老年学概率论考试题目及答案

老年学概率论考试题目及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将正确选项字母填在题后的括号内。）1.设A，B为两个随机事件，P(A)>0，P(B)>0，若A与B互斥，则下列结论正确的是（）。（A）P(AB)=P(A)P(B)（B）P(AB)=0（C）P(B|A)=P(B)（D）P(A|B)=P(A)2.设随机变量X的分布律为P(X=k)=c(1/2)^k，k=1,2,3,4，则常数c的值为（）。（A）4（B）5（C）6（D）83.设随机变量X的密度函数为f(x)={ax,0<x<2;0,其他}，则a的值为（）。（A）1/4（B）1/2（C）1（D）24.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，则λ的值为（）。（A）1（B）2（C）1/2（D）e5.设随机变量X和Y的期望分别为E(X)=2，E(Y)=-1，方差分别为D(X)=1，D(Y)=4，且Cov(X,Y)=-1，则X-2Y的方差为（）。（A）9（B）10（C）11（D）12二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。请将答案填在题中横线上。）6.设A，B，C为三个随机事件，若P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(C)=0.7，P(ABC)=0.1，P(AC)=0.4，则P(BC)=______。7.设随机变量X的分布函数为F(x)={0,x≤0;(1-x)e^x,0<x<1;1,x≥1}，则P(X<1/2)=______。8.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，且P(X≤μ-1)=0.2，则P(X>μ+1)=______。（提示：利用标准正态分布）9.设随机变量X和Y的期望分别为E(X)=1，E(Y)=2，方差分别为D(X)=1，D(Y)=4，且X和Y的协方差为Cov(X,Y)=1，则E(XY)=______。10.设随机变量X和Y相互独立，且X~N(1,9)，Y~N(0,4)，则随机变量Z=3X-2Y的期望E(Z)=______，方差D(Z)=______。三、计算题（本大题共4小题，共40分。请写出计算过程。）11.（本题满分10分）一批产品共有10件，其中正品3件，次品7件。现从中不放回地随机抽取3件，求抽到的3件产品中至少有1件次品的概率。12.（本题满分10分）设随机变量X的密度函数为f(x)={2x,0<x<1;0,其他}，求随机变量X的期望E(X)和方差D(X)。13.（本题满分10分）设随机变量X和Y相互独立，均服从参数为1的指数分布，即密度函数为f(x)={e^-x,x>0;0,x≤0}。求E(X+Y)和D(X+Y)。14.（本题满分10分）设随机变量X和Y的联合分布律如下表所示（只列出部分，其余为0）：||Y=0|Y=1|Y=2||--|--|--|--||X=0||0.1|0.2||X=1|0.1||||X=2||0.1||（1）求X和Y的边缘分布律；（2）判断X和Y是否相互独立；（3）求E(XY)。四、证明题（本大题共1小题，共10分。请写出证明过程。）15.（本题满分10分）设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，X的分布函数为F(x)，证明：对于任意实数x，样本矩A_n=(1/n)*Σ(xi,i=1ton)依概率收敛于E(X)。（提示：可利用大数定律）试卷答案一、单项选择题1.B2.A3.C4.B5.A二、填空题6.0.37.1-e^(-1/2)8.0.89.310.3,13三、计算题11.解：记A为“抽到的3件产品中至少有1件次品”。P(A)=1-P(“抽到的3件产品全是正品”)P(“抽到的3件产品全是正品”)=C(3,3)/C(10,3)=1/C(10,3)=1/(10*9*8/6)=1/120P(A)=1-1/120=119/120。12.解：E(X)=∫[0,1]x*2xdx=∫[0,1]2x^2dx=[2x^3/3]from0to1=2/3。E(X^2)=∫[0,1]x^2*2xdx=∫[0,1]2x^3dx=[2x^4/4]from0to1=1/2。D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=1/2-(2/3)^2=1/2-4/9=1/18。13.解：由于X和Y相互独立且同分布为指数分布（参数1），E(X)=1,D(X)=1,E(Y)=1,D(Y)=1。E(X+Y)=E(X)+E(Y)=1+1=2。D(X+Y)=D(X)+D(Y)=1+1=2。（因为X和Y独立）14.解：（1）求边缘分布律：P(X=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=0,Y=2)=0+0.1+0.2=0.3。P(X=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)+P(X=1,Y=2)=0.1+0+0=0.1。P(X=2)=P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)=0+0.1+0=0.1。P(Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)=0+0.1+0=0.1。P(Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)=0.1+0+0.1=0.2。P(Y=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=2)=0.2+0+0=0.2。X的边缘分布律：P(X=0)=0.3,P(X=1)=0.1,P(X=2)=0.1。Y的边缘分布律：P(Y=0)=0.1,P(Y=1)=0.2,P(Y=2)=0.2。（2）判断独立性：需要验证P(X=x,Y=y)是否等于P(X=x)P(Y=y)对所有x,y成立。例如，验证P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1)：P(X=1,Y=1)=0。P(X=1)P(Y=1)=0.1*0.2=0.02。由于P(X=1,Y=1)≠P(X=1)P(Y=1)，X和Y不相互独立。（3）求E(XY)：E(XY)=Σ[Σ(xy*P(X=x,Y=y))]overallx,y=P(X=0,Y=0)*(0*0)+P(X=0,Y=1)*(0*1)+P(X=0,Y=2)*(0*2)+P(X=1,Y=0)*(1*0)+P(X=1,Y=1)*(1*1)+P(X=1,Y=2)*(1*2)+P(X=2,Y=0)*(2*0)+P(X=2,Y=1)*(2*1)+P(X=2,Y=2)*(2*2)=0+0+0+0+0.1+0+0+0.2+0=0.1+0.2=0.3。四、证明题15.证明：由大数定律（辛钦大数定律），对于任意具有有限期望E(X)的独立同分布随机变量序列X1,X2,...,Xn，其样本均值