2027金版教程一轮复习数学基础版高考解答题专项突破（6）概率与统计的综合问题

高考解答题专项突破（六）概率与统计的综合问题[考情分析]

概率与统计的综合问题是高考的热点，一般以解答题形式考查，通常以考查随机事件的概率、相互独立事件、样本的数字特征、离散型随机变量的分布列、期望、回归分析、独立性检验为主，有时也与函数、数列、不等式等知识综合考查．课时作业目录

考点一概率与独立性检验的综合(2026·河北邯郸模拟)某地元宵节举行了灯展活动，为了解观众对该活动的观感情况(“一般”或“激动”)，现从该活动现场的观众中随机抽取100名，得到下表：

单位：人性别观感情况合计一般激动男4560女12合计100单位：人(1)补全上面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为观众对该活动的观感情况与性别有关？性别观感情况合计一般激动男4560女12合计100概率与独立性检验的综合问题的解题思路本类题目以生活题材为背景，涉及独立性检验及概率问题的综合，解决该类问题首先收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得χ2的值后进行比较，其次再按照随机变量满足的概率模型求解．1.一种疫苗在正式上市之前要进行多次人体临床试验接种，假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等．某医学研究院研究团队研发了一种疫苗，并率先对此疫苗开展了Ⅰ期和Ⅱ期临床试验．Ⅰ期试验为了解疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，选取了两种剂量接种方案[0.5mL/次剂量组(低剂量)与1mL/次剂量组(中剂量)]，临床试验免疫结果对比如下：单位：人剂量接种结果合计接种成功接种不成功0.5mL/次剂量组288361mL/次剂量组33336合计611172单位：人(1)根据数据说明哪种方案接种效果好，并依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为该疫苗接种成功与否与两种剂量接种方案有关？剂量接种结果合计接种成功接种不成功0.5mL/次剂量组288361mL/次剂量组33336合计611172

考点二概率与回归方程的综合我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风险投资公司准备投资芯片领域，若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为30%的概率为p，收益率为－10%的概率为1－p；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为30%的概率为0.4，收益率为－20%的概率为0.1，收益率为零的概率为0.5.(1)已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你从风险角度考虑，为该公司选择一个较稳妥的项目；年份x2022202320242025μ1234累计投资金额y/亿元2356概率与回归方程的综合问题的解题思路(1)此类问题的特点为：同一生活实践情境下设计两类问题，即①求回归方程(预测)；②求某随机变量的概率(范围)、均值、方差等．(2)充分利用题目中提供的成对样本数据(散点图)作出判断，确定是线性问题还是非线性问题．求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的．(3)明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型．2.某大型商场的所有饮料自动售卖机在一天中某种饮料的销售量y(单位：瓶)与天气温度x(单位：℃)有很强的相关关系，为能及时给饮料自动售卖机添加该种饮料，该商场对天气温度x和饮料的销售量y进行了数据收集，得到下面的表格：经分析，可以用y＝a·2kx作为y关于x的回归方程．(1)根据表中数据，求y关于x的回归方程(结果精确到0.01)；x10152025303540y41664256204840968192

考点三统计、概率与正态分布的综合襄阳市某中学一研究性学习小组为了了解襄阳市民每年旅游支出费用(单位：千元)，寒假期间对游览某签约景区的100名襄阳市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表：(1)从样本中随机抽取两位市民的旅游支出费用数据，求两人旅游支出费用均不低于10000元的概率；支出费用/千元[0，2)[2，4)[4，6)[6，8)频数34811支出费用/千元[8，10)[10，12)[12，14)[14，16]频数412085

统计、概率与正态分布的综合问题的解题思路(1)正态分布是最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布．如长度测量误差、正常生产条件下各种产品的质量指标等．(2)解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率．3.(2026·辽宁沈阳模拟)某高校对参加军训的4000名学生进行射击、体能、伤病自救等项目的综合测试，现随机抽取200名军训学生，对其测试成绩(满分：100分)进行统计，得到样本频率分布直方图，如图．(1)根据频率分布直方图，求出a的值，并估计这200名学生测试成绩的平均数(单位：分)；

统计、概率与函数的综合问题的解题思路概率与函数的交汇问题，多以概率问题为解题主线，通过设置变量，利用随机变量的概率、均值与方差的计算公式构造函数．求解时可借助二次函数的性质、函数的单调性或导数确定最优解．解决此类问题应注意以下两点：(1)准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的均值、方差，随机事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键；(2)注意变量的范围，一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身范围的限制．4.(2023·新课标Ⅱ卷，19)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；(2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c)，当c∈[95，105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95，105]的最小值．

解：(1)依题意可知，患病者该指标的频率分布直方图中第一个小矩形的面积为5×0.002>0.5%，所以95<c<100，所以(c－95)×0.002＝0.5%，解得c＝97.5，q(c)＝0.01×(100－97.5)＋5×0.002＝0.035＝3.5%.

概率与数列的综合问题的解题思路概率与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递推关系．解决此类问题的基本步骤为：(1)精准定性，即明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率模型的依据，也是建立递推关系的准则；(2)准确建模，即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题；(3)解决模型，也就是递推数列的求解，多通过构造的方法转化为等差、等比数列的问题求解．求解过程应灵活运用数列的性质，准确应用相关公式．

课时作业基础题(占比20%)中档题(占比50%)拔高题(占比30%)题号123456难度★★★★★★★★★★★★★考点概率与独立性检验的综合概率与回归方程的综合概率与数列的综合；统计、概率与函数的综合统计、概率与正态分布的综合；统计、概率与函数的综合概率与数列的综合概率与回归方程的综合；概率与数列的综合；统计、概率与函数的综合1.(2026·内蒙古包头模拟)某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理成如下2×2列联表：单位：人注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．(1)请完成上面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；(计算结果精确到0.001)性别是否经常锻炼合计不经常锻炼经常锻炼男7女1630合计21(2)(ⅰ)从样本的质量指标值在[45，55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为X′，求X′的分布列和数学期望；(ⅱ)该企业为节省生产成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装．已知一件A等品芯片的利润是m(1<m<24)元，一件B等品芯片的利润是ln(25－m)元，根据(1)的计算结果，试求m的值，使得每箱产品的利润最大．解：(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，所以P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)＝0.5×(1－0.6)＋