现代信号处理教程（第三版）课件 第0-8章 前言、信号分析基础-M通道滤波器组

《现代信号处理教程》

清华大学出版社第三版2025

前言数字信号处理理论的发展及体系上个世纪的六十、七十年代：

DFT，FFT，Z变换，Hilbert变换；离散系统分析理论；各种数字滤波器设计理论；随机信号统计分析理论；上个世纪的八十年代：现代功率谱估计理论

（AR，ARMA模型）；自适应滤波理论；时频联合分析

（Wigner分布，Cohen类分布）；滤波器组理论（多抽样率信号处理）；

高阶统计量理论；上个世纪的九十年代：

小波变换理论；独立分量分析理论（ICA）Hilbert－Huang变换（HHT）

信号的稀疏表达这20年（2006－）：

压缩感知（compressedsensing，CS）被誉为信号处理领域的

“Nextabigidea”

数字信号处理的理论

大体上可以分为：一、经典信号处理二、统计信号处理三、现代信号处理

一.经典信号处理:主要围绕两大部分内容：

（一）有关信号；

（二）有关系统；基础性的；重要的；较为成熟的；“经典”的内容，自然是：有关信号1.信号的描述：函数式；曲线；2.特殊信号：冲激；阶跃；斜坡；正弦，指数；白噪3.信号的运算：加；减；乘；卷积；变换；4.信号的分解：正交分解（傅里叶变换）；5.信号的抽样：抽样定理；6.信号的重建：正交分解；有关系统1.离散时间系统的描述；2.离散时间系统的属性线性；移不变性；因果性；稳定性4.离散时间系统的分析属性判别？LP？HP?BP?BS?线性相位？5.离散时间系统设计

（数字滤波器设计）IIRDFFIRDF3.离散时间系统的输入输出关系；时域卷积频域相乘

二.统计信号处理:统计信号处理针对的是随机信号。

物理世界的信号都是随机的。所谓随机，即信号在任何时刻的值都是不可精确预测的。与此相反，确定性信号是可以精确预测的，但确定性信号是人们构思的模型产生的，因此，确定性信号不包含任何新的信息。学习确定性信号只是为深入研究实际的物理信号，也即随机信号提供理论基础。

随机信号的幅度是随时间变化的，其频率也会随时间变化，如通信领域的调幅（AM）和调频（FM）信号，语音，音乐，生理信号，潮汐信号，天文信号等。这一大类信号统称为“非平稳信号”，因此，物理世界的信号基本上都是非平稳的。

对于变化不是甚为剧烈的一类随机信号，人们在一定的假设条件下，认为它们是“平稳”的。由于随机信号不能精确预测，因此，对其的分析与处理多采用“统计”的方法。对平稳随机信号，统计分析的内容包括：（一）随机信号的描述；（三）估计问题（二）平稳及各态遍历信号均值；方差；自相关函数；功率谱自相关函数估计；功率谱估计（经典，现代）（四）最优滤波维纳滤波器；线性预测；自适应滤波器；以上四部分内容包含在

《数字信号处理—理论、算法与实现》

（第四版，清华大学出版社，2023）

下篇

胡广书编著

三.现代信号处理:

（一）非平稳信号的

联合时频分析；（三）小波变换；

（二）多抽样率信号处理；

（四）压缩感知理论（CS）；Wigner分布Cohen类分布；希尔波特－黄变换信号抽取；信号插值；两通道滤波器组；M通道滤波器组时频分析滤波器组小波变换Hilbert－Huang变换目标：将信号的时间和频率这两个物理量联系起来，希望知道信号在什么时间有什么频率，或某一个频率发生在什么时间，并希望根据实际需要调整信号在时域和频域的分辨率，以达到最大限度的提高处理速度、节约存储量、更深入地认识信号并提高处理的效果四者有密切的联系现代信号处理这十多年来的新进展一、Hilbert－Huang变换－1998；二、信号的稀疏表达

（sparserepresentations）－1998；三、压缩感知

（compressedsensing，CS）－2006本教材讲述：全部是现代信号处理的内容第1篇

时频分析第1章信号分析基础1.1信号的时间和频率1.2克服傅里叶变换不足的一些主要方法1.3信号的时宽与带宽1.4不定原理1.5信号的瞬时频率1.6信号的分解1.7信号的正交分解1.8标架的基本概念1.9

Poisson和公式1.10

Zak变换1.1信号的时－频联合分析前言：对一个给定的信号，我们可以用众多的方法来描述它。在这些众多的描述方法中，有两个最基本的物理量，即时间和频率。显然，时间和频率与我们的日常生活关系最为密切，我们时时可以感受到它们的存在。时间自不必说，对频率，如夕阳西下时多变的彩霞，音乐会上那优美动听的旋律以及在一片寂静中突然冒出的一声刺耳的尖叫等，这些都包含了丰富的频率内容。正因为如此，时间和频率也成了描述信号行为的两个最重要的物理量。傅里叶变换的不足：1.不具有时间和频率的“定位”功能;2.傅里叶变换对于非平稳信号的局限性3．傅里叶变换在分辨率上的局限性傅立叶变换：为克服傅里叶变换的不足，人们提出了很多方法，这些方法构成了现代信号处理的丰富内容。联系了时间和频率1.傅里叶变换在时间、频率“定位”的不足：反之，如果我们想求某一个时刻，如处的值，需要；需要；如果我们想求一个信号，如，在某一个频率，如处的值，则例信号x(n)由三个不同频率的正弦组成，即思考：的频谱是什么样子？我们希望知道：在哪一个时刻（或哪一段时间）产生了我们所要考虑的频率，或反之，如下例：信号的时－频联合分析：(a)信号，（b）的频谱；(c)的时频分布；（d）时频分布的三维表示

2.傅里叶变换对于非平稳信号的局限性：频率不随时间变化的信号称为时不变信号。即对该信号的一次记录（或一次观察）得到的信号所做的傅里叶变换和过一段时间后再记录该信号所做的傅里叶变换基本上是一样的。这样，信号的傅里叶变换与时间无关。傅里叶变换只适合于时不变的信号。在时不变的情况下，信号可展开为无穷多复正弦的和，而这无穷多复正弦的幅度、频率和相位都不随时间变化。常数。频率随时间变化的信号又称为时变信号，又称这一类信号为“非平稳”信号，而把频率不随时间变化的时不变信号称为“平稳”信号。傅里叶变换反映不出信号频率随时间变化的行为，因此，它只适合于分析平稳信号，而对频率随时间变化的非平稳信号，即时变信号，它只能给出一个总的平均效果。最常用的是：瞬时频率时间的函数

图(a)是时域波形，图(b)是频谱。图(c)是时－频分布表示,图(d)是图(c)的立体表示。例chirp信号3.傅里叶变换在分辨率上的局限性：“分辨率（resolution）”是信号处理中的基本概念，它包括频率分辨率和时间分辨率，其含义是指对信号能作出辨别的时域或频域的最小间隔（又称最小分辨细胞）。频率分辨率是通过一个频域的窗函数来观察频谱时所看到的频率的宽度，时间分辨率是通过一个时域的窗函数来观察信号时所看到的时间的宽度。显然，这样的窗函数越窄，相应的分辨率就越好。分辨能力的好坏一是取决于信号的特点，二是取决于信号的长度，三是取决于所用的算法。希望既能得到好的时间分辨率又能得到好的频率分辨率，然而，由不定原理可知，二者不可能同时达到最好。不定原理是信号处理中的基本原理，不可能违背，但是在实际工作中可以根据信号的特点及信号处理任务的需要选取不同的时间分辨率和频率分辨率。例如，对时域快变的信号，希望时域的分辨率要好（即观察间隔尽量短），以保证能观察到该瞬变信号发生的时刻及瞬变的形态，这时要忽视频率分辨率；反之，对时域慢变的信号，没有必要强调时域分辨率而转而强调频率分辨率。好的信号分析算法，应能适应信号的特点自动调节时域分辨率和频域分辨率。以前我们只强调频域分辨率，而基本上没有考虑时域分辨率，更没有把二者结合起来考虑。实际上，二者都是需要的。傅里叶变换：基函数在频域是位于处的函数。因此，用傅里叶变换来分析信号的频域行为时，它具有最好的频率分辨率。但是，在时域对应的是正弦函数，时域的持续时间是从，因此，在时域有着最坏的时间分辨率。对傅里叶反变换，分辨率的情况正好相反。基函数信号截短是信号处理中的基本问题，等效使用矩形窗。矩形窗的宽度和其频谱主瓣的宽度成反比。时域取得越短，即保持在时域有高的分辨率，其频谱的主瓣变宽导致频域的分辨率下降。这既体现了不定原理的制约关系也体现了傅里叶变换在时域和频域分辨率方面所固有的矛盾。显然，傅里叶变换无法根据信号的特点来自动的调节时域及频域的分辨率。方法一:STFT(ShortTimeFourierTransform)基函数

1.2克服傅里叶变换不足的一 些主要方法加窗傅里叶变换二维函数方法二：联合时频分析Cohen分布：

二维函数Cohen类分布变成Wigner-Ville分布Gabor变换与信号的Gabor离散展开：Gabor展开Gabor展开系数Gabor展开的核 函数该二维函数：1.应是时间和频率的联合函数；2.可反映信号能量随时间和频率变化的形态；3.应既具有好的时间分辨率，同时又具有好的频率分辨率。给定一维信号找到二维函数方法三：小波变换找到一个基本函数

并记的伸缩与位移

a:是尺度定标常数，决定频率中心及带宽;b:是位移，决定分析位置；又称为基本小波或母小波。

和这一族函数的内积即定义为的小波变换方法四、信号的子带分解将信号的频谱均匀或非均匀地分解成若干部分，每一个部分都对应一个时间信号，我们称它们为原信号的子带信号。对信号x(n)，我们欲将其传输，若用数字方法，其传输过程包括数字化、量化、编码及调制等步骤。若对该信号用抽样频率fs进行抽样，每一个抽样数据为16bit，那么其1秒数据所需要的bit数是16fs。例

能否保证在传输信号不失真的情况下，减少所用的bit数？我们发现x(n)的频谱集中在归一化频率0.08及0.15处，而从0.25～0.5处的能量很小。解决方法分别用一个低通滤波器H0(z)和一个高通滤波器H1(z)进行滤波H0(z)↓2H1(z)↓2方法五、信号的多分辨率分析上述方法是将信号的频谱均匀地分成M等分，为了适应在不同频段对时域和频域分辨率的不同要求（快变信号要求好的时间分辨率，降低频率分辨率；慢变信号要求好的频率分辨率，降低时间分辨率），我们可以将信号的频谱做非均匀分解。下面的分解过程就形成了多分辨率分析的基本内容。

其中f1=1Hz,f2=20Hz，f3=40Hz,fs=200Hz,这样保证了对每一个正弦分量都可采到整周期。设数据长度取400点，现希望能将的抽样中的三个正弦信号分离出来。例设信号信号二进制分解的实现现在我们用二等分的方法将其频带逐级分开

在信号处理中，信号的“时间中心”“时间宽度（time-duration）”“频率中心”“频带宽度（frequence-bandwidth）是非常重要的概念。它们分别说明了信号在时域和频域的中心位置以及在两个域内的扩展情况。是讨论各种信号处理算法的基础。1.3信号的时宽与带宽

概念：信号能量：时间中心：频率中心：

瞬时频率(IF)复信号x(t):实信号x(t):的Hilbert变换：直接求出“频率中心”:则：时间宽度：频率宽度：时宽和带宽：

时宽－带宽积：又一定义

令：实高斯信号，可求出，归一化高斯信号。可求出：例高斯信号的傅里叶变换仍然是高斯的，中心在例记上例中的高斯信号为，令则x(t)为一高斯幅度调制信号，调制频率为。由此可以看出，该例和上例不同的是频率中心变成了，但由于该例是纯正弦调制，故信号的带宽、时宽及时宽－带宽积没有改变。该例和上例不同的是频率中心变成了，但由于该例是纯正弦调制，故信号的带宽、时宽及时宽－带宽积没有改变。

图(a)是一个高斯信号与一chirp信号的乘积称之为“高斯幅度调制chirp信号”，图(b)是其频谱。可求出：例该信号的时宽－带宽积大于1。

给定信号，设其能量为，时间中心，频率中心分别是和，时宽和带宽分别是和，令其中为常数，现研究的能量,时、频中心及时宽与带宽。例Q为信号的“品质因数”：

品质因数＝信号的带宽/信号的频率中心1．4 不定原理

（UncertaintyPrinciple）

给定信号x(t)，若，则

当且仅当x(t)为高斯信号，即等号成立。定理1.1证明：不失一般性，假定：则于是由于是的傅里叶变换再由Schwarz不等式，有由Parseval定理，有由于及假定，故上式所以，即当时等号成立，信号具有高斯形式。不定原理是信号处理中的基本定理，又称Heisenberg测不准原理，该定理指出:对给定的信号，其时宽与带宽的乘积为一常数。当信号的时宽减小时，其带宽将相应增大，当时宽减到无穷小时，带宽将变成无穷大，反之亦然。这就是说，信号的时宽与带宽不可能同时趋于无限小，这一基本关系是时间分辨率和频率分辨率的制约关系。在这一基本关系的制约下，人们在竭力探索既能得到好的时间分辨率又能得到好的频率分辨率的信号分析方法。令代表对的变换，为变换的基函数。如果在时域和频域都是紧支撑（Compactsupport)，则称是一个“时频原子（atom）”。在时域分析的宽度（分辨率），受到时宽的限制；在频域分析的宽度（分辨率），受到带宽的限制；对做时频联合分析，其在时域和频域的分辨率受由,所决定的矩形面积的限制。该矩形称为HeisenbergBoxes.1.5 信号的瞬时频率

瞬时频率？傅里叶频率？如果是复信号，可把它写成的形式，若是实信号，可通过Hilbert变换得到与相对应的解析信号,也可写作的形式，瞬时频率定义为

傅立叶频率是一独立的量，瞬时频率是时间的函数；傅立叶频率和瞬时频率有如下几方面的区别：信号的均值频率（中心~）是其IF在整个时间轴上的加权平均，权函数是，只有当信号为纯正弦时，其均值频率才等于其瞬时频率。傅立叶频率是“全局性”的量，是信号在整个时间区间内的体现，IF是信号的“局部”体现，理论上讲，它应是信号在该时刻所具有的频率。傅立叶频率傅立叶变换，瞬时频率Hilbert变换是时间的函数若在任意时刻，都是单值的，则称该信号为：

“单频率分量（mono-component)”信号否则，称为：

“多频率分量（multi-component)”信号？瞬时频率的定义是否适用于多分量信号？

设由两个chirp信号相加而成，它们有着相同的幅度，第一个chirp信号的频率在0～0.3之间线性变化，第二个在0.2～0.5之间线性变化。例图(a)是信号的时域波形，(c)是实际的瞬时频率。显然，在任一时刻，该信号都包含两个频率分量。图(b)是按定义计算出的瞬时频率，它在任一时刻都是单值的，其形状不能反映该信号频率变化的实际内容。实际上，对瞬时频率的定义只是对单分量信号适应，而对多分量信号，该定义给出的结果是在该时刻其瞬时频率的平均值，更确切地说，应是信号的“平均瞬时频率”。解析信号的解释:总有意义？只有当和的频谱能完全分开时，这样的解析信号才有意义，才能用（1.5.5）式去求信号的IF。互为正交分量？什么条件下：①如果的频谱只在区间的范围内有值，即是低通信号；②如果的频谱在的范围内，即处在高频率端，那么：上述结论给出了一个实信号和其Hilbert变换构成正交分量的条件，实际上也是将一个实信号构成解析信号是否有物理意义的条件。1.6信号的分解

设空间N维向量可将x

按这样一组向量作分解，即称为信号的离散表示（discreterepresentation）。是分解系数

如何求求分解系数？:

设想在空间中另有一组向量，

满足如下关系：Step1Step2做内积：如果是完备的、线性相关的，那么，由上式的表示必然会存在信息的冗余，对偶向量也不唯一。这时，我们称有可能构成空间的一个“标架（frame）”。如果空间中的任一元素都可按下式作分解，那么称这一组向量是“完备complete）”的；可能的几种情况：如果是完备的，且是线性无关的，则是中的一组基向量，这时，存在且唯一，即存如下双正交关系：互为双正交基则构成空间的一组正交基。如果不是正交的,也不是正交的，但如何求出对偶基？由于和都假定是N维空间中的基向量，所以可表为的线性组合：令由于双正交则注意：上述求解方法只适用于双正交基，对 标架的情况不适用。再令：由：可求出1.7 正交变换

正交变换的重要性质：性质2：展开系数是信号在基向量上的准确投影。性质1：正交变换的基向量即是其对偶基向量，因 此在计算上最为简单。满足最小的条件：性质3：正交变换保证变换前后信号的能量不变， 此性质又称为“保范(数)变换”。性质4：信号正交分解具有最小平方近似性质。性质5：正交变换的系数具有去除相关和集中能 量的性质。

若，是一组正交基，则定理1.7.1是一个原型函数，其傅立叶变换为若是两组正交基，即证明：因为，是一组正交基，所以线性组合FTDTFTParseval关系Parseval关系小波变换将用到该性质正交变换的实例：FSDFTDCT，DST,DHT，K-L正交基的选择

原则具有所希望的物理意义或实用意义。正交基函数应尽量简单，计算量小。最大限度浓缩信号能量，去除相关性。基函数应能同时具有频域和时域的定位功能。1.8标架(frame)的基本概念问题的提出：1.对信号一维分解，用于分解的一组函数，可能是线性相关的、线性独立的或是正交基，在非正交基的情况下存在信号分解的完备性和重建的稳定性问题；2.本课要重点讨论的多是时间－频率的二维联合分布，如短时傅里叶变换、Gabor变换、Wigner分布及小波变换等，即找到实现时频联合分析①

如何找到二维的正交基函数？

②

当实现上述内积时,应离散化，得到时频栅格:构成一组正交基？构成一组基？如果不能构成一组基，那么在什么条件下可保证对信号的分解是完备的、并可稳定实现信号的重建？如何保证？在二维平面的离散栅格上，求得正交基较为困难，有时，信息冗余对分解的稳定性有好处。因此，一般性地讨论在非正交基的情况下信号分解的完备性和重建的稳定性有着重要的意义。标架的基本概念

设是Hilbert空间H中的一组向量（或一组函数），对任一信号，如果存在常数，满足 ，并使下式成立

定义1.8.1：注意范数和绝对值的应用则称构成一个标架。显然，标架是Hilbert空间中的一组向量。关于标架定义的说明：标架是Hilbert空间中的一组向量,或一组函数，或二维向量或函数。2.由：信号能量：变换域能量，为保证重建原信号，它必须是有界的。因此3.如果是正交基，则，现仅要求，所以可能线性相关4.令（1）如果，则应有；反之亦然，这一性质称为变换的唯一性（2）如果

和很接近，那么和也 应很接近，此性质称为变换的连续性。则令（3）如果和很接近，那么和也应很接近，此性质称为反变换的连续性。即将上面两个式中合起来，即是标架的定义。如果则称构成一个“紧（tight）标架”冗余度测量；紧标架时

如果构成一紧标架,且， 则是一正交基。标架理论于1952年提出，后被引入信号处理领域。用来研究信号离散表示的完备性、稳定性、冗余性。总之，满足标架条件的一组向量在用于信号的分解时，可以给出完备的、稳定的信号分解，但是，这种分解很可能是有冗余的。在紧标架的情况下，其冗余的程度由参数

来度量。定理1.8.1是二维平面中互相垂直的单位向量。显然

并不正交，且是线性相关的。用来分解信号，在分解系数上必然存在冗余。例：令：设在该二维平面中有一向量，所以构成紧标架，它用它们来表示信号，将产生冗余。设是一个标架，定义标架算子为：

定义1.8.2：即标架算子将映射为。思考：正交基情况？

如果是标架算子，则可证明如下结论：（1）是有界的，即定理1.8.2：恒等算子，即标架问题主要讨论信号的重建问题，即如何由求出，为此，需要引入标架算子的概念：（2）．若可逆，则逆算子 也有界，且（3）．也构成一个标架，标架界： 的对偶标架（4）Hilbert空间中信号的分解可表为对标架问题，信号重建的关键是求出对偶标架。1.对紧标架，有所以2.对非紧标架，如果比较接近，则3.如果不很接近，则对偶标架的求解相当困难，需要用迭代的方法。当然，重建误差越大。标架理论于1952年提出，但长期没有引起人们的重视。归功于Daubechies、Grossman和Meyer这三位小波先驱的工作[Dau86]，使得标架经半个世纪后才发展起来。[Kov07]KovacevicJ.etal.

LifeBeyondBases:TheAdventofFrames(PartI).IEEESignalProcessingMag.,24（4），86–104,2007（注：该文的PartII，见同一期刊115-125）[Chr16]ChristensenO.

AnIntroductiontoFramesandRieszBases（2ED），SpringerInternationalPublishingSwitzerland，2016两篇重要文献标架理论在研究信号离散表示的完备性、稳定性及冗余度方面是非常有用的。由于标架放宽了基的要求，因此使用起来更灵活，更方便。上面的文献指出Hilbert空间的Riesz基

一组向量是Hilbert空间的Riesz基，如果： 1.是线性无关的；2.

存在常数，使得

Riesz基也是一个标架，但其要求要比一般的标架严，即应是线性无关的。1.9Poisson和公式

为信号的Zak变换，式中1.10Zak变换

给定信号，定义注意：信号的Zak变换是的二维函数。可以想到，Zak变换时信号的时－频分析中有用重要的应用。主要是Gabor变换第2章短时傅立叶变换与Gabor变换

2.1连续信号的短时傅立叶变换2.2短时傅立叶反变换2.3离散信号的短时傅立叶变换2.4

Gabor变换的基本概念2.5

临界抽样时连续信号展开系数的计算2.6过抽样情况下连续信号展开系数的计算2．1连续信号的短时傅立叶变换

（ShortTimeFourierTransform，STFT）

其STFT定义为:式中窗函数应取对称函数。概念：τx(τ)0FTFTFTΩ0的频谱的形状取决于，接近于有限支撑的。而频率中心由来决定，这样，利用STFT可实现对时－频定位的功能。由于是窗函数，因此它在时域应是有限支撑的;同理，在时域也是有限支撑的;由于在频域是线谱，所以STFT的基函数由于所以：STFT的频域表达式对在时域加窗对在频域加窗等效有了时－频定位功能，下面再关心其时－频分辨率。时—频分辨率时间中心

由

的中心位置所决定

，即频率中心由G(v)的中心决定，即时宽：与时移无关带宽：与频移无关思考：各与什么有关？

时间中心在处频率中心在处分辨“细胞”为Ω2Ω1STFT的基函数分辨“细胞”和

,无关，即不论和在何处，分辨细胞的形状都保持不变。这是STFT的特点。该例说明，STFT的时间分辨率由窗函数的宽度而决定。 令，可以求出其

例1STFT的频率分辨率由频谱的宽度来决定。若，则 例2若，则

，这时，STFT减为简单的FT，这将给不出任何的时间定位信息。其实，由于为无限宽的矩形窗，故等于没有对信号作截短。

例3高斯Chirp调制信号 令，则

例4可准确地实现时域定位，但无法实现频域定位。例5选择为Hanning窗窗函数的宽度为13

窗函数的宽度为55设

由两个时频“原子”构成,一个时间中心在处，时宽是32，另一个时间中心在处，时宽也是32，调制信号的归一化频率都是0.25。谱图是恒正的，且是实的。

概念：“谱图（spectrogram）”由于所以谱图是信号能量的分布。若，则 若，则 STFT和谱图的性质

2.2 短时傅立叶反变换

短时傅里叶反变换有不同的表示形式：取反变换STFT的一维反变换表示

STFT的二维反变换来表示：用的对偶函数来表示

区别2.3离散信号的短时傅立叶变换

DTFTDFT是在时间轴上窗函数移动的步长，是一个周期的分点数。：窗函数移动的序号窗函数宽度2.4Gabor变换的基本概念

早在1946年，Gabor就提出：可用时－频平面上离散栅格上的点来表示一个连续的一维信号：

：栅格的时间长度：栅格的频率长度

Gabor展开系数；母函数展开的基函数移位＋调制

1.如何选择a和b？2.如何选择母函数3.如何求Cm,n?

4.

是否任一能量有限信号都可作Gabor分解？

？问题？5.时－频平面离散栅格上的任一个二维函数是否都唯一地对应一个一 维的信号？如果，即栅格过稀，我们将缺乏足够的信息来恢复原信号；如果过小，必然会出现信息的冗余。类似于对一维抽样时抽样频率过大的情况。

：临界抽样（CriticalSampling）：欠抽样（Undersampling） ：过抽样（Oversampling）欠抽样将引起信息的丢失，因此很少被研究；Gabor最早提出：使用高斯窗取临界抽样临界抽样最简单；高斯窗满足不定原理的下限；高斯窗的傅里叶变换仍然是高斯的。原因

由于展开系数计算的困难，Gabor展开长期没有被重视；从1946年～1980年，人们也不断地提出一些计算的方法，但都不理想。直到Bastians于1980年提出了用“对偶”函数计算Gabor系数的方法，这一问题才初步的被解决。当时，考虑的是 的临界情况2.5临界抽样情况下连续信号 Gabor展开系数的计算

如何计算？选择一母函数，移位加调制：假定内积结果就是目标：找到的关系：满足该条件的被认为是完备的，从而可实现对的准确重建。双正交关系求解Gabor系数的方法：（1）选择一个母函数；（2）求其对偶函数，使之满足双正交关系；（3）做内积，从而得到。可证明，若矩形窗函数的宽度等于Gabor展开中移位的步长，那么该矩形窗的移位之间是正交的，其对偶函数仍是同样的矩形窗。对高斯窗可求出式中可以看出，在临界抽样的情况下，尽管是高斯的，但却是非高斯的，而且完全不具备能量集中的性能。可以设想，用这样的对偶函数来重建原信号，重建结果将是不稳定的。Gabor展开和STFT的关系即：Gabor系数是在离散栅格上求出的STFT1990年，Welex和Ras将对偶函数的概念扩展到过抽样的情况，即时，用表示将会产生冗余。这说明 不是正交的基函数，那么，将不唯一。为了讨论该问题，需要标架理论。用来研究构成标架的条件、边界A和B的计算、对偶标架的求解，直至导出的有效计算方法。2.6过抽样情况下连续信号 Gabor展开系数的计算

临界抽样，线性独立，对偶函数存在，且唯一。有好的时－频定位，却不一定；

欠抽样，基函数不完备，构不成标架；简单的结论：过抽样，存在表示的冗余，但可求出，它可形成一个标架。将标架理论推广到二维：若构成标架，则成立下述定理说明，在时，不能构成标架：Balian－Law定理：选择如果构成一个标架，那么，必有过抽样情况下Gabor展开系数的计算:选定一个窗函数；选定时－频平面上的步长和，要求

,即取为大于1的整数；计算的Zak变换；

计算的Zak变换；

计算

可得做Zak反变换计算展开系数注意：还要包括信号的离散化1Gabor系数的快速计算，这包括连 续Gabor展开，离散Gabor展开等；2Gabor标架理论

3Gabor展开的应用

Gabor展开的研究大致可归纳为如下三个方面

Chirp信号的Gabor变换，q=4第3章Wigner分布3.1Wigner分布的定义3.2

WVD的性质3.3常用信号的WVD3.4Wigner分布的实现3.5

Wigner分布中交叉项的的行为3.6平滑Wigner分布3.1

Wigner分布的定义

的联合Wigner分布：

定义3.1.1：

定义3.1.2：的自Wigner分布：

WVD的解释频域定义上式为的傅立叶变换式

若令：则：瞬时互相关Classen.TCM.Thedistribution--part1.PhilipsRes.J.1980,35:217--250Classen.TCM.TheWignerdistribution--part2.PhilipsRes.J.1980,35:276--300Classen.TCM.TheWignerdistribution--part3.PhilipsRes.J.1980,35:372—389有关参考文献：Cohen.L.Time-FrequencyDistributions:Areview.Proc.IEEE,77(7):941--981,Julyl989.QianShie,etal.JointTime－FrequencyAnalysis:MethodsandApplications.Prentice-Hall,1995.AugerFTime—FrequencyToolbox:ForUsewithMATLAB.

AkanA.Time–frequencysignalprocessing:Todayandfuture.DigitalSignalProcessing.（119）2021，1-16BoashashB.Time-FrequencySignalAnalysisandProcessing. ElsevierLtd.20163．2

WVD的性质

始终是的实函数；（1）（2）.

是的偶函数；若是实信号，（3）.

互WVD可能是复函数1、奇、偶、虚、实性

（１）、时间边缘（timemarginal）性质

瞬时能量

2、能量分布性质（2）．频率边缘(frequencymarginal)性质瞬“频”能量

时间带内的积分频率带内的积分整个时频平面上的积分（3）能量分布性质

在整个时频平面上的积分等于信号的能量，因此，是信号能量的分布。这是WVD和Cohen类时频分布的一个重要性质。该性质是时频分布广泛应用的一个重要原因。但是，在时－频平面的某一点处，有可能是负值，这是由不定原理所决定的。但是，只要保证积分的最小面积

令这一特定的时刻，有

3.反变换类似STFT（１）、移位

4、WVD的运算性质只影响WVD的时间（２）、调制

只影响WVD的频率（３）、移位加调制

（４）、时间尺度

（５）、信号的相乘

信号相乘，在频率轴上卷积

时域相乘，等效于对信号在时域加窗。从频谱分析的角度，自然对应的是频谱在频域的卷积，影响了频域的分辨率。对WVD，这一点是一致的，也是对应频率轴上的卷积。但是，在WVD中，没有对时间轴产生影响，也即没有影响WVD在时间轴上的分辨率。这是WVD和Cohen类分布的一个很好的性质。（６）、信号的滤波

信号时域卷积，WVD时间轴上卷积时域卷积相当于对信号的滤波，在频谱分析中，相当于两个频谱相乘；在WVD中，它对应的是两个WVD在时间轴上的卷积，而在频率轴上没有运算。实际上，两个2－D函数在一个方向上卷积，在另一个方向上对应的是相乘关系。（７）、信号的相加

两个信号和的WVD并不等于各自WVD的和，还要加上二者的互WVD，称之为“交叉项”。这是WVD的一个较为严重的缺点。因为大的交叉项可以“污染”自项，从而影响了分辨率。自项自项互项交叉项若：个分量个自项个互项时频分析研究的一个重要方面是如何抑制交叉项，由此，又提出了许多其它形式的分布通称Cohen类分布。5WVD的时限与带限性质

若信号在时域有限支撑，其WVD在时间方向上也是有限支撑的。若信号在频域有限支撑的，则其WVD在频率方向上也有限支撑。6解析信号的自WVD

7

瞬时频率与群延迟

求出信号的WVD，由上式可求出信号的瞬时频率和群延迟。8.WVD的Paserval关系WVD的能量分布性质WVD的Paserval关系WVD的缺点：

有交叉项存在；2.有可能取负值；取窗口保证或Heisenberg积分面积例1

注意：截面是sinc函数时域支撑范围3.3常用信号的WVD例2

与时间无关的函数例3

注意中间的交叉项

例4注意中间的交叉项

例5

WVD的中心应在（0，0）处，控制WVD在时间和频率方向上的扩展。

例6

Chirp信号多普勒信号观察位置，或频率变化的突变点例7时域频域及时频分布3.4Wigner分布的实现令归一化，令Ts=1，又的周期为

由抽样定理决定：

解决方法１、采用解析信号

２、对作2倍插值

带宽减小一半，可有效地减少交叉项。计算该式，需要解决两个问题：

1.频率的离散化

2.对的求和取有限长令：翻转移位相乘相加

随变化实现了的计算

随变化

的离散化：上式中将都扩充成了点序列，即在其后补零。这样，上式的计算化成立了DFT来计算。注意：在频域是周期的，周期为。

思考：上述算法的问题？

“伪WVD（PseudoWVD，PWVD）”：问题：在不同的时刻，每一个的有效数 据长度差别太大，做出的结果不理想。另外，对交叉项没有采取任何措施。取窗函数：宽度为可有效地限制每一段的长度都是，另外，加窗可减轻交叉项的干扰。对作DFT：没有加窗加窗，即PWVD例4对例83.5

Wigner分布中交叉项的行为

“时频原子”高斯窗

时频中心在处注：普通高斯函数，时频中心在处例9两个“时频原子”的和：两个自项的中心：交叉项的中心：两个自项的中心：交叉项的中心：例10两个“时频原子”的和：例11两个“时频原子”的和：交叉项的中心：两个自项的中心：分析以上结果，可以看出，对两个分量的信号：

1.WVD自项的中心在原分量的时频中心处，即

2.互项（即交叉项）的中心在两个自项的 几何中心，即3.互项的幅度一般要大于自项的幅度；4.上述结论可推广到多分量信号。例12四个“时频原子”的和：四个自项的位置应有6个互项，位置是：重合在交叉中心处四个“时频原子”的和：WVD四个“时频原子”的和：PWVD

例13两个频率调制高斯信号的和自项互项交叉项为高斯调制函数决定互项时频中心决定互项在时频方向上的振荡速度反映交叉项的衰减两个自项离得越远，越大，互项衰减越快，WVD互项能量越小。即：距离近的自项产生的交叉项才会产生大的影响。上例的WVD平滑的效果，取决于的选择。如何选择一个好的窗函数，是下一章要重点讨论的内容：“Cohen类”时频分布。

设是某一窗函数的时－频分布，和在和两个方向上的卷积称为平滑WVD，记为，即：3.6平滑Wigner分布WVD和谱图的关系：信号的谱图信号的WVD窗函数的WVD两个WVD在时间和频率方向上卷积，对WVD的“平滑”卷积的结果是有效地抑制了交叉项，但降低了时频分辨率。所以，谱图也是时频分布的一种，它和Wigner分布相比，抑制交叉项要好，但时频分辨率较差。信号的“尺度图”信号的WVD小波函数的WVD小波函数小波变换小波变换也是时频分析（又称时间-尺度分析）。上式建立起了小波变换（或尺度图）和WVD的关系。WVD和小波的关系：有关MATLAB文件：tfdemoMainmenuofthedemonstrationtfdemo1Introductiontfdemo2Non-stationarysignalstfdemo3Lineartime-frequencyrepresentationstfdemo4Cohen'sclasstime-frequencydistributionstfdemo5Affineclasstime-frequencydistributionstfdemo6Reassignedtime-frequencydistributionstfdemo7Extractionofinformationamgause:产生高斯幅度调制信号；atom:产生时频“原子”信号；fmlin:产生线性频率调制信号（Chirp)；doppler:产生多普勒信号；loctime:估计信号的时间中心；locfreq:估计信号的频率中心；instfreq:估计信号的瞬时频率；sgrpdlay:估计信号的群延迟；9.tfrstft:求信号的短时傅里叶变换；10.tfgabor:求信号的Gabor变换；11.tfrwv:求信号的WVD；12.tfrsp:求信号的谱图；13.tfrpwv:求信号的伪WVD；第4章Cohen类时－频分布

4.1前言4.2Wigner分布与模糊函数4.3Cohen类时－频分布4.4时－频分布所希望的性质及对核函数的制约4.5核函数对时－频分布中交叉项的抑制4.6减少交叉项干扰的核的设计4.1前言Cohen类时--频分布一般表示形式：该式中共有五个变量，，，，和:窗函数四个变量的不同组合形成了不同的“域”，即：：时－频域，对应：瞬时自相关域，对应：“瞬时”谱自相关域，对应：模糊函数域，对应注意：窗函数处在域4.2Wigner分布与模糊函数瞬时自相关模糊函数（AmbiguityFunction,AF)定义为瞬时自相关对时间的傅里叶反变换。注意，它也是双变量的函数，不过一个是时移，一个是频移。因此，模糊函数也是信号时频分布的一种表示形式。模糊函数于1953年提出，在雷达信号处理中有着广泛的应用，后来发现它在用于去除时频分布的交叉项方面也有着重要的应用。"模糊"

？一个信号的WVD等于其模糊函数的二维傅里叶变换。WVD定义为瞬时自相关对时间延迟的傅里叶正变换WVD和模糊函数的关系模糊函数解释：对复信号进行时频移位得：时移再加调制，对应目标的移动再加上多普勒效应两个时移、频移后信号的内积WVD、AF和瞬时自相关的关系：对比

1.始终是实函数；一般为复函数；3.

在域；在域；4.时移5.频移6.AF的最大值这一特点为我们借助于模糊函数来抑制时频分布中的交叉项提供了一个途径。定义：“瞬时”谱自相关WVD和AF的又一定义

例1时间中心在处，时域、频域的扩展受控制。注意，WVD始终是实函数。高斯调制信号二维高斯信号WVD：AF:特点：

1.幅度是中心在（0，0）的高斯信号；

2.在两个方向上是振荡的，振荡频率 由决定；注意，并不影响

AF的中心位置；

3.AF是复函数。例2两个高斯调制信号的和自项互项自项互项互项：上一例已求出，中心在处；自项：中心在处：

如果两个振荡频率差别越大，则越大，远离原点；

如果两个高斯函数的中心离的越远，则越大，远离原点；所以，模糊函数的互项是远离模糊平面的原点的。WVD中两个自项的位置，决定了模糊函数在两个方向上的振荡速度模糊函数时频分布如何去掉WVD中的互项？Step1对求模糊函数Step2设计一个低通滤波器

Step3Step4对求2—D傅里叶变换，得

交叉项得到抑制4.3Cohen类时－频分布

Cohen类的表示：（1）时域表示如果：即窗函数是平面的全通函数，则所以，WVD是Cohen类的成员，而且是最简单的一种，也是最具代表性的一种。（2）频域表示

（3）用模糊函数表示体现了在模糊域对模糊函数加窗Cohen类即是在WVD的基础上加上不同类型的窗函数，从而得到抑制交叉项的目的。（4）用WVD表示

结论：Cohen类的任一成员都可由Wigner分布 得到。（5）用广义模糊函数表示

（6）用广义时间相关表示

定义：时间相关域的核函数广义时间自相关（7）用广义谱自相关表示

广义时间相关的傅里叶变换定义：谱相关域的核函数广义谱自相关广义谱自相关的傅里叶逆变换已知的各种时频分布1.Wigner分布2.伪Wigner分布3.Re[Rihaczek]分布4.Rihaczek分布5.Born-Jordan分布6.Page分布7.Choi-Williams(ED)分布8.Zhao-Atlas-Marks(EI)分布9.Spectrogram(谱图）由以上九个分布可以看出，给出不同的核函数，自然就可得到不同形式的时频分布，当然，它们也就有着不同的性质。

在已知的所有时频分布中，只有谱图是恒正的。它和WVD相比，抑制了WVD的交叉项，但是，其时频分辨率下降。4.4时频分布的性质和 核函数的关系

：非负性是某些函数的模糊函数

：实值性

：时移

：频移

：时间边界条件

：频率边界条件

：瞬时频率

：群延迟

：时间支持域

：频率支持域

：减少干扰分布几个主要分布对上述11个性质的满足情况性质分布WignerRihaczekRe[Rihaczek]Choi-WilliamsSpectrogramBorn-Jordan√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√几个重要性质的证明

：非负性是某些函数的模糊函数证明：给定，设其模糊函数为，即：

由表示形式6时间域核函数6作变量代换：恒正的傅里叶变换上述结果说明谱图属于Cohen类分布

：实值性证明：显然，如要求

必有

：时间边界条件证明：若等于必有

：减少干扰分布减少交叉项干扰分布：（Reduced

Interference

Distribution，RID）其核函数有着特殊性质，即有着一些特殊的要求。4.5核函数对交叉项的抑制单分量信号多分量信号自项互项模糊函数的自项位于 平面的原点处模糊函数的互项远离 平面的原点模糊函数的自项对应时频分布的自项模糊函数的互项对应时频分布的互项（交叉项）由于时频分布的交叉项位于自项的几何中心，不好去除。但模糊函数的交叉项非常好去除，即只需对模糊函数乘以平面上的2－D低通函数即可，这就是的作用。例如：Choi－Willarms分布：指数核，C-W分布又称指数分布（ED）取得最大值体现低通性质越小，窗函数衰减越快，有利于去除交叉项；越大，窗函数衰减越慢，自项分辨率越高；WVD例3

由三个时－频“原子”组成

用choi-willams分布为例来讨论交叉项的抑制三个时频原子理想时频分布WVD，注意交叉项位置AF，注意自项在原点，互项在原点外ED核函数在模糊域的等高线图：在原点取得最大值，但在坐标轴上也取得最大值，可以去除非坐标轴上的交叉项，但在坐标轴上的交叉项，将无法消除。WVD2—DFTAF：坐标轴上仍有值WVD：有效抑制了交叉项4.6最优核函数的设计

能否自己设计一个新的时频分布？肯定可以；原则是什么？尽可能的保持希望的11个性质；如何入手？从核函数入手；对核函数，除了（1）具有一般窗函数的性质；（2）是模糊平面的2－D低通函数，外，还应有什么特殊的结构形式？下面的内容给出了几个RID的设计方法。积核可分离核设计步骤

设计一个基本函数

Step1Step2取傅立叶变换

设来自于一个积核，且是可分离的，即4.6.1减少交叉项干扰的核的设计Step3用代替，即

应满足下述条件：（a）有单位面积，（b）为偶对称，（c）是时限的，（d）以=0为中心向边际平滑减少Step4令得到新的核函数，对应RID由于和无关，所以时移、频移性质得到满足；新的核函数对11个性质的满足情况：1.恒正性无法满足；3.由于是积核，所以时间边界和频率边界性质得到满足；来自的条件（a）及 的产生方法4.由于是偶函数，所以是实偶函数，分布的实值性质得到满足；来自条件（b）

的条件（b）