江西省南昌市2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷(含答案)

江西省南昌市2025-2026学年九年级上学期第一次质量监测（10月月考）数学试题一、单选题1．下列图形中，是中心对称图形的是（

）．A． B． C． D．2．若函数是二次函数，则m的值为（）A．0或 B．0或1 C． D．13．如图，△ABC中，∠C=70°，∠B=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB´C´，且C´在边BC上，则∠B´C´B的度数为（

）A．30° B．40° C．46° D．60°4．将二次函数化为的形式，下列结果正确的是（

）．A． B．C． D．5．已知抛物线，当时，的值随值的增大而增大，则此抛物线的顶点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；（5）若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题7．将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移一个单位，得到对应函数图象的解析式为__________．8．如图，抛物线与直线交于两点，则关于的不等式的解集为__________．

9．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到点的对应点为，点的对应点落在线段上，连接BE．下列结论：①平分；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______．10．已知抛物线的顶点的横坐标是2，则的值是________．11．如图，将矩形绕点A旋转至矩形位置，此时的中点恰好与D点重合，交于点若，则的面积为______．12．二次函数，当时，若图象上的点到x轴距离的最大值为4，则m的值为______．三、解答题13．如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．

(1)请在图中作出与关于原点对称的图形；(2)点的坐标是________；点的坐标是________．14．已知抛物线过点和，．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求抛物线的顶点的坐标．15．如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上．线段绕着某一定点顺时针旋转一个角度后，得到线段（点、分别是A、B的对应点，也都在格点上），在图中作出旋转中心．16．如图，一块矩形区域由篱笆围着，并且由一条与边平行的篱笆分开．已知篱笆的总长为18米（篱笆的厚度忽略不计），求当矩形的面积最大时的长．

17．如图，在△ABC中，∠CAB=70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB,求∠BAB′的度数．18．如图，是一个抛物线形拱桥的截面图，在正常水位时，水位线与拱桥最高点的距离为，水面宽．(1)请你建立合适的平面直角坐标系，并根据建立的平面直角坐标系求出该抛物线的解析式．(2)已知一艘船（可近似看成长方体）在此航行时露出水面的高度为，若这艘船的宽度为，当水位线比正常水位线高出时，这艘船能否从该抛物线形拱桥下方顺利通过，请说明理由．19．如图，已知在平面直角坐标系内有，，．(1)画出向右平移三个单位的，并写出的坐标：______；(2)将绕点逆时针方向旋转后得到，画出旋转后的图形，并写出坐标：______；(3)求（1）中所扫过的面积．20．如图，抛物线经过，两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得值最小，求最小值以及此时点P的坐标；21．如图，在一次足球比赛中，守门员在地面处将球踢出，一运动员在离守门员8米的处发现球在自己头上的正上方4米处达到最高点，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式及第一次落地点和守门员（点）的距离；（2）运动员（点）要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（假设点、、、在同一条直线上，结果保留根号）22．问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．

(1)【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明；(2)【探究应用】如图2，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分；(3)【拓展提升】如图3，若是边长为2的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D在运动过程中，的周长最小值=__________（直接写答案）23．如图，在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（，0），直线BC的解析式为．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD//BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；（3）将抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位，已知点M为抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案1．D【详解】A．不是中心对称图形，不符合题意；B．不是中心对称图形，不符合题意；C．不是中心对称图形，不符合题意；D．是中心对称图形，符合题意；故选：D．2．C解：由题意得：，且，解得：或且，故，故选：C．3．B【详解】：∵将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，∴AC′=AC，∴∠C=∠AC′C=70°，∴∠AC′B=180°﹣70°=110°，∵∠C=∠AC′B′=70°，∴∠B′C′B=∠AC′B﹣∠AC′B′=110°﹣70°=40°．故选B．4．D【详解】，故选：D．5．C解：抛物线的对称轴为，∵抛物线开口向上，∴当时，y随x的增大而增大，∵当时，y随x的增大而增大，∴，即；∵抛物线的顶点纵坐标为，∴顶点坐标为，∵，而，当时，顶点纵坐标最大值为：，∴此时∴抛物线的顶点在第三象限，故选：C．6．C解：∵，∴，故①正确；由函数图象可知，当时，，即：，∴，故②正确；∵图象过点，∴又∵∴，∴，即：∴∵抛物线开口向下，∴，∴，故③错误，∵抛物线的对称轴为直线，∴在图象上的对称轴点坐标为：∵∴而在对称轴的左侧，∴随的增大而增大，∴，故④错误，则：方程的两根为或，交抛物线与的两交点的横坐标，过作轴的平行线，直线与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，依据函数图象可知：，故⑤正确．故选：C．7．解：将二次函数化为顶点式为：，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移一个单位，得到的新图象函数的表达式为，故答案为：．8．或解：根据题意得出：当时，则，由图象可得：关于的不等式的解集为：或，故答案为：或．9．①②③解：∵是由旋转得到，∴，∴，∴，∴平分；故①正确，如图，设交于点，∴∵旋转，∴，∴，故②正确；由旋转的性质可知，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；由旋转的性质，，而，∴，故答案为：①②③．10．解：抛物线的顶点的横坐标是2，对称轴，，故答案为：．11．解：如图，由旋转的性质可知：，为的中点，，是矩形，，，，，，，，，，，，故答案为12．或3/3或解：∵，∴抛物线开口向上，对称轴为直线．顶点记作点；当时，；记作点；当时，，记作点；当时，图象上的点到x轴距离的最大值为4，Ⅰ．若图象位于抛物线对称轴右侧，即对称轴，如图1：则点P为满足图象上的点到x轴距离的最大值为4的点，此时有，解得：，Ⅱ．若对称轴在P、Q两点之间（包含P、Q两点）时，即：对称轴满足，如图2，①若P为满足图象上的点到x轴距离的最大值为4的点，则，此时无解，②若M为满足图象上的点到x轴距离的最大值为4的点，则，，解得：，Ⅲ．若图象位于抛物线对称轴左侧，即对称轴，如图3：此时P为满足图象上的点到x轴距离的最大值为4的点，则，，此时没有符合的解，综上，或3，故答案为或3．13．(1)如图所示：即为所求；(2)，【详解】（1）略（2）解：∵，，∴，，故答案为：，．14．(1)(2)（1）解：抛物线过点和，对称轴是直线，即，解得：，，抛物线过点，，解得：，抛物线的解析式为：；（2）解：，顶点坐标．15．见解析解：如图，连接,在网格中作的垂直平分线，交于点O，点O即为旋转中心.16．当米，矩形的面积最大．解：设米，矩形的面积设为y（平方米），则，∴．∴．由于二次项系数小于0，所以y有最大值，∴当时，函数y取得最大值．∴当米，矩形的面积最大．17．40°.【详解】∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=70°，∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，在△ACC′中，∵AC=AC′∴∠ACC′=∠AC′C=70°，∴∠CAC′=180°-70°-70°=40°，∴∠BAB′=40°．18．(1)抛物线的解析式为（答案不唯一，建立的平面直角坐标系不同则答案不同）(2)这艘船能从该抛物线形拱桥下方顺利通过，理由如下：当水位线比正常水位线高出时，此时船的最高点的纵坐标为．将代入中，解得，∴此时与这艘船最高点在同一水平面的拱桥的宽度为（）．∵，∴这艘船能从该抛物线形拱桥下方顺利通过．（1）解：建立的平面直角坐标系如解图所示．观察图象，可知该抛物线的顶点为，点．∴可设该抛物线的解析式为．将点代入中，得，解得．∴该抛物线的解析式为；（答案不唯一，建立的平面直角坐标系不同则答案不同）；（2）略19．(1)图见解析，(2)图见解析，(3)12.5【详解】（1）即为向右平移三个单位所得，如图故答案为：．（2）即为绕点逆时针方向旋转所得，如图故答案为：（3）由题意可得扫过的面积可表示为平行四边形的面积加三角形本身的面积，而三角形面积可用包围住本身的一个正方形减去三个小三角形的面积，则面积为：∴扫过的面积：12.5．20．(1)(2)，（1）解：抛物线经过，两点，，解得：，，此拋物线的解析式为；（2）解：如图，连接，交对称轴于点，则，此时最小，，

拋物线的解析式为，其对称轴为直线，当时，，，又，设的解析式为，，解得：，的解析式为，当时，，，.21．（1），16米；（2）米【详解】解：（1）设足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为，根据其顶点为，过点得，解得：，．当时，，解得：（舍去）或，答：足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为，第一次落地点和守门员（点的距离为16米；（2）设第一次落地之后的运动路线的函数表达式为，由题意，得，解得或（舍去），．当时，．解得：或．他应从第一次落地点再向前跑的距离为：米．答：他应再向前跑米．22．(1)，证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到，∴，，∵是等边三角形，∴，，∴，∴，∴；(2)证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到，∴，，∴，∴，∵是等边三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴平分．(3)【详解】（1）略（2）略（3）连接，如图，

由旋转可得，，∴是等边三角形，∴由（1）知∴的周长，∴当最小时，的周长最小，最小值，∴当时，最小，此时的周长最小，∵，等边，∴，由勾股定理，得∴的周长最小值．23．（1）；（2）四边形BECD面积的最大值为，E（，）；（3）存在．N的坐标为（，）或（，）或（，）．【详解】（1），当x=0时，y=2，当y=0时，，解得：x=，所以B（，0），C（0，2），将A（，0），B（，0）代入y=ax2+bx+2，得，解得：，所以抛物线的解析式为；（2）∵AD//BC，∴设直线AD解析式为：．将A（，0）代入得：，解得：m=-，所以AD的解析式为，联立，解得：，，∵A（，0），∴D（，）．设CD解析式为y=kx+2，将点D坐标代入得：，解得：k=，所以CD的解析式为：，当y=0时，即，解得：x=，则CD与x轴的交点为（，0）．所以S△BCD==，设E（x，），则SBECD==，当x=时，四边形BECD面积最大，其最大值为，此时E（，）．（3）