2027金版教程一轮复习数学基础版第9章第2节 两条直线的位置关系与距离公式

第九章平面解析几何第二节两条直线的位置关系与距离公式课标解读考向预测1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直．2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.近三年高考考查了点到直线的距离公式，以与圆锥曲线交汇融合的形式出现在选择题和填空题中，两条直线的位置关系也是常考内容之一，难度不大．预计2027年高考会继续以选择题或填空题的形式与其他知识交汇考查.必备知识强基础考点探究提素养课时作业目录必备知识强基础位置关系l1，l2方程系数满足的条件平行______________垂直__________相交______1．两条直线的位置关系直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2的位置关系如下表：k1＝k2且b1≠b2k1k2＝－1k1≠k2直线l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(l3的法向量v1＝__________，l4的法向量v2＝__________)的位置关系如下表：注意：两条直线平行时，不要忘记它们的斜率都不存在的情况；两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．(A1，B1)位置关系法向量满足的条件l3，l4方程系数满足的条件平行v1∥v2____________________________________________垂直v1⊥v2________________相交v1与v2不共线______________(A2，B2)A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)A1A2＋B1B2＝0A1B2－A2B1≠0唯一解无解无数个解1．直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.2．五种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)．(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．√××题组二回归教材——练一练(1)(人教A选择性必修第一册习题2.3T6改编)点A(2，5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为____．(2)(人教A选择性必修第一册习题2.3T7改编)两条平行直线l1：3x＋4y－6＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离为_____．(3)(人教A选择性必修第一册习题2.3T1改编)两条直线l1：x＝2和l2：3x＋2y－12＝0的交点坐标是________．(2，3)(4)(人教B选择性必修第一册2.2.3练习BT5改编)直线l1：px＋3y＋1＝0与直线l2：6x－2y－5＝0垂直，则p的值为____．1解析：由题意，得6p＋3×(－2)＝0，解得p＝1.考点探究提素养考点一两条直线的位置关系(多考向探究)考向1判断两条直线的位置关系直线2x＋y＋1＝0和直线x＋2y＋1＝0的位置关系是(

)A．平行 B．相交但不垂直C．垂直 D．重合判断两条直线位置关系的注意点(1)斜率不存在的特殊情况．(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．1.(2026·广东潮州实验中学月考)设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对边的边长，则直线sinA·x＋ay＋c＝0与bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是(

)A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直考向2由两条直线的位置关系求参数

(1)直线l1：x＋ay－3＝0与直线l2：(a＋1)x＋2y－6＝0平行，则a＝(

)A．－2 B．1C．－2或1 D．－1或2解析：由题意，直线l1：x＋ay－3＝0与直线l2：(a＋1)x＋2y－6＝0平行，由1×2＝a(a＋1)，得a＝－2或a＝1.当a＝－2时，l1：x－2y－3＝0，l2：－x＋2y－6＝0，l1∥l2；当a＝1时，l1：x＋y－3＝0，l2：x＋y－3＝0，l1与l2重合．故选A.(2)若直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a＝_____．解析：因为直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1.±1解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”2.已知直线l1：(a－2)x＋ay＋1＝0，直线l2：(a－2)x＋y＋2＝0，则“a＝1”是“l1∥l2”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．(2026·西南大学附中模拟)已知直线l1：2x＋2y－1＝0，l2：4x＋ny＋3＝0，l3：mx＋6y－1＝0，若l1∥l2且l1⊥l3，则m＋n的值为(

)A．－10 B．10C．－2 D．2考点二两条直线的交点、距离公式(多考向探究)考向1两条直线的交点过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且过原点的直线的方程为(

)A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0求过两条直线交点的直线方程的方法(1)直接法：先求出两条直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)共点直线系法：先设直线方程为f(x，y)＋λg(x，y)＝0，再结合其他条件求出λ，从而得到所求的直线方程．4.过直线x＋y＋1＝0和x－2y＋4＝0的交点，且与直线x＋2y－3＝0垂直的直线方程是______________．2x－y＋5＝0－1求解距离问题的思路(1)点到直线的距离的求法：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．(2)两条平行直线间的距离的求法：①利用“转化法”将两条平行直线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两条平行直线间的距离公式．

(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.(2)求两条平行直线间的距离时，应先将两条直线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等．6．(多选)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和直线l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为(

)A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0考点三对称问题(多考向探究)考向1点关于点、直线关于点对称(1)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段恰好被点P平分，则直线l的方程为(

)A．x－4y＋4＝0 B．4x－y－4＝0C．4x＋y＋4＝0 D．x＋4y－4＝0解析：设l1与l的交点为A(a，8－2a)．由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，把点B的坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4.因为点A(4，0)，P(0，1)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.故选D.(2)直线l：y＝2x＋3关于点P(2，3)对称的直线l′的方程是(

)A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0 D．2x＋y＋5＝0考向2点关于直线的对称

(2026·河南洛阳模拟)点P(2，0)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点Q的坐标为(

)A．(－3，5) B．(－1，－4)C．(4，1) D．(2，3)9.已知点A(a＋2，b＋2)和B(b－a，－b)关于直线4x＋3y＝11对称，则a，b的值为(

)A．a＝－1，b＝2 B．a＝4，b＝－2C．a＝2，b＝4 D．a＝4，b＝2考向3直线关于直线的对称直线x－2y－1＝0关于直线y－x＝0对称的直线方程是(

)A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y＋1＝0 D．x＋2y＋1＝0求直线l1关于直线l对称的直线l2的两种方法(1)在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l2的方程．(2)设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为P1(x1，y1)(P1在直线l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x1，y1，再代入直线l1的方程，即得直线l2的方程．特别地，若直线l1与直线l平行，则在直线l1上取一点，求出该点关于直线l的对称点，由点斜式可得直线l2的方程．10.已知直线l1：x－y＋3＝0与直线l：x－y－1＝0，若直线l1关于直线l的对称直线为l2，则直线l2的方程为_____________．x－y－5＝0课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号123456789难度★★★★★★★★★★考点由两条直线的垂直关系求直线方程由两条直线的平行关系求参数两条直线的交点；两点间的距离判断两条直线的位置关系直线关于直线对称由两条直线的位置关系求参数动直线过定点；点到直线的距离两条直线的交点；点关于直线对称由两条直线的位置关系求参数；两条直线的交点；直线过定点问题题号101112131415161718难度★★★★★★★★★★★★★★★★★考点直线的倾斜角与斜率；由两条直线的位置关系求直线方程；两点间的距离；点到直线的距离过两条直线交点的直线系点关于直线对称直线过定点问题；由两条直线的位置关系求参数；两条平行直线间的距离点关于点对称；两点式方程两条直线的交点；由两条直线的位置关系求参数求直线方程；由两条直线的位置关系求直线方程；两点间的距离直线过定点问题；点到直线的距离；点关于直线对称判断两条直线的位置关系；点到直线的距离一、单项选择题1．过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为(

)A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0解析：由题意，可设所求直线方程为x－2y＋m＝0，将A(2，3)代入上式，得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.故选A.4．直线l1：2x＋y－1＝0与直线l2：4x＋2y＋3＋a(2x＋y－1)＝0(实数a为参数)的位置关系是(

)A．l1与l2相交 B．l1与l2平行C．l1与l2重合 D．l1与l2的位置关系与a的取值有关解析：由l2：4x＋2y＋3＋a(2x＋y－1)＝0，可得(4＋2a)x＋(2＋a)y＋3－a＝0，因为2×(2＋a)－1×(4＋2a)＝0且1×(3－a)≠－1×(2＋a)，所以l1与l2平行．故选B.5．设直线l1：x－2y－2＝0与l2关于直线l：2x－y－4＝0对称，则直线l2的方程是(

)A．11x＋2y－22＝0 B．11x＋y＋22＝0C．5x＋y－11＝0 D．10x＋y－22＝08．已知△ABC的顶点A(4，3)，AC边上的中线所在直线的方程为4x＋13y－10＝0，∠ABC的平分线所在直线的方程为x＋2y－5＝0，则AC边所在直线的方程为(

)A．2x－3y＋1＝0 B．x－8y＋20＝0C．3x－5y＋3＝0 D．x－y＋1＝0三、填空题11．(2026·广西柳州模拟)已知两直线a1x＋b1y－1