多，但也有一点不足，即将一个时域长度为

点的信号映射到时频平面，若频域也取点，那么得到的将是的图像，数据量巨大，这给时频图像的计算、存储及传输都带来非常大的负担。压缩感知以信号在时域，或变换域是稀疏的为基础。但非平稳信号无论是在时域还是在频域都不是稀疏的，因此，将CS应用于时频分析需要另辟途径。实际上，非平稳信号在时频域多是稀疏的。文献[Sej18]提出了用三种方法将压缩感知应用到时频分析，一是基于模糊域，二是基于时频字典和匹配追踪，三是基于短时傅里叶变换。此处仅简单介绍一下基于模糊域的方法。

将压缩感知应用到时频分析，目的是以尽可能少的数据量来表示一个非平稳信号的时频分布，同时，还希望有好的时频分辨率并尽可能的去除时频平面上的噪声。

由4.2节的讨论可知，信号

的模糊函数定义为瞬时自相关函数相对变量

的傅里叶逆变换，并且

对于二次型的Cohen类分布，它有着能量集中的性质，因此在时频域是稀疏的，但由于交叉项的存在，其稀疏性会受到严重的影响。（1）求信号

的；（2）由求的模糊函数；（3）对

施加低通2-D滤波器;（4）通过令下式的

范数最小，得到在时频平面最稀疏的时频分布(16.6.6a)(16.6.6b)很小的常数文献[Sej18]给出了如下的例子以说明（16.6.6）式的效果。（a）（b）（c）图16.6.3基于模糊域的时频分布的压缩感知END谢谢您使用本书的电子课件！

15.4测量矩阵需要满足的性质

的NSP约束等距性质（RIP）相干性（coherence）（1）是准确稀疏的；（2）测量过程不存在噪声；本节讨论的是：

矩阵的NSP不好应用，spark的求出是一组合问题，也不好应用。此外，在存在噪声的情况下，由NSP和spark给出的重建往往缺乏鲁棒性，为此，人们又提出了一些新的参数：最著名的是矩阵的约束等距性质（restrictedisometryproperty，RIP）及相干性。15.4.1

测量矩阵的约束等距性质定义15.4.1

令整数

对所有的

稀疏信号

，等距常数

是满足的最小标量，如果，则称满足

阶的RIP并具有等距常数

。RIP的概念最初由EmmanuelJ.Candès和TerenceTao在文献[Can06b]中提出，当时称为均匀不定原理(uniformuncertaintyprinciple，UUP)，后来文献[Can05]将其重新定义为RIP。（1）定义要求对所有的

都成立，在

维空间中有

个这样的

。当然，实际待求的只有一个。（2）不严谨地说，若

不太接近于1，则称

RIP

粗略地看，（15.4.1a）式定义的RIP是想保证

和测量的能量没有太大的差距。现对RIP给出更多的解释。（3）如果保范变换？但现在

是扁的长方阵，隐含意思是：从

中任取

列所形成的

子矩阵应该接近于正交阵。显然

越小，该子矩阵接近正交阵的程度越好。因此，当

投影到

的行向量上后，具有RIP性质的

就近似地保护了它的Euclidean范数

（或能量）。上述结论又意味着

稀疏信号不会落在

的零空间。这一点很重要，否则无法恢复该稀疏信号。为强调该子矩阵，RIP又可定义：

（4）：方阵，称为Gram矩阵。若满足RIP，

则

正定，对，则该矩阵的特征值

位于之间。（5）RIP定义的另一含意：如果

满足

阶的RIP，

则定义近似保护了任意两个

稀疏向量之间的距离。如果：

：

是指下标集合的势

时仍满足RIP定义的最小常数。

的取值也应该在

之间。这时，我们说

具有

阶的RIP性质。类似的，我们还可以定义

，

等。（6）如果

满足

阶的RIP并具有等距常数

，那

么，对任意的

，

，自动地具有

阶

的RIP性质并具有等距常数

。（7）如果

“感知”的是变换系数

，那么RIP定义

中的矩阵

应该换为矩阵

。这时，

具有

阶的RIP。（8）将RIP的定义和标架的定义相比较，会二者有非常相

似之处。它们都给出了信号

在通过非正交阵

变换前后能量的约束关系。

上面8个解释说明：测量矩阵

的RIP性质保证了通过变换

前后信号的能量及几何结构基本保持不变，同时也保护了两个

稀疏信号在变换前后的距离，从而使得

稀疏信号的准确恢复成为可能，也保证了恢复的稳定性。为了求得稀疏信号的准确恢复，人们希望在尽可能小的测量数目

的情况下，寻求具有较小的等距常数

和较大稀疏度

的测量矩阵

。15.4.2测量矩阵的相干性定义15.4.2测量矩阵

的相干性定义为将的列归一化越小，中不相关（或独立）的列越多，中保留的信息越多，越有利于的恢复。因此，在构造时，希望它具有尽量小的相干性。下面的定理给出了的NSP，spark，相干性之间的关系，也给出了测量数

的约束。定理15.4.1如果

满足

阶的RIP并具有等距常数

，则

具有

阶零空间

性质，且RIP常数证明见教材，用到两个引理。定理说明：如果矩阵

满足

阶的RIP，则它也同时满足

阶的NSP。RIP给出了比NSP更为严格的条件，可以用来考虑存在噪声情况下信号的恢复。

引理

假定

，则

稀疏信号三个范数之关系定理15.4.2对

，下面的关系成立

至少有列线性相关满足spark定义定理15.4.3对任意的

，其相干性和spark

有如下关系该式给出了一个重要的关系，即

的相干性越小，其spark越大，

线性无关的列向量越多，由这些列构成的

的子矩阵越接近于正交。这正是我们所希望的。定理15.4.4记

的相干性为

，假定其每一列的

范数都归一化为1，则对所有的

，

具有

阶RIP并具有等距常数：测量矩阵和正交矩阵之间的互相干性也有着重要的应用，列的范数归一化后，其定义为：测量两个矩阵之间的最大相关性15.4.3解唯一性的条件

解唯一性：即

最小，或如何保证

？直观理解：希望：对两个不同的：必须有：因为：结论：否则无法恢复：将出现：含意？

该式又可简单的解释为：为保证解的唯一性，矩阵

的零空间中必不包含稀疏的向量。解的唯一性，有多种描述方式，如定理15.4.5

对任意的

和

，当且仅当

时，测量系统

有唯一解

。

该定理的一个等效说法是:如果

的任意

列都是线性无关的，那么，任意

稀疏信号

都可以唯一地由

来恢复。由于：的行秩是，由定理，必须有此结论很重要，指出，为恢复出稀疏信号，测量数的长度不能小于。定理15.4.6对任意的

，如保证

，

则下述说法等效：（1）对所有

，存在一

，使得

；

（2）：是正定矩阵；（3）；（4）对任意具有

的下标集合

，矩阵

的秩为

；定理15.4.7对任意的

和，如果

其解

满足如下关系则测量系统

有唯一解

。对一个给定的感知矩阵

，该式给出了所能感知的信号稀疏水平的上限。定理15.4.8如果

满足阶RIP，且

，则对所有

，有定理15.4.8是直观的：因为如果

，由RIP的定义，

将有

列线性相关，则存在一

使

。令

，有

，那么

就不是唯一解。15.4.4解唯一性的条件定理15.4.9如果

满足阶RIP，且

，，则对所有

，有对比定理15.4.8和15.4.9可以看出：

保证

保证结论合理：利用

范数来代替

范数是放宽了最优化的条件，当然对测量矩阵的要求要变得严一些。要求要求其实：可看作和等效的条件

解的唯一性也可用NSP给出：定理15.4.10给定

，当且仅当满足

阶零空间性质时，任意稀疏向量

都是唯一最小范数解。

实际信号在时域多不是稀疏的，而经正交矩阵变换后多是稀疏的，因此，研究测量矩阵

应具有的性质同样是重要的。对该问题，用的最多的是互相干

。下面的定理给出了

和测量数

之间的关系以及保证

解唯一性的条件。定理15.4.11假定信号

在正交基

下的变换系数

是

稀疏的，且

是对

的均匀和

随机测量，如果保证则优化问题以大概率有准确解。显然，越小，需要的越少。若则以的测量可恢复长度为的。文献指出:RIP等效于要求

的行向量

不能由

的列向量

线性表出，反之亦然。

随机矩阵15.4.5和解等效的条件前面已指出：是、等效的条件定理15.4.12令

是一行满秩矩阵，如

果一个解

存在并满足则是

和

问题的唯一解。15.4.6测量边界前面指出，为保证

解唯一性，测量数不能小

。定理15.4.10通过互相干

给出了

和

的关系。

在CS的文献中

又称为测量边界。定理15.4.13若

满足

阶RIP并

，则

更一般关系定理15.4.5～15.4.13给出了

，

唯一、等效条件及和的NSP、spark、RIP和之间的关系。很重要15.4.7关于

解唯一性的进一步说明

由于CS是近十年来新发展起来的领域，理论的发展有一个不断完善的过程，因此定理15.4.5～15.4.13所描述的内容及NSP的定义在文献上不尽相同，特别是唯一性的条件的表述，如：文献[Can05]：文献[Can06c]：文献[Can08b]：文献[Fou09]：[Cai10]：15.4节的公式和结论都较多，现总结如下：（15.4.11b）（15.4.9）需要指出：上面讨论的各个定理都是针对

是准确稀疏信号和无测量噪声情况下的结论，在不是稀疏信号和存在测量噪声情况下的信号恢复问题是下面两小节要讨论的内容。

15.5可压缩信号的恢复以上讨论，假定，这是理想的信号模型。实际信号多是近似稀疏，或可压缩的。因此，研究可压缩信号的CS更有意义。对可压缩信号近似误差将中最大个元素按大小排在前面，并赋予，再令其它元素为零。最佳项近似对非准确稀疏的可压缩信号：，近似程度？特别关心和最佳项近似误差的关系：重点关心如下关系：（1）.若是稀疏的，则左边＝0，无误差恢复；（2）.否则，则左边的误差和右边的最佳项近

似误差建立了联系。（A）定理15.5.1令

表示

的任一解码算

法，如果

和

满足（A）式，则

满足

阶NSP。反之，如果满足

阶NSP，则（A）式的近似误差关系成立。因此满足

阶NSP是（A）式成立的充要条件。上述讨论的是任一解码算法，更关心定理15.5.2令

是

解，对

，如果

满足

阶的RIP且

，则下面两式成立该定理是CS中一个重要和著名的定理，由Candès在08年提出并给出证明。文献[Bar13]又给出较详细的证明。

15.6噪声情况下的信号恢复

矩阵

对

测量时，会存在误差：可能来于传感器，或舍入误差和量化误差。这时，“感知”模型变成误差向量记在有噪声情况下，关心近似程度定义15.6.1令:，,，若则称编码－解码对是C－稳定的。该定义说明一简单事实，即测量误差在恢复过程中其影响不会任意大，它将不超过误差自身的

范数。

定理15.6.1如果:是C－

稳定的，则

对所有的

，下述关系成立RIP和C－稳定的关系定理15.6.2如果

满足

阶的RIP且

，令

及

，再令

是满足的最优解，则式中近似误差无噪声时信号恢复的误差噪声引起，正比于噪声能量的含意：15.7测量矩阵的构造用于：

稀疏信号；

可压缩信号；

含噪信号准确、近似准确恢复性能描述：NSPsparkRIP，

要满足定理15.4.5－15.4.13所提要求。小的RIP常数和相干性，大的spark。但这些性能的测量比较困难：满足RIP？需要考察由于非零元素位置不同而可能有的

个

稀疏信号

是否都满足RIP定义。研究发现，如果

是随机矩阵，则以大概率有RIP性质。15.7.1Johnson–L引理和浓缩测量的概念15.7.2随机测量矩阵（1）高斯测量矩阵每一个元素都是高斯分布，且I.I.D（2）伯努利测量矩阵或者可以用浓缩不等式证明，高斯和伯努利矩阵以大概率具有RIP性质。（3）亚高斯（subgaussian）测量矩阵

：高斯分布

：亚高斯分布

亚高斯种类很多，在一定的条件下，高斯分布、伯努利分布和均匀分布都可以看作是亚高斯分布：（1）（3）零均值，且常数，（2）：亚高斯分布伯努利分布全部由亚高斯随机变量组成的矩阵成为亚高斯矩阵。定理15.7.2令

是亚高斯随机矩阵，则

的RIP常数以至少

的概率满足

，且：常数，只和亚高斯参数

和

有关给出了类似15.4.7节讨论过的边界条件。另外，如果是亚高斯矩阵，不管正交阵如何选择，还是亚高斯阵。15.7.3部分随机傅里叶矩阵

虽然随机测量矩阵都具有RIP性质，且可达到测量下界，但有不足：（1）当需要对测量矩阵提出各种制约时，因为它们是随机的，能给出的自由度很小，因此制约常无法实现；（2）随机矩阵的每一个元素都要存储，因此在硬件实现时困难；（3）缺少矩阵和向量乘的快速算法，限制了恢复算法的速度。DFT矩阵，确定性：

在DFT阵中随机且均匀选择

行，构成

的测量矩阵

。显然，它具有部分随机性，称为部分随机傅里叶矩阵。其一个突出优点是可用FFT来计算矩阵和向量的乘，提高编码和解码速度。

似傅里叶随机矩阵的构成，也可以利用一般的正交矩阵来构成结构随机矩阵。又称为一般正交集总。定理15.7.23令

是部分随机傅里叶矩阵，则

的RIP常数以至少

的概率足

，且，均为常数15.7.4确定性测量矩阵

虽然随机矩阵可以大概率满足RIP条件，但由于其存储量大、缺乏快速算法等不足，特别是通过硬件实现时产生随机数较为困难，因此人们在工程实际中更希望能使用确定性测量矩阵。文献报告了该方面的一些进展，但离实际